2010考研数三真题及解析
2010年考研数学三真题答案解析(pdf)
2010年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题参考答案一、选择题(1)【答案】(C).【解析】()()()000011111lim lim 11lim 1lim x x x x x xx x x x e axe a e e ax e axe x x x x x x →→→→⎛⎫⎛⎫-⎛⎫--=--=-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭001lim lim 11xx x x e axe a x x→→-=+=-+=所以2a =.(2)【答案】(A)．【解析】因12y y λμ-是()0y P x y '+=的解,故()()()12120y y P x y y λμλμ'-+-=,所以()1122()0y P x y y p x y λμ⎡⎤⎡⎤''+-+=⎣⎦⎣⎦,而由已知()()()()1122,y P x y q x y P x y q x ''+=+=,所以()()0q x λμ-=,①又由于一阶次微分方程()()y p x y q x '+=是非齐的,由此可知()0q x ≠,所以0λμ-=．由于12y y λμ+是非齐次微分方程()()y P x y q x '+=的解,所以()()()()1212y y P x y y q x λμλμ'+++=,整理得()()()1122y P x y y P x y q x λμ⎡⎤⎡⎤''+++=⎣⎦⎣⎦,即()()()q x q x λμ+=,由()0q x ≠可知1λμ+=,②由①②求解得12λμ==,故应选(A)．(3)【答案】(B).【解析】[]{}[]()()()f g x f g x g x '''=⋅,[]{}[]{}[][][]2()()()()()()()f g x f g x g x f g x g x f g x g x '''''''''''=⋅=⋅+⋅由于0()g x a =是()g x 的极值,所以0()0g x '=.所以[]{}[]()0()()()()f g x f g x g x f a g x ''''''''=⋅=⋅由于0()0g x ''<,要使[]{}()0f g x ''<,必须有()0f a '>,故答案为B.(4)【答案】(C).【解析】因为1010()1lim lim lim ()10xxx x x h x e e g x x →+∞→+∞→+∞===+∞,所以,当x 充分大时,()()h x g x >.又因为91091ln ()ln ln limlim lim 1010lim ()1x x x x x f x xxx g x xx→+∞→+∞→+∞→+∞⋅===81ln ln 1109lim1092lim 10!lim 01x x x x x x x x →+∞→+∞→+∞⋅=⋅==⋅== .所以当x 充分大时,()()f x g x <,故当x 充分大,()()()f x g x h x <<.(5)【答案】(A)．【解析】由于向量组I 能由向量组II 线性表示,所以(I)(II)r r ≤,即11(,,)(,,)r s r r sααββ≤≤ 若向量组I 线性无关,则1(,,)r r r αα= ,所以11(,,)(,,)r s r r r s ααββ=≤≤ ,即r s ≤,选(A).(6)【答案】(D).【解析】设λ为A 的特征值,由于2A A O +=,所以20λλ+=,即(1)0λλ+=,这样A 的特征值只能为-1或0.由于A 为实对称矩阵,故A 可相似对角化,即AΛ,()()3r A r =Λ=,因此,1110-⎛⎫⎪- ⎪Λ= ⎪- ⎪⎝⎭,即1110A -⎛⎫⎪- ⎪Λ= ⎪- ⎪⎝⎭.(7)【答案】(C).【解析】离散型随机变量的分布函数是跳跃的阶梯形分段函数,连续型随机变量的分布函数是连续函数.观察本题中()F x 的形式,得到随机变量X 既不是离散型随机变量,也不是连续型随机变量,所以求随机变量在一点处的概率,只能利用分布函数的定义.根据分布函数的定义,函数在某一点的概率可以写成两个区间内概率的差,即{}{}{}()()1111111110122P X P X P X F F e e --==≤-<=--=--=-,故本题选(C).(8)【答案】(A).【解析】根据题意知,()221x f x -=(x -∞<<+∞),()21,1340,x f x ⎧ -≤≤⎪=⎨⎪ ⎩其它利用概率密度的性质:()1f x dx +∞-∞=⎰,故()()()()03121001312424a a f x dx af x dx bf x dx f x dxb dx b +∞+∞+∞-∞-∞-∞=+=+=+=⎰⎰⎰⎰所以整理得到234a b +=,故本题应选(A).二、填空题(9)【答案】1-.【解析】220sin x yxt e dt x t dt +-=⎰⎰,令0x =,得0y =,等式两端对x 求导：2()220(1sin sin x x y dyet dt x x dx-++=+⎰．将0x =,0y =代入上式,得010x dy dx=+=.所以1x dy dx==-.(10)【答案】24π.【解析】根据绕x 轴旋转公式,有()221ln eedx V y dx x x ππ+∞+∞==+⎰⎰()22ln arctan ln 1ln 244e ed xx x ππππππ+∞+∞⎛⎫==⋅=-=⎡⎤ ⎪⎣⎦+⎝⎭⎰.(11)【答案】()3113P p e-⋅.【解析】由弹性的定义,得31dR pp dp R ⋅=+,所以21dR p dp R p ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,即21ln ln 3R p p C =++,又()11R =,所以13C =-.故11ln ln 33R p p =+-,因此()3113p R p e -=⋅.(12)【答案】3b =.【解析】函数为321y x ax bx =+++,它的一阶导数为232;y x ax b '=++二阶导数为62y x a ''=+,又因为()1,0-是拐点,所以10x y =-''=,得13a-=-,所以3a =,又因为曲线过点()1,0-,所以将1,0x y =-=代入曲线方程,得3b =.(13)【答案】3.【解析】由于1111()()A A B BE AB B B A ----+=+=+,所以11111()A B A A B B A A B B -----+=+=+因为2B =,所以1112BB--==,因此11113232A B A A B B ---+=+=⨯⨯=.(14)【答案】22σμ+.【解析】()()()22222211111n n i i i i E T E X E X X E X n n nσμ==⎛⎫⎛⎫=====+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑.三、解答题(15)【解析】11ln ln 1ln 11ln 11ln lim lim ln ln ln lim 1lim x x x x x x x x e xx xxxx x x ee e→+∞→+∞⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪--- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭→+∞→+∞⎛⎫-=== ⎪⎝⎭其中ln ln ln 12ln(1)(1)1ln limlim1ln xx x xxxx x e eex x x x-→+∞→+∞---=⋅ln ln 1ln 1lim lim (1)1ln ln x xx xx x e x e x xx x→+∞→+∞-=⋅=-=-.故原式1e -=.(16)【解析】积分区域12D D D = ,其中(){1,01,D x y y x =≤≤≤≤(){2,10,D x y y x =-≤≤≤≤()()3322333DDx y dxdy x x y xy y dxdy+=+++⎰⎰⎰⎰因为区域D 关于x 轴对称,被积函数233x y y +是y 的奇函数,所以()2330Dxy y dxdy +=⎰⎰．()()())11332323232323D D D x y dxdy x xy dxdy x xy dxdy dy x xy dx ⎡⎤+=+=+=+⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰1422013242x x y dy ⎛=+ ⎝⎰14209114224415y y dy ⎛⎫=-++= ⎪⎝⎭⎰.(17)【解析】令()()222,,,210F x y z xy yz x y z λλ=++++-,用拉格朗日乘数法得22220,220,220,100,x y z F y x F x z y F y z F x y z λλλλ'=+=⎧⎪'=++=⎪⎨'=+=⎪⎪'=++-=⎩求解得六个点：()()2,1,2,A B --()()1,2,1,2,C D --((,.E F -由于在点A 与B点处,u =C 与D处,u =-；在点E 与F 处,0u =．又因为该问题必存在最值,并且不可能在其它点处,所以max u =min u =-(18)【解析】(I)当01x <<时0ln(1)x x <+<,故[]ln(1)nnt t +<,所以[]ln ln(1)ln nn t t t t +<,则[]11ln ln(1)ln nn t t dt t t dt +<⎰⎰()1,2,n = .(II)()111101ln ln ln 1n n n t t dt t t dt td t n +=-⋅=-+⎰⎰⎰()211n =+,故由()1210ln 1n n u t t dt n <<=+⎰,根据夹逼定理得()210lim lim01n n n u n →∞→∞≤≤=+,所以lim 0n n u →∞=.(19)【解析】(I)因为22(0)()f f x dx =⎰,又因为()f x 在[]0,2上连续,所以由积分中值定理得,至少有一点[]0,2η∈,使得()()()220f x dx f η=⋅-⎰即()()202f f η=,所以存在[]0,2η∈,使得()()0f f η=.(Ⅱ)因为()()()2320f f f +=,即()()()2302f f f +=,又因为()f x 在[]2,3上连续,由介值定理知,至少存在一点[]12,3η∈使得()()10f f η=.因为()f x 在[]0,2上连续,在[]0,2上可导,且()()02f f =,所以由罗尔中值定理知,Ｃ存在()10,2ξ∈,有()10f ξ'=.又因为()f x 在[]12,η上连续,在()12,η上可导,且()()()120f f f η==,所以由罗尔中值定理知,存在()212,ξη∈,有()20f ξ=.又因为()f x 在[]12,ξξ上二阶可导,且()()120f f ξξ''==,所以由罗尔中值定理,至少有一点()0,3Ax b =⊂,使得()0f ξ''=.(20)【解析】因为方程组有两个不同的解,所以可以判断方程组增广矩阵的秩小于3,进而可以通过秩的关系求解方程组中未知参数,有以下两种方法.方法1：(I )已知Ax b =有2个不同的解,故()()3r A r A =<,对增广矩阵进行初等行变换,得111110101010111111a A a λλλλλλ⎛⎫⎛⎫⎪⎪=-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22111111010101010110011a a λλλλλλλλλ⎛⎫⎛⎫⎪⎪→-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-----+⎝⎭⎝⎭当1λ=时,11111111000100010000000A a ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,此时,()()r A r A ≠,故Ax b =无解(舍去)．当1λ=-时,111102010002A a -⎛⎫ ⎪→- ⎪ ⎪+⎝⎭,由于()()3r A r A =<,所以2a =-,故1λ=-,2a =-.方法2：已知Ax b =有2个不同的解,故()()3r A r A =<,因此0A =,即211010(1)(1)011A λλλλλ=-=-+=,知1λ=或-1.当1λ=时,()1()2r A r A =≠=,此时,Ax b =无解,因此1λ=-.由()()r A r A =,得2a =-.(II )对增广矩阵做初等行变换31012111211121020102010102111100000000A ⎛⎫- ⎪----⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪=-→-→-⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭可知原方程组等价为1323212x x x ⎧-=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,写成向量的形式,即123332110210x x x x ⎛⎫⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪=+- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭.因此Ax b =的通解为32110210x k ⎛⎫⎪⎛⎫ ⎪⎪⎪=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭,其中k 为任意常数.(21)【解析】由于0141340A a a -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭,存在正交矩阵Q ,使得TQ AQ 为对角阵,且Q 的第一2,1)T ,故A 对应于1λ的特征向量为12,1)T ξ=.根据特征值和特征向量的定义,有1A λ⎫⎪⎪⎪=⎪⎪⎪⎪⎭,即10141113224011a a λ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,由此可得11,2a λ=-=.故014131410A -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭.由14131(4)(2)(5)041E A λλλλλλλ--=-=+--=-,可得A 的特征值为1232,4,5λλλ==-=.由2()0E A x λ-=,即1234141710414x x x --⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪-= ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭,可解得对应于24λ=-的线性无关的特征向量为2(1,0,1)Tξ=-.由3()0E A x λ-=,即1235141210415x x x -⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭,可解得对应于35λ=的特征向量为3(1,1,1)T ξ=-.由于A 为实对称矩阵,123,,ξξξ为对应于不同特征值的特征向量,所以123,,ξξξ相互正交,只需单位化：3121231232,1),1,0,1),1,1)T T T ξξξηηηξξξ====-==-,取()123,,0Q ηηη⎫⎪⎪⎪==⎪⎪⎪⎪⎭,则245T Q AQ ⎛⎫⎪=Λ=- ⎪ ⎪⎝⎭.(22)【解析】当给出二维正态随机变量的的概率密度(),f x y 后,要求条件概率密度|(|)Y X f y x ,可以根据条件概率公式|(,)(|)()Y X X f x y f y x f x =来进行计算.本题中还有待定参数,A 要根据概率密度的性质求解,具体方法如下.()()22222222()(),xxy y y x x xy x X f x f x y dy A e dy A e dy Ae e dy+∞+∞+∞+∞-+--------∞-∞-∞-∞====⎰⎰⎰⎰2,x x -=-∞<<+∞.根据概率密度性质有()21x X f x dx e dx A π+∞+∞--∞-∞===⎰,即1A π-=,故()2x X f x -=,x -∞<<+∞.当x -∞<<+∞时,有条件概率密度()()()22222222(),,,x xy y x xy y x y Y X X f x y f y x x y f x -+--+---=-∞<<+∞-∞<<+∞.(23)【解析】(I)X 的所有可能取值为0,1,Y 的所有可能取值为0,1,2．{}2326310,0155C P X Y C =====,其中0,0X Y ==表示取到的两个球都是黑球；{}112326620,1155C C P X Y C =====,其中0,1X Y ==表示取到的一个是白球,一个是黑球；{}222610,215C P X Y C ====,其中0,2X Y ==表示取到的两个球都是白球；{}111326311,0155C C P X Y C =====,其中1,0X Y ==表示取到的一个是红球,一个是黑球；{}11122621,115C C P X Y C ====,其中1,1X Y ==表示取到的一个是红球,一个是白球；{}261,20P X Y C ====,因此二维离散型随机变量,X Y 的概率分布为(II)(Cov。
考研数三2003-2010年(历年真题+答案详解)word版333
2003年全国硕士研究生入学统一考试 数学三试题 ............................................................................................ 1 2003年考研数学（三）真题解析 .......................................................................................................................... 4 2004年全国硕士研究生入学统一考试 数学三试题 .......................................................................................... 17 2004年考研数学（三）真题解析 ........................................................................................................................ 21 2005年全国硕士研究生入学统一考试 数学三试题 .......................................................................................... 35 2005年考研数学（三）真题解析 ........................................................................................................................ 38 2006年全国硕士研究生入学统一考试 数学三试题 .......................................................................................... 49 2006年考研数学（三）真题解析 ........................................................................................................................ 53 2007年全国硕士研究生入学统一考试 数学三试题........................................................................................... 66 2007年考研数学（三）真题 ................................................................................................................................ 69 2008年全国硕士研究生入学统一考试 数学三试题 .......................................................................................... 77 2008年考研数学（三）真题解析 ........................................................................................................................ 80 2009年全国硕士研究生入学统一考试 数学三试题 .......................................................................................... 90 2009年全国硕士研究生入学统一考试 ................................................................................................................ 93 数学三试题解析 ..................................................................................................................................................... 93 2010年全国硕士研究生入学统一考试 数学三试题 ........................................................................................ 106 2010年全国硕士研究生入学统一考试 数学三.试题详解.. (111)2003年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、 填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（1）设,0,0,0,1cos )(=≠⎪⎩⎪⎨⎧=x x xx x f 若若λ其导函数在x=0处连续，则λ的取值范围是_____. （2）已知曲线b x a x y +-=233与x 轴相切，则2b 可以通过a 表示为=2b ________. （3）设a>0，，x a x g x f 其他若,10,0,)()(≤≤⎩⎨⎧==而D 表示全平面，则⎰⎰-=Ddxdy x y g x f I )()(=_______.（4）设n 维向量0,),0,,0,(<=a a a T α；E 为n 阶单位矩阵，矩阵 T E A αα-=， T aE B αα1+=， 其中A 的逆矩阵为B ，则a=______.（5）设随机变量X 和Y 的相关系数为0.9, 若4.0-=X Z ，则Y 与Z 的相关系数为________.（6）设总体X 服从参数为2的指数分布，n X X X ,,,21 为来自总体X 的简单随机样本，则当∞→n 时，∑==ni i n X n Y 121依概率收敛于______.二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（1）设f(x)为不恒等于零的奇函数，且)0(f '存在，则函数xx f x g )()(=(A) 在x=0处左极限不存在. (B) 有跳跃间断点x=0.(C) 在x=0处右极限不存在. (D) 有可去间断点x=0. [ ] （2）设可微函数f(x,y)在点),(00y x 取得极小值，则下列结论正确的是(A) ),(0y x f 在0y y =处的导数等于零. （B ）),(0y x f 在0y y =处的导数大于零. (C) ),(0y x f 在0y y =处的导数小于零. (D) ),(0y x f 在0y y =处的导数不存在. [ ] （3）设2nn n a a p +=，2nn n a a q -=， ,2,1=n ，则下列命题正确的是(A) 若∑∞=1n na条件收敛，则∑∞=1n np与∑∞=1n nq都收敛.(B) 若∑∞=1n na绝对收敛，则∑∞=1n np与∑∞=1n nq都收敛.(C) 若∑∞=1n na条件收敛，则∑∞=1n np与∑∞=1n nq敛散性都不定.(D) 若∑∞=1n na绝对收敛，则∑∞=1n np与∑∞=1n nq敛散性都不定. [ ]（4）设三阶矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=a b b b a b b b a A ，若A 的伴随矩阵的秩为1，则必有 (A) a=b 或a+2b=0. (B) a=b 或a+2b ≠0.(C) a ≠b 且a+2b=0. (D) a ≠b 且a+2b ≠0. [ ] （5）设s ααα,,,21 均为n 维向量，下列结论不正确的是(A) 若对于任意一组不全为零的数s k k k ,,,21 ，都有02211≠+++s s k k k ααα ，则sααα,,,21 线性无关.(B) 若s ααα,,,21 线性相关，则对于任意一组不全为零的数s k k k ,,,21 ，都有.02211=+++s s k k k ααα(C) s ααα,,,21 线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为s.(D) s ααα,,,21 线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关. [ ]（6）将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：1A ={掷第一次出现正面}，2A ={掷第二次出现正面}，3A ={正、反面各出现一次}，4A ={正面出现两次}，则事件(A) 321,,A A A 相互独立. (B) 432,,A A A 相互独立.(C) 321,,A A A 两两独立. (D) 432,,A A A 两两独立. [ ] 三、（本题满分8分） 设).1,21[,)1(1sin 11)(∈--+=x x x x x f πππ 试补充定义f(1)使得f(x)在]1,21[上连续.四 、（本题满分8分）设f(u,v)具有二阶连续偏导数，且满足12222=∂∂+∂∂v f u f ，又)](21,[),(22y x xy f y x g -=,求.2222ygx g ∂∂+∂∂ 五、（本题满分8分）计算二重积分 .)sin(22)(22dxdy y x e I Dy x +=⎰⎰-+-π其中积分区域D=}.),{(22π≤+y x y x六、（本题满分9分）求幂级数∑∞=<-+12)1(2)1(1n nnx n x 的和函数f(x)及其极值.七、（本题满分9分）设F(x)=f(x)g(x), 其中函数f(x),g(x)在),(+∞-∞内满足以下条件： )()(x g x f ='，)()(x f x g ='，且f(0)=0, .2)()(x e x g x f =+(1) 求F(x)所满足的一阶微分方程； (2) 求出F(x)的表达式. 八、（本题满分8分）设函数f(x)在[0，3]上连续，在（0，3）内可导，且f(0)+f(1)+f(2)=3, f(3)=1.试证必存在)3,0(∈ξ，使.0)(='ξf九、（本题满分13分） 已知齐次线性方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+++++=+++++=+++++=+++++,0)(,0)(,0)(,0)(332211332211332211332211nn nn n n n n x b a x a x a x a x a x b a x a x a x a x a x b a x a x a x a x a x b a 其中.01≠∑=ni ia试讨论n a a a ,,,21 和b 满足何种关系时，(1) 方程组仅有零解；(2) 方程组有非零解. 在有非零解时，求此方程组的一个基础解系. 十、（本题满分13分） 设二次型)0(222),,(31232221321>+-+==b x bx x x ax AX X x x x f T ，中二次型的矩阵A 的特征值之和为1，特征值之积为-12. (1) 求a,b 的值；(2) 利用正交变换将二次型f 化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵. 十一、（本题满分13分） 设随机变量X 的概率密度为;],8,1[,0,31)(32其他若∈⎪⎩⎪⎨⎧=x x x fF(x)是X 的分布函数. 求随机变量Y=F(X)的分布函数.十二、（本题满分13分）设随机变量X 与Y 独立，其中X 的概率分布为⎪⎪⎭⎫⎝⎛7.03.021~X ，而Y 的概率密度为f(y)，求随机变量U=X+Y 的概率密度g(u).2003年考研数学（三）真题解析一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（1）设,0,0,0,1cos )(=≠⎪⎩⎪⎨⎧=x x xx x f 若若λ其导函数在x=0处连续，则λ的取值范围是2>λ. 【分析】 当≠x 0可直接按公式求导，当x=0时要求用定义求导.【详解】 当1>λ时，有,0,0,0,1sin 1cos )(21=≠⎪⎩⎪⎨⎧+='--x x xx x x x f 若若λλλ 显然当2>λ时，有)0(0)(lim 0f x f x '=='→，即其导函数在x=0处连续.（2）已知曲线b x a x y +-=233与x 轴相切，则2b 可以通过a 表示为=2b 64a .【分析】 曲线在切点的斜率为0，即0='y ，由此可确定切点的坐标应满足的条件，再根据在切点处纵坐标为零，即可找到2b 与a 的关系.【详解】 由题设，在切点处有03322=-='a x y ，有 .220a x =又在此点y 坐标为0，于是有0300230=+-=b x a x ,故 .44)3(6422202202a a a x a x b =⋅=-=【评注】 有关切线问题应注意斜率所满足的条件，同时切点还应满足曲线方程. （3）设a>0，，x a x g x f 其他若,10,0,)()(≤≤⎩⎨⎧==而D 表示全平面，则⎰⎰-=Ddxdy x y g x f I )()(= 2a .【分析】 本题积分区域为全平面，但只有当10,10≤-≤≤≤x y x 时，被积函数才不为零，因此实际上只需在满足此不等式的区域内积分即可.【详解】 ⎰⎰-=Ddxdy x y g x f I )()(=dxdy a x y x ⎰⎰≤-≤≤≤10,102=.])1[(212112a dx x x a dy dx a x x=-+=⎰⎰⎰+【评注】 若被积函数只在某区域内不为零，则二重积分的计算只需在积分区域与被积函数不为零的区域的公共部分上积分即可.（4）设n 维向量0,),0,,0,(<=a a a T α；E 为n 阶单位矩阵，矩阵 T E A αα-=， T aE B αα1+=， 其中A 的逆矩阵为B ，则a= -1 .【分析】 这里T αα为n 阶矩阵，而22a T =αα为数，直接通过E AB =进行计算并注意利用乘法的结合律即可.【详解】 由题设，有)1)((T T a E E AB αααα+-= =T T T T a a E αααααααα⋅-+-11=T T T T a a E αααααααα)(11-+-=T T T a a E αααααα21-+-=E aa E T =+--+αα)121(,于是有 0121=+--a a ，即 0122=-+a a ，解得 .1,21-==a a 由于A<0 ,故a=-1.（5）设随机变量X 和Y 的相关系数为0.9, 若4.0-=X Z ，则Y 与Z 的相关系数为 0.9 .【分析】 利用相关系数的计算公式即可.【详解】 因为)4.0()()]4.0([()4.0,cov(),cov(---=-=X E Y E X Y E X Y Z Y =)(4.0)()()(4.0)(Y E X E Y E Y E XY E +-- =E(XY) – E(X)E(Y)=cov(X,Y), 且.DX DZ =于是有 cov(Y ,Z)=DZDY Z Y ),cov(=.9.0),cov(==XY DYDX Y X ρ【评注】 注意以下运算公式：DX a X D =+)(，).,cov(),cov(Y X a Y X =+（6）设总体X 服从参数为2的指数分布，n X X X ,,,21 为来自总体X 的简单随机样本，则当∞→n 时，∑==ni i n X n Y 121依概率收敛于 21 .【分析】 本题考查大数定律：一组相互独立且具有有限期望与方差的随机变量n X X X ,,,21 ，当方差一致有界时，其算术平均值依概率收敛于其数学期望的算术平均值：).(1111∞→→∑∑==n EX n X n ni i pn i i【详解】 这里22221,,,nX X X 满足大数定律的条件，且22)(i i i EX DX EX +==21)21(412=+，因此根据大数定律有∑==n i i n X n Y 121依概率收敛于.21112=∑=n i i EX n二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（1）设f(x)为不恒等于零的奇函数，且)0(f '存在，则函数xx f x g )()(=(A) 在x=0处左极限不存在. (B) 有跳跃间断点x=0.(C) 在x=0处右极限不存在. (D) 有可去间断点x=0. [ D ] 【分析】 由题设，可推出f(0)=0 , 再利用在点x=0处的导数定义进行讨论即可. 【详解】 显然x=0为g(x)的间断点，且由f(x)为不恒等于零的奇函数知，f(0)=0. 于是有 )0(0)0()(lim )(lim)(lim 00f x f x f x x f xg x x x '=--==→→→存在，故x=0为可去间断点. 【评注1】 本题也可用反例排除，例如f(x)=x, 则此时g(x)=,0,0,0,1=≠⎩⎨⎧=x x x x 可排除(A),(B),(C) 三项，故应选(D).【评注2】 若f(x)在0x x =处连续，则.)(,0)()(lim000A x f x f A x x x f x x ='=⇔=-→.（2）设可微函数f(x,y)在点),(00y x 取得极小值，则下列结论正确的是(A) ),(0y x f 在0y y =处的导数等于零. （B ）),(0y x f 在0y y =处的导数大于零. (C) ),(0y x f 在0y y =处的导数小于零. (D) ),(0y x f 在0y y =处的导数不存在. [ A ] 【分析】 可微必有偏导数存在，再根据取极值的必要条件即可得结论.【详解】 可微函数f(x,y)在点),(00y x 取得极小值，根据取极值的必要条件知0),(00='y x f y ，即),(0y x f 在0y y =处的导数等于零, 故应选(A).【评注1】 本题考查了偏导数的定义，),(0y x f 在0y y =处的导数即),(00y x f y '；而),(0y x f 在0x x =处的导数即).,(00y x f x '【评注2】 本题也可用排除法分析，取22),(y x y x f +=，在(0,0)处可微且取得极小值，并且有2),0(y y f =，可排除(B),(C),(D), 故正确选项为(A).（3）设2nn n a a p +=，2nn n a a q -=， ,2,1=n ，则下列命题正确的是(A) 若∑∞=1n na条件收敛，则∑∞=1n np与∑∞=1n nq都收敛.(B) 若∑∞=1n na绝对收敛，则∑∞=1n np与∑∞=1n nq都收敛.(C) 若∑∞=1n na条件收敛，则∑∞=1n np与∑∞=1n nq敛散性都不定.(D) 若∑∞=1n na绝对收敛，则∑∞=1n np与∑∞=1n nq敛散性都不定. [ B ]【分析】 根据绝对收敛与条件收敛的关系以及收敛级数的运算性质即可找出答案. 【详解】 若∑∞=1n n a 绝对收敛，即∑∞=1n n a 收敛，当然也有级数∑∞=1n n a 收敛，再根据2nn n a a p +=，2nn n a a q -=及收敛级数的运算性质知，∑∞=1n np与∑∞=1n nq都收敛，故应选(B).（4）设三阶矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=a b b b a b b b a A ，若A 的伴随矩阵的秩为1，则必有 (A) a=b 或a+2b=0. (B) a=b 或a+2b ≠0.(C) a ≠b 且a+2b=0. (D) a ≠b 且a+2b ≠0. [ C ]【分析】 A 的伴随矩阵的秩为1, 说明A 的秩为2，由此可确定a,b 应满足的条件. 【详解】 根据A 与其伴随矩阵A*秩之间的关系知，秩(A)=2，故有0))(2(2=-+=b a b a ab b b a bbb a ，即有02=+b a 或a=b.但当a=b 时，显然秩(A)2≠, 故必有 a ≠b 且a+2b=0. 应选(C).【评注】 n （n )2≥阶矩阵A 与其伴随矩阵A*的秩之间有下列关系：.1)(,1)(,)(,0,1,*)(-<-==⎪⎩⎪⎨⎧=n A r n A r n A r n A r（5）设s ααα,,,21 均为n 维向量，下列结论不正确的是(A) 若对于任意一组不全为零的数s k k k ,,,21 ，都有02211≠+++s s k k k ααα ，则sααα,,,21 线性无关.(B) 若s ααα,,,21 线性相关，则对于任意一组不全为零的数s k k k ,,,21 ，都有.02211=+++s s k k k ααα(C) s ααα,,,21 线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为s.(D) s ααα,,,21 线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关. [ B ]【分析】 本题涉及到线性相关、线性无关概念的理解，以及线性相关、线性无关的等价表现形式. 应注意是寻找不正确的命题.【详解】(A): 若对于任意一组不全为零的数s k k k ,,,21 ,都有 02211≠+++s s k k k ααα ，则s ααα,,,21 必线性无关，因为若s ααα,,,21 线性相关，则存在一组不全为零的数s k k k ,,,21 ,使得02211=+++s s k k k ααα ，矛盾. 可见（A ）成立.(B): 若s ααα,,,21 线性相关，则存在一组，而不是对任意一组不全为零的数s k k k ,,,21 ，都有.02211=+++s s k k k ααα (B)不成立.(C) s ααα,,,21 线性无关,则此向量组的秩为s ；反过来，若向量组s ααα,,,21 的秩为s ，则s ααα,,,21 线性无关，因此(C)成立.(D) s ααα,,,21 线性无关,则其任一部分组线性无关，当然其中任意两个向量线性无关，可见(D)也成立.综上所述，应选(B).【评注】 原命题与其逆否命题是等价的. 例如，原命题：若存在一组不全为零的数s k k k ,,,21 ，使得02211=+++s s k k k ααα 成立，则s ααα,,,21 线性相关. 其逆否命题为：若对于任意一组不全为零的数s k k k ,,,21 ，都有02211≠+++s s k k k ααα ，则s ααα,,,21 线性无关. 在平时的学习过程中，应经常注意这种原命题与其逆否命题的等价性.（6）将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：1A ={掷第一次出现正面}，2A ={掷第二次出现正面}，3A ={正、反面各出现一次}，4A ={正面出现两次}，则事件(A) 321,,A A A 相互独立. (B) 432,,A A A 相互独立.(C) 321,,A A A 两两独立. (D) 432,,A A A 两两独立. [ C ]【分析】按照相互独立与两两独立的定义进行验算即可，注意应先检查两两独立，若成立，再检验是否相互独立.【详解】 因为21)(1=A P ，21)(2=A P ，21)(3=A P ，41)(4=A P ，且 41)(21=A A P ，41)(31=A A P ，41)(32=A A P ，41)(42=A A P 0)(321=A A A P ，可见有)()()(2121A P A P A A P =，)()()(3131A P A P A A P =，)()()(3232A P A P A A P =，)()()()(321321A P A P A P A A A P ≠，)()()(4242A P A P A A P ≠.故321,,A A A 两两独立但不相互独立；432,,A A A 不两两独立更不相互独立，应选(C).【评注】 本题严格地说应假定硬币是均匀的，否则结论不一定成立.三 、（本题满分8分） 设).1,21[,)1(1sin 11)(∈--+=x x x x x f πππ 试补充定义f(1)使得f(x)在]1,21[上连续.【分析】 只需求出极限)(lim 1x f x -→，然后定义f(1)为此极限值即可. 【详解】 因为)(lim 1x f x -→=])1(1sin 11[lim 1x x x x --+-→πππ =xx xx x πππππsin )1(sin )1(lim 111---+-→=xx x xx ππππππππcos )1(sin cos lim 111-+---+-→=xx x x xx ππππππππππsin )1(cos cos sin lim 11221----+-→ =.1π由于f(x)在)1,21[上连续，因此定义π1)1(=f ，使f(x)在]1,21[上连续.【评注】 本题实质上是一求极限问题，但以这种形式表现出来，还考查了连续的概念.在计算过程中，也可先作变量代换y=1-x ，转化为求+→0y 的极限，可以适当简化.四 、（本题满分8分）设f(u,v)具有二阶连续偏导数，且满足12222=∂∂+∂∂v f u f ，又)](21,[),(22y x xy f y x g -=,求.2222y gx g ∂∂+∂∂ 【分析】 本题是典型的复合函数求偏导问题：),(v u f g =，)(21,22y x v xy u -==，直接利用复合函数求偏导公式即可，注意利用.22uv fv u f ∂∂∂=∂∂∂【详解】vfxu f y x g ∂∂+∂∂=∂∂， .vf y u f x yg ∂∂-∂∂=∂∂ 故 v f vf x v u f xy u f y xg ∂∂+∂∂+∂∂∂+∂∂=∂∂2222222222， .2222222222v f vf y u v f xy u f x yg ∂∂-∂∂+∂∂∂-∂∂=∂∂ 所以 222222222222)()(vf y x u f y x yg x g ∂∂++∂∂+=∂∂+∂∂ =.22y x +【评注】 本题考查半抽象复合函数求二阶偏导. 五 、（本题满分8分） 计算二重积分.)sin(22)(22dxdy y x e I Dy x +=⎰⎰-+-π其中积分区域D=}.),{(22π≤+y x y x【分析】 从被积函数与积分区域可以看出，应该利用极坐标进行计算. 【详解】 作极坐标变换：θθsin ,cos r y r x ==，有 dxdy y x e e I Dy x )sin(22)(22+=⎰⎰+-π=.sin 2022dr r re d e r ⎰⎰-πππθ令2r t =，则 tdt e e I t sin 0⎰-=πππ.记 tdt e A t sin 0⎰-=π，则t t de e A --⎰-=int 0π=]cos sin [0⎰----ππtdt e t e t t=⎰--πcos t tde=]sin cos [0tdt e t e t t ⎰--+-ππ=.1A e -+-π 因此 )1(21π-+=e A ， ).1(2)1(2πππππe e e I +=+=-【评注】 本题属常规题型，明显地应该选用极坐标进行计算，在将二重积分化为定积分后，再通过换元与分步积分（均为最基础的要求），即可得出结果，综合考查了二重积分、换元积分与分步积分等多个基础知识点.六、（本题满分9分）求幂级数∑∞=<-+12)1(2)1(1n n nx n x 的和函数f(x)及其极值.【分析】 先通过逐项求导后求和，再积分即可得和函数，注意当x=0时和为1. 求出和函数后，再按通常方法求极值.【详解】.1)1()(1212∑∞=-+-=-='n n n x xx x f 上式两边从0到x 积分，得).1ln(211)0()(202x dt t t f x f x+-=+-=-⎰ 由f(0)=1, 得).1(),1ln(211)(2<+-=x x x f 令0)(='x f ，求得唯一驻点x=0. 由于,)1(1)(222x x x f +--='' 01)0(<-=''f ，可见f(x)在x=0处取得极大值，且极大值为 f(0)=1.【评注】 求和函数一般都是先通过逐项求导、逐项积分等转化为可直接求和的几何级数情形，然后再通过逐项积分、逐项求导等逆运算最终确定和函数.七、（本题满分9分）设F(x)=f(x)g(x), 其中函数f(x),g(x)在),(+∞-∞内满足以下条件：)()(x g x f ='，)()(x f x g ='，且f(0)=0, .2)()(x e x g x f =+(3) 求F(x)所满足的一阶微分方程； (4) 求出F(x)的表达式.【分析】 F(x)所满足的微分方程自然应含有其导函数，提示应先对F(x)求导，并将其余部分转化为用F(x)表示，导出相应的微分方程，然后再求解相应的微分方程.【详解】 (1) 由)()()()()(x g x f x g x f x F '+'='=)()(22x f x g +=)()(2)]()([2x g x f x g x f -+ =(22)x e -2F(x), 可见F(x)所满足的一阶微分方程为.4)(2)(2x e x F x F =+'(2) ]4[)(222C dx e e e x F dx xdx +⎰⋅⎰=⎰-=]4[42C dx e e x x +⎰-=.22x x Ce e -+将F(0)=f(0)g(0)=0代入上式，得 C=-1. 于是.)(22x x e e x F --=【评注】 本题没有直接告知微分方程，要求先通过求导以及恒等变形引出微分方程的形式，从题型来说比较新颖，但具体到微分方程的求解则并不复杂，仍然是基本要求的范围.八、（本题满分8分）设函数f(x)在[0，3]上连续，在（0，3）内可导，且f(0)+f(1)+f(2)=3, f(3)=1.试证必存在)3,0(∈ξ，使.0)(='ξf【分析】 根据罗尔定理，只需再证明存在一点c )3,0[∈，使得)3(1)(f c f ==，然后在[c,3]上应用罗尔定理即可. 条件f(0)+f(1)+f(2)=3等价于13)2()1()0(=++f f f ，问题转化为1介于f(x)的最值之间，最终用介值定理可以达到目的.【详解】 因为f(x)在[0，3]上连续，所以f(x)在[0，2]上连续，且在[0，2]上必有最大值M 和最小值m ，于是M f m ≤≤)0(， M f m ≤≤)1(， M f m ≤≤)2(. 故.3)2()1()0(M f f f m ≤++≤由介值定理知，至少存在一点]2,0[∈c ，使.13)2()1()0()(=++=f f f c f因为f(c)=1=f(3), 且f(x)在[c,3]上连续，在(c,3)内可导，所以由罗尔定理知，必存在)3,0()3,(⊂∈c ξ，使.0)(='ξf【评注】 介值定理、微分中值定理与积分中值定理都是常考知识点，且一般是两两结合起来考. 本题是典型的结合介值定理与微分中值定理的情形.九、（本题满分13分） 已知齐次线性方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+++++=+++++=+++++=+++++,0)(,0)(,0)(,0)(332211332211332211332211nn nn n n n n x b a x a x a x a x a x b a x a x a x a x a x b a x a x a x a x a x b a 其中.01≠∑=ni ia试讨论n a a a ,,,21 和b 满足何种关系时，(1) 方程组仅有零解；(2) 方程组有非零解. 在有非零解时，求此方程组的一个基础解系.【分析】方程的个数与未知量的个数相同，问题转化为系数矩阵行列式是否为零，而系数行列式的计算具有明显的特征：所有列对应元素相加后相等. 可先将所有列对应元素相加，然后提出公因式，再将第一行的（-1）倍加到其余各行，即可计算出行列式的值.【详解】 方程组的系数行列式ba a a a ab a a a a a b a a a a a ba A n nn n ++++=321321321321=).(11∑=-+ni i n a b b(1) 当0≠b 时且01≠+∑=ni iab 时，秩(A)=n ，方程组仅有零解.(2) 当b=0 时，原方程组的同解方程组为 .02211=+++n n x a x a x a 由01≠∑=ni ia可知，),,2,1(n i a i =不全为零. 不妨设01≠a ，得原方程组的一个基础解系为T a a )0,,0,1,(121 -=α，T a a )0,,1,0,(132 -=α，.)1,,0,0,(,1T n n a a -=α 当∑=-=ni iab 1时，有0≠b ，原方程组的系数矩阵可化为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----∑∑∑∑====n i i n nni inni inni ia a a a a a a a a a a a a a a a a a a a 1321132131213211（将第1行的-1倍加到其余各行，再从第2行到第n 行同乘以∑=-ni ia11倍）→ ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----∑=1001010100113211 n ni ia a a a a（ 将第n 行n a -倍到第2行的2a -倍加到第1行，再将第1行移到最后一行）→ .0000100101010011⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---由此得原方程组的同解方程组为12x x =，13x x =，1,x x n = . 原方程组的一个基础解系为 .)1,,1,1(T =α【评注】 本题的难点在∑=-=ni iab 1时的讨论，事实上也可这样分析：此时系数矩阵的秩为 n-1(存在n-1阶子式不为零)，且显然T )1,,1,1( =α为方程组的一个非零解，即可作为基础解系.十、（本题满分13分） 设二次型)0(222),,(31232221321>+-+==b x bx x x ax AX X x x x f T ，中二次型的矩阵A 的特征值之和为1，特征值之积为-12. (3) 求a,b 的值；(4) 利用正交变换将二次型f 化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵.【分析】 特征值之和为A 的主对角线上元素之和，特征值之积为A 的行列式，由此可求出a,b 的值；进一步求出A 的特征值和特征向量，并将相同特征值的特征向量正交化（若有必要），然后将特征向量单位化并以此为列所构造的矩阵即为所求的正交矩阵.【详解】 （1）二次型f 的矩阵为.200200⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=b b a A 设A 的特征值为).3,2,1(=i i λ 由题设，有1)2(2321=-++=++a λλλ，.12242002002321-=--=-=b a b ba λλλ解得 a=1,b= -2.(2) 由矩阵A 的特征多项式)3()2(22202012+-=+----=-λλλλλλA E ，得A 的特征值.3,2321-===λλλ对于,221==λλ解齐次线性方程组0)2(=-x A E ，得其基础解系 T )1,0,2(1=ξ，.)0,1,0(2T =ξ对于33-=λ，解齐次线性方程组0)3(=--x A E ，得基础解系 .)2,0,1(3T -=ξ由于321,,ξξξ已是正交向量组，为了得到规范正交向量组，只需将321,,ξξξ单位化，由此得T )51,0,52(1=η，T )0,1,0(2=η，.)52,0,51(3T -=η令矩阵[]⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-==5205101051052321ηηηQ ，则Q 为正交矩阵. 在正交变换X=QY 下，有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=300020002AQ Q T ，且二次型的标准形为.322232221y y y f -+=【评注】 本题求a,b ，也可先计算特征多项式，再利用根与系数的关系确定：二次型f 的矩阵A 对应特征多项式为)].2()2()[2(220022b a a bb aA E +----=+----=-λλλλλλλ设A 的特征值为321,,λλλ，则).2(,2,2232321b a a +-=-=+=λλλλλ由题设得1)2(2321=-+=++a λλλ，.12)2(22321-=+-=b a λλλ解得a=1,b=2.十一、（本题满分13分） 设随机变量X 的概率密度为;],8,1[,0,31)(32其他若∈⎪⎩⎪⎨⎧=x x x fF(x)是X 的分布函数. 求随机变量Y=F(X)的分布函数.【分析】 先求出分布函数F(x) 的具体形式，从而可确定Y=F(X) ,然后按定义求Y 的分布函数即可.注意应先确定Y=F(X)的值域范围)1)(0(≤≤X F ，再对y 分段讨论.【详解】 易见，当x<1时，F(x)=0; 当x>8 时，F(x)=1. 对于]8,1[∈x ，有 .131)(3132-==⎰x dt t x F x设G(y)是随机变量Y=F(X)的分布函数. 显然，当0<y 时，G(y)=0；当1≥y 时，G(y)=1.对于)1,0[∈y ，有})({}{)(y X F P y Y P y G ≤=≤= =})1({}1{33+≤=≤-y X P y X P =.])1[(3y y F =+于是，Y=F(X)的分布函数为.1,10,0,1,,0)(≥<≤<⎪⎩⎪⎨⎧=y y y y y G 若若若【评注】 事实上，本题X 为任意连续型随机变量均可，此时Y=F(X)仍服从均匀分布: 当y<0时，G(y)=0; 当 1≥y 时，G(y)=1;当 01<≤y 时，})({}{)(y X F P y Y P y G ≤=≤= =)}({1y F X P -≤ =.))((1y y F F =- 十二、（本题满分13分）设随机变量X 与Y 独立，其中X 的概率分布为 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛7.03.021~X ，而Y 的概率密度为f(y)，求随机变量U=X+Y 的概率密度g(u).【分析】求二维随机变量函数的分布，一般用分布函数法转化为求相应的概率. 注意X 只有两个可能的取值，求概率时可用全概率公式进行计算.【详解】 设F(y)是Y 的分布函数，则由全概率公式，知U=X+Y 的分布函数为 }{)(u Y X P u G ≤+==}2{7.0}1{3.0=≤++=≤+X u Y X P X u Y X P =}22{7.0}11{3.0=-≤+=-≤X u Y P X u Y P . 由于X 和Y 独立，可见G(u)= }2{7.0}1{3.0-≤+-≤u Y P u Y P=).2(7.0)1(3.0-+-u F u F 由此,得U 的概率密度)2(7.0)1(3.0)()(-'+-'='=u F u F u G u g =).2(7.0)1(3.0-+-u f u f【评注】 本题属新题型，求两个随机变量和的分布，其中一个是连续型一个是离散型，要求用全概率公式进行计算，类似问题以前从未出现过，具有一定的难度和综合性.2004年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）(1) 若5)(cos sin lim0=--→b x ae xx x ，则a =______，b =______. (2) 设函数f (u , v )由关系式f [xg (y ) , y ] = x + g (y )确定，其中函数g (y )可微，且g (y ) ≠ 0，则2fu v∂=∂∂.(3) 设⎪⎩⎪⎨⎧≥-<≤-=21,12121,)(2x x xe x f x ，则212(1)f x dx -=⎰.(4) 二次型213232221321)()()(),,(x x x x x x x x x f ++-++=的秩为 . (5) 设随机变量X 服从参数为λ的指数分布, 则=>}{DX X P _______.(6) 设总体X 服从正态分布),(21σμN , 总体Y 服从正态分布),(22σμN ,1,,21n X X X 和 2,,21n Y Y Y 分别是来自总体X 和Y 的简单随机样本, 则12221112()()2n n i j i j X X Y Y E n n ==⎡⎤-+-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦∑∑.二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内） (7) 函数2)2)(1()2sin(||)(---=x x x x x x f 在下列哪个区间内有界.(A) (-1 , 0).(B) (0 , 1).(C) (1 , 2).(D) (2 , 3). [ ](8) 设f (x )在(-∞ , +∞)内有定义，且a x f x =∞→)(lim ， ⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,)1()(x x x f x g ，则(A) x = 0必是g (x )的第一类间断点. (B) x = 0必是g (x )的第二类间断点.(C) x = 0必是g (x )的连续点.(D) g (x )在点x = 0处的连续性与a 的取值有关. [ ] (9) 设f (x ) = |x (1 - x )|，则(A) x = 0是f (x )的极值点，但(0 , 0)不是曲线y = f (x )的拐点. (B) x = 0不是f (x )的极值点，但(0 , 0)是曲线y = f (x )的拐点. (C) x = 0是f (x )的极值点，且(0 , 0)是曲线y = f (x )的拐点.(D) x = 0不是f (x )的极值点，(0 , 0)也不是曲线y = f (x )的拐点. [ ] (10) 设有下列命题：(1) 若∑∞=-+1212)(n n n u u 收敛，则∑∞=1n n u 收敛.(2) 若∑∞=1n n u 收敛，则∑∞=+11000n n u 收敛.(3) 若1lim 1>+∞→nn n u u ，则∑∞=1n n u 发散.(4) 若∑∞=+1)(n n n v u 收敛，则∑∞=1n n u ，∑∞=1n n v 都收敛.则以上命题中正确的是(A) (1) (2). (B) (2) (3). (C) (3) (4). (D) (1) (4). [ ] (11) 设)(x f '在[a , b]上连续，且0)(,0)(<'>'b f a f ，则下列结论中错误的是 (A) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得)(0x f > f (a ). (B) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得)(0x f > f (b ). (C) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得0)(0='x f .(D) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得)(0x f = 0.[ D ](12) 设n 阶矩阵A 与B 等价, 则必有(A) 当)0(||≠=a a A 时, a B =||. (B) 当)0(||≠=a a A 时, a B -=||.(C) 当0||≠A 时, 0||=B . (D) 当0||=A 时, 0||=B . [ ] (13) 设n 阶矩阵A 的伴随矩阵,0*≠A 若4321,,,ξξξξ是非齐次线性方程组 b Ax =的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组0=Ax 的基础解系 (A) 不存在. (B) 仅含一个非零解向量.(C) 含有两个线性无关的解向量. (D) 含有三个线性无关的解向量.[ ](14) 设随机变量X 服从正态分布)1,0(N , 对给定的)1,0(∈α, 数αu 满足αu X P α=>}{,若αx X P =<}|{|, 则x 等于 (A) 2αu . (B) 21αu-. (C) 21αu -. (D) αu -1. [ ]三、解答题(本题共9小题，满分94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) (15) (本题满分8分)求)cos sin 1(lim 2220xxx x -→. (16) (本题满分8分)求⎰⎰++Dd y y x σ)(22，其中D 22122=所围成的 平面区域(如图).(17) (本题满分8分) 设f (x ) , g (x )在[a , b ]上连续，且满足⎰⎰≥x axadt t g dt t f )()(，x ∈ [a , b )，⎰⎰=bab adt t g dt t f )()(.证明：⎰⎰≤babadx x xg dx x xf )()(.(18) (本题满分9分) 设某商品的需求函数为Q = 100 - 5P ，其中价格P ∈ (0 , 20)，Q 为需求量. (I) 求需求量对价格的弹性d E (d E > 0)；(II) 推导)1(d E Q dPdR-=(其中R 为收益)，并用弹性d E 说明价格在何范围内变化时， 降低价格反而使收益增加. (19) (本题满分9分) 设级数)(864264242864+∞<<-∞+⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅x x x x 的和函数为S (x ). 求：(I) S (x )所满足的一阶微分方程； (II) S (x )的表达式. (20)(本题满分13分)设T α)0,2,1(1=, T ααα)3,2,1(2-+=, T b αb α)2,2,1(3+---=, T β)3,3,1(-=, 试讨论当b a ,为何值时,(Ⅰ) β不能由321,,ααα线性表示;(Ⅱ) β可由321,,ααα唯一地线性表示, 并求出表示式;(Ⅲ) β可由321,,ααα线性表示, 但表示式不唯一, 并求出表示式. (21) (本题满分13分) 设n 阶矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=111 b b b b b b A .(Ⅰ) 求A 的特征值和特征向量;(Ⅱ) 求可逆矩阵P , 使得AP P 1-为对角矩阵. (22) (本题满分13分)设A ，B 为两个随机事件,且41)(=A P , 31)|(=AB P , 21)|(=B A P , 令⎩⎨⎧=不发生，，发生，A A X 0,1 ⎩⎨⎧=.0,1不发生，发生，B B Y 求(Ⅰ) 二维随机变量),(Y X 的概率分布;(Ⅱ) X 与Y 的相关系数 XY ρ; (Ⅲ) 22Y X Z +=的概率分布. (23) (本题满分13分)设随机变量X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤>⎪⎭⎫ ⎝⎛-=，，，αx αx x αβαx F β0,1),,( 其中参数1,0>>βα. 设n X X X ,,,21 为来自总体X 的简单随机样本,(Ⅰ) 当1=α时, 求未知参数β的矩估计量;(Ⅱ) 当1=α时, 求未知参数β的最大似然估计量; (Ⅲ) 当2=β时, 求未知参数α的最大似然估计量.2004年考研数学（三）真题解析一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） (1) 若5)(cos sin lim0=--→b x ae xx x ，则a =1，b =4-.【分析】本题属于已知极限求参数的反问题. 【详解】因为5)(cos sin lim0=--→b x ae xx x ，且0)(cos sin lim 0=-⋅→b x x x ，所以 0)(lim 0=-→a e x x ，得a = 1. 极限化为 51)(cos lim )(cos sin lim00=-=-=--→→b b x xxb x a e x x x x ，得b = -4.因此，a = 1，b = -4. 【评注】一般地，已知)()(limx g x f ＝ A ， (1) 若g (x ) → 0，则f (x ) → 0；(2) 若f (x ) → 0，且A ≠ 0，则g (x ) → 0.(2) 设函数f (u , v )由关系式f [xg (y ) , y ] = x + g (y )确定，其中函数g (y )可微，且g (y ) ≠ 0，则)()(22v g v g vu f '-=∂∂∂.【分析】令u = xg (y )，v = y ，可得到f (u , v )的表达式，再求偏导数即可. 【详解】令u = xg (y )，v = y ，则f (u , v ) =)()(v g v g u+，所以，)(1v g u f =∂∂，)()(22v g v g v u f '-=∂∂∂.(3) 设⎪⎩⎪⎨⎧≥-<≤-=21,12121,)(2x x xe x f x ，则21)1(221-=-⎰dx x f .【分析】本题属于求分段函数的定积分，先换元：x - 1 = t ，再利用对称区间上奇偶函数的积分性质即可.【详解】令x - 1 = t ，⎰⎰⎰--==-121121221)()()1(dt x f dt t f dx x f＝21)21(0)1(12121212-=-+=-+⎰⎰-dx dx xe x .【评注】一般地，对于分段函数的定积分，按分界点划分积分区间进行求解. (4) 二次型213232221321)()()(),,(x x x x x x x x x f ++-++=的秩为 2 .【分析】二次型的秩即对应的矩阵的秩, 亦即标准型中平方项的项数, 于是利用初等变换或配方法均可得到答案. 【详解一】因为213232221321)()()(),,(x x x x x x x x x f ++-++=323121232221222222x x x x x x x x x -++++=于是二次型的矩阵为 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=211121112A ,由初等变换得 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→000330211330330211A ,从而 2)(=A r , 即二次型的秩为2.【详解二】因为213232221321)()()(),,(x x x x x x x x x f ++-++=323121232221222222x x x x x x x x x -++++=2322321)(23)2121(2x x x x x -+++= 2221232y y +=,其中 ,21213211x x x y ++= 322x x y -=.所以二次型的秩为2.(5) 设随机变量X 服从参数为λ的指数分布, 则=>}{DX X Pe1. 【分析】 根据指数分布的分布函数和方差立即得正确答案.【详解】 由于21λDX =, X 的分布函数为 ⎩⎨⎧≤>-=-.0,0,0,1)(x x e x F x λ故=>}{DX X P =≤-}{1DX X P =≤-}1{1λX P )1(1λF -e1=. 【评注】本题是对重要分布, 即指数分布的考查, 属基本题型.(6) 设总体X 服从正态分布),(21σμN , 总体Y 服从正态分布),(22σμN ,1,,21n X X X 和 2,,21n Y Y Y 分别是来自总体X 和Y 的简单随机样本, 则22121212)()(21σn n Y Y X X En j j n i i =⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+-+-∑∑==.【分析】利用正态总体下常用统计量的数字特征即可得答案.【详解】因为 2121])(11[1σX n E n i i =--∑=, 2122])(11[2σY n E n j j =--∑=, 故应填 2σ.【评注】本题是对常用统计量的数字特征的考查.二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内） (7) 函数2)2)(1()2sin(||)(---=x x x x x x f 在下列哪个区间内有界. (A) (-1 , 0).(B) (0 , 1).(C) (1 , 2).(D) (2 , 3). [ A ]【分析】如f (x )在(a , b )内连续，且极限)(lim x f a x +→与)(lim x f b x -→存在，则函数f (x )在(a , b )内有界.【详解】当x ≠ 0 , 1 , 2时，f (x )连续，而183sin )(lim 1-=+-→x f x ，42sin )(lim 0-=-→x f x ，42sin )(lim 0=+→x f x ，∞=→)(lim 1x f x ，∞=→)(lim 2x f x ，所以，函数f (x )在(-1 , 0)内有界，故选(A).【评注】一般地，如函数f (x )在闭区间[a , b ]上连续，则f (x )在闭区间[a , b ]上有界；如函数f (x )在开区间(a , b )内连续，且极限)(lim x f a x +→与)(lim x f b x -→存在，则函数f (x )在开区间(a , b )内有界.(8) 设f (x )在(-∞ , +∞)内有定义，且a x f x =∞→)(lim ，⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,)1()(x x xf xg ，则(A) x = 0必是g (x )的第一类间断点. (B) x = 0必是g (x )的第二类间断点. (C) x = 0必是g (x )的连续点.(D) g (x )在点x = 0处的连续性与a 的取值有关. [ D ] 【分析】考查极限)(lim 0x g x →是否存在，如存在，是否等于g (0)即可，通过换元xu 1=， 可将极限)(lim 0x g x →转化为)(lim x f x ∞→.【详解】因为)(lim )1(lim )(lim 0u f x f x g u x x ∞→→→=== a (令xu 1=)，又g (0) = 0，所以， 当a = 0时，)0()(lim 0g x g x =→，即g (x )在点x = 0处连续，当a ≠ 0时，)0()(lim 0g x g x ≠→，即x = 0是g (x )的第一类间断点，因此，g (x )在点x = 0处的连续性与a 的取值有关，故选(D).【评注】本题属于基本题型，主要考查分段函数在分界点处的连续性. (9) 设f (x ) = |x (1 - x )|，则(A) x = 0是f (x )的极值点，但(0 , 0)不是曲线y = f (x )的拐点. (B) x = 0不是f (x )的极值点，但(0 , 0)是曲线y = f (x )的拐点. (C) x = 0是f (x )的极值点，且(0 , 0)是曲线y = f (x )的拐点.(D) x = 0不是f (x )的极值点，(0 , 0)也不是曲线y = f (x )的拐点. [ C ] 【分析】由于f (x )在x = 0处的一、二阶导数不存在，可利用定义判断极值情况，考查f (x )在x = 0的左、右两侧的二阶导数的符号，判断拐点情况.【详解】设0 < δ < 1，当x ∈ (-δ , 0) ⋃ (0 , δ)时，f (x ) > 0，而f (0) = 0，所以x = 0是f (x )的极小值点. 显然，x = 0是f (x )的不可导点. 当x ∈ (-δ , 0)时，f (x ) = -x (1 - x )，02)(>=''x f ， 当x ∈ (0 , δ)时，f (x ) = x (1 - x )，02)(<-=''x f ，所以(0 , 0)是曲线y = f (x )的拐点. 故选(C).【评注】对于极值情况，也可考查f (x )在x = 0的某空心邻域内的一阶导数的符号来判断. (10) 设有下列命题：(1) 若∑∞=-+1212)(n n n u u 收敛，则∑∞=1n n u 收敛.(2) 若∑∞=1n n u 收敛，则∑∞=+11000n n u 收敛.(3) 若1lim 1>+∞→nn n u u ，则∑∞=1n n u 发散.(4) 若∑∞=+1)(n n n v u 收敛，则∑∞=1n n u ，∑∞=1n n v 都收敛.则以上命题中正确的是 (A) (1) (2). (B) (2) (3).(C) (3) (4).(D) (1) (4).[ B ]【分析】可以通过举反例及级数的性质来说明4个命题的正确性. 【详解】(1)是错误的，如令nn u )1(-=，显然，∑∞=1n n u 分散，而∑∞=-+1212)(n n n u u 收敛.。
2010年考研数学三真题及解析
2010 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.(1)若011lim[()]1xxa e xx，则a 等于（Ａ）０（Ｂ）１（Ｃ）２（Ｄ）３(2)设1y ,2y 是一阶线性非齐次微分方程y p x y q x 的两个特解. 若常数,使12y y 是该方程的解,12y y 是对应的齐次方程的解, 则（A ）11,22(B)11,22(C)21,33(D)22,33（3）设函数(),()f x g x 具有二阶导数，且()0g x 。
若0()g x a 是()g x 的极值，则f g x在0x 取极大值的一个充分条件是(A)0f a (B)0f a (C)0f a (D) 0f a （4）设1010ln ,,xf x xg xx h xe ，则当x 充分大时有(A)g x h x f x .(B) h x g x f x . (C)f xg xh x .(D)g xf xh x .(5)设向量组12:,,,rI 可由向量组12II :,,,s线性表示, 则列命题正确的是(A) 若向量组I 线性无关, 则r s (B) 若向量组I 线性相关, 则r s (C) 若向量组II 线性无关, 则r s (D) 若向量组II 线性相关, 则rs(6)设A 为4阶对称矩阵,且20AA若A 的秩为3,则A 相似于(A)1110(B)1110(C)1110(D)1110(7) 设随机变量X 的分布函数0,01(),0121,1xxF x x e x ，则1P X (A) 0 (B) 1(C)112e(D) 11e(8) 设1()f x 为标准正态分布的概率密度2()f x 为[1,3]上均匀分布的概率密度,12(),0()(0,0)(),0af x x f x abbf x x为概率密度,则,a b 应满足(A)234a b (B) 324a b (C) 1a b (D) 2a b 二、填空题(9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上.) （9）设可导函数y y x 由方程22sin x y x t e dt x t dt 确定，则______x dy dx（10）设位于曲线21()(1ln )yexx x 下方, x 轴上方的无界区域为G , 则G 绕x 轴旋转一周所得空间区域的体积为_________。
2010年考研数学真题点评(李永乐、李正元、王式安)
主持人：各位网友大家好，欢迎大家关注腾讯网教育频道联合万学共同制作的2010考研真题解析系列访谈节目。
今天我们非常容幸的邀请到了万学海文的顶级辅导名师，李正元、王式安、李永乐三位老师作客我们的访谈街，为大家第一时间解读2010年的数学考研真题。
李正元老师是北大的教授，李永乐老师是清华的教授。
王式安老师是北京理工大学的教授。
今天三位老师来到我们这里，一定能够给大家带来很大的收获。
希望大家能够受益匪浅。
现在就开始进入正题。
今年的考研题目，考试大纲和09年年的考试大纲是一致的，三位老师认为10年和09年考研的命题思路有什么变化？考试的难度有什么区别？李正元：我觉得从高数来说，大部分题目跟原来的命题思路是一致的，它还是一个基本的题目，难以程度也是适中。
比如说，大的解答题里，15题。
通解，这是一个基本题。
第16题是求一个变限积分。
求一次倒数就可以。
马上就可以回答它的结论。
第三道17道题，两道小题，第一个是比较两个积分题的大小。
积分曲线是一样的。
只要比较里面的函数，这里实际上就归结到L，大于区间上。
有了这个，这个题就非常容易得到了，第二个求极限利用第一道题。
第18道题，这个题目我们说只要利用一下求奇数无奇数合的基本方法就可以得到的，所以这个难以程度，当然最后一道题稍微难一点。
是一个全面积分比较复杂。
在一些少量的题目，我觉得它并不是非常基本，跟以前的题型大家不多见。
主要体现在选择题里，有四道选择题，一道是两个和号的取极限。
要是选择下面四道累计几分，是哪一个，这个题目应该说不那么基本。
大家基本的可能多数同学应该没有做过这个问题。
另外一个，就是关于狭积分的，它不是通过非常简单的计算就可以判断的，所以这两道稍微难一点。
四道选择题里占了两道题比较难的。
恩在基本题的方面在这一点上是和去年不同的地方。
总体上来说大部分题目还是适中的，有少量题目是难的。
高数是这样的情况。
主持人：李老师王老师呢？李永乐：今年的命题和以往的命题思路思想方法都是连贯的。
数3--10真题答案
2010年考研数学(三)试卷答案速查一、选择题（1）C （2）A （3）B （4）C （5）A （6）D （7）C （8）A 二、填空题（9）1− （10）2π4（11）31(1)3e p p − （12）3（13）3 （14）22σμ+ 三、解答题（15）1e −． （16）1415． （17）max u =，min u =−． （18）（Ⅰ）[]110ln ln(1)d ln d nn t t t t t t +<⎰⎰ (1,2,)n =.（Ⅱ）lim 0n n u →∞=．（19）略．（20）（Ⅰ）1λ=−，2a =−.（Ⅱ）通解为32110210k ⎛⎫ ⎪⎛⎫ ⎪⎪⎪=+− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭x ，k 为任意常数．（21）1a =−，0⎪=⎪⎪⎪⎪⎭Q ．（22）1πA =.222(,)()()x xy y Y X X f x y f y x f x −+−==，y −∞<<+∞．（23）（Ⅰ）(,)X Y 的概率分布为（Ⅱ）4cov(,)45X Y =−． 2010年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）参考答案一、选择题：1～8小题,每小题4分,共32分．下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的．请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上． （1）【答案】C ．【解答】原式00111e lim e e lim 11xx x x x a a a x x x →→−⎛⎫=−+=+=−+= ⎪⎝⎭所以2a =．故选C ．（2）【答案】A ．【解答】由已知条件可得12y y λμ−是齐次方程()0y p x y '+=的解，带入可得，1122(())(())0y p x y y p x y λμ''+−+=，即()()0q x λμ−=，0λμ−=．又12y y λμ+是方程()()y p x y q x '+=的解，所以有，1122(())(())()y p x y y p x y q x λμ''+++=，可得()()()q x q x λμ+=，1λμ+=．所以12λμ==．故选A ． （3）【答案】B ．【解答】因为0()g x a =是()g x 的极值，且()g x 可导，所以0()0g x '=．记()()y f g x =，有 ()()()y f g x g x '''=⋅，()[]()2()()()()y f g x g x f g x g x ''''''''=⋅+⋅． 从而00()()0x x y f a g x ='''=⋅=，即0x 是()()f g x 的驻点．又[]02000()()()()()()x x y f a g x f a g x f a g x ='''''''''''=⋅+⋅=⋅，由极值的第二充分条件，当00()()0x x y f a g x ='''''=⋅<时，y 在0x 取极大值，因为0()0g x ''<，所以()0f a '>．故选B ． （4）【答案】C ． 【解答】因为10()limlim ()ln x x g x x f x x→+∞→+∞==+∞，10()elim lim ()xx x h x g x x →+∞→+∞==+∞，所以，当x 充分大时， ()()()f x g x h x <<．故选C ． （5）【答案】A ．【解答】因为向量组Ⅰ可由向量组Ⅱ线性表示，所以1212(,,,)(,,,)r s r r αααβββ，若向量组Ⅰ线性无关，则12(,,,)r r r =ααα，从而1212(,,,)(,,,)r s r r r s =αααβββ，即r s ．故选A ．（6）【答案】D ．【解答】设λ为A 的特征值，因为2+=A A O ，所以20λλ+=，1λ=−或0．因为A 为实对称矩阵，故A 可相似对角化，即A 相似于对角阵Λ，()()3r r ==A Λ，因此1110−⎛⎫⎪− ⎪= ⎪− ⎪⎝⎭Λ．故选D ． （7）【答案】C ．【解答】{}{}{}()()11111111101e e 22P X P X P X F F −−==−<=−−=−−=−． 故选C ． （8）【答案】A ．【解答】221()x f x −=，21,13,()40,x f x ⎧ −⎪=⎨⎪ ⎩其它.利用概率密度的性质，3312100131()d ()d ()d ()d d 2424a a f x x af x x bf x x f x xb x b +∞+∞−∞−∞−∞==+=+=+⎰⎰⎰⎰⎰，所以234a b +=．故选A ．二、填空题：9～14小题,每小题4分,共24分．请将答案写在答题纸．．．指定位置上． （9）【答案】1−． 【解答】220e d sin d x yxt t x t t +−=⎰⎰， ①两边对x 求导得2()220e(1)sin d sin xx y y t t x x −+'+=+⎰． ②把0x =代入①式，得0y =，把0x =，0y =代入②式，得1y '=−，即d 1d x yx==−．（10）【答案】2π4．【解答】222e ee1ππd πd πarctan(ln )(1ln )4V y x x x x x +∞+∞+∞====+⎰⎰． （11）【答案】31(1)3ep p −．【解答】由收益弹性3d 1d p R p R p =+，整理得2d 1d R p p R p ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，解得313e p R Cp =． 代入()11R =，得13e C −=，所以31(1)3()ep R p p −=．（12）【答案】3．【解答】232,62y x ax b y x a '''=++=+. 令0y ''=，得13ax =−=−，所以3a =． 又曲线过点(1,0)−，代入曲线方程，得3b =． （13）【答案】3． 【解答】因为1111111()E −−−−−−−+=+=+=+A BAE B ABB AA B A A B B ，所以11111()3−−−−−+=+=⋅+⋅=A B A A B B A A B B ． （14）【答案】22σμ+．【解答】2222221111()()()()n n i i i i ET E X E X E X DX EX n n σμ======+=+∑∑．三、解答题：15～23小题,共94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案写在答题纸．．．指定位置上． （15）（本题满分10分） 解： 11111ln(1)ln(1)lim ln ln ln lim (1)lim eex x x x x xxxxx x x →+∞−−→+∞→+∞−==，其中，1ln 0lim lim ee 1x x xx x x →+∞→+∞===，1112111ln ln(1)1ln 1lim lim lim1ln (1)xxx x x x xx xx x x x xx x x→+∞→+∞→+∞−−−−==−1ln 1ln 1ln limlim1,1ln (e1)x x x xx xx x x x→+∞→+∞−−===−⋅−所以原式1e −=．解：积分区域如图，33223()d d (33)d d DDI x y x y x x y xy y x y =+=+++⎰⎰⎰⎰，根据对称性，13232(3)d d 2(3)d d DD I x xy x y x xy x y =+=+⎰⎰⎰⎰， 其中{}21(,)01,21D x y y y x y =+是D 的上半部分，从而 2111324202091142d 3)d 2(2)d 4415y I yx xy x y y y +=+=−++=⎰⎰⎰．（17）（本题满分10分）解：构造拉格朗日函数222(,,,)2(10)L x y z xy yz x y z λλ=++++−，由 22220,220,220,100.xyzL y x L x z y L y z L x y z λλλλ'=+=⎧⎪'=++=⎪⎨'=+=⎪⎪'=++−=⎩解得可能的最值点有5,2),(1,5,2),(5,2),(1,5,2),(22,0,2),(22,0,2)−−−−−−−−，因为5,2)(1,5,2)55u u =−−−=，(1,5,2)(5,2)55u u −=−−=−，(22,0,2)(22,0,2)0u u −=−=，所以max 55u =，min 55u =−．（18）（本题满分10分）解：（Ⅰ）当01t <时， 令()ln(1)f t t t =−+，有(0)0,'()0f f t =>，所以()0f t >且单调递增，故有0ln(1)t t <+<，所以[]ln ln(1)ln nnt t t t +<.由积分的比较性质，[]11ln ln(1)d ln d nn t t t t t t +<⎰⎰，(1,2,)n = .（Ⅱ）由（Ⅰ）可知10ln d nn u tt t <<⎰，而1111200011ln d ln d ln d()1(1)nnn t t t t t t t t n n +=−=−=++⎰⎰⎰， 所以，210(1)n u n <<+，又21lim 0(1)n n →∞=+，由夹逼定理，lim 0n n u →∞=．解：（Ⅰ）由积分中值定理，2()d 2()f x x f η=⎰，(0,2)η∈，因为22(0)()d f f x x =⎰，所以(0)()f f η=，(0,2)η∈．（Ⅱ）因为(2)(3)(0)2f f f +=，所以由介值定理，存在[2,3]c ∈，使得()(0)f c f =．从而有 (0)()()f f f c η==．现对()f x 分别在区间[0,]η和[,]c η上应用罗尔定理，得12()()0f f ξξ''==，其中12[0,],[,]c ξηξη∈∈．又()f x 二阶可导，再对()f x 在区间12[,]ξξ上应用罗尔定理，得()0f ξ''=，其中12(,)(0,3)ξξξ∈⊂．（20）（本题满分11分） 解：（Ⅰ）对增广矩阵进行初等行变换，得211111()010101011110011a a λλλλλλλ⎛⎫⎛⎫⎪⎪=−→− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−−+⎝⎭⎝⎭A b .当1λ=时，()1,(,)2r r ==A A b ，方程组无解；当1λ=−时，()(,)23r r ==<A A b ，方程组有无穷多解，满足=Ax b 存在两个不同的解的条件，所以1λ=−，2a =−．（Ⅱ）当1λ=−，2a =−时，增广矩阵经初等变换得3101211111()0201010200000000⎛⎫− ⎪−⎛⎫ ⎪⎪ ⎪→−→− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭A b ，其导出组的通解为1101k ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭x ,方程组=Ax b 的一个特解为32120⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭η，故通解为32110210k ⎛⎫ ⎪⎛⎫ ⎪⎪⎪=+− ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭x ，k 为任意常数．解：因为Q 的列是A的特征向量，所以设T 1=α是A 的对应于特征值1λ的特征向量，由111λ=A αα，即10141113224011a a λ−⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪−= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解得12,1a λ==−．由14131(4)(2)(5)041λλλλλλλ−−=−=+−−=−E A 得，A 的特征值为1232,5,4λλλ===−．对25λ=，由(5)−=E A x 0，解得A 的对应于25λ=的特征向量为T2(1,1,1)=−α． 对34λ=−，由(4)−−=E A x 0，解得A 的对应于34λ=−的特征向量为T3(1,0,1)=−α．因为A 为实对称矩阵，不同特征值的特征向量相互正交，只需单位化：T T 2323231,1),1,0,1)==−==−ααββαα，则123(,,)0⎪==⎪⎪⎪⎪⎭Q αββ，使T 254⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪−⎝⎭Q AQ Λ．（22）（本题满分11分） 解： 由概率密度的性质，222222()1(,)d d ed de e d d x xy y x y xf x y x y A x y A x y +∞+∞+∞+∞+∞+∞−+−−−−−∞−∞−∞−∞−∞−∞===⎰⎰⎰⎰⎰⎰22()ed ed()πx y x Ax y x A +∞+∞−−−−∞−∞=−=⎰⎰，所以1πA =． X 的边缘概率密度为222()1()(,)d e e d()πx y x x X f x f x y y y x +∞+∞−−−−−∞−∞==−=⎰⎰，x −∞<<+∞当x −∞<<+∞时，条件概率密度222(,)()()x xy yY XXf x yf y xf x−+−==，y−∞<<+∞．（23）（本题满分11分）解：（Ⅰ）X的所有可能取值为0,1，Y的所有可能取值为0,1,2．{}232610,05CP X YC====，{}11232620,15C CP X YC====，{}10,215P X Y===，{}11132611,05C CP X YC====，{}21,115P X Y===，{}1,20P X Y===．从而(,)X Y的概率分布为（Ⅱ）cov(,)()X Y E XY EX EY=−⋅，21101333EX=⨯+⨯=，2812012515153EY=⨯+⨯+⨯=，22()111515E XY=⨯⨯=，4cov(,)45X Y=−．。
2010年考研数学三真题及答案解析
(D) 1 e1 .
(8) 设 f1(x) 为标准正态分布的概率密度, f2 (x) 为1, 3 上均匀分布的概率密度,若
f
(
x)
baff21
(x) (x)
x 0 (a 0,b 0) x0
为概率密度,则 a, b 应满足 ( )
(A) 2a 3b 4 .
(B) 3a 2b 4 .
(C) a b 1.
(D) 3.
(2)
设 y1, y2 是一阶非齐次微分方程 y p x y q x 的两个特解,若常数 ， 使
y1 y2 是该方程的解, y1 y2 是该方程对应的齐次方程的解,则( )
(A) 1 , 1 . 22
(B) 1 , 1 .
2
2
(C) 2 , 1 . 33
y2
P
x
y2
q
x
,
q x q x ,由 q x 0 可知 1 ,
②
由①②求解得 1 ,故应选(A)． 2
(3)【答案】 (B).
【解析】 f g(x) f g(x) g(x) ,
f g(x) f g(x) g(x) f g(x)g(x)2 f g(x) g(x)
2010
2010 年全国硕士研究生入学统一考试
数学三试题
一、选择题(1~8 小题,每小题 4 分,共 32 分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符 合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.)
(1)
1
若
lim
x0
x
1 x
a
e
x
1,则 a 等于(
)
(A) 0.
(B) 1.
(C) 2.
(D) 2 , 2 . 33
2010年考研数学三真题及答案解析
2010年考研数学三真题一.选择题1.若1])1(1[lim =--→xox e a xx 则a =A0 B1 C2 D32.设21,y y 是一阶线性非齐次微分方程)()(x q y x p y =+'的两个特解，若常数μλ,使21y y μλ+是该方程的解，21y y μλ-是该方程对应的齐次方程的解，则A 21,21==μλ B 21,21-=-=μλ C 31,32==μλ D 32,32==μλ3.设函数f(x),g(x)具有二阶导数，且.0)(<''x g 若a x g =)(0是g(x)的极值，则f(g(x))在0x 取极大值的一个充分条件是A 0)(<'a fB 0)(>'a fC 0)(<''a fD 0)(>''a f 4设1010)(,)(,ln )(xex h x x g x x f ===则当x 充分大时有Ag(x)<h(x)<f(x) Bh(x)<g(x)<f(x) Cf(x)<g(x)<h(x) Dg(x)<f(x)<h(x)5设向量组线性表示，，，：，可由向量组s I βββααα⋯⋯21r 21II ,,:，下列命题正确的是： A 若向量组I 线性无关，则s r ≤ B 若向量组I 线性相关，则r>sC 若向量组II 线性无关，则s r ≤D 若向量组II 线性相关，则r>s 6.设A 为4阶实对称矩阵，且02=+A A ，若A 的秩为3，则A 相似于A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0111B ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0111C ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--0111D ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---0111 7.设随机变量X 的分布函数⎪⎩⎪⎨⎧≥-<≤<=-1,110,21,0)(x e x x x F x，则P （X=1)=A0 B21 C 121--e D 11--e 8.设)(1x f 为标准正态分布概率密度，)(2x f 为[-1,3]上均匀分布的概率密度，若⎩⎨⎧<>≥≤=)0,0(0),(0),()(21b a x x bf x x af x f 为概率密度，则a,b 满足：A2a+3b=4 B3a+2b=4 Ca+b=1 Da+b=2二.填空题9.设可导函数y=y(x),由方程⎰⎰=+-xyx t dt t x dt e 020sin 2确定，则____________0==x dxdy10.设位于曲线)()ln 1(12+∞<≤+=x e x x y 下方，x 轴上方的无界区域为G ，则G 绕x轴旋转一周所得空间区域的体积为____________11.设某商品的收益函数R(p),收益弹性为31p +，其中p 为价格，且R(1)=1,则R(p)=________________12.若曲线123+++=bx ax x y 有拐点(-1,0),则b=_____________13.设A ，B 为3阶矩阵，且2,2,31=+==-B A B A ，则_________1=+-B A14.设___________ET ,1T )0)(,(N ,,122321==>⋯∑=则计量的简单随机样本。
2010年考研数三试题及答案
2010年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题及参考答案一、选择题（1~8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，把所选项前的字母填在答题纸指定的位置上）（1）若011lim e 1x x a x x →⎡⎤⎛⎫--= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，则a =（ C ）（A ）0 （B ）1 （C ） 2 （D ）3【详解】方法一()000111(1)e lim e 1lim 1lim 1(1)e 1x x x x x x ax a ax x x x →→→⎡⎤--⎛⎫'--=⇒=⇒---= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ ()0lim 1e 1112x x ax a a a →⇒--=-⇒-=-⇒=方法二()111111()e 1()1(1())x o x a a x o x a x o x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=--++=-++-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()1(1())o x a x o x x ⎛⎫=-+-++ ⎪⎝⎭0011()lim e 1lim 1(1())1x x x o x a a x o x a x x x →→⎡⎤⎛⎫⎛⎫--==-+-++=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，2a ∴= （2）设函数1y ，2y 是一阶非齐次微分方程()()y p x y q x '+=的两个特解，若常数λ，μ使得12y y λμ+是该方程的解，12y y λμ-是该方程对应的齐次方程的解，则（ A ） （A ）12λ=，12μ= （B ）12λ=-，12μ=- （C ）23λ=，13μ= （D ）23λ=，23μ= 【详解】12y y λμ+是()()y p x y q x '+=的解1λμ⇒+=；12y y λμ-是()0y p x y '+=的解0λμ⇒-=，112λμλμλμ+=⎧⇒⇒==⎨-=⎩（3）设函数()f x 、()g x 具有二阶导数，且0()g x a =，0()g x a =是()g x 的极值，则[()]f g x 在0x 处取得极大值的一个充分条件是（ B ）（A ）()0f a '< （B ）()0f a '> （C ）()0f a ''< （D ）()0f a ''>【详解】记()(())h x f g x =，在0x 处取得极大值的一个充分条件：000200000()(())()0()(())(())(())()0h x f g x g x h x f g x g x f g x g x '''=⋅=⎧⎪⎨''''''''=⋅+⋅≠⎪⎩ 因为0()g x a =，又有00000()()()0()0,()0()()()0h x f a g x g x g x h x f a g x '''=⋅=⎧'''=<⇒⎨'''''=⋅<⎩必有()0f a '>.（4）设10()ln f x x =，()g x x =，10()e x h x =，则当x 充分大时有（ C ） （A ）()()()g x h x f x << （B ）()()()h x g x f x << （C ）()()()f x g x h x << （D ）()()()g x f x h x <<【详解】当x →∞时，1010()ln ()()e xf x xg x xh x =<=<=0,,()()()M x M f x g x h x ∃>∀><<本题属于初等函数性质的运用（5）设向量组12:,,...,r I ααα可由向量组12:,,...,s II βββ线性表示，下列命题正确的是（ A ）（A ）若向量组I 线性无关，则r s ≤ （B ）若向量组I 线性相关，则r s >（C ）若向量组II 线性无关，则r s ≤ （D ）若向量组II 线性相关，则r s >【详解】 本题考察的知识点是向量组的线性相关性的性质以及向量组的线性表示。
历年考研数学三真题及答案解析
2012年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题选择题：1~8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.（1）曲线221x xyx+=-渐近线的条数为（）（A）0 （B）1 （C）2 （D）3（2）设函数2()(1)(2)x x nxf x e e e n=--…（-），其中n为正整数，则(0)f'=（）（A）1(1)(1)!n n---（B）(1)(1)!n n--（C）1(1)!n n--（D）(1)!n n-（3）设函数()f t连续，则二次积分22202cos()d f r rdrπθθ⎰⎰=（）（A）222() dx x y dy+⎰（B）222() dx f x y dy+⎰（C）2221() dx x y dy+⎰⎰（D）2221() dx x y dy+⎰⎰（4）已知级数11(1)inα∞=-∑绝对收敛，21(1)ninα∞-=-∑条件收敛，则α范围为（）（A）0<α12≤（B）12< α≤1（C）1<α≤32（D）32<α<2（5）设1234123400110,1,1,1c c c c αααα-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪===-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭其中1234c c c c ，，，为任意常数，则下列向量组线性相关的是（） （A ）123ααα，， （B ）124ααα，，（C ）134ααα，，（D ）234ααα，，（6）设A 为3阶矩阵，P 为3阶可逆矩阵，且P-1AP=112⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭， 123=P ααα（，，），1223=Q αααα（+，，）则1=Q AQ -（）（A ）121⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭（B ）112⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ （C ）212⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭（D ）221⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ （7）设随机变量X 与Y 相互独立，且都服从区间（0，1）上的均匀分布，则+P X Y ≤22｛1｝（ ）（A ）14（B ）12（C ）8π（D ）4π（8）设1234X X X X ，，，为来自总体N σσ>2（1，）（0）的简单随机样本，则统计量1234|+-2|X X X X -的分布（）（A ）N （0，1）（B ）(1)t（C ）2(1)χ （D ）(1,1)F二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.（9）1cos sin 4lim(tan )x xx x π-→（10）设函数ln 1(),(()),21,1x dy x f x y f f x dx x x =⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩求___________.（11）函数(,)z f x y =满足010,x y →→=则(0,1)dz =_______.（12）由曲线4y x =和直线y x =及4y x =在第一象限中所围图形的面积为_______.（13）设A 为3阶矩阵，|A|=3，A*为A 的伴随矩阵，若交换A 的第一行与第二行得到矩阵B ，则|BA*|=________.（14）设A,B,C 是随机事件，A,C 互不相容，11(),(),23P AB P C ==则C P AB （）=_________.解答题：15~23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分10分）计算222cos 40lim x xx e e x -→-（16）（本题满分10分）计算二重积分xDe xydxdy⎰⎰，其中D为由曲线y y ==所围区域.（17）（本题满分10分）某企业为生产甲、乙两种型号的产品，投入的固定成本为10000（万元），设该企业生产甲、乙两种产品的产量分别为x(件)和y(件)，且固定两种产品的边际成本分别为20+2x（万元/件）与6+y （万元/件）.1）求生产甲乙两种产品的总成本函数(,)C x y （万元）2）当总产量为50件时，甲乙两种的产量各为多少时可以使总成本最小？求最小的成本. 3）求总产量为50件时且总成本最小时甲产品的边际成本，并解释其经济意义. （18）（本题满分10分）证明：21ln cos 1,1 1.12x x x x x x ++≥+-<<-（19）（本题满分10分）已知函数()f x 满足方程()()2()0f x f x f x "'+-=及()()2x f x f x e '+=1）求表达式() f x2）求曲线的拐点22()()xy f x f t dt =-⎰（20）（本题满分10分）设1001010100100010aaA baa⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪- ⎪ ⎪==⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，（I）求|A|（II）已知线性方程组Ax b=有无穷多解，求a，并求Ax b=的通解.(21)（本题满分10分）已知1010111001Aaa⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦，二次型123(,,)()f x x x x xT T=A A的秩为2，求实数a的值；求正交变换x=Qy将f化为标准型.（22）（本题满分10分）已知随机变量X,Y以及XY的分布律如下表所示：求（1）P(X=2Y);（2）cov(,)XYX Y Y-ρ与.（23）（本题满分10分）设随机变量X和Y相互独立，且均服从参数为1的指数分布，min(,),=max(,).V X Y U X Y=求（1）随机变量V的概率密度；（2）()E U V+.2011年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分。
-历年考研数学三真题及答案解析
是c+等价无穷小，则(C) R = 3,c = 4已知 f(x)在 X = O 处可导，且 /(0) = 0,则 Iim x ~f M~2 / CV)Λ→0设｛冷｝是数列，则下列命题正确的是OOX若£心收敛’则∑(∕G H -I +U 2π)收敛/1-1n-1X OC若£(%如)收敛，则收敛“■]/1-1OO X若X ©收敛，则X(∕Y 2^1 T6)收敛 ∕ι≡lπ-! 若X("2-1 Tf 2』收敛‘则X ©收敛π-l ∕ι≡lπ JT π设/ =JJIn(Sin x)dx , J = JJ In(COt x)dx, K = U In(COS x)dx 贝IJ 八 J , K的大 小关系是解，k lt k 2为任意常数.则Ax = β的通解为(A) k = l,c = 4(B) IC = ^C =-4⑷-2/(0)(B) -/'(O) (C) /(O) (D) 0(C) (D)(A) I<J<K (B) I<K<J (C) J <I<K (D) K<J<I⑸ 设A 为3阶矩阵・将A 的第2列加到第1列得矩阵3.再交换B 的第2行与第31 O OU O 0,行得单位矩阵记为片=1 1 O，£ = O O 1,0 0 1’O 1 O 丿(C) P 2P 1 (D) P['P ∖(6)设人为4x3矩阵，7，J Il > “3 是非齐次线性方程组AX = 0的3个线性无关的(B) P^P I (A)砒 ,则4 =(B)t h∑211 + k2{η2-η^(C)T h；+ & (% - 帀)+ £(“2 - 7)(D)+ «2(〃2 一〃1)+ 鸟3(〃3一帀)(7)设F i(x), F2(X)为两个分布函数，其相应的概率密度f l(x), /I(X)是连续函数, 则必为概率密度的是(A)∕1U)Λ(x)(B) If2(X)FM(C) ∕1(X)F2(X)(D) f l(x)F2(x) + f2(x)F i(x)(8)设总体X服从参数2(Λ>0)的泊松分布，X P X l,..∙X,1(∕z≥2)为来自总体的简1" IilZil单随即样本，贝IJ对应的统iiS7；=-yx(., T l =——Vx1-+-X,,刃台^ H-I ⅛r IJ '(A) ET i > ET2i DT l > DT2(B) ETl > ET^DT i < DT2(C) ET x < ET2.DT x > DT1(D) ET x < ET1,DT x < DT1二、填空题：旷14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.X(9)设/(x) = IimX(I+ 3r)7,则 / (X) = __ ・∕→0X(10)设函数2 = (1 +丄)匚则^I(II= _______ ・y(11)曲线tan(x + y + -)="在点(0,0)处的切线方程为_______ ・4(12)曲线y = 直线X = I及X轴所囤成的平面图形绕X轴旋转所成的旋转体的体积 _____ .(13)设二次型/(X P X2,X3)= XΓAΛ-的秩为1, A中行元素之和为3,则/在正交变换下X = Qy的标准型为 ____ •(14)设二维随机变⅛(X,K)服从N(“,“;bSb?;。
2010考研数学三真题答案
A 所以 dy 1 dx x0
K (10)设位于曲线 y
1
(e x ) 下方，x 轴上方的无界区域为 G ，则. G 绕 x
x(1 ln2 x)
E 轴旋转一周所得空间区域的体积是 .
E 答案： 2 R 4
F 详解：
V
1
因此，
E
1
，即 A
1
1
。
1
0
0
E 0,x 0
R (7)
设随机变量的分布函数
F
(
x)
1 2
,0
x 1，则 Px 1
()
F 1 ex,x 1
x
1
x x
FR 109
lim
ln8
x1 x
10 92
lim
ln
x
10! lim
1
0
)
1 x
x x
x x
所以当 x 充分大时， f (x) g(x)
所以当 x 充分大， f (x) g(x) h(x) 。
(5) 设向量组 I :1,2 ,r 可由向量组 II : 1, 2 ,s 线性表示，下列命题正确的是( )
A 答案：C
x
K 详解：因为 lim
h(x)
lim
e10
x
lim e10
1
x g(x) x x x 10
E 所以，当 x 充分大时， h(x) g(x)
E 又因为 lim
f (x)
2010年考研数学三真题及答案解析
2010年考研数学三真题一.选择题1.若1])1(1[lim =--→xox e a xx 则a =A0 B1 C2 D32.设21,y y 是一阶线性非齐次微分方程)()(x q y x p y =+'的两个特解，若常数μλ,使21y y μλ+是该方程的解，21y y μλ-是该方程对应的齐次方程的解，则For personal use only in study and research; not for commercial useA 21,21==μλ B 21,21-=-=μλ C 31,32==μλ D 32,32==μλ3.设函数f(x),g(x)具有二阶导数，且.0)(<''x g 若a x g =)(0是g(x)的极值，则f(g(x))在0x 取极大值的一个充分条件是For personal use only in study and research; not for commercial useA 0)(<'a fB 0)(>'a fC 0)(<''a fD 0)(>''a f 4设1010)(,)(,ln)(x e x h x x g x x f ===则当x 充分大时有Ag(x)<h(x)<f(x) Bh(x)<g(x)<f(x)For personal use only in study and research; not for commercial useCf(x)<g(x)<h(x) Dg(x)<f(x)<h(x)5设向量组线性表示，，，：，可由向量组s I βββααα⋯⋯21r 21II ,,:，下列命题正确的是： A 若向量组I 线性无关，则s r ≤ B 若向量组I 线性相关，则r>sFor personal use only in study and research; not for commercial useC 若向量组II 线性无关，则s r ≤D 若向量组II 线性相关，则r>s 6.设A 为4阶实对称矩阵，且02=+A A ，若A 的秩为3，则A 相似于A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0111B ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0111 For personal use only in study and research; not for commercial useC ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--0111D ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---0111 7.设随机变量X 的分布函数⎪⎩⎪⎨⎧≥-<≤<=-1,110,21,0)(x e x x x F x，则P （X=1)=A0 B 21 C 121--e D 11--e8.For personal use only in study and research; not for commercial use9.10.设)(1x f 为标准正态分布概率密度，)(2x f 为[-1,3]上均匀分布的概率密度，若⎩⎨⎧<>≥≤=)0,0(0),(0),()(21b a x x bf x x af x f 为概率密度，则a,b 满足：A2a+3b=4 B3a+2b=4 Ca+b=1 Da+b=2 二.填空题11.For personal use only in study and research; not for commercial use 12.13.设可导函数y=y(x),由方程⎰⎰=+-xyx t dt t x dt e 020sin 2确定，则____________0==x dxdy14.设位于曲线)()ln 1(12+∞<≤+=x e x x y 下方，x 轴上方的无界区域为G ，则G 绕x轴旋转一周所得空间区域的体积为____________15.设某商品的收益函数R(p),收益弹性为31p +，其中p 为价格，且R(1)=1,则R(p)=________________16.For personal use only in study and research; not for commercial use 17.18.若曲线123+++=bx ax x y 有拐点(-1,0),则b=_____________ 19.设A ，B 为3阶矩阵，且2,2,31=+==-B A B A ，则_________1=+-B A20.For personal use only in study and research; not for commercial use 21. 22.设___________ET ,1T )0)(,(N ,,122321==>⋯∑=则计量的简单随机样本。
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2010年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题(1~8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.)1 1 x ,则a等于( )(1)若limx0 x x a e1(A)0. (B) 1. (C) 2. (D) 3.(2)设y1, y2 是一阶非齐次微分方程y p x y q x的两个特解,若常数，使y1 y2 是该方程的解,y1 y2 是该方程对应的齐次方程的解,则( )1(A),(B) .(C) ,. (D) .【答案解析】见真题理论验证强化指导部分数二试题一(2).(3)设函数f x , g x具有二阶导数,且g x 0 ,若g x0a 是g x 的极值,则f g x 在x0 取极大值的一个充分条件是( )(A) f a 0. (B) f a 0 . (C) f a 0 . (D)f a 0 .x(4) 设 f xln 10 x g x , x h x ,e 10 ,则当 x 充分大时有( ) (A) g xh xf x. (B) hxg xf x.(C) fx g xh x.(D) g x f x h x .(5) 设向量组 I :1, 2,r 可由向量组II :1,2,s 线性表示,下列命题正确的是( )(A) 若向量组I 线性无关,则rs .(B) 若向量组I 线性相关,则r s . (C) 若向量组II 线性无关,则r s . (D) 若向量组II 线性相关,则r s .(6) 设 A 为4阶实对称矩阵,且 A 2A O ,若 A 的秩为3,则 A 相似于 ()1 1(A)1 .(B)1 .1 11 1(C) 1.(D)1.110, x 01(A) 0.(B).(C)e1.(D) 1e1.为1,3上均匀分布(8) 设 f 1(x ) 为标准正态分布的概率密度, f 2 (x ) 的概率密度,若af x 1( )x 0 f x( )( a 0, b 0)bf 2( )x x 0为概率密度,则a ,b 应满足 ( )(A) 2a3b 4. (B) 3a2b 4. (C) a b 1.(D) ab 2.二、填空题(9~14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上.)x yt 2 x2 确定,则dy. (9) 设可导函数 yy x ( )由方程e dtx sin t dt dxx 01 (10)设位于曲线 y( e x ) 下方, x 轴上方的无界区域为G ,则G 绕 x轴旋转一周所得空间区域的体积是.(11) 设某商品的收益函数为R (p ),收益弹性为1p 3 ,其中 p 为价格,且R (1) 1 ,则R (p ) =.(7) 设随机变量 X 的分布函数 F x ( ) 2 1e x ,( )0 x 1 ,则 PX1=x1(12) 若曲线 y x 3 ax 2 bx 1有拐点(1,0) ,则b.(13) 设 A ,B 为3阶矩阵,且 A 3, B 2 , A1B 2 ,则A B1.n212(14)设X X 1, 2, ,X n是来自总体N (,) (0) 的简单随机样本,统计量TXi ,n i 1则ET .三、解答题(15~23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) (15) (本题满分10分)求极限 lim (xx 11)ln 1x .(16) (本题满分10分)计算二重积分(x y dxdy )由曲线 x 1y 2 与直线 x2y 0 及Dx 2y 0围成.(17) (本题满分10分) 求函数uxy2yz 在约束条件x 2y 2z 210 下的最大值和最小值.(18)(本题满分10分)(I ) 比较1ln tln 1tndt与1t nln t dt n 1,2,的大小,说明理由．1n( II ) 记u nln t ln 1t dt n 1,2,,求极限nli m u n ．(19) (本题满分10分)设 函 数 f (x ) 在0,3上 连 续 , 在0,3内 存 在 二 阶 导 数 , 且22f (0)f x dx ( ) f (2) f (3),( I ) 证明存在(0,2) ,使 f ()f (0); ; ( II ) 证明存在(0,3) ,使 f()0 ．(20)(本题满分11分)11 a设A1 ， b11已知线性方程组Ax b 存在2个不同的解． ( I ) 求,a ;( II ) 求方程组Ax b 的通解. (21)(本题满分11 分) 1 (1,2,1)T,求a ,Q ．(22) (本题满分11分) 设二维随机变量(X Y , ) 的概率密度为2f x y ( , )Ae 2x 2xy y2,x,y ,求常数 A 及条件概率密度 f Y X |(y x | ) ．(23)(本题满分11分) 箱中装有6个球,其中红、白、黑球的个数分别为1,2,3 个,现从箱中随机取出2个球, 记 X 为取出的红球个数,Y 为取出的白球个数.( I ) 求随机变量 (X Y ,) 的概率分布；0 设A 141 43a ,正交矩阵 Q 使得 Q T AQ 为对角矩阵,若 Q 的第 1 列为 a( II ) 求Cov X Y( , ) .2010年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题参考答案一、选择题(1)【答案】 (C). 【解析】limx1 1 a exlim x1 1e x1axlimx11e xaxe xlim x1e x axe xx x xx x x1e x axe x lim lim 1 a 1x 0 x x 0 x所以a 2.(2) 【答案】 (A)．【解析】因y 1 y 2 是 y P x y 0 的解,故y 1 y 2 P xy 1y 20,所以y 1P x y1y 2p x y ( ) 20 ,而由已知 y 1P x y1q x, y 2P x y2q x,所以q x0,①又由于一阶次微分方程 ypx yq x是非齐的,由此可知 qx0 ,所以0．由于y 1y 2 是非齐次微分方程 yPx yq x的解,所以y 1 y 2 P x y 1 y 2q x,整理得y 1P x y1y 2P x y2q x ,即q xq x,由q x 0 可知1,②由①②求解得,故应选(A)．(3)【答案】 (B).【解析】f g x ( ) f g x ( )g x ( ) ,f g x( ) fg x ( )g x ( ) fg x ( )g x ( )2fg x ( )g x( )由于g (x 0 ) a 是g (x ) 的极值,所以g x ( 0)0 .所以f g x ( 0 )f gx ( 0 )g x( 0 )fa gx ( 0 )由于g x ( 0 ) 0,要使f g x( )0,必须有f a ( ) 0 ,故答案为B.(4)【答案】 (C).x【解析】因为 lim ( ) lim e 10 lim 10x 1 ,所以,当 x 充分大时,h x ( )g x ( ) .xg x ( )xxx1091又因为 limf x ( ) lim ln 10 xlim 10 ln x x 10 lim ln 9xxg x ( ) xxx1 xx81ln x10 9lim x 10 92 lim l x 10! lim 10 .x1xxxx 所以当 x 充分大时, f x ( ) g x ( ) ,故当 x 充分大, f x ( ) g x ( )h x ( ) .(5) 【答案】 (A)．【解析】由于向量组 I 能由向量组 II 线性表示,所以r (I) r (II) ,即r (1, ,r) r (1, , s ) s 若向量组 I 线性无关,则 r (1, ,r) r ,所以 rr (1, ,r )r (1, ,s )s ,即r s ,选(A).(6) 【答案】 (D). 【解析】设为 A 的特征值,由于 A 2A O ,所以20 ,即 (1)0 ,这样 A 的特 征 值 只 能 为 -1 或 0. 由 于 A 为 实 对 称 矩 阵 , 故 A 可 相 似 对 角 化 , 即11A,r A ()r ()3,因此,1,即 A1.11(7) 【答案】 (C).【解析】离散型随机变量的分布函数是跳跃的阶梯形分段函数,连续型随机变量的分布函数是连续函数.观察本题中F (x ) 的形式,得到随机变量 X 既不是离散型随机变量,也不是连续型随机变量,所以求随机变量在一点处的概率,只能利用分布函数的定义.根据分布函数的定义,函数在某一点的概率可以写成两个区间内概率的差,即P X 1P X1P X 1 F1 F11 e1e1,故本题选(C).(8) 【答案】 (A).x 21 ,1x 3【解析】根据题意知, f 1x(x),f 2x2 140,其它利用概率密度的性质:f x dx1,故a31 a 3f x dx af 1x dxbf 2 x dx2f 1x dxb4 dx24 b1所以整理得到2a 3b 4,故本题应选(A).二、填空题 (9)【答案】1.x y2x2【解析】e t dtxsin t dt ,令x 0,得 y 0,等式两端对 x 求导：e(x y )2(1dydx ) 0xsin t dt 2x sin x 2 ．dydy将x0, y 0代入上式,得10 .所以1.dxxdx x 02(10)【答案】4【解析】根据绕 x 轴旋转公式, 有2dxVey dxe1ln 2 xe1d ln ln 2x xarctan lnxe2442 .1 33P1.(11)【答案】 pedR p 3dR 1212【解析】由弹性的定义,得1 p ,所以pdp ,即 ln Rln p pC , dp R R p313又R11,所以 C1 .故ln Rln p 1 p 1 ,因此 R p e 3p1.3 33(12)【答案】b3.【解析】函数为 yx 3ax 2bx 1 ,它的一阶导数为 y 3x 2 2ax b ; 二阶导数为ay6x 2a,又因为1,0是拐点,所以 yx10 ,得3过点1,0,所以将x1,y 0 代入曲线方程,得b 3.(13) 【答案】3. A A (1B B )【解析】由于1( E AB B )1B1A ,所以1 1 11B B )A AB B因为 B2 ,所以 B1 B B1321 3 .2(14)【答案】22.1 ( B AA A111 2B,因此1 A BAA【解析】 E T EnXi2 1EnXi21nEX2E X222.n i1n i 1n 三、解答题11ln x1 lnx x 1ln x x1ln e x11lnxlimlim(15)【解析】 lim x x 1lim e ln xe xln xexln xxx其中 ln x xln x x1ln x x ln x xln( e 1) (e 1) e 1ln x e 1ln x ln x1 lim lim limlim e x ( 1)1.xln xx 1xx ln x x x故原式e1.(16)【解析】积分区域 DD 1 D 2 ,1 x y ,0 y1,2y x1y 2D 2x y , 1y 0,2y x1y 2xy3dxdyx 33x y 2 3xy 2y 3 dxdyDD因 为 区 域 D 关 于 x 轴 对 称 , 被 积 函 数 3x 2 y y 3 是 y 的 奇 函 数 ,所以3x 2y y dxdy30．Dx y dxdy3x 3 3xy dxdy 22x 3 3xy dxdy 221DDD 12xln xx211 x 43 x y 22dy2019 4 y 42y 2 1 4 dy 1415 .42(17)【解析】令 F x y z,, ,xy 2yz x 2 y 2 z 2 10,用拉格朗日乘数法得F xy 2x 0,F yx 2z2y0,F z2y 2z 0, F x 2y 2z 2100,又因为该问题必存在最值,并且不可能在其它点处,所以u m ax5 ,u m in5 5 ．(18) 【解析】 (I)当0x 1时0 ln(1x )x,故ln(1t )nt n ,所以ln tln(1t )nln t t n ,则01ln t ln(1t )ndt1ln t t dt n n 1,2, .(II)1 ln t t dt n1ln t t dtnn 111ln td tn1n112 ,故由1n1求解 得六个点：152,1, B A1 , , 21CD0,, E F由于在点A 与B 点处,u ；在点C与 D 处, u；在点E 与F 处, 0u ． 1 2 y y0 u n 0 ln n1 2 ,1根据夹逼定理得0 lim u n lim0 ,所以lim u n 0 .n n n1n2(19)【解析】(I) 因为2 f (0) 0 f x dx( ) ,又因为f x 在0,2上连续,所以由积分中值定理得,至少有一点0,2,使得20 f x dx f 20即2 f 0 2 f ,所以存在0,2,使得f f0 .f 2 f 3(Ⅱ)因为f 2 f 3 2 f 0 ,即 f 0 ,又因为f x 在2,3上连2续,由介值定理知,至少存在一点 1 2,3使得f 1 f 0 .因为f x 在0,2上连续,在0,2上可导,且f 0 f 2 ,所以由罗尔中值定数学(三)试题 第15页 (共4页)微信公众号：考研研学姐答疑资讯QQ 群：451613025理知,Ｃ存在10,2,有f10. 又因为 f x 在2,1上连续,在2,1上可导,且f 2 ff1 ,所以由罗尔中值定理知,存在22,1,有 f20 . 又因为 fx在1,2上二阶可导,且f1f20 ,所以由罗尔中值定理,至少有一点 Ax b 0,3,使得f0 .(20) 【解析】因为方程组有两个不同的解,所以可以判断方程组增广矩阵的秩小于3,进而可以通过秩的关系求解方程组中未知参数,有以下两种方法.方法1：(I)已知Ax b 有2个不同的解,故r A ( ) r A ( ) 3 ,对增广矩阵进行初等行变换,得11 a 1 1 1A1 0 101 01 1 1 11 1a1 111 1 10 10 1 01010112a0 012a 11 1 1 11 111当1时,A0 00 10 01,此时,r A ( ) r A ( ),故Ax b 无解(舍00 0 a00 001 1 1 1微信公众号：考研研学姐答疑资讯QQ 群：451613025当1时, A 0 2 0 1 ,由于r A ( )0 0 0 a 2方法2：已知Axb 有2个不同的解,故r A ()r A () 3 ,因此 A 0,即11A0 10(1) (21)0 ,11知1或-1.当1时,r A () 1 r A () 2 ,此时,Ax b 无解,因此1.由r A () r A ( ) ,得a2.( II ) 对增广矩阵做初等行变换31121 11211 12A0 201 0 2 010 1 0121 1110 0000 0 003x x3x 1 1232微信公众号：考研研学姐答疑资讯QQ群：451613025x 21x 3 231 21因此Ax b的通解为x k 0 ,其中k为任意常数.10 10 1 4(21)【解析】由于A 1 3 a4 a 01 1微信公众号：考研研学姐答疑资讯QQ 群：45161302513 可知原方程组等价为2 ,写成向量的形式,即x 2x 0 1 .列为(1,2,1)T ,故 A 对应于1 的特征向量为1(1,2,1)T .12,即根据特征值和特征向量的定义,有A116141 3 a 41 1a2 12 ,由此可得a 1,12 .故A10 1 141 31 41.微信公众号：考研研学姐答疑资讯QQ 群：45161302514 由EA1 3 1 (4)( 2)(5) 0 ,41可得 A 的特征值为12,24, 35 . 4 由 (2E A x ) 0,即14特征向量为2(1,0,1)T .17 1 4x 11x 20 ,可解得对应于 24 的线性无关的4x 35 由 (3E A x )0 ,即 143(1,1,1)T .1 2 1 4x 11x 2 0 ,可解得对应于35 的特征向量为5 x 3由于 A 为实对称矩阵,1,2,3 为对应于不同特征值的特征向量,所以1,2,3相互正交,只需单位化：111(1,2,1) ,T2( 1,0,1) ,T3(1,1,1)T ,123163取,则Q T AQQ 1,2,351112微信公众号：考研研学姐答疑资讯QQ 群：451613025(22) 【解析】当给出二维正态随机变量的的概率密度 fx , y 后,要求条件概率密度f x y ( ,)f Y X | (y x | ) ,可以根据条件概率公式 f Y X | (y x | )来进行计算.本题中还有待定参 f X ( )x数, A 要根据概率密度的性质求解,具体方法如下.2 22 2 22x f x y dy, A e2x 2xy ydy A e(y x ) xdyf XAexe(y x )dyx 2A e ,x .根据概率密度性质有1f X x dx A ex2dxA,即 A1,1x 2故 f Xx e ,x. 当x时,有条件概率密度f x y ,Ae x 22xy y21x 2 2 21(x y )2 f YXy xf XxAex 2ee ,x ,y.(23)【解析】(I) X 的所有可能取值为 0,1 ,Y 的所有可能取值为 0,1,2 ．C 323 1,其中X 0,Y 0 表示取到的两个球都是黑球；P X0,Y2C 615 5P X 0,Y 1C C 21231 6 2,其中 X 0,Y 1表示取到的一个是白球,一个是C6 15 5黑球；C22 1 ,其中X 0,Y 2 表示取到的两个球都是白球；P X0,Y 22 C6 15P X 1,YC C112313 1,其中X 1,Y 0 表示取到的一个是红球,一个是C6 15 5黑球；P X 1,Y 1C C112212,其中X 1,Y 1表示取到的一个是红球,一个是白球；C6 15 0P X1,Y20 , C6因此二维离散型随机变量X ,Y 的概率分布为2 2 2 1 1E XY 1 1 ,E X0 1 ,I(I),C o v EXYXY EXEY,33 3E Y 012Cov X Y, E XYE X E Y.。