九年级数学反比例函数的图象和性质
人教版九年级数学下册：26.1.2《反比例函数的图象和性质》教案2
人教版九年级数学下册：26.1.2《反比例函数的图象和性质》教案2一. 教材分析《反比例函数的图象和性质》是人教版九年级数学下册第26章第1节的内容。
本节课主要介绍了反比例函数的图象和性质，是学生在学习了正比例函数和一次函数的基础上进行学习的。
通过本节课的学习，使学生能理解反比例函数的概念，会绘制反比例函数的图象，掌握反比例函数的性质，并能应用于实际问题中。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了正比例函数和一次函数的相关知识，对函数的概念、图象和性质有一定的了解。
但反比例函数的概念和性质与前两者存在较大差异，需要学生在已有的知识基础上进行迁移和拓展。
同时，学生需要理解反比例函数图象的特点，如双曲线、渐近线等，这对学生的空间想象能力有一定要求。
三. 教学目标1.了解反比例函数的概念，掌握反比例函数的性质。
2.学会绘制反比例函数的图象，并能分析反比例函数图象的特点。
3.能将反比例函数应用于实际问题中，提高解决问题的能力。
4.培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
四. 教学重难点1.反比例函数的概念和性质。
2.反比例函数图象的绘制和分析。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例分析法、小组合作法等教学方法。
通过设置问题引导学生思考，分析案例使学生理解反比例函数的应用，小组合作讨论促进学生交流和拓展思维。
六. 教学准备1.准备反比例函数的相关案例和问题。
2.准备多媒体教学设备，如投影仪、电脑等。
3.准备反比例函数图象的素材，如图片、图表等。
七. 教学过程导入（5分钟）教师通过展示一些实际问题，如购物时商品的单价和数量的关系，引出反比例函数的概念。
让学生思考并讨论这些问题，引导学生发现其中的规律。
呈现（10分钟）教师通过多媒体展示反比例函数的图象和性质，引导学生观察和分析。
同时，教师给出反比例函数的定义，并解释反比例函数的性质。
操练（10分钟）教师提出一些有关反比例函数的问题，让学生独立解答。
教师选取部分学生的解答进行讲解和分析，引导学生掌握反比例函数的性质。
反比例函数反比例函数的图象与性质
在匀速运动中，速度与时间成反比例 关系。通过给定的速度和时间条件， 可以建立反比例函数求解相关问题。
变速运动
在某些变速运动问题中，速度可能与 位移或时间成反比例关系。根据具体 条件建立反比例函数模型，可以求解 变速运动的相关问题。
浓度问题求解
溶液稀释
在溶液稀释过程中，溶质的质量与溶 液的体积成反比例关系。通过给定的 溶质质量和溶液体积条件，可以建立 反比例函数求解相关问题。
题目6
已知一次函数 y = kx + b (k ≠ 0) 与反比例函数 y = m/x (m ≠ 0) 的图象交于 A、B 两点 ，且点 A 的坐标为 (2, 1)，则不等式 kx + b > m/x 的解集为 _______．
历年中考真题回顾
题目7
(2019年中考)已知反比例函数 y = k/x (k > 0) 的图象上有 两点 A(x1, y1)，B(x2, y2)，且 x1 < 0 < x2，则 y1 _______ y2．(填“>”、“<”或“=”)
与一次函数关系比较
相似之处
两者都是线性函数，具有直线型的图象。
不同之处
一次函数的图象是一条直线，而反比例函数的图象是双曲线。此外，一次函数的斜率是常数，而反比 例函数的斜率则随着x的变化而变化。
与二次函数关系比较
相似之处
两者都是非线性函数，具有曲线型的图象。
不同之处
二次函数的图象是一个抛物线，而反比例函数的图象是双曲线。此外，二次函数的对称 轴是y轴或x轴，而反比例函数的对称中心是原点。
06
练习题及解析
基础知识练习题
03
题目1
已知反比例函数 y = k/x (k ≠ 0) 的图象 经过点 (2, -3)，则 k 的值为 _______．
反比例函数反比例函数的图象与性质
2023-11-06
contents
目录
• 反比例函数概述 • 反比例函数的图象 • 反比例函数的性质 • 反比例函数的应用 • 反比例函数的扩展知识
01
反比例函数概述
反比例函数的定义
反比例函数定义
一般地，形如y=k/x（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数 。
反比例函数的积分特性
反比例函数在区间(-∞,0)和(0,+∞) 上的积分等于常数k。
VS
反比例函数在区间(-∞,x)和(x,+∞)上 的积分等于常数k乘以x。
04
反比例函数的应用
用反比例函数解决实际问题
电力分布
在电力分布问题中，常常 需要使用反比例函数来计 算电力的分布情况，以便 合理规划电力设施。
反比例函数的定义域和值域
定义域为{x|x≠0}，值域为{y|y≠0}。
反比例函数的单调性
在区间(-∞,0)和(0,∞)上单调递减。
反比例函数的基本形式
反比例函数的基本形式
01
一般地，形如y=k/x（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数。Biblioteka 反比例函数的解析式02
反比例函数通常被表示为y = k / x的形式，其中k是常数且不
热传导
在热传导中，可以使用反比例函数 来描述热量在介质中的传导规律。
在几何中的应用
圆的面积
在计算圆的面积时，可以使用 反比例函数来描述圆的面积与
半径之间的关系。
球的体积
在计算球的体积时，可以使用 反比例函数来描述球的体积与
半径之间的关系。
光线反射
在光线反射问题中，可以使用 反比例函数来描述光线反射的
反比例函数的图象与性质定
奇偶性
反比例函数是奇函数，因为对于所 有 x，都有 f(-x) = -f(x)。
无界性
由于反比例函数的值域为 y ≠ 0 和 y ≠ -∞，因此其图象在 x = 0 处无 界。
反比例函数的性质
01
02
03
分母不为零
反比例函数的分母不能为 零，因此其定义域为 x ≠ 0。
无界性
反比例函数的值域为 y ≠ 0 和 y ≠ -∞，因此其图象 在 x = 0 处无界。
当$x<0$时，反比例函数的图象位于 第三象限，与直线$y=kx+b$相交于 一点，这一点也是它们的切点。
与二次函数的关系
二次函数是形如 $y=ax^2+bx+c$的函数，其 中$a, b, c$是常数且$a neq 0$
。
反比例函数的图象是一个双曲 线，分布在第一和第三象限。
二次函数的图象是一个抛物线 ，可以开口向上或向下。
反比例函数的图象与性质
目 录
• 反比例函数概述 • 反比例函数的图象特点 • 反比例函数的性质分析 • 反比例函数的应用 • 反比例函数与其他函数的关系 • 反比例函数的扩展知识
01 反比例函数概述
反比例函数的定义
反比例函数定义
反比例函数的值域
反比例函数是一种数学函数，其定义 为 f(x) = k/x，其中 k 是常数且 k ≠ 0。
磁场强度与电流
在电磁学中，磁场强度与电流之间的关系可以用反比例函数 描述，通过分析反比例函数的特性，可以研究电磁感应和电 磁波的传播。
与其他数学知识的结合
代数方程
反比例函数可以与其他代数方程 结合，用于解决代数问题，例如 求解代数方程的根或解决代数不 等式问题。
九年级反比例函数的图象与性质
九年级反比例函数的图象与性质九年级反比例函数的图象与性质我们知道反比例函数的图像都是由两支形状相同的曲线组成的，我们称反比例函数的图像为双曲线。
接下来小编整理了九年级反比例函数的图象与性质的相关内容，文章希望大家喜欢！反比例函数的性质（1）反比例函数y=xk（k≠0）的图象是双曲线；（2）当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；（3）当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大。
注意：反比例函数的图象与坐标轴没有交点。
比例系数k的几何意义在反比例函数y=xk图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|。
在反比例函数的图象上任意一点象坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的’三角形的面积是|k|2，且保持不变。
用描点法画反比例函数的图象步骤：列表———描点———连线。
（1）列表取值时，x≠0，因为x=0函数无意义，为了使描出的点具有代表性，可以以“0”为中心，向两边对称式取值，即正、负数各一半，且互为相反数，这样也便于求y值。
（2）由于函数图象的特征还不清楚，所以要尽量多取一些数值，多描一些点，这样便于连线，使画出的图象更精确。
（3）连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线。
（4）由于x≠0，k≠0，所以y≠0，函数图象永远不会与x轴、y 轴相交，只是无限靠近两坐标轴。
反比例函数的图像和性质学习指南（1）进一步熟悉作函数图象的主要步骤，会作反比例函数的图象；（2）能结合函数图象，归纳总结出反比例函数的性质；（3）能应用反比例函数的性质解决相关的问题。
在学一次函数时，我掌握了函数图像的画法：（1）列表，（2）描点，（3）连线。
但是反比例函数自变量在分母上，所以注意：①列表时自变量取值要均匀和对称，②x≠0，③选整数较好计算和描点。
通过观察我可以得出：（1）反比例函数图像由两支曲线组成的，我们把它叫双曲线；（2）当k>0时，两支双曲线分别位于第一、三象限内；在每一象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，两支双曲线分别位于第二、四象限内；在每一象限内，y随x的增大而增大；（3）反比例函数的图象无限接近于x，y轴，但永远不能到达x，y轴；（4）反比例函数的图象是轴对称图形，直线y=x和y=—x都是它的对称轴。
反比例函数图像与性质知识点总结
反比例函数图像与性质知识点总结一、反比例函数公式口诀反比例函数双曲线，待定只需一个点，正k落在一三限，x增大y在减，图象上面任意点，矩形面积都不变，对称轴是角分线，x、y的顺序可交换。
二、反比例函数图象当k>0时，两支曲线分别位于第一、三象限内；当k<0时，两支曲线分别位于第二、四象限内，两个分支无限接近x和y轴，但永远不会与x轴和y轴相交。
图象画法1）在平面直角坐标系中标出点（一般标5个点，称为5点作图法）。
2）用平滑的曲线连接点。
当K>0时，在图象所在的每一象限内，Y随X的增大而减小。
当K<0时，在图象所在的每一象限内，Y随X的增大而增大。
当两个数相等时那么曲线呈弯月型。
k的意义及应用过反比例函数y=k/x（k≠0）图象上任意一点P（x，y），作两坐标轴的垂线，两垂足、原点、P点组成一个矩形，矩形的面积为|k|。
过反比例函数图象一点，作任一坐标轴的垂线，并连接原点，围成的三角形的面积为|k|/2。
研究函数问题要透视函数的.本质特征。
反比例函数中，比例系数k有一个很重要的几何意义，那就是：过反比例函数图象上任一点P作x轴、y轴的垂线PM、PN，垂足为M、N则矩形PMON的面积为|k|。
所以，对双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，它们与x轴、y轴所围成的矩形面积为常数。
这个常数是k的绝对值。
在解有关反比例函数的问题时，若能灵活运用反比例函数中k的几何意义，会给解题带来很多方便。
三、反比例函数性质单调性当k>0时，图象分别位于第一、三象限，每一个象限内，从左往右，y随x的增大而减小；当k<0时，图象分别位于第二、四象限，每一个象限内，从左往右，y随x的增大而增大。
k>0时，函数在x<0上为减函数、在x>0上同为减函数；k<0时，函数在x<0上为增函数、在x>0上同为增函数。
相交性因为在y=k/x（k≠0）中，x不能为0，y也不能为0，所以反比例函数的图象不可能与x轴相交，也不可能与y轴相交，只能无限接近x轴，y轴。
反比例函数的图象和性质
反比例函数的图象和性质在数学的世界里，函数就像是一座神秘的城堡，每一种函数都有着独特的特征和规律。
今天，咱们就一起来探索反比例函数这座城堡，深入了解一下反比例函数的图象和性质。
首先，咱们得知道啥是反比例函数。
一般地，如果两个变量 x、y 之间的关系可以表示成 y ＝ k/x（k 为常数，k≠0）的形式，那么称 y 是x 的反比例函数。
接下来，咱们重点聊聊反比例函数的图象。
反比例函数的图象是双曲线，它有两条分支。
这两条分支要么在一、三象限，要么在二、四象限，具体在哪个象限，得看常数 k 的正负。
当 k＞0 时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限。
在第一象限内，y 随 x 的增大而减小；在第三象限内，y 也随 x 的增大而减小。
打个比方，就好像你跑步的速度越快，所用的时间就越短。
这里的速度和时间就是成反比例关系，当速度快（k 大）的时候，时间就短（y 小），而且速度越来越快（x 增大），时间就越来越短（y 减小）。
当 k＜0 时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限。
在第二象限内，y 随 x 的增大而增大；在第四象限内，y 也随 x 的增大而增大。
比如说，你背的东西越重，走得就越慢。
这里的重量和速度成反比例关系，重量越重（k 小），速度越慢（y 大），而且重量越来越重（x 增大），速度就越来越慢（y 增大）。
再来说说反比例函数图象的对称性。
这双曲线可神奇了，它既是轴对称图形，又是中心对称图形。
对称轴有两条，分别是直线 y ＝ x 和直线 y ＝ x 。
对称中心呢，就是坐标原点（0，0）。
咱们再看看反比例函数的性质。
从增减性来说，刚才已经提到了，就不再啰嗦。
还有一点很重要，就是反比例函数的图象永远不会与坐标轴相交。
为啥呢？因为当 x ＝ 0 时，这个函数就没有意义啦，分母不能为 0 嘛。
那知道了反比例函数的图象和性质有啥用呢？用处可大啦！比如说在实际生活中，我们计算工程的进度、计算电阻和电流的关系等等，都可能用到反比例函数。
反比例函数的图象与性质
第17讲 反比例函数的图象与性质考点·方法·破译1．反比例函数的定义：形如k y x=（或1y kx -=，k ≠0）,y 叫做x 的反比例函数. 2．反比例函数的图象特征：反比例函数的图象是双曲线，关于y ＝x 或y ＝－x 轴对称，关于原点O 成中心对称，当k ＞0时，图象的两支分别在第一、三象限，当k ＜0时，图象的两支分别在第二、四象限，3．反比例函数的性质：当k ＞0时，在每个象限内，y 随x 增大而减小；当k ＜0时，在每个象限内，y 随x 增大而增大.经典·考题·赏析【例１】（西宁）已知函数ky x=-中，x ＞0时，y 随x 增大而增大，则y ＝kx －k 的大致图象为（ ）k ＞0，而一 次A 01．已知反比例函数a y x=（a ≠0）的图象，在每一象限内，y 的值随着x 值增大而减小，则一次函数y ＝－ax ＋a 的图象不经过（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 02．（龙岩）函数y ＝x ＋m 与my x=（m ≠0）在同一象限内的图象可以是（ 03（2，y 1随着x 其中正确结论的序号是 . 【例2】如图，A 、B 分别是反比例函数10y x =，6y x=图象上的点，过点A 、B 作x 轴的垂线，垂足分别为C 、D ，连接OB 、OA ，OA 交BD于E 点，△BOE 的面积为S 1，四边形ACDE 的面积为S 2，则S 2－S 1＝ .ABCDABC D【解法指导】在反比例函数kyx=中，k的几何意义为：中122121106()()22222ODE OBEk kS S S S S S∆∆-=+-+=-=-=【变式题组】01．（宁波）如图，正方形ABOC的边长为2，反比例函数kyx=过点A，则k的值是（）A．2 B．－2 C．4 D．－402．（兰州）如图，在直角坐标系中，点A是x轴正半轴上的一个定点，点B是双曲线3yx=（x＞0）上的一个动点，当点B的横坐标逐渐增大时，△OAB的面积将会（）A．逐渐增大B．不变C．逐渐减小D．先增大后减小03．（牡丹江）如图，点A、B是双曲线3yx=上的点，分经过A、B两点向x轴、y轴作垂线，若S阴影＝1，则S1＋S2＝.04．（河池）如图，A、B是函数2yx=的图象上关于原点对称的任意两点，BC∥x轴，AC∥y 轴，△ABC的面积记为S，则（）A．S＝2 B．S＝4 C．2＜S＜4 D．S＞405．（泰安）如图，双曲线kyx=（k＞0）经过矩形OABC的边BC的中点E，交AB于点D，若梯形ODBC的面积为3，则双曲线的解析式为（）A．1yx=B．2yx=C．3yx=D．6yx=【例3】（成都）如图，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数myx=的图象交于点A（－2，1），B（1，n）两点⑴试确定上述反比例函数和一次函数的表达式；第1题图第2题图第3题图第4题图第5题图⑵求△AOB 的面积.【解法指导】利用割补法求图形面积.解：⑴∵点A （－2，1）在反比例函数my x=的图象上， ∴m ＝(－2)×1＝－2，∴反比例函数的表达式为2y x=-.∵点 B （1，n ）也在反比例函数2y x=-图象上，∴n ＝－2，即B （1，－2）把点A （－2，1）点B （1，－2）代入一次函数y ＝kx ＋b 中，得212k b k b -+=⎧⎨+=-⎩ 解得11k b =-⎧⎨=-⎩ ∴一次函数的表达式为y ＝－x －1． ⑵在y ＝－x －1中，当y ＝0时，得x ＝－1，∴直线y ＝－x －1与x 轴的交点为C （－1，0），∵线段OC 将△AOB 分成△AOC 和△BOC ，∴1113111212222AOB AOC BOC S S S ∆∆∆=+=⨯⨯+⨯⨯=+=.【变式题组】01．（徐州）如图，已知A (n ,－2),B (1,4)是一次函数y ＝kx ＋b 的图象和反比例函数my x=的图象的两个交点，直线AB 与y 轴交于点C ．⑴求反比例函数和一次函数的关系式； ⑵求△AOC 的面积； ⑶求不等式kx ＋b mx-＜0的解集（直接写出答案）02．已知反比例函数112k y x=的图象与一次函数22y k x b =+的图象交于A 、B 点，A (1，n )，B (12-，－2). ⑴求两函数的解析式；⑵在x 轴上是否存在点P ，使△AOP 为等腰三角形？若存在，请你直接写出P 点的坐标；若不存在，说明理由. ⑶求AOB △S ；⑷若y 1＞y 2，求x 的取值范围.03．如图，A 是反比例函数1ky x=（x ＞0）上一点，AB ⊥x 轴，C 是OB 的中点，一次函数y 2＝ax ＋b 的图象经过点A 、C 两点，并交y 轴为D （0，－2），AOD S ∆＝4. ⑴求两函数的解析式；⑵在y 轴右侧，若y 1＞y 2时，求x 的取值范围.04．如图，Rt △ABO 的顶点A 是双曲线ky x=与直线y ＝－x －(k ＋1)在第二象限的交点，AB ⊥x 轴于B ，32ABO S ∆=. ⑴求这两个函数的解析式； ⑵求A 、C 两点的坐标；⑶若P 是y 轴上一动点，5PAC S ∆=，求点P 的坐标.【例4】（咸宁）两个反比例函数k y x =和1y x=在第一象限内的图象如图所示，点P 在k y x =的图象上，PC ⊥x 轴于点C ，交1y x =的图象于点A ，PD ⊥y 轴于点D ，交1y x=的图象于点B ，当点P 在ky x=的图象上运动时，以下结论：①△ODB 与△OCA 的面积相等；②四边形PAOB 的面积不会发生变化；③PA 与PB 始终相等；④当点A 是PC 的中点时，点B 一定是PD 的中点.其中一定正确的是 （把你认为正确的序号都填上）【解法指导】∵A 、B 两点在1y x=的图象上，根 据反比例函数ky x=中k 的几何意义可知12ODB OAC S S ∆∆==，因而①正确；∵1ODB OAC PDOC PAOB S S S S k ∆∆=--=-矩形四边形，当k 不变时，若P 变动，而四边形PAOB 的面积不变．因1x =而是②正确；若设P （t ,k t ），则A （t ,1t），B （,t k k t ），∴PA ＝11k k t t t --=，PB ＝t t k -.若PA ＝PB ，则有1(1)k t k t k--=.∵k ≠1,∴2t k =,∵t ＞0,t =,∴当P时，有PA ＝PB ，并不是PA 与PB 始终相等，因而③不正确；当A 为PC 的中点时，OAC OPA OBD S S S ∆∆∆==，OPC ODP S S ∆∆=，∴ODB OPB S S ∆∆=，∴DB ＝PB ，因而④正确；故填①，②．④.【变式题组】01．（武汉）如图，已知双曲线ky x=（k ＞0）经过矩形OABC 的边AB 的中点F ，交BC 于点E ，且四边形OEBF 的面积为2，则k ＝ . 02．如图，矩形ABCD 对角线BD 中点E 与A 都在反比例函数ky x=的图象上，且3ABCD S =矩形，则k ＝ .03．如图，P 为x 轴正半轴上一点，过点P 作x 轴的垂线，交函数1y x =（x ＞0）的图象于点A ，交函数4y x=（x ＞0）的图象于点B ，过点B 作x 轴的平行线，交1y x=（x ＞0）于点C ，连接AC ，当点P 的坐标为（t ，0）时，△ABC 的面积是否随t 的变化而变化？ 04．函数2y x =（x ＞0）与8y x=（x ＞0）的图象如图所示，直线x ＝ t （t ＞0）分别与两个函数图象交于A 、C 两点，经过A 、C 分别作x 轴的平行线，交两个函数图象于B 、D两点，探索线段AB 与CD 的比值是否与t 有关，请说明理由.第1题图第3题图05．如图，梯形AOBC的顶点A、C有反比例函数的图象上，OA∥BC，上底OA在直线y＝x上，下底BC交x轴于E（2，0），求四边形AOEC的面积.演练巩固·反馈提高01．（恩施自治州）如图，一次函数y1＝x－1与反比例函数22yx=的图象点A（2，1）、B （－1，－2），则使y1＞y2的x的取值范围是（）A．x＞2 B．x＞2或－1＜x＜0C．－1＜x＜2 D．x＞2或x＜－102．（常州）若反比例函数1kyx-=的图象在其每个象限内，y随x的增大而减小，则k的值可以是（）A．－1 B．3 C．0 D．－303．（荆州）如图，直线l是经过点（1，0）且与y轴平行的直线，Rt△ABC中直角边AC＝4，BC＝3，将BC边在直线l上滑动，使A、B在函数kyx=的图象上，那么k的值是（）A．3 B．6 C．12 D．15 404．（丽水）点P在反比例函数1yx=（x＞0）的图象上，且横坐标为2，若将点P先向右第4题图平移两个单位，再向上平移一个单位后所得点为P /，则在第一象限内，经过点P /的反比例函数图象的解析式是（ ） A ． 5y x =-（x ＞0） B ． 5y x =（x ＞0） C ． 6y x =-（x ＞0） D ． 6y x=（x ＞0）05．（铁岭）如图所示，反比例函数y 1与正比例函数y 2的图象的一个交点坐标是A （2，1），若y 2＞y 1＞0，则x 的取值范围在数轴上表示为（ ）06．（泰安）函数1y x x=+图象如图所示，下列对该函数性质的论断不可能正确的是（ ） A ．该函数的图象是中心对称图形 B ．当x ＞0时，该函数在x ＝1时取得上值2C ．在每个象限内，y 随x 的增大而减小D ． y 的值不可能为1 07．（芜湖）在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝x 向上平移一个单位长度得到直线l , 直线l与反比例函数ky x=的图象的一个交点为A （a ,2）则k 的值等于 . 08．（广安）如图，在反比例函数4y x=-（x ＞0）的图象上有三点P 1、P 2、P 3，它们的横坐标依次为1，2，3，分别过这3个点作x 轴、y 轴的垂线，设斩中阴影部分的面积依次为S 1、S 2、S 3，则S 1＋S 2＋S 3＝ .09．（十堰）已知函数y ＝－x ＋1的图象与x 轴、y 轴分别交于点C 、B ，与双曲线ky x=交于点A 、D ，若AB ＋CD ＝BC ，则k 的值为 . 10．（遵义）如图，在平面直角坐标系中，函数ky x=（x ＞0，常数k ＞0）的图象经过点A （1，2），B （m ,n ）,(m ＞1),过点B 作y 轴的垂线，垂足为C ，若△ABC 的面积为2，则点B 的坐标为 .11．如图，点P 的坐标为（2，32），过点P 作x 轴的平行线交y 01 2 0 1 2 0 1 2 0 1 2 A B CD y x A (2,1) 0 1 2 1 Y 1 Y 2第5题图B l C1 O yx A 第3题图y x 0 1 －2 －1 第6题图2 y x0 1 2 3 第8题图P 1 P 2 P 3轴于点A，交双曲线kyx=（x＞0）于点N，作PM⊥AN，交双曲线于kyx=（x＞0）于点M．连接AM，已知PN＝4，⑴求k的值；⑵求△APM的面积.12．如图，反比例函数kyx=的图象与直线y＝x＋m在第一象限交于点P（6，2），A、B为直线上的两点，点A的横坐标为2，点B的横坐标3，D、C 为反比例函数图象上的两点，且AD、BC平行于y轴，⑴直接写出k、m的值；⑵求梯形ABCD的面积.13．如图，已知双曲线kyx=（x＞0）经过Rt△OAB斜边的中点D，与直角边AB相交于点C，若△OBC的面积为3，求k的值.14．如图，Rt△ABC的直角边BC在x轴的正半轴上，斜边AC边上的中线BD反向延长交y轴负半轴于E，双曲线kyx=（x＞0）的图象经过点A，若BECS∆＝8，求k的值.15．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BC所在直线的解析式为42033y x=-+，AC＝3，若AB的D在双曲线ayx=（x＞0）上，将三角形向左平移，当点B 落在双曲线上时，求三角形平移的距离.16．（荆州）如图，D 为反比例函数ky x=（k ＜0）图象上一点，过D 作DC ⊥y 轴于C ，DE ⊥x 轴于E ，一次函数y x m =-+与323y x =-+的图象都经过点C ，与x 轴分别交于A 、B 两点，若梯形DCAE 有面积为4，求k 的值.17．（四川广安）如图，一次函数y kx b =+的图象与反比例函数my x=的图象相交于点A （－1，2）、点B （－4，n ）⑴求一次函数和反比例函数的解析式； ⑵求△AOB 的面积.培优升级·奥赛检测01．如图，直线l 与反比例函数m y x =与ny x=（m ＞n ＞0）的图象分别交于点A 、B ，且直线l ∥x 轴，连接PA 、PB ，小芳与小丽同学针对△PAB 面积的讨论，有以下两种意见：小芳：点P 在x 轴上移动时，△PAB 的面积总保持不变； 小丽：当直线l 上下平移时，△PAB 的面积总保持不变； 那么，你认为她们的说法中（ ）A ．只有小芳正确B ．只有小丽正确C ．两人都正确D ．两人都不正确02．（南昌市八年级竞赛题）在函数21a y x+=-（a 为常数）的图象上有三点：（－1，y 1）,(21,4y -),( 31,2y )则函数值y 1、y 2、y 3的大小关系是（ ）A．y1＜y2＜y3B．y3＜y2＜y1C．y3＜y1＜y2D．y2＜y1＜y3 03．（济南）如图，等腰直角三角形ABC位于第一象限，AB＝AC＝2，直角顶点A在直线y ＝x上，其中A点的横坐标为1，且两条直角边AB、AC分别平行于x轴、y轴，若双曲线kyx=（k≠0）与△ABC有交点，则k的取值范围是（）A．1＜k＜2 B．1≤k≤3 C．1≤k≤4 D．1≤k＜404．（第十八届“希望杯”初二）直线l交反比例函数3yx=的图象于点A，交x轴于点B，点A、B与坐标原点O构等边三角形，则直线l的函数解析式为05．（成都）如图，正方形OABC的面积是4，点B在反比例函数kyx=（k＞0，x＜0）的图象上，若点R是该反比例函数图象上异于点B的任意一点，过点R分别作x轴、y轴的垂线，垂足为M、N，从矩形OMRN的面积中减去其与正方形OABC重合部分的面积，记剩余部分的面积为S，则当S＝m（m为常数，且0＜m＜4）时，点R的坐标是.（用含m的代数式表示）06．如图，已知直线12y x=与双曲线kyx=（k＞0）交于A点，且点A的横坐标为4，若双曲线kyx=（k＞0）上一点B的纵坐标为8，求△AOB的面积.07．（北京）如图，A、B两点在函数myx=（x＞0）的图象上，⑴求m的值及直线AB的解析式；⑵如果一个点的横、纵坐标均为整数，那么我们称这个点是格点，请直接写出图中阴影部分（不包括边界）所含格点的个数.08．（温州）如图，在平面直角坐标系中，直线AB与y轴和x轴分别交于点A、点B，与反比例函数myx=在第一象限的图象交于点C（1，6）点D（3，n）.过点C作CE⊥y轴于E，过点D作DF⊥x轴于点F，⑴求m、n的值；⑵求直线AB的函数解析式；⑶求证：△AEC≌△DFB．09．如图，已知正方形OABC的面积为9，点O为坐标原点，点A在x轴上，点C在y轴上，点B在函数kyx=（k＞0，x＞0）的图象上，点P（m，n）是函数kyx=（k＞0，x＞0）的图象上的任意一点，过点P作x轴、y轴的垂线，垂足分别为E、F，并设在矩形OEPF 中和正方形OABC不重合的部分面积为S.⑴求点B的坐标和k的值；⑵当92S=时，求点P的坐标；⑶写出S关于m的函数关系式.。
反比例函数图象及性质
2x
2x
4x
800x
3、下列反比例函数图像的一个分支,在第三象限的是( B )
3
21k3(A) y (B)y (C) y (D) y
x
x
x
x
4、函数 y 1 a2 的图象在第 二、四 象限.
x
例题讲解
2 例1：在反比例函数 y x 的图象上有两点（x1，y1）、
（x2，y2）,若x1>x2 ，则y1>y2吗？
x 当k>0时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限， 在每个 象限内y值随x值的增大而减小.
当k<0时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限， 在每个 象限内y值随x值的增大而增大.
y
6
y=
6 x
5 4
3
2
1
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 x
-1
-2 -3
-4 -5
-6
观察y 6 和y 6 的图象
x
x
发现函数值y怎样随着自变量x的变化而变化？
1、在每一个象限内 2、在整个自变量的取值范围内
如图xB< xA 但yB< yA
y
6
6
5
y x
4
· 3
A
y
· C 6
6
5
y
x
4
3
2
2
xB
1
x -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 x
-1
A
· -2
B
-3
-4 -5
1
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2
3
-1
-2
九年级数学反比例函数知识点归纳总结
一、反比例函数的定义：
反比例函数是指其表达式可以表示为y=k/x（k≠0），其中k为常数，x≠0。
二、反比例函数的一般式：
1.y=k/x
2.k为比例系数，表示常数项。
三、反比例函数的图像特点：
1.垂直于y轴；
2.不过原点，但会经过x轴的正半轴和y轴的正半轴；
3.上升（k>0）或下降（k<0）。
四、反比例函数的性质：
1.定义域：x≠0，值域：y≠0
2.渐近线：x轴和y轴是反比例函数的渐近线。
3.对称性：关于y轴对称。
4.单调性：k>0时，单调递减；k<0时，单调递增。
五、反比例函数图像的平移：
1.y=k/(x-h)：左右平移h个单位；
2.y=k/(x)+v：上下平移v个单位。
六、反比例函数与直线的关系：
1. 反比例函数与直线y=kx的图像在一起；
2. 直线y=kx可以看做反比例函数的简化形式，即k=1
七、反比例函数的应用：
1.反比例函数在实际中常用于描述两个变量之间的比例关系，如一方
的量增大，另一方的量就会减小的规律。
2.可以用反比例函数解决实际问题，如物品的价格与销量之间的关系、速度与时间之间的关系等。
人教版数学九年级下册26.1.2反比例函数图象和性质课件
在反比例函数中，自变量 $x$ 和因变量 $y$ 之间存在一种倒数关系。 当 $x$ 增大时，$y$ 减小；当 $x$ 减小时，$y$ 增大。这种关系反映 了反比例函数的基本特性。
函数值域及变化规律
函数值域：反比例函 数的值域为所有非零 实数。当 $k > 0$ 时 ，函数图象位于第一 、三象限；当 $k < 0$ 时，函数图象位于 第二、四象限。
变化规律
1. 当 $k > 0$ 时，随 着 $x$ 从正无穷大逐 渐减小到零（或从负 无穷大逐渐增大到零 ），函数值 $y$ 从零 逐渐增大到正无穷大 （或从负无穷大逐渐 减小到零）。
2. 当 $k < 0$ 时，随 着 $x$ 从正无穷大逐 渐减小到零（或从负 无穷大逐渐增大到零 ），函数值 $y$ 从零 逐渐减小到负无穷大 （或从正无穷大逐渐 增大到零）。
不具备单调性。
与一次函数比较
关系
一次函数 $y = ax + b$ (a ≠ 0) 和反比例函数无直接关联。
图象
一次函数的图象是一条直线，而反比例函数的图象是两条曲线。
性质
一次函数在其定义域内是单调的，而反比例函数在其定义域内不具备单调性。此外，一次 函数的值域为全体实数，而反比例函数的值域为除去使分母为零的点外的全体实数。
3. 在每个象限内，随 着 $x$ 的绝对值增大 ，函数值 $y$ 的绝对 值逐渐减小。
02
反比例函数图象绘制方法
列表法绘制步骤
确定自变量的取值范围，并在此范围 内选取若干个自变量的值。
列出表格，将自变量和对应的函数值 分别填入表格中。
根据反比例函数的解析式，求出与每 个自变量值对应的函数值。
根据表格中的数据，在坐标系中描出 各点，并用平滑的曲线连接各点，即 可得到反比例函数的图象。
反比例函数的图像和性质
反比函数的图象和性质是什么？
反比函数的图象是什么？反比函数的图像是在一个坐标轴上有两根相互对称的曲线而组成，性质分别为：①单调性、②面积、③图想表达、④对称性，以上就是反比函数的图象和性质。
接下来详细的看一下其中的内容吧！
①单调性：反比函数是具有单调性的，当函数内容k大于零的时候，图像分别位于第一三象限，而在每一个象限的内部，从左往右来数，y 是随着x的增大而减少，如果K小于零的时候，图像分别位于第二四象限，在每一个象限的内部，y随着x的增大而增大。
当K大于零的时候，函数在x小于零上是一个减函数，而在x大于零的时候，也是为减函数。
在k小于零的时候，函数在x小于零上为增函数，在x大于零的时候同为增函数。
②面积：在一个反比例函数上面取两个点，这两个点可以随意的取，然后过点分别做一个x轴和一个y轴的平行线，而这个平行线是可以和坐标轴围成一个矩形，而这一个矩形的面积为绝对值得K。
而在反比例函数上，找到一个点，向X/Y轴分别做一个垂线，设置一个围好的矩形，而这个矩形则为QOWM，这个垂线分别位于y轴和x 轴，则围成形状的这个面积为绝对值得K，则连接这个矩形的对角线为OM，则满足RT△OMQ的面积等于二分之一绝对值得K。
③图像表达：对于反比例函数的图像来说的话，不和x轴或者是y轴的相交渐近线为x轴和y轴，K值相等的反比例函数图像是相互重合的，k值不相等的反比例函数图像是永远都不会相交的，而绝对值得K 越大的话，反比例函数距离坐标轴就会越来越远。
④对称性：反比例函数是一种中心对称的图形，对称中心是原点，而正是这样的一个反比例函数的图像也是轴对称图形，随意反比例函数上的点是关于原点坐标对称的，图像关于原点对称。
人教版九年级数学下册知识点总结：第二十六章反比例函数
人教版九年级数学下册知识点总结第二十六章、反比例函数知识点一：反比例函数的概念及其图象、性质1.反比例函数的概念（1）定义：形如y＝kx(k≠0)的函数称为反比例函数，k叫做比例系数，自变量的取值范围是非零的一切实数．（2）形式：反比例函数有以下2种基本形式：①y＝kx；②y=kx-1; ③xy=k.(其中k为常数，且k≠0)例：函数y=3x m+1，当m=－2时，则该函数是反比例函数．2.反比例函数的图象和性质k的符号图象经过象限y随x变化的情况k>0 图象经过第一、三象限（x、y同号）每个象限内，函数y的值随x的增大而减小.k<0 图象经过第二、四象限（x、y异号）每个象限内，函数y的值随x的增大而增大.3.反比例函数的图象特征（1）由两条曲线组成，叫做双曲线；（2）图象的两个分支都无限接近x轴和y轴，但都不会与x轴和y轴相交；（3）图象是中心对称图形，原点为对称中心；也是轴对称图形，2条对称轴分别是平面直角坐标系一、三象限和二、四象限的角平分线．4.待定系数法只需要知道双曲线上任意一点坐标，设函数解析式，代入求出反比例函数系数k即可.例：已知反比例函数图象过点（－3，－1），则它的解析式是y=3/x知识点二：反比例系数的几何意义及与一次函数的综合5.系数k的几何意义（1）意义：从反比例函数y＝kx(k≠0)图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|,以该点、一个垂足和原点为顶点的三角形的面积为1/2|k|.（2）常见的面积类型：失分点警示已知相关面积，求反比例函数的表达式，注意若函数图象在第二、四象限，则k＜0.例：已知反比例函数图象上任一点作坐标轴的垂线所围成矩形为3，则该反比例函数解析式为：3yx=或3yx=-6.与一次函数的综合（1）确定交点坐标：【方法一】已知一个交点坐标为（a,b），则根据中心对称性，可得另一个交点坐标为（-a,-b）.【方法二】联立两个函数解析式，利用方程思想求解.（2）确定函数解析式：利用待定系数法，先确定交点坐标，再分别代入两个函数解析式中求解（3）在同一坐标系中判断函数图象：充分利用函数图象与各字母系数的关系，可采用假设法，分k＞0和k＜0两种情况讨论，看哪个选项符合要求即可.也可逐一选项判断、排除.（4）比较函数值的大小：主要通过观察图象，图象在上方的值大，图象在下方的值小，结合交点坐标，确定出解集的范围.涉及与面积有关的问题时，①要善于把点的横、纵坐标转化为图形的边长，对于不好直接求的面积往往可分割转化为较好求的三角形面积；②也要注意系数k的几何意义.例：如图所示，三个阴影部分的面积按从小到大的顺序排列为：S△AOC=S△OPE＞S△BOD知识点三：反比例函数的实际应用7.一般步骤（1题意找出自变量与因变量之间的乘积关系；（2设出函数表达式；（3）依题意求解函数表达式；（4）根据反比例函数的表达式或性质解决相关问题.。
反比例函数的图象和性质课件
当 k > 0 时，反比例函数的图像 分布在第一象限和第三象限；当 k < 0 时，反比例函数的图像分 布在第二象限和第四象限。
反比例函数的基本形式
反比例函数的基本形式是 y = k/x (k ≠ 0)，也可以表示为 xy = k。
在这个函数中，x 和 y 的乘积始终等 于 k，而 k 的值决定了函数的图像在 哪个象限分布。
反比例函数的图像
反比例函数的图像通常是以原点为中心的双曲线，分布在四个象限。
当 k > 0 时，图像在第一象限和第三象限；当 k < 0 ，图像在第二象限和第四象 限。
反比例函数的图像不会与坐标轴相交，因为当 x 或 y 趋于无穷大时，y 或 x 将趋于 0。
CHAPTER 02
反比例函数的图像性质
人口增长与资源消耗的关 系
随着人口的增长，资源消耗也相应增加，但 这种增加并不是线性的，而是呈现出反比例 关系。这意味着人口增长得越快，资源消耗 得也越快，进一步加剧了资源紧张的局面。
在数学问题中的应用
解决几何问题
在几何学中，反比例函数经常被用来描述和解决与面积、体积和角度等相关的数学问题 。通过利用反比例关系，可以简化复杂问题的求解过程。
压强与体积的关系
在气体压力问题中，压强与体积成反比，即当体积增大时， 压强减小；反之亦然。这是解释和预测气体压力和体积关系 的基础。
在实际生活中的应用
药物剂量与效果的关系
在药物研究中，药物的剂量与其效果之间往 往存在反比例关系。这意味着当剂量增加时 ，效果可能减弱；反之亦然。了解这种关系 对于药物设计和使用非常重要。
反比例函数的图象和 性质ppt课件
contents
目录
• 反比例函数简介 • 反比例函数的图像性质 • 反比例函数的数学性质 • 反比例函数的应用 • 反比例函数与其他知识点的联系
人教版九年级下册第26章反比例函数的图象和性质(共68张PPT)
x
练一练
1. 如图，过反比例函数 y k 图象上的一点 P，作 x
PA⊥x 轴于A. 若△POA 的面积为 6，则 k = －12 .
提示：当反比例函数图象 在第二、四象限时，注意
y
k
P
y= x
k＜0.
AO
x
2. 若点 P 是反比例函数图象上的一点，过点 P 分别向 x 轴、y 轴作垂线，垂足分别为点 M，N，若四边形 PMON 的面积为 3，则这个反比例函数的关系式是
O
x
y
y 4 x
O
xห้องสมุดไป่ตู้
归纳：
反比例函数 y k (k＜0) 的图象和性质：
x
●由两条曲线组成，且分别位于第二、四象限 它们与x轴、y轴都不相交；
●在每个象限内，y随x的增大而增大.
一般地，反比例函数 y k 的图象是双曲线， x
它具有以下性质：
(1) 当 k > 0 时，双曲线的两支分别位于第一、三 象限，在每一象限内，y 随 x 的增大而减小；
S△OFE = S1 = S2，而 S3＞S△OFE， 所以 S1，S2，S3的大小关系为
S1 = S2 < S3
S1 S3
F S2
例8 如图，点 A 是反比例函数 y 2 (x＞0)的图象
上
x y
3
任意一点，AB//x 轴交反比例函数
x (x＜0) 的
图象于点 B，以 AB 为边作平行四边形 A5 BCD，其中
－6－5－4－3－2－1O －1
1 2 3 4 5 6 x (2) 在每一个象限内，
－2
随着x的增大，y 如何
－3 －4
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．
.
形状:
驶向胜 利的彼 岸
图像分别都是由两支曲线组成，因此称反比例函 数的图象为双曲线。
位置: 4 y= 函数 x 的两支曲线分别位于第一、三象限 -4 内.函数 y = — 的 两支曲线分别位于第二、四 x 象限内
．
．
驶向胜 利的彼 岸
想一想
1.观察函数y y
6
-4 4 y = — x x 和
的图象 ,有什么相同点和不同点. y
6 5 -4 .4 y=— x 3 . ． 2 1 ． ． -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 x . -1 . ． -2 -4 3 ． -5 -6
4 5 y= — . x 4 3 ． ．． 2 1 .
-2 2 下面给出了反比例函数y= 和y= x x -2 的图象，你能知道哪一个是 y= 图象吗？ x 为什么？ y
2 y x
y
“双胞胎”之间的差异
2 y x
x
o
x
o
1、反比例函数y= - 5 的图象大致是（ D x y y
A：
o x
）
B：
o
x
y y
C：
x o
D：
o x
测一测
5 二,四 象限，函数 1.函数 y = x 的图像在第_____ 5 y = 的图象在第 一、三 象限。 x y 1 1 2. 双曲线 y = 3x 经过点（-3，___ 9 ） m-2 x 3.函数 y = x 的图像在二、四象限，则 m的 取值范围是 ____ m < 2. 1 4.对于函数 y = 2x ，这部分图像在第 一、三 象限. ________ 5.函数 y =(2m+1)x , 它的图像在一、三 象限，则m= 3 ____.（此函数是反比例函数）
P150习题5.2 第1题.
祝你成功！
驶向胜利 的彼岸
知识的综合运用： 课外探索与交流：
k1 在同一坐标系中，函数 y 和y=k2x+b的 x
图像大致如下，则 k 1 、k 2 、b各应满足什么条 件？说明理由。
A
B
C
D
下课了!
结束寄语
• 不学自知,不问自晓,古今
行事,未之有也.
● ●
●
-1 -2 -3 ●-4 -5 -6 -7 ● -8
x
1．画出函数 解： 1．列表：
y = -4 — 的图象 (直接画在课本上) x
1 2
x
… -8 -4 -3 -2 -1
1 2
…
1 2
1 2 3 4 8
4 3
-4 … y=— x
1
4 3
2
4
8 … -8 -4 -2
-1
1 2
以表中各组对应值作为点的坐标,在直角坐 2．描点： 标系内描出相应的点. 3．连线：用光滑的曲线顺次连接各点,就可得到 图象 .
演 稿
示 1
文
2 3 后 等
折800 网折800网 工屰夻
想一想
2.反比例函数
驶向胜利 的彼岸
k y x
的图象在哪两个象限,由什么确定？
答：由k决定。 当k>0时,两支双曲线分别位于一,三象限内;
当k<0时,两支双曲线分别位于二,四象限内;
随堂练习
“试金石”
x
y 4 x
… -8 -4 -3 -2 -1
…
1 2
1
4 3
1 2
…
1 2
1 2 3 4 8 …
4 3
2
.
4
y
8 … -8 -4 -2
-1
1 2
…
6 5 -4 . 4 y=— x 3 . 2 ． ． 1 ． -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 -1 -2 -3 -4 -5 -6
． 1 2 3 4 5 6 x . . ． .
复习提问
1. 下列函数中哪些是反比例函数？ 2x 1 2 ① y = 3x-1 ② y = 2x ③y= x ④y= 3
⑤ y = 3x ⑥ y=
1 x
1 3 ⑦ y = 3x ⑧ y = 2x
2. 上节课我们学的反比例函数解析式是什么？ k （k ≠0，k是常数） y=
x
自变量x的取值范围是什么？ x≠0 ，y≠0 函数y的取值范围是什么？
1 2
1 2 3 4 8
4
4 2 3
4 - -2 3
-4 -8
8
1
1 2
列表(在自变量取值范围内取一些值,并计算相应的函数值)
x y -8
1 2
-4
-1
-3
4 3
-2
-2
-1
1 2
1 2
1
4
2
2
3
4 3
4
1
8
1 2
-4 y -8
8 7 6 5 4 3 2 1
●
8
描点
●
●
பைடு நூலகம்
●
●
●
连线
-8●–7–6 –5–4 –3 -2-1 O 1 2 3 4 5 6 7 8
m+2m-16
2
回顾本节：
驶向胜利 的彼岸
小结
拓展
回 味 无 穷
反比例函数的图象和性质
1:形状 反比例函数的图象是由两支双曲线组成的.
因此称反比例函数的图象为双曲线; 2:位置 当k>0时, 两支双曲线分别位于第一, 三象限内;
当k<0时, 两支双曲线分别位于第二, 四象限内;
独立 作业
知识的升华
已知一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是
猜想
反比例函数
k y (k≠0)的图象是什么样子呢？ x
让我们一起画个反比例函数的图象看看。
4 作反比例函数 y = 的图象 x
例
题
问：还记得作函数图象的一般步骤吗？
列表 描点 连线
1.列表
x
1 -8 -4 -3 -2 -1 2
4 1 y = 2 -1 x