高中数学第二章数列数列复习2导学案教师版苏教版必修Word版
高中数学第2章数列第02课时数列(2)教学案苏教版必修5
数列(二)教学目标：1.进一步熟悉数列及其通项公式的概念；2.了解数列的递推公式是确定数列的一种方法，会根据给出的递推公式写出数列的前n 项；3.掌握根据数列的前n 项和确定数列的通项公式．重点难点：根据数列的前n 项和确定数列的通项公式．数列的递推公式的理解与应用. 引入新课1．已知数列{}=-=1,32a a a n n n 则的通项公式是 ，=5a ，125是这个数列的第_______项．2.写出下列数列}{n a 的前5项：（1）51=a ，)2(31≥ +=-n a a n n ； （2）21=a ，)2(21≥ =-n a a n n ．3.写出数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：①11，10，9，8，7，…； ②13-，18，115-，124-，…注：由数列的前n 项写出一个通项公式：关键在于观察、分析数列的前n 项的特征、特点，找出数列的一个构成规律，再写出一个相应的通项公式．注意：（1）并不是所有数列的通项公式都存在；（2）有的数列的通项公式并不唯一．4．数列的递推公式：数列的第n 项n a 与它前面相邻一项1-n a （或相邻几项）所满足的关系式的递推公式．5.若记数列{}n a 的前n 项和为n S ，即12n n S a a a =++⋅⋅⋅+．试证明：⎩⎨⎧-=-11n n n S S S a )2()1(≥=n n 注意：⑴可作为常用公式； ⑵ 当)(11S a =满足1--n n S S 时，则1--=n n n S S a ．例题剖析例1 根据下列各数列的前几项，分别写出一个通项公式：（1）9， 99， 999， 9999，…（2）0.7．0.77，0.777，0.7777，…（3）2，6，12，20，30，…．例2 数列}{n a 中，01=a ，nn n a a a -+=+311，写出}{n a 的一个通项公式．例3、已知数列{}n a 的前n 项和分别为 ①n n Sn -=22； ②12++=n n S n ．求数列{}n a 的通项公式．巩固练习1．根据下列数列的前几项，分别写出它们的一个通项公式：（1）7，77，777，7777，…； （2）3，8，15，24，35，…．2．已知21=a ，41-=+n n a a 求n a ．已知21=a ，n n a a 21=+ 求n a ．3.已知数列{}n a 的前n 项和32n n S =-，求该数列的通项公式．课堂小结1.数列中递推关系的概念；2.由数列的前n 项的和n S 求数列的通项公式的过程．课后训练一 基础题1.数列{}n a 的通项公式nn a n -+=11，则417+是该数列中的第 项． 2.已知数列{}n a 的通项公式2412n a n n =--，则4a = ，7a = ，65是它 的第 项 ；从第 项起各项为正；{}n a 中第 项的值最小，为 ．3.若数列{}n a 中，12a =，且各项满足121n n a a +=-，则该数列的前四项为 ．4.若数列{}n a 中，11a =，24a =，且各项满足212n n n a a a ++=+，则26是该数列的 第 项．5．数列{}n a 中，()()21,3,1111221≥-=∙-==-+-n a a a a a n n n n ，则4a = 。
高中数学 第2章 数列 2 数列 (2)教学案(无答案)苏教版必修5 教学案
某某省泰兴中学高一数学教学案(78)必修5_02 数 列（2）班级 某某目标要求：1. 了解递推公式的意义，会根据给出的递推公式写出数列的前n 项2．了解数列前n 项和n S 的意义，理解通项n a 与它前n 项和n S 的关系重点难点：重点：会根据给出递推公式写出数列的前n 项难点：理解数列通项n a 与它前n 项和关系典例剖析：{}n a 满足110,(21)n n a a a n +==+-,写出这个数列的前5项，并猜测通项公式例2．已知数列{}n a 满足*111,()31n n n a a a n N a +==∈+，写出数列{}n a 前5项，并猜测其通项公式例3．已知数列{}n a 中，112a =，*111(2,)n n a n n N a -=-≥∈,数列{}n a 前n 项和为n S . （1）求证:3n n a a +=（2）求2008S例4．已知数列{}n a 前n 项和公式为2*232,()n S n n n N =--∈（1）写出该数列的第3项；（2）求数列{}n a 的通项公式；（3）确定n S 何时取最小值，最小值是多少？学习反思1. 根据通项公式和递推公式，都可写出数列中的任意一项，不同点是通项公式是将项数n直接代入公式即可求得第n 项，但对递推公式来说，要得到第n 项则有一个递推的过程，而不能直接代入求得2. 数列{}n a 的前n 项和记为n S ，通项公式n a 与n S 关系是11,(1),(2)n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩ 课堂练习1、若数列{}n a 中，131,7n n a a a +=-+=，则1a =2、已知数列{}n a 由111,21n n a a a +==+给出，则31是这个数列的第项3、若数列{}n a 的前n 项和223n S n n =-+，则这个数列的第3项是4、数列－2，2，6，10，…的相邻两项n a 与1n a +的关系式为5、数列{}n a 满足12,01,1,1n n n n n a a a a a +≤≤⎧=⎨->⎩且167a =，则2011a = 6、已知数列{}n a 前n 项和223n S n n =-，求n a 的值某某省泰兴中学高一数学作业(78)班级 某某得分1、在数列{}n a 中，111,2(1)3n n n a a a -==-，（n ≥2），则5a = 2、若数列{}n a的通项公式是n a =，当前n 项和是9时，项数是 3、数列{}n a 的前n 项和为n S ,且22,6n n S ka n a =+=-.则正整数k 的值是________4、已知f (1)=2，f (n +1)=*)(212)(N n n f ∈+，则f （4）= 5、已知数列{}n a 满足：1()a m m =为正整数，1,231,n n n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩当为偶数时当为奇数时，若61a =，则m 所有可能的取值为_____________6、将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第n+1行（3≥n ）从左向右的第3个数为_______________ （提示：1+2+3+ (1)2n n n ++=） 7、（1）已知数列{}n a 的第1项是1，第2项是2，以后各项由12n n n a a a --=+，（n ≥3）给出，写出这个数列第5项；1 2 3 4 5 6 7 8 9 10（2）用上面的数列{}n a ，通过公式1n n n a b a += 构造一个新的数列{}n b ，写出数列{}n b 的前5项8、设()f x 是定义在正整数集上的函数,且满足(2)(1)(),(1),(2),f x f x f x f a f b +=+-==求(2008)f 的值.9、数列{}n a 的前n 项和n S ，且2log (1)1n S n +=+，求{}n a 的通项公式10、小王上楼,他的跨步的方法是:一步上一个台阶,或一步上两个台阶.(1) 如果楼梯有1个台阶,小王上楼有1a 种走法,则1a =_______________;(2) 如果楼梯有2个台阶,小王上楼有2a 种走法,则2a =_______________;(3) 如果楼梯有3个台阶,小王上楼有3a 种走法,则3a =_______________;(4) 如果楼梯有4个台阶,小王上楼有4a 种走法,则4a =_______________;(5) 如果楼梯有5个台阶,小王上楼有5a 种走法,则5a =_______________;(6)上述5种情况有什么特定的数量关系?如果小王上10个台阶,有多少种不同的走法?。
高中数学 第二章 数列 2.1 数列(二)教案 苏教版必修5(2021年整理)
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数列（二)总 课题 数列总课时 第1课时分 课题数列（二）分课时 第 2 课时教学目标1.进一步熟悉数列及其通项公式的概念；2.了解数列的递推公式是确定数列的一种方法，会根据给出的递推公式写出数列的前n 项;3。
掌握根据数列的前n 项和确定数列的通项公式．重点难点根据数列的前n 项和确定数列的通项公式．数列的递推公式的理解与应用.引入新课1．已知数列{}=-=1,32a a a n n n 则的通项公式是 ，=5a ,125是这个数列的第_______项．2。
写出下列数列}{n a 的前5项: (1）51=a ，)2(31≥ +=-n a a n n ；(2)21=a ，)2(21≥ =-n a a n n ．3。
写出数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数： ①11，10,9，8，7,…；②13-，18，115-，124-,…注：由数列的前n 项写出一个通项公式:关键在于观察、分析数列的前n 项的特征、特点，找出数列的一个构成规律，再写出一个相应的通项公式．注意：（1）并不是所有数列的通项公式都存在； (2)有的数列的通项公式并不唯一． 4．数列的递推公式:数列的第n 项n a 与它前面相邻一项1-n a (或相邻几项）所满足的关系式的递推公式．5。
高中数学第二章数列疑难规律方法学案苏教版必修
第二章数列1数列的表示法对于刚接触数列的同学来说，理解数列的概念与表示法，是理解数列的关键一步，也可以为以后的学习奠定良好的基础，下面对数列的四种表示方法作简单的分析．一、通项公式法例1试写出数列3,5,9,17,33，…的一个通项公式．解数列的各项可记为21＋1,＋1,23＋1,24＋1,25＋1，…，所以数列的通项公式为a n＝2n＋1. 点评这类问题关键在于观察各项与对应序号之间的关系，建立合理的联想、转换．写出一个数列的通项公式，体现了由特殊到一般的思维规律．通项公式法是数列最重要的一种表示方法．二、列表法例2数列{a n}如下表所示，试归纳其通项公式．n 12345…a n 1223344556…解数列{a n}中各项的分子依次为1,2,3，…，恰好是序号n；各项的分母为2,3,4，…，可看成n＋1，所以数列的通项公式为a n＝nn＋1.点评由于数列可看成特殊的函数，所以数列也可用列表法表示，列表法具有直观、清晰的特点．三、图象法数列是一类特殊的函数，数列的序号可看成自变量，数列的项可看成函数值，数列的通项公式也就是相应函数的解析式，所以数列可用图象法表示，如数列{n＋2}的图象如图．由图可看出，数列可用一群孤立的点表示，从数列的图象中可以直观地看出数列的变化情况．把数列与函数进行比较，数列特殊在定义域是正整数集或其子集．四、递推公式法例3将正整数数列1,2,3,4，…的各项按照上小下大、左小右大的原则排成如下图的三角形数表，123456……(1)分别写出数表中第4行、第5行的各数；(2)将数表中每行的第一个数组成一个数列，观察规律，给出此数列的一个递推关系式．解(1)由题意知，第4行的各数为7,8,9,10；第5行的各数为11,12,13,14,15；(2)由数表得，每行的第一个数组成的数列为1,2,4,7,11，…，观察得a2－a1＝2－1＝1，a3－a2＝4－2＝2，a4－a3＝7－4＝3，a5－a4＝11－7＝4，….所以a n－a n－1＝n－1，故此数列可表示为a1＝1，a n－a n－1＝n－1.点评数列的递推公式是数列的一种表示形式，体现了数列的一种递推关系，一种递推规律．2数列中的数学思想数学思想在数列的学习中起着重要的作用．若能根据问题的题设特点，灵活地运用相应的数学思想，往往能迅速找到解题思路，从而简便、准确求解． 一、方程思想例1在等比数列{a n }中，已知a 1＋a 2＋a 3＝7，a 1a 2a 3＝8，求通项a n .分析欲求通项a n ，需求出a 1及q ，为此根据题设构造关于a 1与q 的方程组即可求解． 解方法一∵a 1a 3＝a 22，∴a 1a 2a 3＝a 32＝8，∴a 2＝2.从而⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 3＝5，a 1a 3＝4，解得a 1＝1，a 3＝4或a 1＝4，a 3＝1.当a 1＝1时，q ＝2；当a 1＝4时，q ＝12.故a n ＝2n －1或a n ＝23－n.方法二由等比数列的定义知a 2＝a 1q ，a 3＝a 1q 2，代入已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q ＋a 1q 2＝7，a 1·a 1q ·a 1q 2＝8，即⎩⎪⎨⎪⎧a 11＋q ＋q2＝7，a 31q 3＝8，即⎩⎪⎨⎪⎧a 11＋q ＋q 2＝7，①a 1q ＝2， ②将a 1＝2q 代入①，得2q 2－5q ＋2＝0，∴q ＝2或q ＝12，由②得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4，q ＝12.∴a n ＝2n －1或a n ＝23－n.二、分类讨论思想例2已知{a n }是各项均为正数的等差数列，且lg a 1，lg a 2，lg a 4也成等差数列，若b n ＝1a 2n，n ＝1,2,3，…，证明：{b n }为等比数列．证明由于lg a 1，lg a 2，lg a 4成等差数列， 所以2lg a 2＝lg a 1＋lg a 4， 则a 22＝a 1·a 4.设等差数列{a n }的公差为d ， 则有(a 1＋d )2＝a 1(a 1＋3d )， 整理得d 2＝da 1，从而d (d －a 1)＝0.(1)当d ＝0时，数列{a n }为常数列，又b n ＝1a 2n，则{b n }也是常数列，此时{b n }是首项为正数1a 2，公比为1的等比数列．(2)当d ＝a 1≠0时，则a 2n ＝a 1＋(2n－1)d ＝d ＋(2n－1)d ＝2nd ，所以b n ＝1a 2n ＝1d ·12n ， 这时{b n }是首项b 1＝12d ，公比为12的等比数列．综上，{b n }为等比数列． 三、特殊化思想 例3在数列{a n }中，若a n ＋2－a n ＋1a n ＋1－a n＝k (k 为常数)，n ∈N *，则称{a n }为“等差比数列”．下列是对“等差比数列”的判断：①k 不可能为0；②等差数列一定是等差比数列；③等比数列一定是等差比数列；④等差比数列中可以有无数项为0.其中正确的判断是________． 分析本题为新定义题，且结论具有开放性，解决本题可借助新定义构造特殊数列，排除不正确的判断，从而简捷求解．解析数列a ，a ，…，a (a ≠0)既是等差数列，又是等比数列，但不满足a n ＋2－a n ＋1a n ＋1－a n＝k ，即不是等差比数列，故②、③不正确．故选①④正确． 答案①④四、整体思想例4在等比数列{a n }中，a 9＋a 10＝a (a ≠0)，a 19＋a 20＝b ，则a 99＋a 100＝________. 分析根据题设条件可知a 19＋a 20a 9＋a 10＝q 10＝ba， 而a 99＋a 100a 9＋a 10＝q 90，故可整体代入求解．解析设等比数列{a n }的公比为q ， 则a 19＋a 20a 9＋a 10＝q 10＝ba， 又a 99＋a 100a 9＋a 10＝q 90＝(q 10)9＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 9，故a 99＋a 100＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 9(a 9＋a 10)＝b 9a 8.答案b 9a83求数列通项的四大法宝一、公式法题设中有a n 与S n 的关系式时，常用公式a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2来求解．例1已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n－2，求其通项公式a n . 解当n ＝1时，a 1＝S 1＝31－2＝1； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n－2－(3n －1－2)＝3n －3n －1＝2×3n －1，又a 1＝1≠2×31－1，所以数列{a n }的通项公式a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2×3n －1，n ≥2.二、累加法若数列{a n }满足a n －a n －1＝f (n －1)(n ≥2)，且f (1)＋f (2)＋…＋f (n －1)可求，则可用累加法求通项．例2已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝3n －1＋a n －1(n ≥2)，求其通项公式a n .解由已知，得a n －a n －1＝3n －1(n ≥2)，所以a 2－a 1＝3，a 3－a 2＝32，a 4－a 3＝33，…，a n －a n －1 ＝3n －1.以上各式左右两边分别相加，得a n －a 1＝3＋32＋33＋…＋3n －1，所以a n ＝31－3n －11－3＋1＝3n－12(n ≥2)，又当n ＝1时，a 1＝1＝31－12.所以a n ＝3n－12(n ∈N *)．三、叠乘法 若数列{a n }满足a na n －1＝f (n －1)(n ≥2)，其中f (1)·f (2)·…·f (n －1)可求，则可用叠乘法求通项．例3已知数列{a n }中，a 1＝3，a n ＝3n －43n －1a n －1(a n ≠0，n ≥2)，求其通项公式a n .解由a 1＝3，a n ＝3n －43n －1a n －1，得a n a n －1＝3n －43n －1，所以a 2a 1＝25，a 3a 2＝58，a 4a 3＝811，a 5a 4＝1114，…，a n a n －1＝3n －43n －1(n ≥2)，以上各式左右两边分别相乘，得a n a 1＝23n －1，所以a n ＝63n －1(n ≥2)．又a 1＝3＝63×1－1，所以a n ＝63n －1(n ∈N *)．四、构造法当题中出现a n ＋1＝pa n ＋q (pq ≠0且p ≠1)的形式时，把a n ＋1＝pa n ＋q 变形为a n ＋1＋λ＝p (a n ＋λ)，即a n ＋1＝pa n ＋λ(p －1)，令λ(p －1)＝q ，解得λ＝qp －1，从而构造出等比数列{a n ＋λ}．例4数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝14a n ＋3(n ∈N *)，求其通项公式a n .解设a n ＋1＋t ＝14(a n ＋t )，则a n ＋1＝14a n －34t ，与已知比较，得－34t ＝3，所以t ＝－4，故a n ＋1－4＝14(a n －4)．又a 1－4＝1－4＝－3≠0，故数列{a n －4}是首项为－3，公比为14的等比数列，因此a n －4＝－3×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n －1，即a n ＝4－3×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n －1(n ∈N *)．4函数思想在等差数列中的妙用对比等差数列的通项公式和一次函数的解析式，等差数列的前n 项和公式和二次函数的解析式，可以得出等差数列以下三点性质．性质1：在等差数列{a n }中，通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d ，变形为a n ＝dn ＋(a 1－d )，知a n 是n 的函数，且点(n ，a n )均在直线y ＝dx ＋(a 1－d )上．例1在等差数列{a n }中，a 12＝21，a 45＝153，那么5是第几项？ 解由a n ＝dn ＋a 1－d ，知点(n ，a n )在直线：y ＝dx ＋a 1－d 上， 所以a 45－a 1245－12＝5－a 45n －45＝d ，代入数据得153－2145－12＝5－153n －45，得n ＝63，即5是这个数列中的第63项．性质2：在等差数列{a n }中，其前n 项和S n ＝na 1＋n n －12d ，变形为S n n ＝d 2n ＋⎝⎛⎭⎪⎫a 1－d 2，知S n n 是n 的函数，且点⎝ ⎛⎭⎪⎫n ，S n n 均在直线y ＝d 2x ＋a 1－d 2上．例2在等差数列{a n }中，S 10＝20，S 50＝200，则S 2 010的值为________． 解析由S n ＝An 2＋Bn ，知S n n＝An ＋B ， 所以点⎝ ⎛⎭⎪⎫n ，S n n 在直线y ＝Ax ＋B 上．于是点⎝ ⎛⎭⎪⎫10，S 1010，⎝ ⎛⎭⎪⎫50，S 5050，⎝ ⎛⎭⎪⎫2 010，S 2 0102 010三点共线，∴S 5050－S 101050－10＝S 2 0102 010－S 50502 010－50成立． 把S 10＝20，S 50＝200代入上式，解得S 2 010＝205 020. 答案205 020性质3：在等差数列{a n }中，其前n 项和S n ＝na 1＋n n －12d ，变形为S n ＝d 2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n ，若设A ＝d 2，B ＝a 1－d2，则S n ＝An 2＋Bn ，且点(n ，S n )均在曲线y ＝Ax 2＋Bx 上．例3已知等差数列{a n }中，S m ＝S n (m ≠n )，则S m ＋n ＝______.解析由S n ＝An 2＋Bn ，知点(n ，S n )在抛物线y ＝Ax 2＋Bx 上，又S m ＝S n ，所以点P 1(m ，S m )与点P 2(n ，S n )关于抛物线的对称轴对称，而对称轴方程为x ＝m ＋n2，不妨设A <0，如图所示x C ＝m ＋n ，从而S m ＋n ＝0.答案0例4设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1>0，S 12>0，S 13<0，指出S 1，S 2，…，S 12中哪一个值最大，并说明理由？解∵{a n }是等差数列，∴S n ＝d2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n ，∵S 12>0，S 13<0.∴a 13＝S 13－S 12<0， ∵a 1>0，a 13<0，∴d <0.∴点(n ，S n )分布在开口方向向下的抛物线y ＝d2x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2x 的图象上．设二次函数y ＝d2x2＋⎝⎛⎭⎪⎫a 1－d 2x 的对称轴为n 0，则2n 0是二次函数的一个零点．∵S 12>0，S 13<0，∴12<2n 0<13，∴6<n 0<6.5.易知n ＝6对应的A (6，S 6)与对称轴的距离比n ＝7对应的B (7，S 7)与对称轴的距离更小． ∴A 点为最高点，S 6最大．由上述例子可见，解等差数列问题时，若能灵活运用函数的思想与方法，可以简化运算过程，开拓解题思路，收到事半功倍的效果．5判断等比数列的四种方法等比数列在生产实践和自然科技中应用广泛，许多问题可拟合为等比数列模型来解决或预测，那么，如何判定等比数列呢，请看以下方法： 一、定义法a n ＋1a n＝q (其中q 为非零常数，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列． 例1数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ＋1＝n ＋2n S n (n ∈N *)，证明：{S nn}是等比数列． 证明由a n ＋1＝n ＋2n S n ，得S n ＋1－S n ＝n ＋2nS n ， 整理得S n ＋1n ＋1＝2×S nn， 又S 11＝a 11＝1≠0， 故{S n n}是公比为2的等比数列．点评本题需借助a n ＋1＝S n ＋1－S n 对a n ＋1进行转化．二、等比中项法a 2n ＋1＝a n a n ＋2(a n a n ＋1a n ＋2≠0，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列．例2已知a ，b ，c 是三个均不为1的正数，x ，y ，z ∈(0，＋∞)，且a x ＝b y ＝c z，1x ＋1z＝2y，证明：a ，b ，c 成等比数列．证明令a x＝b y＝c z＝k ，则k >0，且k ≠1， 则x ＝log a k ，y ＝log b k ，z ＝log c k ， 由1x ＋1z ＝2y，得log k a ＋log k c ＝2log k b ， 所以b 2＝ac ，又a ，b ，c 都不为0，故a ，b ，c 成等比数列．点评将x ，y ，z 用以k 为底的对数表示，由此产生关于a ，b ，c 的等式，建立已知与未知的联系是关键所在． 三、通项公式法a n ＝a 1q n －1(a 1，q 均不为零，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列．例3已知数列{a n }的通项a n ＝2n，以下关于该数列的说法中错误的是________．①{a n }是等差数列；②484不是{a n }中的项；③{a n }是等比数列；④{a n }的前8项的和为510. 解析由a n ＝2n＝2·2n －1，可知数列{a n }是首项、公比均为2的等比数列，易得②③④正确，①错误． 答案①点评根据通项公式判断出数列为等比数列，问题迎刃而解． 四、前n 项和公式法当q ≠0且q ≠1时，S n ＝a 11－q n 1－q ＝a 1q －1·q n －a 1q －1＝kq n－k ⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＝a 1q －1，n ∈N *，则{a n }是等比数列．例4已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝2n －1，则a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝________. 解析易知{a n }为等比数列且a n ＝2n －1，∴{a 2n }也是等比数列，a 21＝1，公比为4. ∴a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝1－4n1－4＝13(4n－1)．答案13(4n－1)点评在S n 中，令n ＝1即得到首项a 1，解决此类问题应有赋值求值的意识．以上四种方法是判断数列的常用方法，同学们在解题时应根据具体题目选用恰当的方法.6计算等比数列的三个原则解答等比数列计算题，通常以其通项公式和前n 项和公式为基本工具，或直接代入求解，或列方程(组)求解，此外，还有一些特殊要求，同学们要准确快捷地解答等比数列问题，以下三点必须知道． 一、公式选择要恰当例1在等比数列{a n }中，已知首项a 1＝3，a n ＝3128，公比q ＝12，求前n 项和S n .分析把已知量代入等比数列的前n 项和公式S n ＝a 1－a n q1－q即可求解． 解S n ＝a 1－a n q1－q ＝3－3128×121－12＝765128.点评若用S n ＝a 11－q n 1－q 解本题，需先求出n ，而用S n ＝a 1－a n q1－q ，直接代入即可．求和公式S n ＝a 1－a n q1－q，适用于已知a 1，q ，a n 求S n 或已知a 1，q ，S n 求a n 的题型，因其不如S n ＝a 11－q n1－q使用频率高，易被忽视．二、运算技巧要掌握例2在等比数列{a n }中，已知a 3＋a 5＝3，a 7＝4，求其公比． 分析根据等比数列的通项公式列方程组求解．解设公比为q ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＋q 4＝3，a 1q 6＝4，又a 1≠0，q ≠0，二式相除得1＋q2q4＝34， 整理得3q 4－4q 2－4＝0，解得q 2＝－23(舍去)或q 2＝2，所以q ＝± 2.点评因等比数列的计算问题中，积与幂较多，故把相关式作商是个常用技巧，这样可以去掉无关量，突出待求量．此外，等比数列计算题还常用整体代入、整体变形等技巧． 三、分类讨论勿忽视例3已知等比数列{a n }的各项都是正数，其前n 项和为S n ，a 3＝2，S 4＝5S 2，求通项a n . 分析依据等比数列的通项公式和前n 项和公式列方程组，先求出a 1和q ，再求a n . 解设数列{a n }的公比为q ，当q ＝1时，a n ＝2，S 4＝8，S 2＝4，不满足S 4＝5S 2， 故q ≠1.由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝2，a 11－q 41－q＝5×a 11－q 21－q ，整理得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝2，q 4－5q 2＋4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝12，q ＝±2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，q ＝±1，依题意，又有q >0且q ≠1，所以q ＝2，a 1＝12，则a n ＝12×2n －1＝2n －2.点评解答本题时容易忽视对公比q 的讨论．同学们要牢记：当q ＝1与q ≠1时，等比数列的求和公式是不同的，所以当公比不确定时，一定要注意对公比的讨论．7如何研究数列的单调性和最大(小)项研究数列的单调性和最大(小)项，首选作差，其次可以考虑借助函数单调性．例1已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n (79)n ＋1，则该数列是否有最大项，若有，求出最大项的项数；若无，说明理由． 解当n >3时，f (n ＋1)－f (n )<0； 当1≤n ≤3时，f (n ＋1)－f (n )>0.综上，可知{a n }在n ∈{1,2,3}时，单调递增； 在n ∈{4,5,6,7，…}时，单调递减． 所以存在最大项， 且第4项为最大项．点评之所以首选作差，是因为研究数列的单调性和研究函数的单调性不一样，函数单调性要设任意x 1<x 2，而数列只需研究相邻两项a n ＋1－a n ，证明难度是不一样的． 例2数列{a n }中，a n ＝n － 2 006n － 2 007，则该数列前100项中的最大项与最小项分别是________．分析可以先把a n ＝n － 2 006n － 2 007用分离常数进行化简，然后再研究函数f (x )＝1＋2 007－ 2 006x － 2 007的性质，得出该数列前100项中的最大项与最小项．解a n ＝n － 2 006n － 2 007＝1＋ 2 007－ 2 006n － 2 007.考察函数f (x )＝1＋2 007－ 2 006x － 2 007，在区间(－∞， 2 007)与( 2 007，＋∞)上都是减函数， 因为44< 2 007<45，故数列{a n }在n ≤44上递减，在n ≥45上递减， 借助f (x )＝1＋2 007－ 2 006x － 2 007的图象知，数列{a n }的最大项为a 45，最小项为a 44. 答案a 45，a 44点评本题考查根据数列的单调性求数列的最大项与最小项，此类题一般借助相关函数的单调性来研究数列的单调性，然后再判断数列的最大项与最小项．8数列求和的方法和技巧求和是数列的主要问题之一，数列求和方法多，技巧性强，是培养创新能力的好素材，也是高考考查的重要内容．现结合例子把数列求和的主要方法列举如下： 1．应用公式求和方法要领：等差、等比数列的前n 项和公式是数列中应用最为广泛、使用频率最高的求和公式．在每种数列中均有两个求和公式可供选择．尤其是利用等差数列的前n 项和公式时，首先要确定公比q 是否为1，以确定选用哪一个公式来求和，否则要通过分类讨论进行解答． 例1求数列1,3＋5,7＋9＋11,13＋15＋17＋19，…的前n 项和． 解所求数列的前n 项和中共有1＋2＋3＋4＋…＋n ＝n n ＋12个连续的奇数，这些奇数组成等差数列，首项为1，公差为2.故该数列的前n 项和S n ＝n n ＋12×1＋12×n n ＋12×⎣⎢⎡⎦⎥⎤n n ＋12－1×2 ＝n n ＋12＋n n ＋12⎣⎢⎡⎦⎥⎤n n ＋12－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤n n ＋122＝n 2n ＋124.点评本题实际上是求从1开始的连续奇数的和，奇数的个数共有1＋2＋3＋…＋n ＝n n ＋12.最后一个奇数为1＋2×⎣⎢⎡⎦⎥⎤n n ＋12－1＝n 2＋n －1.因此前n 项和也可以这样求得S n ＝n n ＋12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋n 2＋n －12＝n 2n ＋124.例2求数列1，a ＋a 2，a 3＋a 4＋a 5，a 6＋a 7＋a 8＋a 9，…(a ≠0)的前n 项和．解所求数列的前n 项和可以看成是由等比数列1，a ，a 2，a 3，a 4，…取出前1＋2＋3＋…＋n ＝n n ＋12项后再求和得到，且取出的最后一项为an n ＋12－1，故所求数列的前n 项和为S n ＝1＋a ＋a 2＋a 3＋…＋a n n ＋12－1；当a ＝1时，S n ＝n n ＋12；当a ≠1时，S n ＝1－an n ＋12－1·a 1－a＝1－an n ＋121－a.点评题目中所给数列实际上并不是等比数列，求和时需要灵活转化为求一个等比数列的前n n ＋12项的和，由于公比为字母a ，需要分类讨论．2.分组转化求和方法要领：分组转化求和是将通项变形拆分为几个数列的和与差，分组进行求和、拆分后的数列多为等差数列或等比数列．例3已知数列{a n }的通项为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n n 为奇数，2n2n 为偶数，S n 为数列{a n }的前n 项和，求S n .解由a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n n 为奇数，2n2n 为偶数可知，数列{a n }的奇数项成等差数列，公差d ＝2；偶数项成等比数列，公比q ＝2，所以当n 为偶数时，S n ＝(a 1＋a 3＋…＋a n －1)＋(a 2＋a 4＋…＋a n )＝[1＋3＋…＋(n －1)]＋(21＋＋ (2)2)＝n 24＋2n ＋22－2；当n 为奇数时，S n ＝S n －1＋a n ＝n －124＋2n ＋12－2＋n ＝n ＋124＋2n ＋12－2.例4数列{a n }中，a 1＝3，a n ＋a n －1＋2n －1＝0 (n ∈N *且n ≥2)． (1)求a 2、a 3的值；(2)证明：数列{a n ＋n }是等比数列，并求{a n }的通项公式； (3)求数列{a n }的前n 项和S n .(1)解∵a 1＝3，a n ＋a n －1＋2n －1＝0 (n ∈N *且n ≥2)， ∴a 2＝－a 1－4＋1＝－6，a 3＝－a 2－6＋1＝1. (2)证明∵a n ＋a n －1＋2n －1＝0， ∴a n ＋n ＋[a n －1＋(n －1)]＝0， ∴a n ＋n ＝－[a n －1＋(n －1)]； ∴a n ＋na n －1＋n －1＝－1 (n ≥2)．∴数列{a n ＋n }是首项为a 1＋1＝4，公比为－1的等比数列． ∴a n ＋n ＝(a 1＋1)·(－1)n －1＝4·(－1)n －1，即a n ＝4×(－1)n －1－n .(3)解∵a n ＝4×(－1)n －1－n ，∴S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n＝[4×(－1)0－1]＋[4×(－1)1－2]＋[4×(－1)2－3]＋…＋[4×(－1)n －1－n ]＝4×[(－1)0＋(－1)1＋…＋(－1)n －1]－(1＋2＋3＋…＋n )＝2[1－(－1)n ]－n n ＋12.点评通过对通项公式恒等变形化成几个基本数列求和，这是数列求和的一个基本思想． 3．裂项相消求和方法要领：常见的拆项公式有 ①1n n ＋1＝1n －1n ＋1；②1nn ＋k ＝1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋k ； ③12n －12n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1；④1n ＋n ＋1＝n ＋1－n ； ⑤1n n ＋1n ＋2＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1nn ＋1－1n ＋1n ＋2；⑥2n2n－12n ＋1－1＝12n －1－12n ＋1－1. 例5已知S n ＝112·32＋232·52＋352·72＋…＋n2n －12·2n ＋12，求证：19≤S n <18.证明设a n ＝n2n －12·2n ＋12＝18⎣⎢⎡⎦⎥⎤12n －12－12n ＋12， 所以S n ＝112·32＋232·52＋352·72＋…＋n2n －12·2n ＋12＝18⎝ ⎛⎭⎪⎫112－132＋18⎝ ⎛⎭⎪⎫132－152＋18⎝ ⎛⎭⎪⎫152－172＋… ＋18⎣⎢⎡⎦⎥⎤12n －12－12n ＋12＝18⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－12n ＋12.∵12n ＋12>0，∴S n <18.又∵S n ≥S 1＝19.∴19≤S n <18.例6等差数列{a n }的各项均为正数，a 1＝3，前n 项和为S n ，{b n }为等比数列，b 1＝1，且b 2S 2＝64，b 3S 3＝960. (1)求a n 与b n ； (2)求1S 1＋1S 2＋…＋1S n.解(1)设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ， 则d 为正数，a n ＝3＋(n －1)d ，b n ＝q n －1，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧S 2b 2＝6＋d q ＝64，S 3b 3＝9＋3d q 2＝960，解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝2，q ＝8或⎩⎪⎨⎪⎧d ＝－65，q ＝403(舍去)．故a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1，b n ＝8n －1.(2)S n ＝3＋5＋…＋(2n ＋1)＝n (n ＋2)．所以1S 1＋1S 2＋…＋1S n＝11×3＋12×4＋13×5＋…＋1n n ＋2＝12(1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －1n ＋2) ＝12⎝⎛⎭⎪⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2＝34－2n ＋32n ＋1n ＋2.点评拆项成差的目的在于大量抵消中间的项，使前n 项和S n 的表达式得以简化．对于一些拆项的方法不要死记硬背，关键是观察通项a n 的特征结构进行代数恒等变形． 4．奇偶并项求和方法要领：当通项中含有符号因子(－1)n或(－1)n ＋1时，数列中相邻两项的符号异号，邻项合并后若规律明显，易于求和，可以考虑相邻两项合并后求和．由于并项的需要，常常对n 的奇偶性进行分类讨论．例7已知函数f (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧n 2当n 为奇数时，－n 2当n 为偶数时，且a n ＝f (n )＋f (n ＋1)，求a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100.解由题意，得a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100＝12－－＋32＋32－42－42＋52＋…＋992－1002－1002＋1012＝－(1＋2)＋(3＋2)－…－(99＋100)＋(101＋100) ＝－(1＋2＋…＋99＋100)＋(2＋3＋…＋100＋101) ＝－1＋101＝100.例8等比数列{a n }中，a 1，a 2，a 3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a 1，a 2，a 3中的任何两个数不在下表的同一列．第一列 第二列 第三列 第一行 3 2 10 第二行 6 4 14 第三行9818(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足：b n ＝a n ＋(－1)nln a n ，求数列{b n }的前n 项和S n . 解(1)当a 1＝3时，不合题意；当a 1＝2时，当且仅当a 2＝6，a 3＝18时，符合题意； 当a 1＝10时，不合题意．因此a 1＝2，a 2＝6，a 3＝18. 所以公比q ＝3. 故a n ＝2·3n －1(n ∈N *)．(2)因为b n ＝a n ＋(－1)nln a n ＝2·3n －1＋(－1)n ln(2·3n －1)＝2·3n －1＋(－1)n[ln 2＋(n －1)ln 3]＝2·3n －1＋(－1)n(ln 2－ln 3)＋(－1)nn ln 3，所以S n ＝2(1＋3＋…＋3n －1)＋[－1＋1－1＋…＋(－1)n]·(ln 2－ln 3)＋[－1＋2－3＋…＋(－1)nn ]ln 3. 所以当n 为偶数时，S n ＝2×1－3n1－3＋n 2ln 3＝3n＋n 2ln 3－1；当n 为奇数时，S n ＝2×1－3n1－3－(ln 2－ln 3)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n －12－n ln 3＝3n －n －12ln 3－ln 2－1.综上所述，S n＝⎩⎪⎨⎪⎧3n＋n2ln 3－1，n 为偶数，3n－n －12ln 3－ln 2－1， n 为奇数.点评求数列{a n }的前n 项和S n 时，若含有符号因子(－1)n，一般要对n 按奇数、偶数两种情况讨论．5．错位相减求和方法要领：一般地，如果数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，求数列{a n ·b n }的前n 项和时，可采用错位相减法求和．在写出“S n ”与“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便于下一步准确写出“S n －qS n ”的表达式． 例9化简：S n ＝n ＋(n －1)×2＋(n －2)×＋…＋2×2n －2＋2n －1.解S n ＝n ＋(n －1)×2＋(n －2)×＋…＋2×2n －2＋2n －1两边同时乘以2得到，2S n ＝n ×2＋(n －1)×＋…＋3×2n －2＋2×2n －1＋2n∴S n ＝－n ＋(21＋＋…＋2n －1＋2n)＝21－2n1－2－n ＝2n ＋1－n －2.例10已知＝⎩⎪⎨⎪⎧85n －35n ⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1当n 为奇数时，－85n －35n ⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1当n 为偶数时，S n ＝c 1＋c 2＋c 3＋c 4＋…＋，求S n .解当n 为奇数时，S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫85－2×85＋3×85－4×85＋…＋85n －35[1×⎝ ⎛⎭⎪⎫230＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫231＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋4×⎝ ⎛⎭⎪⎫233＋…＋n ⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1]＝4n ＋15－35[1×⎝ ⎛⎭⎪⎫230＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫231＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋4×⎝ ⎛⎭⎪⎫233＋…＋n ⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1]； 当n 为偶数时，S n ＝[85－2×85＋3×85－4×85＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－85n ]－35[1×⎝ ⎛⎭⎪⎫230＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫231＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋4×⎝ ⎛⎭⎪⎫233＋…＋n ⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1] ＝－4n 5－35[1×⎝ ⎛⎭⎪⎫230＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫231＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋4×⎝ ⎛⎭⎪⎫233＋…＋n ⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1]．令T n ＝1×⎝ ⎛⎭⎪⎫230＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫231＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋4×⎝ ⎛⎭⎪⎫233＋…＋n ⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1，①则23T n ＝1×⎝ ⎛⎭⎪⎫231＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫233＋4×⎝ ⎛⎭⎪⎫234＋…＋n ⎝ ⎛⎭⎪⎫23n，② ①－②，得13T n ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫231＋⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋⎝ ⎛⎭⎪⎫233＋⎝ ⎛⎭⎪⎫234＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1－n ⎝ ⎛⎭⎪⎫23n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫23n1－23－n ⎝ ⎛⎭⎪⎫23n＝3－(3＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎫23n ，∴T n ＝9－(9＋3n )⎝ ⎛⎭⎪⎫23n.因此S n＝⎩⎪⎨⎪⎧4n －235＋9n ＋35⎝ ⎛⎭⎪⎫23n当n 为奇数时，－4n ＋275＋9n ＋35⎝ ⎛⎭⎪⎫23n当n 为偶数时.点评利用错位相减法求和时，转化为等比数列求和．若公比是个参数(字母)，则应先对参数加以讨论，一般情况下分q ＝1和q ≠1两种情况分别求和．9提高运算速度的七个妙招数列问题的灵活性、技巧性较强，因此，在解数列问题时必须研究技巧与策略，以求做到：选择捷径、合理解题，本文归纳了七种常见策略． 第一招活用概念数列的概念是求解数列问题的基础，灵活运用数列的概念，往往能出奇制胜．例1已知{a n }是公差为2的等差数列，若a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 97＝100，那么a 2＋a 5＋a 8＋…＋a 98＝________.解析若先求出a 1，再求和，运算较为烦琐．注意到两个和式中的项数相等，且均是等差数列．由于(a 2＋a 5＋a 8＋…＋a 98)－(a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 97)＝(a 2－a 1)＋(a 5－a 4)＋(a 8－a 7)＋…＋(a 98－a 97)＝33d ＝66，所以a 2＋a 5＋a 8＋…＋a 98＝100＋66＝166. 答案166点评活用等差、等比数列的概念，沟通有关元素间的内在联系，使运算得以简化． 第二招巧用性质数列的性质是数列的升华，巧妙运用数列的性质，往往可以使问题简单明了，解题更快捷方便．例2各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 7a 8＝9，则log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 14＝________.解析若设出a 1和q ，利用基本量法求解，显然运算量较大．若利用性质a 1a 14＝a 2a 13＝…＝a 7a 8＝9，则a 1a 2…a 14＝(a 7a 8)7＝97，所以log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 14＝log 397＝14.答案14点评数列的性质是对数列内涵的揭示与显化，是求解数列问题的有力武器． 第三招灵用变式在求解数列问题过程中，可以利用等差或等比数列的变形公式来处理有关问题． 例3已知等差数列{a n }中，a 3＝3，a 10＝388，则该数列的通项a n ＝________.解析利用等差数列的变形公式求得公差，再结合等差数列的变形公式求得通项．设等差数列{a n }的公差为d ，则d ＝a 10－a 310－3＝388－37＝55，a n ＝a 3＋(n －3)d＝3＋(n －3)×55＝55n －162. 答案55n －162点评常规方法是联立方程组，求出首项与公差，再由数列的通项公式求解．而利用变形公式可以回避求解数列的首项，直接求解公差，再结合变形公式求得通项． 第四招整体考虑通过研究问题的整体形式、整体结构，避免局部运算的困扰，达到简捷解决问题的目的． 例4设S n 表示等差数列{a n }的前n 项和，且S 9＝18，S n ＝240，若a n －4＝30，试求n 的值． 解常规解法是设出基本量a 1，d ，列方程组求解，但较烦琐；若能利用整体思维，则可少走弯路，使计算合理又迅速．由S 9＝18，即9a 1＋a 92＝18，则a 1＋a 9＝4＝2a 5，故a 5＝2，又S n ＝n a 1＋a n2＝n a 5＋a n －42＝n 2＋302＝240，所以n ＝15.点评本题解法不在a 1，d 上做文章，而是将S n 变形整理用a 5＋a n －4表示，使解题过程大大简化．第五招数形结合数列是一类特殊的函数，所以可以借助函数的图象，通过数形结合解数列问题． 例5在公差d <0的等差数列{a n }中，已知S 8＝S 18，则此数列的前多少项的和最大？ 解用数形结合法解等差数列问题应抓住两个方面：①通项a n 联系一次函数，对于等差数列的有关问题通过构造点共线模型，可简化解题过程；②前n 项和S n 联系二次函数，利用二次函数的对称性及最值． 设f (x )＝xa 1＋x x －12d ＝d 2x 2＋(a 1－d2)x ，则(n ，S n )在二次函数的图象上，由于S 8＝S 18，d <0，所以y ＝f (x )的对称轴是x ＝8＋182＝13，且开口向下，故当x ＝13时，f (x )取得最大值， 故数列{a n }的前13项的和最大．点评从直观性角度研究数列问题，可使问题变得生动形象，易于求解． 第六招分解重组在处理数列求和问题时，若数列的通项公式可分解为几个容易求和的部分，则对数列的前n 项和进行重新分解，分别求和．例6在数列{a n }中，已知a 1＝56，a 2＝1936，且{b n }是公差为－1的等差数列，b n ＝log 2(a n ＋1－13a n )，{}是公比为13的等比数列，＝a n ＋1－12a n ，求数列{a n }的通项公式a n 及前n 项和S n .解由已知条件，事先无法估计a n 解析式的结构，因此不能用待定系数法求a n .但是利用等差数列{b n }和等比数列{}可以得出关于a n ＋1和a n 的两个等式，消去a n ＋1，即可得a n .再根据a n 求解对应的前n 项和． 因为a 1＝56，a 2＝1936，所以b 1＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1936－13×56＝－2， c 1＝1936－12×56＝132，又{b n }是公差为－1的等差数列，{}是公比为13的等比数列，所以⎩⎪⎨⎪⎧b n ＝－n －1，＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＋1，即⎩⎪⎨⎪⎧log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋1－13a n＝－n －1，a n ＋1－12a n＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＋1，则⎩⎪⎨⎪⎧a n ＋1－13a n ＝12n ＋1，an ＋1－12a n ＝13n ＋1，得a n ＝32n －23n ，所以S n ＝3·(12＋1＋…＋12n )－2·(13＋132＋…＋13n )＝2－32n ＋13n .点评通项虽不是等比数列，但可拆为两个等比数列的和的形式，再分别利用等比数列的求和公式求和． 第七招合理化归化归意识是把待解决的问题转化为已有知识范围内问题的一种数学意识，包括将复杂式子化简、为达某一目的对数学表达式进行变形、从目标入手进行分析等． 例7数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝n ＋2nS n (n ＝1,2,3，…)，证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等比数列． 证明要证明数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等比数列，必须把问题化成与S n n这个整体有关的问题，通过等比数列的定义加以证明．由于a n ＋1＝n ＋2nS n ，a n ＋1＝S n ＋1－S n ，则(n ＋2)S n ＝ n (S n ＋1－S n )，整理得nS n ＋1＝2(n ＋1)S n ，即S n ＋1n ＋1＝2S nn .又S n ≠0，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是以1为首项、2为公比的等比数列．点评将数列中的复杂问题进行转化，关键是找准方向，再利用已知等差或等比数列的相关知识求解．10公式a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1n ＝1，S n －S n －1n ≥2在解数列综合题中的重要应用由数列前n 项和S n 的含义可知，S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，从而得到公式a n ＝S n －S n －1 (n ≥2)对任意数列都成立．在数列一章中，这是一个不太起眼的小公式，但是就是这样一个微不足道的小公式在求解数列综合题中发挥着重要的作用，也是近几年考试中高频考查的公式之一．下面结合例子谈一下该公式的重要用途． 1．已知S n ＝f (n )，求a n例1数列{a n }的前n 项和S n 满足关系lg (S n ＋1)＝n (n ＝1,2,3，…)，试证数列{a n }是等比数列．分析先由lg (S n ＋1)＝n ，求出S n ，再由公式a n ＝S n －S n －1(n ≥2)求出a n ，最后利用等比数列定义证明．证明由已知可得S n ＝10n－1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(10n－1)－(10n －1－1)＝9·10n －1.又当n ＝1时，a 1＝S 1＝9也满足上述通项公式， ∴数列{a n }的通项公式为a n ＝9·10n －1.而当n ≥2时，a n a n －1＝9·10n －19·10n －2＝10，为一常数，∴数列{a n }是以9为首项， 10为公比的等比数列． 2．已知S n ＋1＝f (S n )，求a n 或S n例2已知数列{a n }的首项a 1＝5，前n 项和为S n ，且S n ＋1＝2S n ＋n ＋5，n ∈N *. (1)证明：数列{a n ＋1}是等比数列； (2)求{a n }的通项公式以及S n .分析注意到S n ＋1＝2S n ＋n ＋5，得到S n ＝2S n －1＋n ＋4，然后两式相减就会得到a n ＋1与a n 的递推关系，从而使问题(1)获证，在第(1)问结论的基础上易求a n 及S n . (1)证明由已知S n ＋1＝2S n ＋n ＋5，n ∈N *， 可得当n ≥2时，S n ＝2S n －1＋n ＋4. 两式相减得S n ＋1－S n ＝2(S n －S n －1)＋1， 即a n ＋1＝2a n ＋1，从而a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)． 当n ＝1时，S 2＝2S 1＋1＋5， 所以a 2＋a 1＝2a 1＋6， 又a 1＝5，所以a 2＝11， 从而a 2＋1＝2(a 1＋1)，故总有a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)，n ∈N *， 又a 1＝5，a 1＋1≠0，从而a n ＋1＋1a n ＋1＝2， 即数列{a n ＋1}是首项为6，公比为2的等比数列． (2)解由(1)得a n ＋1＝6·2n －1，所以a n ＝6·2n －1－1，于是S n ＝6·1－2n1－2－n ＝6·2n－n －6.3．已知S n ＝f (a n )，求a n 或S n例3设A n 为数列{a n }的前n 项和，A n ＝32(a n －1) (n ∈N *)，数列{b n }的通项公式为b n ＝4n ＋3(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)将数列{a n }、{b n }的公共项，按它们在原数列中的先后顺序排成一个新的数列{d n }，证明数列{d n }的通项公式为d n ＝32n ＋1(n ∈N *)．分析(1)一般地，当已知条件中含有a n 与S n 的混合关系时，常需要运用关系式a n ＝S n －S n －1，先将已知条件转化为只含a n 或S n 的关系式，然后再求解．(2)一般地，一个等差数列与一个等比数列若存在公共项，则它们的公共项按原来的顺序构成一个新的等比数列．(1)解由已知A n ＝32(a n －1) (n ∈N *)．当n ＝1时，a 1＝32(a 1－1)，解得a 1＝3.当n ≥2时，a n ＝A n －A n －1＝32(a n －a n －1)，由此解得a n ＝3a n －1，即a na n －1＝3 (n ≥2)． 所以数列{a n }是首项为3，公比为3的等比数列， 故a n ＝3n (n ∈N *)．(2)证明由计算可知a 1，a 2不是数列{b n }中的项．因为a 3＝27＝4×6＋3，所以d 1＝27是数列{b n }中的第6项．设a k ＝3k是数列{b n }中的第m 项，则3k＝4m ＋3 (k ，m ∈N *)， 因为a k ＋1＝3k ＋1＝3·3k＝3(4m ＋3)＝4(3m ＋2)＋1，所以a k ＋1不是数列{b n }中的项． 而a k ＋2＝3k ＋2＝9·3k＝9(4m ＋3)＝4(9m ＋6)＋3，所以a k ＋2是数列{b n }中的项．由以上讨论可知d 1＝a 3，d 2＝a 5，d 3＝a 7，…，d n ＝a 2n ＋1. 所以数列{d n }的通项公式是d n ＝a 2n ＋1＝32n ＋1(n ∈N *)．4．已知a n ＝f (S n )，求a n 或S n例4已知数列{a n }中，a 1＝1，前n 项的和为S n ，对任意的自然数n ≥2，a n 是3S n －4与2－32S n －1的等差中项．(1)求通项a n ； (2)求S n . 分析由已知能推出a n ＋1a n ＝－12，但是a n ＋1a n ＝－12成立的前提是n ≥2，只能说明数列从第2项起为等比数列，至于整个数列{a n }是否为等比数列还需验证a 2a 1是否等于－12，这种在解答过程中忽视数列“定义域”限制而致错的题目频率是非常高的，应引起足够的重视． 解(1)由已知，得当n ≥2时，2a n ＝(3S n －4)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2－32S n －1，① 又a n ＝S n －S n －1，②得a n ＝3S n －4(n ≥2)，a n ＋1＝3S n ＋1－4， 以上两式相减得，a n ＋1－a n ＝3a n ＋1， ∴a n ＋1a n ＝－12，∴a 2，a 3，…，a n ，…成等比数列， 其中a 2＝3S 2－4＝3(1＋a 2)－4. 即a 2＝12，q ＝－12，∴当n ≥2时，a n ＝a 2qn －2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1， 即a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1 n ＝1，－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1n ≥2.(2)当n ≥2时，S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1＋(a 2＋…＋a n ) ＝1＋12[1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1]1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝1＋13⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1.当n ＝1时，S 1＝1＝1＋13⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－120也符合上述公式．即S n ＝43－13⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1.11盘点数列中的易错问题1．对数列的概念理解不准而致错例1已知数列{a n }是递增数列，且对于任意的n ∈N *，a n ＝n 2＋λn 恒成立，则实数λ的取值范围是________．[错解]因为a n ＝n 2＋λn 是关于n 的二次函数，且n ≥1，所以－λ2≤1，解得λ≥－2.[点拨]数列是以正整数N *(或它的有限子集{1,2，…，n })为定义域的函数，因此它的图象只是一些孤立的点．[正解1]设f (x )＝x 2＋λx ，则其图象的对称轴为x ＝－λ2，因为a n ＝n 2＋λn ，所以点(n ，a n )在f (x )的图象上，由数列{a n }是单调递增数列可知，若－λ2≤1，得λ≥－2；如图所示，当2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－λ2>－λ2－1，即当λ>－3时，数列{a n }也是单调递增的．故λ的取值范围为{λ|λ≥－2}∪{λ|λ>－3}＝{λ|λ>－3}． 即λ>－3为所求的取值范围． [正解2]因为数列{a n }是单调递增数列， 所以a n ＋1－a n >0 (n ∈N *)恒成立． 又a n ＝n 2＋λn (n ∈N *)，所以(n ＋1)2＋λ(n ＋1)－(n 2＋λn )>0恒成立， 即2n ＋1＋λ>0，所以λ>－(2n ＋1) (n ∈N *)恒成立．而当n ∈N *时，－(2n ＋1)的最大值为－3(当n ＝1时)，所以λ>－3即为所求的取值范围．温馨点评利用函数观点研究数列性质时，一定要注意数列定义域是{1，2，3，4，…，n ，…}或其子集这一特殊性，防止因扩大定义域而出错.2．忽视数列与函数的区别而致错例2设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－a x －3，x ≤7，a x －6， x >7，数列{a n }满足a n ＝f (n )，n ∈N *，且数列{a n }是递增数列，则实数a 的取值范围是________．[错解]因为数列{a n }是递增数列，且点(n ，a n )在函数f (x )的图象上，所以分段函数f (x )是递增函数，故实数a 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧3－a >0，a >1，73－a －3<a ，解得94<a <3.[点拨]上述解法，把数列单调递增完全等同于所在的函数单调递增，忽视了二者的区别，事实上，数列单调递增，所在函数不一定单调． [正解]由题意，得点(n ，a n )分布在分段函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－a x －3，x ≤7，ax －6， x >7的图象上．因此当3－a >0时，a 1<a 2<a 3<…<a 7；当a >1时，a 8<a 9<a 10<…；为使数列{a n }递增，还需a 7<a 8. 故实数a 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧3－a >0，a >1，f 7<f 8，解得2<a <3，故实数a 的取值范围是(2,3)．温馨点评数列单调递增，所在函数不一定单调递增，防止知识混淆而导致解题结果错误. 3．公式使用条件考虑不周全而致错例3已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝3n＋2n ＋1，求a n . [错解]a n ＝S n －S n －1＝(3n＋2n ＋1)－[3n －1＋2(n －1)＋1]＝2·3n －1＋2.[点拨]公式a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1n ＝1，S n －S n －1 n ≥2是分段的，因为n ＝1时，S n －1无意义．在上述解答中，应加上限制条件n ≥2，然后验证当n ＝1时的值是否适合当n ≥2时的表达式． [正解]a 1＝S 1＝6；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n＋2n ＋1)－[3n －1＋2(n －1)＋1]＝2·3n －1＋2.由于a 1不适合此式，故a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧6n ＝1，2·3n －1＋2 n ≥2.。
高中数学 第二章 数列 第二课时 数 列(二)教案 苏教版必修5
第二课时数列(二)教学目标：了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同，会根据数列的递推公式写出数列的前n项；提高学生的推理能力，培养学生的应用意识.教学重点：1.数列的递推公式.2.根据数列的递推公式写出数列的前n项.教学难点：理解递推公式与通项公式的关系.教学过程：Ⅰ.复习回顾上节课我们在学习函数的基础上学习了数列及有关概念，下面先来回顾一下上节课所学的主要内容.数列的定义、项的定义、数列的表示形式、数列的通项公式及数列分类等等.Ⅱ.讲授新课我们为什么要学习有关数列的知识呢？那是因为在现实生活中，我们经常会遇到有关数列的问题，学习它，研究它，主要是想利用它来解决一些实际问题，让其为我们的生活更好地服务.也就是说，我们所学知识都来源于实践，最后还要应用于生活.下面，我们继续探讨有关数列的问题.首先，请同学们来看一幅钢管堆放示意图.模型一：自上而下：第一层钢管数为4；即：1↔4＝1＋3,第二层钢管数为5；即：2↔5＝2＋3第三层钢管数为6；即：3↔6＝3＋3,第四层钢管数为7；即：4↔7＝4＋3第五层钢管数为8；即：5↔8＝5＋3,第六层钢管数为9；即：6↔9＝6＋3第七层钢管数为10；即：7↔10＝7＋3若用a n表示自上而下每一层的钢管数，n表示层数，则可得出每一层的钢管数可构成一数列，即：4，5，6，7，8，，9，10，且a n＝n＋3(1≤n≤7，n∈N*)同学们运用每一层的钢管数与其层数之间的对应规律建立了数列模型，这完全正确，运用这一关系，会很快捷地求出每一层的钢管数.这会给我们的统计与计算带来很多方便.模型二：自上而下第一层钢管数为4；第二层钢管数为5＝4＋1；第三层钢管数为6＝5＋1；第四层钢管数为7＝6＋1；第五层钢管数为8＝7＋1；第六层钢管数为9＝8＋1；第七层钢管数为10＝9＋1.即：自上而下每一层的钢管数都比上一层钢管数多1.若用a n表示每一层的钢管数，则a1＝4；a2＝5＝4＋1＝a1＋1；a3＝6＝5＋1＝a2＋1；a4＝7＝6＋1＝a3＋1；a5＝8＝7＋1＝a4＋1；a6＝9＝8＋1＝a5＋1；a7＝10＝9＋1＝a6＋1；即：a n＝a n－1＋1(2≤n≤7，n∈N*)对于上述所求关系，若知其第1项，即可求出其他各项.看来，这一关系也较为重要.这一关系，咱们把它称为递推关系，表示这一关系的式子，咱们把之称为递推公式.1.定义递推公式：如果已知数列{a n }的第1项(或前n 项)，且任一项a n 与它的前一项a n －1(或前n 项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.说明：数列的递推公式揭示了数列的任一项a n 与它的前一项a n －1（或前n 项）的关系，也是给出数列的一种重要方法.下面，我们结合例子来体会一下数列的递推公式.2.例题讲解［例1］已知数列{a n }的第1项是1，以后的各项由公式a n ＝1＋1a n －1 给出，写出这个数列的前5项.分析：题中已给出{a n }的第1项即a 1＝1，递推公式：a n ＝1＋1a n －1解：据题意可知：a 1＝1，a 2＝1＋1a 1 ＝2，a 3＝1＋1a 2＝32 ，a 4＝1＋1a 3 ＝53 ，a 5＝85.［例2］已知数列{a n}中，a1＝1，a2＝2，a n＝3a n－1＋a n－2(n≥3)，试写出数列的前4项.解：由已知得a1＝1，a2＝2，a3＝3a2＋a1＝7，a4＝3a3＋a2＝23Ⅲ.课堂练习写出下面数列{a n}的前5项.1.a1＝5，a n＝a n－1＋3(n≥2)解法一：a1＝5；a2＝a1＋3＝8；a3＝a2＋3＝11；a4＝a3＋3＝14；a5＝a4＋3＝17.评析：由已知中的a1与递推公式a n＝a n－1＋3(n≥2)，依次递推出该数列的前5项，这是递推公式的最基本的应用.是否可利用该数列的递推公式而求得其通项公式呢？请同学们再仔细观察此递推公式.解法二：由a n＝a n－1＋3(n≥2)，得a n－a n－1＝3则a2－a1＝3，a3－a2＝3，a4－a3＝3，a5－a4＝3，……，a n－1－a n－2＝3，a n－a n－1＝3将上述n －1个式子左右两边分别相加，便可得a n －a 1＝3(n －1)，即a n ＝3n ＋2(n ≥2)又由a 1＝5满足上式，∴a n ＝3n ＋2(n ≥1)为此数列的通项公式.2.a 1＝2，a n ＝2a n －1(n ≥2)解法一：由a 1＝2与a n ＝2a n －1(n ≥2)得：a 1＝2，a 2＝2a 1＝4，a 3＝2a 2＝8，a 4＝2a 3＝16，a 5＝2a 4＝32.解法二：由a n ＝2a n －1(n ≥2)，得a n a n －1＝2(n ≥2)，且a 1＝2则：a 2a 1 ＝2，a 3a 2 ＝2，a 4a 3 ＝2，……a n －1a n －2 ＝2， a n a n －1 ＝2若将上述n －1个式子左右两边分别相乘，便可得 a n a 1＝2n －1 即：a n ＝2n (n ≥2)，又由a 1＝2满足上式∴a n ＝2n(n ≥1)为此数列的通项公式.∴a 2＝22＝4，a 3＝23＝8，a 4＝24＝16，a 5＝25＝32.3.a1＝1，a n＝a n－1＋1a n－1(n≥2)解：由a1＝1，a n＝a n－1＋1a n－1(n≥2),得a1＝1，a2＝a1＋1a1＝2,a3＝a2＋1a2＝52,a4＝a3＋1a3＝52＋25＝2910,a5＝a4＋1a4＝2910＋1029＝941290Ⅳ.课时小结这节课我们主要学习了数列的另一种给出方法，即递推公式及其用法，课后注意理解.另外，还要注意它与通项公式的区别在于：1.通项公式反映的是项与项数之间的关系，而递推公式反映的是相邻两项(或n项)之间的关系.2.对于通项公式，只要将公式中的n依次取1，2，3…即可得到相应的项.而递推公式则要已知首项(或前n项)，才可依次求出其他的项.Ⅴ.课后作业课本P 32习题 4，5，6数 列(二)1．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n +1＝2a n a n ＋2(n ∈N *), 则a 5等于 （ ）A. 25B. 13C. 23D. 122．已知数列 3 ，7 ，11 ，15 ，…，则5 3 是数列的 （ ）A.第18项B.第19项C.第17项D.第20项3．在数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，……中，a 100等于 （ ）A.13B.100C.10D.144．在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝5，a n +2＝a n +1－a n (n ∈N *)，则a 1000等于 （ ）A.5B.－5C.1D.－15．设{a n}是首项为1的正项数列，且(n＋1)a n+12－na n2＋a n+1a n＝0(n∈N*)，则它的通项公式a n ＝ .6．根据下列各数列的首项和递推公式，分别写出它的前五项，并归纳出通项公式：（1）a1＝0，a n+1＝a n＋(2n－1)(n∈N*)；(2)a1＝1，a n+1＝2a na n＋2(n∈N*)7．若a1＝2，a2＝4，a n＝lo g2(a n－1·a n－2)(n≥3)，写出{a n}的前4项.8．若a1＝3，a n＝a n－1＋2a n－1(n≥2)，b n＝1a n，写出b n的前3项.数列(二)答案1．B 2．B 3．D 4．A5．解法一：已知等式可化为：(a n+1＋a n)·[（n＋1）a n+1－na n]＝0∵a n>0(n∈N*)，∴(n＋1)a n+1－na n＝0即a n +1＝nn ＋1 a n ① 反复利用递推关系，得a n ＝n －1n a n －1＝n －1n n －2n －1 a n －2＝n －1n n －2n －1 n －3n －2 a n －3＝…＝n －1n n －2n －1 n －3n －2 ·…·12 a 1＝1n a 1＝1n解法二：前面同解法一.由①，得a 2＝12 a 1＝12 ，a 3＝23 a 2＝13 ，a 4＝34a 3＝14，… 归纳，得a n ＝1n(n ∈N *). 评述：本题主要考查递推公式.6．根据下列各数列的首项和递推公式，分别写出它的前五项，并归纳出通项公式：（1）a 1＝0，a n +1＝a n ＋(2n －1)(n ∈N *)；(2)a 1＝1，a n +1＝2a n a n ＋2(n ∈N *) 解：（1）a 1＝0；a 2＝a 1＋1＝1；a 3＝a 2＋3＝4；a 4＝a 3＋5＝9；a 5＝a 4＋7＝16；a 1＝02；a 2＝12；a 3＝22；a 4＝32；a 5＝42.可归纳出a n ＝(n －1)2.(2)a 1＝1，a 2＝2a 1a 1＋2 ＝23 ，a 3＝2a 2a 2＋2 ＝12，a 4＝2a 3a 3＋2 ＝25 ，a 5＝2a 4a 4＋2 ＝13， a 1＝1＝22 ；a 2＝23 ；a 3＝12 ＝24 ；a 4＝25 ；a 5＝13 ＝26；由此可见：a n ＝2n ＋1. 评述：适当配凑是本题进行归纳的前提，从整体上把握一件事情是现代数学的重要手段，加强类比是探索某些规律的常用方法之一.7．若a 1＝2，a 2＝4，a n ＝lo g 2(a n －1·a n －2)(n ≥3)，写出{a n }的前4项.解：∵a 1＝2，a 2＝4，a n ＝lo g 2(a n －1·a n －2)(n ≥3) ∴a 3＝lo g 2(a 2·a 1)＝lo g 2(2×4)＝3，a 4＝lo g 2(a 3·a 2)＝lo g 212＝2＋lo g 23.8．若a 1＝3，a n ＝a n －1＋2a n －1 (n ≥2)，b n ＝1a n，写出b n 的前3项.解：∵a1＝3，a n＝a n－1＋2a n－1(n≥2)，∴a2＝a1＋2a1＝3＋23＝113.a3＝a2＋2a2＝113＋2113＝113＋611＝13933.∵b n＝1a n, ∴b1＝1a1＝13，b2＝1a2＝311，b3＝1a3＝33139.。
苏教版高中数学必修五学案第二章第、课时——数列复习课课时教师
学习札记第15、16课时 数列复习课(2课时)【学习导航】知识网络【自学评价】 （一）数列的概念数列的定义（一般定义，数列与函数）、数列的表示法。
数列的通项公式。
求数列通项公式的一个重要方法：对于任一数列}{n a ,其通项n a 和它的前n 项和n s 之间的关系是 ⎩⎨⎧≥-==-)2()1(11n s s n s a n nn（二）等差数列和等比数列的概念、有关公式和性质 1.等差数列(1)定义(2)通项公式n a =1a +（ ）d=k a +（ ）d=dn +1a -d(3)求和公式nd a n d d n n na a a n s n n )2(22)1(2)(1211-+=-+=+=(4)中项公式A=2b a + 推广：2n a =(5)性质①若m+n=p+q 则②若}{n k 成A.P （其中N k n ∈）则}{n k a 也为A.P 。
③n n n n n s s s s s 232,,-- 成 数列。
等比数列等差数列表示方法图像与函数的关系前n 项和通项定义数列正整数集上函数及性质数列知识结构学习札记部分无理数列、含阶乘的数列等。
3. :适用于{}n n b a 其中{}n a 是等差数列，{}n b 是各项不为0的等比数列。
4.倒序相加法: 类似于等差数列前n 项和公式的推导方法。
5.常用结论1） 1+2+3+...+n = _________ 2）1+3+5+...+(2n-1) = 3）_________n +++=L 33312 4） ___________n ++++=L 22221235） __________()n n =+11(_______)()n n =+11226） (______)()p q pq q p =<-11【精典范例】一 函数方程思想在研究数列问题中的运用【例1】（1）首项为正数的等差数列｛a n ｝，其中S 3=S 11，问此数列前几项和最大？ （2）等差数列｛a n ｝中，S 10=100，S 20=300，求 S 30。
高中数学 第二章数列 数列复习2导学案(教师版) 苏教版必修5
必修5 数列复习小结 第2课时 第 20 课时一、学习目标（1）进一步熟练掌握等差等比数列的通项公式和前n 项和公式；（2）提高分析、解决问题能力．二、例题探究例1（2009浙江文）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，2n S kn n =+，*n N ∈，其中k 是常数．I ） 求1a 及n a ；II ）若对于任意的*m N ∈，m a ，2m a ，4m a 成等比数列，求k 的值． 解（Ⅰ）当1,111+===k S a n ， 12)]1()1([,2221+-=-+--+=-=≥-k kn n n k n kn S S a n n n n （*） 经验，,1=n （*）式成立， 12+-=∴k kn a n（Ⅱ）m m m a a a 42,, 成等比数列，m m m a a a 422.=∴，即)18)(12()14(2+-+-=+-k km k km k km ，整理得：0)1(=-k mk ， 对任意的*∈N m 成立， 10==∴k k 或例 2 (2009山东卷文)等比数列{n a }的前n 项和为n S ， 已知对任意的n N +∈，点(,)n n S ，均在函数(0x y b r b =+>且1,,b b r ≠均为常数)的图像上.（1）求r 的值； （11）当b=2时，记 1()4n nn b n N a ++=∈ 求数列{}n b 的前n 项和n T解:因为对任意的n N +∈,点(,)n n S ，均在函数(0x y b r b =+>且1,,b b r ≠均为常数)的图像上.所以得n n S b r =+,当1n =时,11a S b r ==+,当2n ≥时,1111()(1)n n n n n n n n a S S b r b r b b b b ----=-=+-+=-=-,又因为{n a }为等比数列, 所以1r =-, 公比为b , 所以1(1)n n a b b -=-（2）当b=2时，11(1)2n n n a b b --=-=,111114422n n n n n n n b a -++++===⨯ 则234123412222n n n T ++=++++ 3451212341222222n n n n n T +++=+++++ 相减,得23451212111112222222n n n n T +++=+++++- 31211(1)112212212n n n -+⨯-++--12311422n n n +++=-- 所以113113322222n n n n n n T ++++=--=- 【命题立意】:本题主要考查了等比数列的定义,通项公式,以及已知n S 求n a 的基本题型,并运用错位相减法求出一等比数列与一等差数列对应项乘积所得新数列的前n 项和n T .例3.某企业2008年的纯利润为500万元，因设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降.若不能进行技术改造，预测从今年起每年比上一年纯利润减少20万元，今年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造，预测在未扣除技术改造资金的情况下，第n 年（今年为第一年）的利润为500(1+n21)万元（n 为正整数）.（Ⅰ）设从今年起的前n 年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为A n 万元，进行技术改造后的累计纯利润为B n 万元（须扣除技术改造资金），求A n 、B n 的表达式；（Ⅱ）依上述预测，从今年起该企业至少经过多少年，进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润？解: (Ⅰ)依题意知，数列n A 是一个以500为首项，－20为公差的等差数列，所以2(1)480(20)490102n n n A n n n -=+⨯-=-， 2111500(1)500(1)500(1)600222n n B =++++++-＝2111500500()600222nn ++++- ＝11[1()]22500500600112n n -+⨯--＝5005001002n n -- (Ⅱ)依题意得，n n B A >，即2500500100490102n n n n -->-， 可化简得250102n n n <+-， ∴可设n n f 250)(=，2()10g n n n =+- 又+∈N n ，∴可设)(n f 是减函数，)(n g 是增函数，又5050(3)(3)2,(4)(4)8816f g f g =>==<= 则4n =时不等式成立，即4年三、课后作业1.（2007宁夏）已知a b c d ，，，成等比数列，且曲线223y x x =-+的顶点是()b c ，，则ad 等于________22．（2006江西卷）已知等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，若1O a B ＝200OA a OC ＋，且A 、B 、C 三点共线（该直线不过原点O ），则S 200＝_________1003.（2008江苏）将全体正整数排成一个三角形数阵：12 34 5 67 8 9 10．．．．．．．按照以上排列的规律，第n 行（n ≥3）从左向右的第3 个数为．答案262n n-+四、反思总结。
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如有你有帮助，请购买下载，谢谢！1页必修5 数列复习小结 第2课时 第 20 课时一、学习目标（1）进一步熟练掌握等差等比数列的通项公式和前n 项和公式；（2）提高分析、解决问题能力．二、例题探究例1（2009浙江文）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，2n S kn n =+，*n N ∈，其中k 是常数．I ） 求1a 及n a ；II ）若对于任意的*m N ∈，m a ，2m a ，4m a 成等比数列，求k 的值． 解（Ⅰ）当1,111+===k S a n ， 12)]1()1([,2221+-=-+--+=-=≥-k kn n n k n kn S S a n n n n （*） 经验，,1=n （*）式成立， 12+-=∴k kn a n（Ⅱ）m m m a a a 42,, 成等比数列，m m m a a a 422.=∴，即)18)(12()14(2+-+-=+-k km k km k km ，整理得：0)1(=-k mk ， 对任意的*∈N m 成立， 10==∴k k 或例 2 (2009山东卷文)等比数列{n a }的前n 项和为n S ， 已知对任意的n N +∈，点(,)n n S ，均在函数(0x y b r b =+>且1,,b b r ≠均为常数)的图像上.（1）求r 的值； （11）当b=2时，记 1()4n n n b n N a ++=∈ 求数列{}n b 的前n 项和n T解:因为对任意的n N +∈,点(,)n n S ，均在函数(0xy b r b =+>且1,,b b r≠均为常数)的图像上.所以得n n S b r =+, 当1n =时,11a S b r ==+,当2n ≥如有你有帮助，请购买下载，谢谢！2页时,1111()(1)n n n n n n n n a S S b r b r b b b b ----=-=+-+=-=-,又因为{n a }为等比数列, 所以1r =-, 公比为b , 所以1(1)n n a b b -=-（2）当b=2时，11(1)2n n n a b b --=-=, 则234123412222n n n T ++=++++ 相减,得23451212111112222222n n n n T +++=+++++- 所以113113322222n n n n n n T ++++=--=- 【命题立意】:本题主要考查了等比数列的定义,通项公式,以及已知n S 求n a 的基本题型,并运用错位相减法求出一等比数列与一等差数列对应项乘积所得新数列的前n 项和n T .例3.某企业2008年的纯利润为500万元，因设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降.若不能进行技术改造，预测从今年起每年比上一年纯利润减少20万元，今年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造，预测在未扣除技术改造资金的情况下，第n 年（今年为第一年）的利润为500(1+n 21)万元（n 为正整数）.（Ⅰ）设从今年起的前n 年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为A n 万元，进行技术改造后的累计纯利润为B n 万元（须扣除技术改造资金），求A n 、B n 的表达式；（Ⅱ）依上述预测，从今年起该企业至少经过多少年，进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润？解: (Ⅰ)依题意知，数列n A 是一个以500为首项，－20为公差的等差数列，如有你有帮助，请购买下载，谢谢！3页 所以2(1)480(20)490102n n n A n n n -=+⨯-=-， 2111500(1)500(1)500(1)600222n n B =++++++-＝2111500500()600222nn ++++- ＝11[1()]22500500600112n n -+⨯--＝5005001002n n -- (Ⅱ)依题意得，n n B A >，即2500500100490102n n n n -->-， 可化简得250102n n n <+-， ∴可设n n f 250)(=，2()10g n n n =+- 又+∈N n ，∴可设)(n f 是减函数，)(n g 是增函数，又5050(3)(3)2,(4)(4)8816f g f g =>==<= 则4n =时不等式成立，即4年三、课后作业1.（2007宁夏）已知a b c d ，，，成等比数列，且曲线223y x x =-+的顶点是()b c ，，则ad 等于________22．（2006江西卷）已知等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，若1O a B ＝200OA a OC ＋，且A 、B 、C 三点共线（该直线不过原点O ），则S 200＝_________1003.（2008江苏）将全体正整数排成一个三角形数阵：12 34 5 6。
2021年高中数学复习课二数列学案苏教版选修520210607130
2021年高中数学复习课二数列学案苏教版选修520210607130复习课(二)数列等差序列和等比序列的基本运算。
序列的基本操作有许多小问题，但它也可以作为解决方案的第一步命题。
主要研究序列的通用项公式和求和公式的使用，以计算序列中的项目、公差、公共比率和前n个项目的总和。
一般的试题不那么难[考点精要]等差等比数列的基本公式通项公式等差数列等比数列an＝a1＋(n－1)dan＝am＋(n－m)dn?a1＋an?sn＝2an＝a1qn－1an＝amqn－ma1－anqsn＝(q≠1)1－qa1?1－qn?sn＝(q≠1)1－qsn＝－a1qn＋(q≠1)1－q1－qa1前n项和公式n?n－1?sn＝na1＋d2求和公式的函数特征d?d?sn＝n2＋?a1－?n2?2?[典例]成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2,5,13后成为等比数列{bn}中的b3，b4，b5.（1）求序列{BN}的通项公式；5S+（2）序列{BN}的前n项之和为SN。
证明了序列n？这是一个等比序列4??【解答】（1）将三个正数按等差顺序设置为A-D、A、A+D。
根据问题的含义，A-D+A+A+D=15，A=5所以{bn}中的b3，b4，b5依次为7－d,10,18＋d.依题意，(7－d)(18＋d)＝100，解得d＝2或d＝－13(舍去)，∴b3＝5，公比q＝2，故bn＝52n－3.五(2)证明：由(1)知b1＝，公比q＝2，45n？1－2? 45n－2∴sn＝＝52－，1－245n－2则sn＋＝52，四1五452n－255因此，S1+=，=n-3=2（n≥ 2)42552sn－1＋4sn＋55s＋∴数列n?是以为首项，公比为2的等比数列．4.2.[类题通法]对于等差等比序列的基本运算，主要是知三求二的问题。
解决问题时，注意运用等式思维、整体思维和分类讨论思维[题组训练]1.在等比序列{an}中，Sn是其前n项的和。
高中数学第2章数列2.1数列2教案苏教版必修
2.1 数列（2）教学目标：1. 进一步熟悉数列及其通项公式的概念；2．掌握数列通项公式的写法．教学重点：掌握数列通项公式的写法．教学难点：掌握数列通项公式的写法．教学方法：采用启发式、讨论式以及讲练结合的教学方法．教学过程：一、复习1. 分别用列表法、图象法表示数列：我国参加6次奥运会获金牌数: 15，5，16，16，28，32．2. 若数列{a n}的通项公式为a n＝2n－3，试写出这个数列的前4项．3. 已知一个数列的前4项分别为1，2，4，8，试写出这个数列的一个通项公式．二、例题剖析例1. 写出下列数列的一个通项公式：（1）1，4，9，16，…，（2）－1，3，－5，7，…，（3）13，45，97，169，…；（4）112⨯，123-⨯，134⨯，145-⨯，…；（5）1，3，1，3，…；（6）1，1，1，3，1，5，1，7，…．例2. 判断数列｛2n－1｝的单调性，并说明理由．例3. 试判断下列各数是否是数列｛5n＋4｝的项，并说明理由：精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。
读大海，读出了它气势磅礴的豪情。
读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。
2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂；幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。
幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；幸福是“夜来风雨声，花落知多少”的恬淡。
幸福是“零落成泥碾作尘，只有香如故”的圣洁。
幸福是“壮志饥餐胡虏肉，笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。
幸福是“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的胸怀。
幸福是“人生自古谁无死，留取丹心照汗青”的气节。
3、大自然的语言丰富多彩：从秋叶的飘零中，我们读出了季节的变换；从归雁的行列中，我读出了集体的力量；从冰雪的消融中，我们读出了春天的脚步；从穿石的滴水中，我们读出了坚持的可贵；从蜂蜜的浓香中，我们读出了勤劳的甜美。
高中数学新苏教版精品教案《第2章 数列（通用）》
课题：求数列的通项公式【教学目标】1运用累加、累乘求数列的通项公式；2理解递推关系并能将其构造成等差、等比数列的形式。
【教学重、难点】重点：掌握数列通项公式的求解方法；难点：掌握并理解由递推关系求数列的通项公式。
【教学方法】探究式【教学内容】〔一〕根底训练，知识回忆直接法1 数列{a n}的首项a1=2，且满足a n = a n-1 2n≥2且n∈N*，那么数列{a n}的通项公式为2 数列{a n}的首项a1=2，且满足a n =3 a n-1n≥2且n∈N*，那么数列{a n}的通项公式为〔二〕变式训练，方法稳固累加、累乘法1数列{a n}的首项a1=2，且满足a n = a n-1nn≥2且n∈N*，那么数列{a n}的通项公式为变：数列{a n}的首项a1=2，且满足a n = a n-1 2n n≥2且n∈N*，那么数列{a n}的通项公式为2数列{a n}的首项a1=2，且满足n1a n = na n-1n≥2且n∈N*，那么数列{a n}的通项公式为〔三〕合作探究，方法提炼构造法〔拼凑、取倒数、取对数〕1数列{a n}的首项a1=2，且满足a n =3 a n-1 2n≥2且n∈N*，那么数列{a n}的通项公式为2数列{a n}的首项a1=2，且满足a n =3 a n-1 2n n≥2且n∈N*，那么数列{a n}的通项公式为3数列{a n}的首项a1=2，且有a n - a n-1 2 a n a n-1=0n≥2且n∈N*，那么数列{a n}的通项公式为4正项数列{a n}的首项a1=2，且满足a n = a n-12n≥2且n∈N*，那么数列{a n}的通项公式为〔四〕知识迁移，拓展延伸作差法1数列{a n}的前n项和为S n =n22n，那么数列{a n}的通项公式为变1：数列{a n}的前n项和为S n =n22n-1，那么数列{a n}的通项公式为变2：数列{a n}的前n项和为S n =2a n3n，那么数列{a n}的通项公式为【课堂归纳】【课后稳固】为正项数列{a n}的前n项和，且a n22a n=4S n3，那么数列{a n}的通项公式为为数列{a n}的前n项和，且S n=2a n-1n，那么数列{a n}的通项公式为。
高中数学 第二章 数列 习题课(二)数列求和学案 苏教版必修5-苏教版高二必修5数学学案
习题课(二) 数列求和学习目标 1.掌握分组分解求和法的使用情形和解题要点.2.掌握奇偶并项求和法的使用情形和解题要点.3.掌握裂项相消求和法的使用情形和解题要点.4.进一步熟悉错位相减法．知识点一 分组分解求和法思考 求和：112＋2122＋3123＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋12n . 答案 112＋2122＋3123＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋12n ＝(1＋2＋3＋…＋n )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋122＋123＋ (12)＝n (n ＋1)2＋12⎝⎛⎭⎪⎫1－12n 1－12＝n (n ＋1)2＋1－12n .梳理 分组分解求和的基本思路：通过分解每一项重新组合，化归为等差数列和等比数列求和． 知识点二 奇偶并项求和法思考 求和12－22＋32－42＋…＋992－1002. 答案 12－22＋32－42＋…＋992－1002＝(12－22)＋(32－42)＋…＋(992－1002)＝(1－2)(1＋2)＋(3－4)(3＋4)＋…＋(99－100)(99＋100) ＝－(1＋2＋3＋4＋…＋99＋100) ＝－5050.梳理 奇偶并项求和的基本思路：有些数列单独看求和困难，但相邻项结合后会变成熟悉的等差数列、等比数列求和．但当求前n 项和而n 是奇数还是偶数不确定时，往往需要讨论． 知识点三 裂项相消求和法 思考 我们知道1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，试用此公式求和：11×2＋12×3＋…＋1n (n ＋1).答案 由1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，得11×2＋12×3＋…＋1n (n ＋1)＝1－12＋12－13＋…＋1n －1(n ＋1)＝1－1n ＋1.梳理 如果数列的项能裂成前后抵消的两项，则可用裂项相消法求和，此法一般先研究通项的形式，然后仿照公式裂开每一项．裂项相消求和常用公式： (1)1n (n ＋k )＝1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋k ；(2)1n ＋k ＋n ＝1k(n ＋k －n )；(3)1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1；(4)1n (n ＋1)(n ＋2)＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1n (n ＋1)－1(n ＋1)(n ＋2).1．并项求和一定是相邻两项结合．(×)2．裂项相消一定是相邻两项裂项后产生抵消．(×)类型一 分组分解求和例1 求和：S n ＝⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 22＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x n ＋1x n 2(x ≠0)．考点 数列前n 项和的求法 题点 分组求和法 解 当x ≠±1时，S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 22＋…＋⎝⎛⎭⎪⎫x n＋1x n 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋2＋1x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4＋2＋1x 4＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2n＋2＋1x2n＝(x 2＋x 4＋…＋x 2n)＋2n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x2＋1x4＋…＋1x 2n＝x 2(x 2n －1)x 2－1＋x －2(1－x －2n )1－x－2＋2n ＝(x 2n－1)(x 2n ＋2＋1)x 2n (x 2－1)＋2n ；当x ＝±1时，S n ＝4n . 综上知，S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4n ，x ＝±1，(x 2n－1)(x 2n ＋2＋1)x 2n (x 2－1)＋2n ，x ≠±1且x ≠0.反思与感悟 某些数列，通过适当分组，可得出两个或几个等差数列或等比数列，进而利用等差数列或等比数列的求和公式分别求和，从而得出原数列的和． 跟踪训练1 求数列1,1＋a,1＋a ＋a 2，…，1＋a ＋a 2＋…＋an －1，…的前n 项和S n .(其中a ≠0，n ∈N *)考点 数列前n 项和的求法 题点 分组求和法 解 当a ＝1时，a n ＝n ， 于是S n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2.当a ≠1时，a n ＝1－a n1－a ＝11－a (1－a n)．∴S n ＝11－a[n －(a ＋a 2＋…＋a n)] ＝11－a ⎣⎢⎡⎦⎥⎤n －a (1－a n)1－a ＝n 1－a －a (1－a n)(1－a )2. ∴S n＝⎩⎪⎨⎪⎧n (n ＋1)2，a ＝1，n 1－a －a (1－a n )(1－a )2，a ≠1，且a ≠0.类型二 裂项相消求和例2 求和：122－1＋132－1＋142－1＋…＋1n 2－1，n ≥2，n ∈N *.考点 数列前n 项和的求法 题点 裂项相消法求和 解 ∵1n 2－1＝1(n －1)(n ＋1)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋1，∴原式＝12⎣⎢⎡⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15⎦⎥⎤＋…＋⎝⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12－1n －1n ＋1＝34－2n ＋12n (n ＋1)(n ≥2，n ∈N *)． 引申探究求和：2222－1＋3232－1＋4242－1＋…＋n 2n 2－1，n ≥2，n ∈N *.解 ∵n 2n 2－1＝n 2－1＋1n 2－1＝1＋1n 2－1，∴原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋122－1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋132－1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋142－1＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n 2－1 ＝(n －1)＋⎝⎛⎭⎪⎫122－1＋132－1＋142－1＋…＋1n 2－1以下同例2解法．反思与感悟 求和前一般先对数列的通项公式变形，如果数列的通项公式可转化为f (n ＋1)－f (n )的形式，常采用裂项求和法． 跟踪训练2 求和：1＋11＋2＋11＋2＋3＋…＋11＋2＋3＋…＋n ，n ∈N *. 考点 数列前n 项和的求法 题点 裂项相消法求和 解 ∵a n ＝11＋2＋…＋n ＝2n (n ＋1)＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，∴S n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝2n n ＋1.类型三 奇偶并项求和例3 求和：S n ＝－1＋3－5＋7－…＋(－1)n(2n －1)． 考点 数列前n 项和的求法 题点 并项求和法 解 当n 为奇数时，S n ＝(－1＋3)＋(－5＋7)＋(－9＋11)＋…＋[(－2n ＋5)＋(2n －3)]＋(－2n ＋1) ＝2·n －12＋(－2n ＋1)＝－n .当n 为偶数时，S n ＝(－1＋3)＋(－5＋7)＋…＋[(－2n ＋3)＋(2n －1)]＝2·n2＝n .∴S n ＝(－1)n n (n ∈N *)．反思与感悟 通项中含有(－1)n的数列求前n 项和时可以考虑使用奇偶并项法，分项数为奇数和偶数分别进行求和．跟踪训练3 已知数列－1,4，－7,10，…，(－1)n·(3n －2)，…，求其前n 项和S n . 考点 数列前n 项和的求法 题点 并项求和法解 当n 为偶数时，令n ＝2k (k ∈N *)，S n ＝S 2k ＝－1＋4－7＋10＋…＋(－1)n ·(3n －2)＝(－1＋4)＋(－7＋10)＋…＋[(－6k ＋5)＋(6k －2)] ＝3k ＝32n ；当n 为奇数时， 令n ＝2k ＋1(k ∈N *)，S n ＝S 2k ＋1＝S 2k ＋a 2k ＋1＝3k －(6k ＋1)＝－3n ＋12. ∴S n＝⎩⎪⎨⎪⎧－3n ＋12，n 为奇数，3n2，n 为偶数.1．数列{1＋2n －1}的前n 项和为________．考点 数列前n 项和的求法 题点 分组求和法 答案 S n ＝n ＋2n－1，n ∈N *解析 ∵a n ＝1＋2n －1，∴S n ＝n ＋1－2n1－2＝n ＋2n－1.2．已知数列a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n －1，n 为奇数，n ，n 为偶数，则S 100＝________.考点 数列前n 项和的求法 题点 分组求和法解析 由题意得S 100＝a 1＋a 2＋…＋a 99＋a 100 ＝(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99)＋(a 2＋a 4＋…＋a 100) ＝(0＋2＋4＋…＋98)＋(2＋4＋6＋…＋100) ＝5000.3．已知a n ＝(－1)n，数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 9与S 10的值分别是________． 考点 数列前n 项和的求法 题点 并项求和法 答案 －1,0解析 S 10＝(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)＋…＋(a 9＋a 10)＝0，S 9＝S 10－a 10＝－1.4．求数列112＋2，122＋4，132＋6，142＋8，…的前n 项和．考点 数列前n 项和的求法 题点 裂项相消法求和 解 因为通项a n ＝1n 2＋2n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2， 所以此数列的前n 项和S n ＝12⎣⎢⎡⎝⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15⎦⎥⎤＋…＋⎝⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2＝34－2n ＋32(n ＋1)(n ＋2).求数列的前n 项和，一般有下列几种方法． 1．错位相减适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和． 2．分组求和把一个数列分成几个可以直接求和的数列．把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和． 4．奇偶并项当数列通项中出现(－1)n或(－1)n ＋1时，常常需要对n 取值的奇偶性进行分类讨论．5．倒序相加例如，等差数列前n 项和公式的推导方法．一、填空题1．数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n ＝1n (n ＋1)，则S 5＝______.考点 数列前n 项和的求法 题点 裂项相消法求和 答案 56解析 ∵a n ＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1.∴S 5＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫15－16 ＝1－16＝56.2．在等比数列{a n }中，若a 1＝12，a 4＝－4，则|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝________.考点 数列前n 项和的求法 题点 数列求和方法综合 答案 2n－12解析 ∵{a n }为等比数列，且a 1＝12，a 4＝－4，∴q 3＝a 4a 1＝－8，∴q ＝－2，∴a n ＝12(－2)n －1，∴|a n |＝2n －2，∴|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝12(1－2n)1－2＝2n －12.3．已知数列{a n }的通项a n ＝2n ＋1，n ∈N *，由b n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a nn所确定的数列{b n }的前n 项和是__________．考点 数列前n 项和的求法 题点 数列求和方法综合 答案 12n (n ＋5)解析 ∵a 1＋a 2＋…＋a n ＝n2(2n ＋4)＝n 2＋2n ，∴b n ＝n ＋2，∴{b n }的前n 项和S n ＝n (n ＋5)2.4．在数列{a n }中，已知S n ＝1－5＋9－13＋17－21＋…＋(－1)n －1(4n －3)，n ∈N *，则S 15＋S 22－S 31的值是________． 考点 数列前n 项和的求法 题点 并项求和法 答案 －76解析 S 15＝－4×7＋a 15＝－28＋57＝29，S 22＝－4×11＝－44，S 31＝－4×15＋a 31＝－60＋121＝61， S 15＋S 22－S 31＝29－44－61＝－76.5．如果一个数列{a n }满足a n ＋a n ＋1＝H (H 为常数，n ∈N *)，则称数列{a n }为等和数列，H 为公和，S n 是其前n 项的和，已知在等和数列{a n }中，a 1＝1，H ＝－3，则S 2017＝________. 考点 数列前n 项和的求法 题点 并项求和法 答案 －3023解析 S 2017＝a 1＋(a 2＋a 3＋…＋a 2017) ＝a 1＋1008×H ＝1＋1008×(－3)＝－3023. 6．数列{a n }的通项公式是a n ＝1n ＋n ＋1，若前n 项和为10，则n 的值为________．考点 数列前n 项和的求法 题点 裂项相消法求和 答案 120解析 ∵a n ＝1n ＋n ＋1＝n ＋1－n ，∴S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n＝(2－1)＋(3－2)＋…＋(n ＋1－n ) ＝n ＋1－1，令n ＋1－1＝10，得n ＝120.7．数列1,1＋2,1＋2＋22，…，1＋2＋22＋…＋2n －1，…的前99项和为________．考点 数列前n 项和的求法 题点 并项求和法 答案 2100－101解析 由数列可知a n ＝1＋2＋22＋…＋2n －1＝1－2n1－2＝2n －1，所以，前99项的和为S 99＝(2－1)＋(22－1)＋…＋(299－1)＝2＋22＋…＋299－99＝2(1－299)1－2－99＝2100－101.8．若S n ＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n －1·n ，n ∈N *，则S 50＝________.考点 数列前n 项和的求法 题点 并项求和法 答案 －25解析 S 50＝1－2＋3－4＋…＋49－50＝(－1)×25＝－25.9．在数列{a n }中，若a n ＝ln ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1n ，n ∈N *，则S n ＝______.考点 数列前n 项和的求法 题点 裂项相消法求和 答案 ln(n ＋1) 解析 方法一 a n ＝lnn ＋1n＝ln(n ＋1)－ln n S n ＝(ln2－ln1)＋(ln3－ln2)＋…＋[ln(n ＋1)－ln n ]＝ln(n ＋1)－ln1＝ln(n ＋1)． 方法二 S n ＝ln 21＋ln 32＋…＋ln n ＋1n＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫21×32×…×n ＋1n ＝ln(n ＋1)．10．数列12×5，15×8，18×11，…，1(3n －1)×(3n ＋2)，…的前n 项和为__________．考点 数列前n 项和的求法 题点 裂项相消法求和 答案n 6n ＋4解析 由数列通项公式1(3n －1)(3n ＋2)＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1－13n ＋2，得前n 项和S n＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫12－15＋15－18＋18－111＋…＋13n －1－13n ＋2 ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13n ＋2＝n6n ＋4. 11．数列{a n }的通项公式a n ＝n cos n π2，n ∈N *，其前n 项和为S n ，则S 2016＝________.考点 数列前n 项和的求法 题点 并项求和法 答案 1008解析 a 1＝cos π2＝0，a 2＝2cosπ＝－2，a 3＝0，a 4＝4，….∴数列{a n }的所有奇数项为0，前2016项的所有偶数项(共1008项)依次为－2,4，－6,8，…， 故S 2016＝0＋(－2＋4)＋(－6＋8)＋…＋(－2014＋2016)＝1008. 二、解答题12．已知等差数列{a n }满足：a 3＝7，a 5＋a 7＝26，{a n }的前n 项和为S n . (1)求a n 及S n ； (2)令b n ＝1a 2n －1(n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和T n . 考点 数列前n 项和的求法 题点 裂项相消法求和解 (1)设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d .因为a 3＝7，a 5＋a 7＝26，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝7，2a 1＋10d ＝26，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝3，d ＝2.所以a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1，S n ＝3n ＋n (n －1)2×2＝n 2＋2n . 所以a n ＝2n ＋1，S n ＝n 2＋2n .(2)由(1)知a n ＝2n ＋1，所以b n ＝1a 2n －1＝1(2n ＋1)2－1＝14×1n (n ＋1) ＝14×⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1， 所以T n ＝14×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1 ＝14×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝n 4(n ＋1)， 即数列{b n }的前n 项和T n ＝n 4(n ＋1). 13．设数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1－a n ＝3·22n －1，n ∈N *. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝na n ，求数列{b n }的前n 项和S n .考点 数列前n 项和的求法题点 错位相减法求和解 (1)由已知，得当n >1时， a n ＝[(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)]＋a 1＝3(22n －3＋22n －5＋…＋2)＋2＝22n －1， 而a 1＝2，符合上式，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝22n －1. (2)由b n ＝na n ＝n ·22n －1知S n ＝1·2＋2·23＋3·25＋…＋n ·22n －1，① 从而22·S n ＝1·23＋2·25＋3·27＋…＋n ·22n ＋1. ② ①－②得(1－22)S n ＝2＋23＋25＋…＋22n －1－n ·22n ＋1，即S n ＝19[(3n －1)22n ＋1＋2]．三、探究与拓展14．设数列{a n }满足a 1＝0且11－a n ＋1－11－a n ＝1，n ∈N *. (1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1－a n ＋1n，记S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ， 证明：S n <1.考点 数列前n 项和的求法题点 裂项相消法求和(1)解 由题设11－a n ＋1－11－a n ＝1知，⎩⎨⎧⎭⎬⎫11－a n 是公差为1的等差数列， 又11－a 1＝1，故11－a n ＝n ， ∴a n ＝1－1n. (2)证明 由(1)得b n ＝1－a n ＋1n ＝n ＋1－n n ＋1·n＝1n －1n ＋1，∴S n ＝1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1 ＝1－1n ＋1<1.15．已知在数列{a n }中，a 1＝1，a n ·a n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ，记T 2n 为{a n }的前2n 项的和，b n ＝a 2n ＋a 2n －1，n ∈N *.(1)判断数列{b n }是否为等比数列，并求出{b n }；(2)求T 2n .考点 数列前n 项和的求法题点 分组求和法解 (1)因为a n ·a n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ， 所以a n ＋1·a n ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1，所以a n ＋2a n ＝12，即a n ＋2＝12a n ， 因为b n ＝a 2n ＋a 2n －1，所以b n ＋1b n ＝a 2n ＋2＋a 2n ＋1a 2n ＋a 2n －1＝12a 2n ＋12a 2n －1a 2n ＋a 2n －1＝12， 所以{b n }是公比为12的等比数列． 因为a 1＝1，a 1·a 2＝12， 所以a 2＝12，所以b 1＝a 1＋a 2＝32， 所以b n ＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝32n . (2)由(1)可知a n ＋2＝12a n ，所以a 1，a 3，a 5，…是以a 1＝1为首项，12为公比的等比数列；a 2，a 4，a 6，…是以a 2＝12为首项，12为公比的等比数列，所以T 2n ＝(a 1＋a 3＋…＋a 2n －1)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2n ) ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＋12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＝3－32n .。
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必修5 数列复习小结 第2课时 第 20 课时
一、学习目标
（1）进一步熟练掌握等差等比数列的通项公式和前n 项和公式；
（2）提高分析、解决问题能力．
二、例题探究
例1（2009浙江文）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，2n S kn n =+，*n N ∈，其中k 是常数．
I ） 求1a 及n a ；
II ）若对于任意的*
m N ∈，m a ，2m a ，4m a 成等比数列，求k 的值． 解（Ⅰ）当1,111+===k S a n ， 12)]1()1([,2221+-=-+--+=-=≥-k kn n n k n kn S S a n n n n （*） 经验，,1=n （*）式成立， 12+-=∴k kn a n
（Ⅱ）m m m a a a 42,, 成等比数列，m m m a a a 422.=∴，
即)18)(12()14(2+-+-=+-k km k km k km ，整理得：0)1(=-k mk ， 对任意的*∈N m 成立， 10==∴k k 或
例 2 (2009山东卷文)等比数列{n a }的前n 项和为n S ， 已知对任意的n N +∈，点(,)n n S ，均在函数(0x y b r b =+>且1,,b b r ≠均为常数)的图像上. （1）求r 的值； （11）当b=2时，记 1()4n n n b n N a ++=
∈ 求数列{}n b 的前n 项和n T
解:因为对任意的n N +∈,点(,)n n S ，均在函数(0x
y b r b =+>且1,,b b r
≠均为常数)的图像上.所以得n n S b r =+, 当1n =时,11a S b r ==+,
当2n ≥
时,1111()(1)n n n n n n n n a S S b r b r b b b b ----=-=+-+=-=-, 又因为{n a }为等比数列, 所以1r =-, 公比为b , 所以1(1)n n a b b -=-
（2）当b=2时，11(1)2n n n a b b --=-=, 111114422n n n n n n n b a -++++===⨯ 则234123412222
n n n T ++=
++++ 34512
12341222222n n n n n T +++=+++++ 相减,得23451212111112222222
n n n n T +++=+++++- 31211(1)112212212
n n n -+⨯-++--12311422n n n +++=-- 所以113113322222n n n n n n T ++++=--=- 【命题立意】:本题主要考查了等比数列的定义,通项公式,以及已知n S 求n a 的基本题型,并运用错位相减法求出一等比数列与一等差数列对应项乘积所得新数列的前n 项和n T .
例3.某企业2008年的纯利润为500万元，因设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降.若不能进行技术改造，预测从今年起每年比上一年纯利润减少20万元，今年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造，预测在未扣除技术改造资金的情况下，第n 年（今年为第一年）的利润为500(1+
n
21)万元（n 为正整数）.
（Ⅰ）设从今年起的前n 年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为A n 万元，
进行技术改造后的累计纯利润为B
n 万元（须扣除技术改造资金），求A n 、B n 的表达式； （Ⅱ）依上述预测，从今年起该企业至少经过多少年，进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润？
解: (Ⅰ)依题意知，数列n A 是一个以500为首项，－20为公差的等差数列，所以2(1)480(20)490102
n n n A n n n -=+⨯-=-， 2111500(1)500(1)500(1)60022
2n n B =++++++-＝2111500500()600222n
n ++++- ＝11[1()]22500500600112
n n -+⨯--＝5005001002n n -- (Ⅱ)依题意得，n n B A >，即2500500100490102n n n n -
->-， 可化简得250102
n n n <+-， ∴可设n n f 2
50)(=，2()10g n n n =+- 又+∈N n ，∴可设)(n f 是减函数，)(n g 是增函数，又
5050(3)(3)2,(4)(4)8816
f g f g =>==<= 则4n =时不等式成立，即4年
三、课后作业
1.（2007宁夏）已知a b c d ，，，成等比数列，且曲线2
23y x x =-+的顶点是()b c ，，则ad 等于________2
2．（2006江西卷）已知等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，若1O a B ＝
200OA a OC ＋，且A 、B 、C 三点共线（该直线不过原点O ），则S 200＝_________100 3.（2008江苏）将全体正整数排成一个三角形数阵：
1
2 3
4 5 6
7 8 9 10
． ． ． ． ． ． ．
按照以上排列的规律，第n 行（n ≥3）从左向右的第3 个数为 ．
答案 26
2n n -+
四、反思总结
（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）。