12.2 新人教版数学三角形全等的判定定理

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人教版数学八年级上册12.2全等三角形的判定(3)ASA和AAS教案

三、教学策略与方法
1.引入新课：通过复习全等三角形的定义和SSS、SAS判定定理，自然过渡到本节课的ASA和AAS判定定理。
2.演示与探索：利用多媒体演示ASA和AAS判定定理的动态过程，引导学生观察并思考两个三角形全等的条件。
3.分组讨论：将学生分组，每组讨论一个实际例题，运用ASA和AAS判定定理证明两个三角形全等。
-难点三：在实际问题中的应用。学生需学会将ASA和AAS定理应用于解决实际问题，如计算未知长度或角度。
-举例：在房屋建筑中，如何使用ASA或AAS定理来确定两个墙面的全等关系，从而计算材料需求。
-难点四：证明过程的逻辑性和条理性。学生需要学会清晰、有条理地写出证明过程，避免逻辑错误。
-举例：指导学生如何逐步写出证明步骤，确保每一步都有理有据。
2.练习评价：根据学生完成练习题的正确率和速度，评估学生对ASA和AAS判定定理的理解和掌握程度。
3.课堂问答：通过提问方式，检查学生对ASA和AAS判定定理的记忆和理解情况。
4.课后作业：布置课后作业，要求学生运用所学知识解决实际问题，进一步巩固全等三角形的判定方法。
五、教学建议
1.注重启发式教学，引导学生主动发现问题和解决问题。
4.课堂讲解：针对学生在讨论中遇到的问题，进行讲解和解析，强调ASA和AAS判定定理的关键点。
5.练习巩固：布置一些具有代表性的练习题，让学生独立完成，巩固所学知识。
6.总结提升：对本节课的内容进行总结，强调ASA和AAS判定定理在实际问题中的应用。
四、教学评价
1.过程性评价：观察学生在分组讨论中的参与程度、思考问题的方式和解决问题的策略。
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与全等三角形判定相关的实际问题。

人教版八年级数学上册考点与题型归纳第十二章全等三角形12.2全等三角形的判定(含解析)

人教版八年级数学上册考点与题型归纳第十二章全等三角形12.2 全等三角形的判定一：考点归纳考点一、三角形全等的判定定理：（1）边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS ”）（2）角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA ”）（3）边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS ”）。

考点二、直角三角形全等的判定：对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有HL 定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL ”）.考点三、证明的基本方法：⑴明确命题中的已知和求证.（包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、高、等腰三角形等所隐含的边角关系）⑵根据题意，画出图形，并用数字符号表示已知和求证.⑶经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程.二：【题型归纳】题型一：直角三角形全等的判定1．如图，已知,,AE BD AC BC DF EF =⊥⊥，垂足分别为点,C F ，且BC EF =．求证：ABC DEF ∆≅∆题型二：SAS的判定2．如图，∠A＝∠B，AE＝BE，点D在AC边上，∠1＝∠2，AE和BD相交于点O．（1）求证：△AEC≌△BED；（2）若∠1＝48°，求∠BDE的度数．题型三：全等三角形判定与性质的综合3．如图，∆ABC中，AC=CB，∠ACB=90°，D为AC延长线上的一点，E在BC边上，连接AE，DE，BD，AE=BD，∆≅∆（1）求证：ACE BCD（2）若∠CAE=15°，求∠EDB的度数．4．如图，AD为ABC的高，AD＝BD，E为AC上一点，BE交AD于F，且FD＝CD．（1）求证：BFD≌ACD；（2）判断BE与AC的位置关系，并说明理由．三：基础巩固和培优一、单选题1．如图，∠ABD ＝∠EBC ，BC ＝BD ，再添加一个条件，使得△ABC ≌△EBD ，所添加的条件不正确的是（）A ．∠A ＝∠EB ．BA ＝BEC ．∠C ＝∠D D ．AC ＝DE2．如图，下列条件中，不能证明ABD ≌ACD 的是（）A ．BD DC =，AB AC =B ．ADB ADC ∠∠=，BD DC =C ．B C ∠=∠，BAD CAD ∠=∠D ．B C ∠=∠，BD DC =3．如图，下列条件不能证明ABC DCB △≌△的是（）A ．AB ＝DC ，AC ＝DB B ．AB ＝DC ，∠ABC ＝∠DCBC ．BO ＝CO ，∠A ＝∠D D ．AB ＝DC ，∠ACB ＝∠DBC4．如图，BE=CF ，AB=DE ，添加下列哪一个条件可以推证△ABC ≌△DEF （）A ．BC=EFB ．∠A=∠DC ．AC//DFD ．∠B=∠DEF5．如图，∆ABC 的面积为102cm ，BP 平分∠ABC ，AP 垂直于BP 于P ．连接CP ，若∆ACP 的面积为22cm ，则∆ABP 的面积为（）A ．12cmB ．22cmC ．32cmD ．42cm6．如图，已知AD 是ABC 的角平分线，增加以下条件：①AB ＝AC ；②∠B ＝∠C ；③AD ⊥BC ；④ABD ACD S S ，其中能使BD ＝CD 的条件有（）A ．①B ．①②C ．①②③D ．①②③④7．如图，已知AE=CF ，∠AFD=∠CEB ，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ADF ≌△CBE 的是（）A ．∠B=∠DB ．BE=DFC ．AD=CBD ．AD ∥BC8．如图，在△ABC 和△DEC 中，已知CB CE =，还需添加两个条件才能使△ABC ≌△DEC ，不能添加的一组条件是（）．A ．AB DE =，B E ∠=∠ B ．AB DE =，AC DC =C ．AB DE =，AD ∠=∠ D ．A D ∠=∠，BE ∠=∠9．如图，90ACB ∠=︒，AC=BC ．AD CE ⊥，BE CE ⊥，垂足分别是点D 、E ．若AD=6，BE=2，则DE 的长是（）A ．2B ．3C ．4D ．510．如图，△ABC 的面积为1cm 2， AP 垂直∠B 的平分线BP 于P ，则△PBC 的面积为（）A ．0.4 cm 2B ．0.5 cm 2C ．13 cm 2D ．0.6 cm 2二、填空题 11．如图所示，在△ABC 中，AB ＝CB ，∠ABC ＝90°，D 为AB 延长线上一点，点E 在BC 上，且BE ＝BD ，连接AE 、DE 、DC ．若∠CAE ＝25°，则∠BDC ＝_____．12．在△ABC 和△A ′B ′C ′中，若∠A ＝∠A ′，AB ＝A ′B ′，请你补充一个条件_____，使得△ABC ≌△A ′B ′C ′．13．如图，在ABC中，点D、E、F分别是BC，AB，AC上的点，若∠B＝∠C，BF＝CD，BD＝CE，∠EDF ＝56°，则∠A＝_____°．14．如图，已知在ABC中，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，PR=PS，∠1=∠2，则四个结论：①AR=AS；②PQ∥AB；≌；④BP=CP中，正确的是________．③BPR CPS15．如图，在△ABC 中，AB＝AC＝12，BC＝8，D 为AB 的中点，点P 在线段BC 上以每秒2 个单位的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上以每秒x 个单位的速度由C 点向A 点运动．当△BPD 与以C、Q、P 为顶点的三角形全等时，x 的值为_____．三、解答题16．如图所示，在四边形ABCD中，CD∥AB，∠ABC的平分线与∠BC D的平分线相交于点F，BF与CD的延长线交于点E，连接CE．求证：（1）△BCE是等腰三角形．（2）BC=AB+CD17．如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB＝DE，AC ＝DF，BE＝CF．求证：△ABC ≌△DEF；18．如图，D为△ABC外一点，∠DAB＝∠B，CD⊥AD，∠1＝∠2，若AC＝7，BC＝4，求AD的长．19．如图，在△ABC中，AB＜AC，边BC的垂直平分线DE交△ABC的外角∠CAM平分线于点D，垂足为E，DF⊥AC于点F,DG⊥AM于点G,连接CD．（1）求证：BG=CF；（2）若AB=10cm，AC=14cm，求AG的长．20．在ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线，MN经过点C，且AD⊥MN于点D，BE⊥MN于点E．（1）当直线MN绕点C旋转到如图1的位置时，求证：DE＝AD+BE；（2）当直线MN绕点C旋转到如图2的位置时，求证：DE＝AD﹣BE；（3）当直线MN绕点C旋转到如图3的位置时，线段DE、AD、BE之间又有什么样的数量关系？请你直接写出这个数量关系，不要证明．10 / 26参考答案题型归纳1.证明：,AC BC DF EF ⊥⊥ 90C F ︒∴∠=∠=AE BD =AB DE ∴=在Rt ABC ∆和Rt DEF ∆中AB DEBC EF =⎧⎨=⎩()Rt ABC Rt DEF HL ∴∆≅∆ 2．解：（1）证明：∵AE 和BD 相交于点O ， ∴∠AOD ＝∠BOE ．在△AOD 和△BOE 中，∠A ＝∠B ，∴∠BEO ＝∠2．又∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠BEO ，∴∠AEC ＝∠BED ．在△AEC 和△BED 中，A BAE BE AEC BED∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△AEC ≌△BED （ASA ）．（2）∵△AEC ≌△BED ，∴EC ＝ED ，∠C ＝∠BDE ．在△EDC 中，∵EC ＝ED ，∠1＝48°，∴∠C ＝∠EDC ＝66°，∴∠BDE ＝∠C ＝66°．3．（1）证明：在Rt △ACE 和Rt △BCD 中，AC BCAE BD =⎧⎨=⎩，∴△ACE ≌△BCD （HL ）；（2）∵△ACE ≌△BCD ，∠CAE=15°，∴CE=CD，∠CBD=∠CAE=15°∴∠CDE=∠CED ，∵∠ACB=90°，∴∠CED=45°，∵∠CED 为△BDE 的外角，∴∠EDB=∠CED-∠CBD=45°-15°=30°．4．证明：（1）在△BDF 和△ADC 中，90ADBD ADCBDF CD DF ， ∴△BDF≌△ADC（SAS ）；（2）BE⊥AC，理由如下：∵△BDF≌△ADC，∴∠DAC＝∠DBF，∵∠DAC+∠C＝90°，∴∠DBF+∠C＝90°，∴∠BEC＝90°，∴BE⊥AC．三：基础巩固和培优1．D解：∵∠ABD ＝∠EBC ，BC=BD ，∴∠ABC=∠EBD ，A.当添加∠A=∠E 时，可根据“AAS”判断△ABC ≌△EBD ，故正确；B.当添加BA=BE 时，可根据“SAS”判断△ABC ≌△EBD ，故正确；C.当添加∠C=∠D 时，可根据“ASA”判断△ABC ≌△EBD ，故正确；D.当添加AC ＝DE 时，无法判断△ABC ≌△EBD ，故错误；故选：D ．2．D解：A 、因为BD DC =，AB AC =，又因为AD=AD ，所以ABD ≌ACD （SSS ），故本选项不符合题意； B 、因为ADB ADC ∠∠=，BD DC =，又因为AD=AD ，所以ABD ≌ACD （SAS ），故本选项不符合题意；C 、因为B C ∠=∠，BAD CAD ∠=∠，又因为AD=AD ，所以ABD ≌ACD （AAS ），故本选项不符合题意；D 、因为B C ∠=∠，BD DC =，AD=AD ，这是边边角，不能证明ABD ≌ACD ，故本选项符合题意．故选：D ．3．D解：AB ＝DC ，AC ＝DB ，BC ＝BC ，符合全等三角形的判定定理“SSS”，能推出ABC DCB △≌△ ，故A 选项错误；AB ＝DC ，ABC DCB ∠=∠，BC ＝CB符合全等三角形的判定定理“SAS”，能推出ABC DCB △≌△ ，故B 选项错误；在△AOB 和△DOC 中，AOB DOCA D OB OC∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴AOB DOC △≌△ （AAS ），∴AB ＝DC ，∠ABO ＝∠DCO ，∵OB ＝OC ，∴∠OBC ＝∠OCB ，∴∠ABC ＝∠DCB ，在△ABC 和△DCB 中，AB DC ABC DCB BC CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴ABC DCB △≌△（SAS ），能推出ABC DCB △≌△，故C 选项错误；BC ＝CB ，AB ＝DC ，∠ACB ＝∠DBC ，SSA 不符合全等三角形的判定定理，即不能推出ABC DCB △≌△，故D 选项正确．故选D ．4．D解：∵BE ＝CF ，∴BC ＝EF ，又∵AB=DE ，A 、添加BC ＝EF 不能证明△ABC ≌△DEF ，故此选项错误；B 、添加∠A ＝∠D 不能证明△ABC ≌△DEF ，故此选项错误；C 、添加AC ∥DF 可得∠ACB ＝∠F ，不能证明△ABC ≌△DEF ，故此选项错误；D 、添加∠B=∠DEF 可利用SAS 判定△ABC ≌△DEF ，故此选项正确；故选：D ．5．C解：延长AP 交BC 于D ，∵BP 平分∠ABC ，AP ⊥BP ，∴∠ABP=∠DBP ，∠APB=∠DPB=90°，在△ABP 与△DBP 中，ABP DBPPB PB APB DPB∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝，∴△ABP ≌△DBP （ASA ），∴AP=PD ，S △PBD =S △ABP∴2ACP PCD S S ∆∆==2cm∴S △ABD =10-4=62cm ，∴△ABP 的面积=3cm 2，故选：C ．6．D解：∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAD=∠CAD ，∵AB=AC ，AD=AD ，∴△BAD ≌△CAD （SAS ），∴BD=CD ，故①符合题意；∵∠B=∠C ，AD=AD ，∴△BAD ≌△CAD （AAS ），∴BD=CD ，故②符合题意；∵AD ⊥BC ，∴∠ADB=∠ADC=90°，∵AD=AD ，∴△BAD ≌△CAD （ASA ），∴BD=DC ，故③符合题意；∵ABD ACD S S ，∴BD=DC ，故④符合题意；∴①②③④都可以得到BD=CD ；故选D ．7．C解：∵AE=CF ，∴AE+EF=CF+EF ，∴AF=CE ，A 、∠B=∠D ，∠AFD=∠CEB ，AF=CE ，满足AAS ，能判定△ADF ≌△CBE ；B 、BE=DF ，∠AFD=∠CEB ，AF=CE ，满足SAS ，能判定△ADF ≌△CBE ；C 、AD=CB ，AF=CE ，∠AFD=∠CEB ，满足SSA ，不能判定△ADF ≌△CBE ；D 、AD ∥BC ，则∠A=∠C ，又AF=CE ，∠AFD=∠CEB ，满足ASA ，能判定△ADF ≌△CBE ；故选：C ．8．C解：∵CB=CE.∴当AB DE =，B E ∠=∠时，满足SAS ，可证△ABC ≌△DEC ，故A 不符合题意；当AB DE =，AC DC =时，满足SSS ，可证△ABC ≌△DEC ，故B 不符合题意；当AB DE =，A D ∠=∠时，满足是ASS ，不能证明△ABC ≌△DEC ，故C 符合题意；当A D ∠=∠，B E ∠=∠时，满足AAS ，可证△ABC ≌△DEC ，故D 不符合题意．故选C ．9．C解：∵90ACB ∠=︒，∴∠ACD+∠ECB=90º，∵AD CE ⊥，BE CE ⊥，∴∠ADC=∠CEB=90º，∴∠ECB+∠CBE=90º，∴∠ACD=∠CBE ，在△ACD 和△CBE 中，∵∠ADC=∠CEB=90º，∠ACD=∠CBE ，AC=BC ，∴△ACD ≌△CBE （AAS ），∴AD=CE=6，CD=BE=2，∴ED=EC-CD=6-2=4．故选择：C ．10．B解：如图，延长AP 交BC 于T ．∵BP ⊥AT ，∴∠BPA ＝∠BPT ＝90°，∵BP ＝BP ，∠PBA ＝∠PBT ，∴△BPA ≌△BPT （ASA ），∴PA ＝PT ，∴S △BPA ＝S △BPT ，S △CAP ＝S △CPT ，∴S △PBC ＝12S △ABC ＝12=0.5，故选：B ．11．70°解： ∵∠ABC=90°，∴∠CBD=∠ABC =90°，在Rt △ABE 与Rt △CBD 中，BE BDCBD ABC AB BC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABE ≌△CBD ，∴∠AEB=∠BDC ，∵AB=BC ，∴∠BAC=∠ACB=45°，∵∠AEB 为△AEC 的外角，∠CAE=25°，∴∠AEB=∠ACB+∠CAE=45°+25°=70°，∴∠BDC=70°．故答案为：70°．12．∠B ＝∠B ′或∠C ＝∠C ′或AC ＝A ′C ′．解：在△ABC 和△A ′B ′C ′中，AB ＝A ′B ′，∠A ＝∠A ′，当添加∠B ＝∠B ′可利用“ASA ”判断△ABC ≌△A ′B ′C ′；当添加∠C ＝∠C ′可利用“AAS ”判断△ABC ≌△A ′B ′C ′；当添加AC ＝∠A ′C ′可利用“SAS ”判断△ABC ≌△A ′B ′C ′．故答案为：∠B ＝∠B ′或∠C ＝∠C ′或AC ＝A ′C ′． 13．68°．解：在△BDF和△CED中∵BF=CD ，∠B=∠C ，BD ＝CE ，∴△BDF ≌△CED （SAS ），∴∠BFD=∠CDE ，∠BDF=∠CED ，∴∠BDF+∠CDE=180º-∠EDF=180º-56º=124º，∴∠BFD+∠BDF=∠BDF+∠CDE=124º，∴∠C=∠B=180º-∠BFD-∠BDF=56º，∴∠A=180º-∠B-∠C=180º-56º-56º=68º．故答案为：68º．14．①② 解：在Rt APR ∆和Rt APS ∆中，PS PR AP AP =⎧⎨=⎩， Rt APR Rt APS ∴∆≅∆，()HLAR AS ∴=，①正确，∴1BAP ∠=∠，12∠=∠，2BAP ∴∠=∠，//QP AB ∴，②正确，BRP ∆和QSP ∆中，只有一个条件PR PS =，再没有其余条件可以证明 BRP QSP ∆≅∆，故③④错误；故答案是：①②．15．2 或 3解：设经过 t 秒后，使△BPD 与△CQP 全等． ∵AB ＝AC ＝12，点 D 为 AB 的中点．∴BD ＝6．∵∠ABC ＝∠ACB ．∴要使△BPD 与△CQP 全等，必须 BD ＝CP 或 BP ＝CP ．即 6＝8﹣2t 或 2t ＝8﹣2t ．1t ＝1，2t ＝2．当t ＝1 时，BP ＝CQ ＝2，2÷1＝2．当t ＝2 时，BD ＝CQ ＝6，6÷2＝3．即点 Q 的运动速度是 2 或 3，故答案为：2 或 3．16．解：（1）∵BF 平分∠ABC ， ∴12ABF CBF ABC ∠=∠=∠，∵CD ∥AB ，∴ABF E ∠=∠，∴E CBF ∠=∠，∴BC=CE ，∴△BCE 是等腰三角形．（2）∵CF 平分∠BCE ， ∴12BCF BCE ∠=，∵CD ∥AB ，∴180ABC BCE ∠+∠=︒，∴90CBF BCF ∠+∠=︒，∴90BFC ∠=︒，即 CF ⊥BE ，又BC=CE ，∴BF=EF ，在△ABF 和△DEF 中，∵ABF EAFB DFE BF EF∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABF ≌△DEF ；∴AB=DE ，∴BC=CE=DE+CD=AB+CD ，因此 BC=AB+CD ．17．解：证明：∵BE ＝CF ，∴BE +EC ＝CF +EC ，∴BC ＝EF ，在△ABC 和△DEF 中，∵AB DEAC DF BC EF=⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴△ABC ≌△DEF （SSS ）．18．解：证明：延长AD ，BC 交于点E ．∵CD ⊥AD ，∴∠ADC ＝∠EDC ＝90°．在△ADC 和△EDC 中12ADC EDCCD CD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ADC≌△EDC（ASA）．∴∠DAC＝∠DEC，AC＝EC，AD＝ED．∵AC＝7，∴EC＝7．∵BC＝4∴BE＝11∵∠DAB＝∠B，∴AE＝BE＝11．∴AD＝5.5．答：AD的长为5.5．19．解：（1）证明：如图所示，连接DB．∵AD是△ABC的外角平分线，DG⊥AB，DF⊥CA，∴DF=DG ．∵DE 垂直平分BC ，∴DC=DB ，在Rt △CDF 与Rt △BDG 中DF DG DC DB=⎧⎨=⎩ ∴Rt △CDF ≌Rt △BDG （HL ），∴BG=CF ．（2）解：∵∠GAD=∠FAD ，∠AGD=∠AFD ，AD=AD ， ∴在△ADG 与△ADF 中GAD FAD AGD AFD AD AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADG ≌△ADF （AAS ），∴AG=AF ，∵BG=CF∴AG=()()111410222AC AB -=-=(cm)． 20．解：（1）证明：∵AD ⊥MN ，BE ⊥MN ， ∴∠ADC ＝∠CEB ＝90°，∴∠DAC+∠ACD ＝90°，∵∠ACB ＝90°，∴∠BCE+∠ACD ＝90°，∴∠DAC ＝∠BCE ，在△ADC 和△CEB ，ADC CEBDAC ECB AC CB∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADC ≌△CEB （AAS ）， ∴CD ＝BE ，AD ＝CE ，∴DE ＝CE+CD ＝AD+BE ；（2）证明：∵AD ⊥MN ，BE ⊥MN ， ∴∠ADC ＝∠CEB ＝90°， ∴∠DAC+∠ACD ＝90°， ∵∠ACB ＝90°，∴∠BCE+∠ACD ＝90°，∴∠DAC ＝∠BCE ，∵AC=BC ，∴△ADC ≌△CEB ，∴CD ＝BE ，AD ＝CE ，∴DE ＝CE ﹣CD ＝AD ﹣BE ；（3）解：DE ＝BE ﹣AD ，理由如下：∵AD ⊥MN ，BE ⊥MN ，∴∠ADC ＝∠CEB ＝90°， ∴∠DAC+∠ACD ＝90°， ∵∠ACB ＝90°，∴∠BCE+∠ACD ＝90°，∴∠DAC＝∠BCE，∵AC=BC，∴△ADC≌△CEB，∴CD＝BE，AD＝CE，∴DE＝BE﹣AD．。

12.2 三角形全等的判定(第一课时SSS)(解析版)

八年级数学上分层优化堂堂清十二章三角形12.2三角形全等的判定第一课时（解析版）学习目标：1.经历实验探究的过程，直观发现三边相等的两个三角形全等。

会用直规作图法作“一条线段等于已知线段，一个角等于已知角”，提高动手操作能力。

知道这样作图的理由。

2.能利用“SSS ”进行有关的计算或证明。

发展逻辑推理能力、计算能力和空间观念。

老师对你说：知识点1 全等三角形的判定1：边边边（SSS ）文字：在两个三角形中，如果有三条边对应相等，那么这两个三角形全等.图形：符号：在ABC D 与'''A B C D 中，()'''''''''=ìï=\D @D íï=îAB A B AC A C ABC A B C SSS BC B C 证明的书写步骤：①准备条件：证全等时要用的条件要先证好；②指明范围：写出在哪两个三角形中；③摆齐根据：摆出三个条件用大括号括起来；④写出结论：写出全等结论.注意：（1）说明两三角形全等所需的条件应按对应边的顺序书写.（2）结论中所出现的边必须在所证明的两个三角形中.知识点2 用尺规作一个角等于已知角已知：∠AOB ．求作： ∠A ′O ′B ′=∠AOB ．作法：（1）以点O 为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA ，OB 于点C 、D；C'B'A'C BA（2）画一条射线O ′A ′，以点O ′为圆心，OC 长为半径画弧，交O ′A ′于点C ′；（3）以点C ′为圆心，CD 长为半径画弧，与第2 步中所画的弧交于点D ′；（4）过点D ′画射线O ′B ′，则∠A ′O ′B ′=∠AOB ．知识点3 运用边边边定理证明和计算运用“SSS ”证明两个三角形全等主要是找边相等，边相等除了题目中已知的边相等外，还有一些相等边隐含在题设或图形中。

12.2全等三角形的判定

12.1全等三角形12.2全等三角形的判定学习目标1.理解全等三角形和全等三角形的概念，掌握全等三角形对应边、对应角的概念。

2.会确定全等三角形的对应边和对应角，会用全等三角形的性质解决问题。

3.会用全等三角形的判定定理判定两个三角形全等。

4.能灵活运用所学的判定方法，判定两个三角形全等，进而解决线段和角的相等问题。

考点关注1.利用全等三角形的性质，求线段的长或角的度数。

2.利用全等三角形全等的判定方法判定三角形全等。

3.利用三角形全等和全等三角形的性质，证明线段或角相等。

知识点1 全等三角形的有关概念(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两组对应角所夹的边是对应边；(2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两组对应边所夹的角是对应角；(3)两个全等三角形中的一对最长边（最大角）是对应边（对应角），—对最短边（最小角）是对应边（对应角）；(4)两个全等三角形有公共边时，公共边是对应边；(5)两个全等三角形有公共角时，公共角是对应角；(6)两个全等三角形有对顶角时，对顶角是对应角.知识点2 全等三角形的性质【特别提醒】1.由全等三角形的性质可得到全等三角形的面积和周长相等，但周长和面积相等的三角形不一定全等.2.全等三角形的性质是证明线段或角相等的重要方法，在运用这个性质时，关键是结合图形或根据全等三角形的记法灵活地找到对应边或对应角，要牢牢抓住“对应”二字.练习1：如图12-1所示，已知△ACF≌△DBE，且点A，B，C，D在同一条直线∠A=50°，∠F=40°.(1)求△DBE各内角的度数；(2)若AD=16，BC=10，求AB的长图12 - 11.判定两个三角形全等常用的思路方法如下表。

2.全等三角形的图形有以下几种模型。

(1)平移全等型。

(2)对称全等型。

(3)旋转全等型。

3.在寻找证明两个三角形全等的条件时，应注意图形中的隐含条件:①公共边或公共角相等；②对顶角相等.练习2：如图12 - 5所示，EB交AC于点M，交FC于点D，AB交FC于点N，∠E=∠F = 90°，∠B=∠C，AE=AF，给出下列结论：①∠1=∠2；②BE = CF；③△ACN≌△ABM；④CD = DN.其中正确的结论有（）A.4个B.3个C.2个D.1个图12-5题型1 利用全等三角形证明角或线段相等例1：如图12 - 6所示，已知AC=AE，AD=AB，∠ACB =∠DAB=90°，AE⫽CB，AC，DE交于点F.(1)求证∠DAC=∠B；(2)猜想线段AF，BC的关系.图12-6题型2 证明线段的和差关系例2：如图12 - 7所示，已知AC⫽BD，AE，BE分别平分∠CAB和∠DBA，CD过点E，求证：AB+AC+B D.图12 - 7题型3 动态几何问题例3：在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⏊MN于点D，BE ⏊MN于点E.(1)当直线MN绕点C旋转到如图12 - 9(1)所示的位置时，求证DE=AD+BE(2)当直线MN绕点C旋转到如图12 - 9(2)所示的位置时，求证DE=AD-BE(3)当直线MN绕点C旋转到如图12 - 9(3)所示的位置时，线段DE，AD，BE之间又有什么样的数量关系？请你直接写出这个数量关系，不要证明。

部编数学八年级上册12.2三角形全等的判定(解析版)含答案

2022-2023学年八年级数学上册章节同步实验班培优题型变式训练（人教版）12.2 三角形全等的判定【题型1】SSS 证明三角形全等1．（2022·山西·运城市盐湖区教育科技局教学研究室七年级期末）小华在复习用尺规作一个角等于已知角的过程中，回顾了作图的过程，他发现OCD V 与'''O C D V 全等，请你说明小华得到全等的依据是（）A ．SSSB ．SASC ．ASAD ．AAS【答案】A 【分析】利用全等三角形的判定定理即可求解．【详解】解：在OCD D 和O C D ¢¢¢D 中，OD O D OC O C DC D C ¢¢¢¢¢=ì¢ï=íï=î，()OCD O C D SSS ¢¢¢\D @D ．故选：A ．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．【变式1-1】2．（2021·重庆·华东师范大学附属中旭科创学校八年级期中）已知，如图，AD=AC ，BD=BC ，O 为AB 上一点，那么图中共有___对全等三角形．【答案】3【分析】由已知条件，结合图形可得△ADB ≌△ACB ，△ACO ≌△ADO ，△CBO ≌△DBO 共3对．找寻时要由易到难，逐个验证．【详解】解：∵AD=AC ，BD=BC ，AB=AB，∴△ADB ≌△ACB ；∴∠CAO=∠DAO ，∠CBO=∠DBO ，∵AD=AC ，BD=BC ，OA=OA ，OB=OB∴△ACO ≌△ADO ，△CBO ≌△DBO ．∴图中共有3对全等三角形．故答案为3．【题型2】SAS 证明三角形全等1．（2022·全国·八年级专题练习）如图，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，要证BC ＝CD ，证明中判定两个三角形全等的依据是（）A ．角角角B ．角边角C ．边角边D ．角角边【答案】B 【分析】根据已知条件，直接利用ASA 进行证明即可求解．【详解】解：在△ABC 与△ADC 中，1234AC AC Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî，则△ABC ≌△ADC （ASA ）．∴BC ＝CD ．故选：B ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．【变式2-1】2．（2022·全国·八年级课时练习）如图，BE BA =，//AB DE ，BC DE =，若40BAC Ð=°，25E Ð=°，则BDE Ð=___．【答案】115°【分析】根据//AB DE ，推出Ð=ÐABC BED ，联合题目的条件可证明(SAS)BED ABC ≌△△，进而可求得结论．【详解】解：∵//AB DE ，∴Ð=ÐABC BED ，在BED V 与ABC V 中BE AB BED ABC DE CB =ìïÐ=Ðíï=î，∴(SAS)BED ABC ≌△△，∴40EBD BAC Ð=Ð=°，而180BDE EBD E Ð=°-Ð-Ð，且25E Ð=°，∴1804025115BDE Ð=°-°-°=°，故答案为：115°．【点睛】本题考查利用SAS 判定三角形全等，三角形内角和定理，利用平行推出角等，进而推出三角形全等是解题关键．【题型3】ASA 或AAS 证明三角形全等1．（2022·河北·平乡县第二中学八年级阶段练习）已知如图，要测量水池的宽AB ，可过点A 作直线AC ⊥AB ，再由点C 观测，在BA 延长线上找一点B ¢，使ACB ACB ¢ÐÐ＝，这时只要出AB ¢的长，就知道AB 的长，那么判定ABC D ≌AB C D ¢的理由是（）A ．ASAB ．AASC ．SASD ．HL【答案】A 【分析】直接利用全等三角形的判定方法得出答案．【详解】解：∵AC ⊥AB ，∴90CAB CAB Ð=Ð¢=°，在ABC D 和AB C D ¢中，ACB ACB AC ACCAB CAB Ð=Ðìï=íïÐ¢=Ðî¢，∴ABC D ≌()ASA AB C D ¢，∴AB AB ¢=．故选A ．【点睛】本题考查了全等三角形的应用，解题的关键是能够利用ASA 判定两个三角形全等．【变式3-1】2．（2021·江苏南京·八年级阶段练习）如图，AB 、CD 相交于点E ，且AE ＝BE ，AC BD ∥．求证：△AEC ≌△BED ．【答案】见解析【分析】采用“ASA ”的全等三角形的判定方法即可求证．【详解】∵AC BD∥∴∠A ＝∠B ，在△AEC 和△BED 中，A B AE BEAEC BED Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî，∴△AEC ≌△BED （ASA ），【点睛】本题考查了全等三角形的判定以及平行线的性质的知识，掌握全等三角形的判定方法是解答本题的关键．【题型4】HL 证明三角形全等1．（2022·全国·八年级专题练习）如图，已知AD BD ^，BC AC ^，AC BD =．则CAB DBA △△≌的理由是（）A ．HLB ．SASC ．AASD ．ASA 【答案】A 【分析】利用直角三角形全等的判定方法进行判断．【详解】证明：∵AD ⊥BD ，BC ⊥AC ，∴∠C ＝∠D ＝90°，在Rt △CAB 和Rt △DBA 中，AB BA AC BD =ìí=î，∴Rt △CAB ≌Rt △DBA （HL ）．故选：A ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握直角三角形全等的判定是解决问题的关键．【变式4-1】2．（2022·湖南·新化县东方文武学校八年级期中）如图，AB =AD ，CB ⊥AB 于点B ，CD ⊥AD 于点D ，求证△ABC ≌△ADC ．【答案】见解析【分析】求出∠B =∠D =90°，根据全等三角形的判定定理得出Rt △ABC ≌Rt △ADC ．【详解】解：∵CB ⊥AB ，CD ⊥AD∴∠B =∠D =90°又∵AB =AD ，AC =AC∴Rt △ABC ≌Rt △ADC （HL ）【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理和性质定理，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．【题型5】全等三角形判定的灵活应用1．（2021·甘肃·庄浪县阳川中学八年级期中）下列各组条件中，可以判定△ABC ≌△DEF 的条件是（）A ．AB =DE 、AC =DF 、BC =EFB ．∠A =∠D 、∠B =∠E 、∠C =∠F C ．AB =DE 、AC =DF 、∠C =∠FD ．BC =EF 、∠A =∠D 【答案】A 【分析】全等三角形的判定定理有SAS ，ASA ，AAS ，SSS ，直角三角形全等还有HL ，根据以上定理判断即可【详解】解： A 、符合全等三角形的判定定理SSS ，即能推出△ABC ≌△DEF ，故本选项符合题意；B 、只有角相等，不能判定△ABC ≌△DFE ，故本选项不合题意；C 、只满足SSA ，不符合全等三角形的判定定理，即不能推出△ABC ≌△DEF ，故本选项不合题意；D 、只有一角一边两个条件，不符合全等三角形的判定定理，即不能推出△ABC ≌△DEF ，故本选项不合题意；故选A ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS ，ASA ，AAS ，SSS ，直角三角形全等还有HL ．【变式5-1】2．（2022·浙江·舟山市普陀第二中学八年级期末）如图，在ABC V 中，AD 是BC 边上的高，BE 是AC 边上的高，且AD ，BE 交于点F ，若BF AC =，BD =8，3CD =，则线段AF 的长度为______．【答案】5【分析】首先证明△BDF ≌△ADC ，再根据全等三角形的性质可得FD =CD ，AD =BD ，根据AD =8，DF =3，即可算出AF 的长．【详解】解：∵AD 是BC 边上的高，BE 是AC 边上的高，∴∠ADC =∠FDB =90°，∠AEB =90°，∴∠1+∠C =90°，∠1+∠2=90°，∴∠2=∠C ，∵∠2=∠3，∴∠3=∠C ，在△ADC 和△BDF 中，3C FDB CDA BF AC Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，∴△BDF ≌△ADC （AAS ），∴FD =CD ，AD =BD ，∵CD =3，BD =8，∴AD =8，DF =3，∴AF =8-3=5，故答案为：5．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定及性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．一．选择题1．（2022·福建·福州十八中八年级期末）如图，已知AC BD ^，垂足为O ，AO CO =，AB CD =，则可得到AOB COD D @D ，理由是( )A ．HLB ．SASC ．ASAD ．AAS【答案】A 【分析】根据全等三角形的判定定理分析即可．【详解】解:∵AC BD^∴∠AOB=∠COD=90°在Rt △AOB 和Rt △COD 中AO CO AB CD=ìí=î∴AOB COD D @D （HL ）故选A ．【点睛】此题考查的是全等三角形的判定定理，掌握用HL 判定两个三角形全等是解决此题的关键．2．（2022·全国·七年级期末）如图，为测量桃李湖两端AB 的距离，南开中学某地理课外实践小组在桃李湖旁的开阔地上选了一点C ，测得∠ACB 的度数，在AC 的另一侧测得∠ACD =∠ACB ，CD =CB ，再测得AD 的长，就是AB 的长．那么判定△ABC ≌△ADC 的理由是（）A ．SASB ．SSSC ．ASAD ．AAS【答案】A【分析】已知条件是∠ACD =∠ACB ，CD =CB ，AC =AC ，据此作出选择．【详解】解：在△ADC 与△ABC 中，CD CB ACD ACB AC AC =ìïÐ=Ðíï=î．∴△ADC ≌△ABC （SAS ）．故选：A ．【点睛】此题考查了全等三角形的应用，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS ，做题时注意选择．注意：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．3．（2021·全国·七年级课时练习）如图，△ABC 和△EDF 中，∠B ＝∠D ＝90°，∠A ＝∠E ，点B ，F ，C ，D 在同一条直线上，再增加一个条件，不能判定△ABC ≌△EDF 的是( )A ．AB ＝EDB ．AC ＝EF C ．AC ∥EFD ．BF ＝DC 【答案】C【分析】根据全等三角形的判定方法即可判断.【详解】A. AB ＝ED ，可用ASA 判定△ABC ≌△EDF ；B. AC ＝EF ，可用AAS 判定△ABC ≌△EDF ；C. AC ∥EF ，不能用AAA 判定△ABC ≌△EDF ，故错误；D. BF ＝DC ，可用AAS 判定△ABC ≌△EDF ；故选C.【点睛】此题主要考查全等三角形的判定，解题的关键是熟知全等三角形的判定方法.4．（2022·全国·八年级课时练习）如图，在ABC V 中，D ，E 是BC 边上的两点，,,12110,60AD AE BE CD BAE ==Ð=ÐÐ=°=°，则BAC Ð的度数为（）A ．90°B ．80°C ．70°D ．60°【答案】B 【分析】先证明BD =CE ，然后证明△ADB ≌△AEC ，∠ADE =∠AED =70°，得到∠BAD =∠CAE ，根据三角形内角和定理求出∠DAE =40°，从而求出∠BAD 的度数即可得到答案．【详解】解：∵BE =CD ，∴BE -DE =CD -DE ，即BD =CE ，∵∠1=∠2=110°，AD =AE ，∴△ADB ≌△AEC （SAS ），∠ADE =∠AED =70°，∴∠BAD =∠CAE ，∠DAE =180°-∠ADE -∠AED =40°，∵∠BAE =60°，∴∠BAD =∠CAE =20°，∴∠BAC =80°，故选B ．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，邻补角互补，三角形内角和定理，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键．5．（2022·全国·八年级专题练习）如图，点B ，C ，E 在同一直线上，且AC CE =，90B D Ð=Ð=°，AC CD ^，下列结论不一定成立的是（）A ．2A Ð=ÐB ．90A E Ð+Ð=°C ．BC DE =D ．BCD ACEÐ=Ð【答案】D 【分析】根据直角三角形的性质得出∠A =∠2，∠1=∠E ，根据全等三角形的判定定理推出△ABC ≌△CDE ，再逐个判断即可．【详解】解：∵AC ⊥CD ，∴∠ACD =90°，∵∠B =90°，∴∠1+∠A =90°，∠1+∠2=90°，∴∠A =∠2，同理∠1=∠E ，∵∠D =90°，∴∠E+∠2=∠A+∠E=90°，在△ABC 和△CDE 中，2A B D AC CE Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，∴△ABC ≌△CDE （AAS ），∴BC DE =，∴选项A 、选项B ，选项C 都正确；根据已知条件推出∠A =∠2，∠E =∠1，但是∠1=∠2不能推出，而∠BCD =90°+∠1，∠ACE =90°+∠2，所以BCD ACE Ð=Ð不一定成立故选项D 错误；故选：D ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理和直角三角形的性质，能灵活运用知识点进行推理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有：ASA ，SAS ，AAS ，SSS ，两直角三角形全等，还有HL ．6．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，C 为线段AE 上一动点（不与点A ，E 重合），在AE 同侧分别作等边三角形ABC 和等边三角形CDE ，AD 与BE 交于点O ，AD 与BC 交于点P ，BE 与CD 交于点Q ，连结PQ ．以下结论错误的是（）A ．∠AOB =60°B ．AP =BQC ．PQ ∥AED ．DE =DP 【答案】D【分析】利用等边三角形的性质，BC ∥DE ，再根据平行线的性质得到∠CBE =∠DEO ，于是∠AOB =∠DAC +∠BEC =∠BEC +∠DEO =∠DEC =60°，得出A 正确；根据△CQB ≌△CPA （ASA ），得出B 正确；由△ACD ≌△BCE 得∠CBE =∠DAC ，加之∠ACB =∠DCE =60°，AC =BC ，得到△CQB ≌△CPA （ASA ），再根据∠PCQ =60°推出△PCQ 为等边三角形，又由∠PQC =∠DCE ，根据内错角相等，两直线平行，得出C 正确；根据∠CDE =60°，∠DQE =∠ECQ +∠CEQ =60°+∠CEQ ，可知∠DQE ≠∠CDE ，得出D 错误．【详解】解：∵等边△ABC 和等边△CDE ，∴AC =BC ，CD =CE ，∠ACB =∠DCE =60°，∴∠ACB +∠BCD =∠DCE +∠BCD ，即∠ACD =∠BCE ，在△ACD 与△BCE 中，AC BC ACD BCE CD CE =ìïÐ=Ðíï=î，∴△ACD ≌△BCE （SAS ），∴∠CBE =∠DAC ，又∵∠ACB =∠DCE =60°，∴∠BCD =60°，即∠ACP =∠BCQ ，又∵AC =BC ，在△CQB 与△CPA 中，ACP BCQ AC BCPAC CBQ Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî，∴△CQB ≌△CPA （ASA ），∴CP =CQ ，又∵∠PCQ =60°可知△PCQ 为等边三角形，∴∠PQC =∠DCE =60°，∴PQ ∥AE ，故C 正确，∵△CQB ≌△CPA ，∴AP =BQ ，故B 正确，∵AD =BE ，AP =BQ ，∴AD -AP =BE -BQ ，即DP =QE ，∵∠DQE =∠ECQ +∠CEQ =60°+∠CEQ ，∠CDE =60°，∴∠DQE ≠∠CDE ，故D 错误；∵∠ACB =∠DCE =60°，∴∠BCD =60°，∵等边△DCE ，∠EDC =60°=∠BCD ，∴BC ∥DE ，∴∠CBE =∠DEO ，∴∠AOB =∠DAC +∠BEC =∠BEC +∠DEO =∠DEC =60°，故A 正确．故选：D ．【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质，利用旋转不变性，解题的关键是找到不变量．二、填空题7．（2022·全国·八年级课时练习）如图，90B D Ð=Ð=°，AB AD =，130BAD Ð=°，则DCA Ð=______°．8．（2020·北京·中考真题）在V ABC 中，AB=AC ，点D 在BC 上（不与点B ，C 重合）．只需添加一个条件即可证明V ABD ≌V ACD ，这个条件可以是________（写出一个即可）【答案】∠BAD=∠CAD （或BD=CD ）【分析】证明V ABD ≌V ACD ，已经具备,,AB AC AD AD == 根据选择的判定三角形全等的判定方法可得答案．【详解】解：,,AB AC AD AD ==Q\ 要使,ABD ACD V V ≌则可以添加：∠BAD=∠CAD ，此时利用边角边判定：,ABD ACD V V ≌或可以添加：,BD CD =此时利用边边边判定：,ABD ACD V V ≌故答案为：∠BAD=∠CAD 或（.BD CD =）【点睛】本题考查的是三角形全等的判定，属开放性题，掌握三角形全等的判定是解题的关键．9．（2022·全国·八年级课时练习）如图，点D 、A 、E 在直线m 上，AB =AC ，BD ⊥m 于点D ，CE ⊥m 于点E ，且BD =AE ．若BD =3，CE =5，则DE =____________【答案】8【分析】根据BD ⊥m ，CE ⊥m ，得∠BDA =∠CEA =90°，再结合已知AB =AC ，BD =AE 可推出Rt △ADB ≌Rt △CEA ，最后由全等三角形的性质，即可计算出结果．【详解】解：∵BD ⊥m ，CE ⊥m ，∴∠BDA =∠CEA =90°，在Rt △ADB 和Rt △CEA 中，∵AB =AC ，BD =AE ，∴Rt △ADB ≌Rt △CEA （HL ），∵BD =3，CE =5，∴AE =BD =3，AD =CE =5，∴DE = AD + AE =8．故答案为：8．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握利用HL 判定直角三角形的全等是解题的关键．10．（2022·全国·八年级专题练习）如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝CB ，F 为AB 延长线上一点，点E 在BC 上，且AE ＝CF ，若∠CAE ＝29°，则∠ACF 的度数为________°．【答案】61【分析】由“HL”可证Rt△ABE≌Rt△CBF，可得∠BAE＝∠BCF＝16°，即可求解．【详解】解：∵在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝CB，∴∠BAC＝∠BCA＝45°，∵∠CAE＝29°，∴∠BAE＝16°，在Rt△ABE和Rt△CBF中，AB BC AE CF=ìí=î，∴Rt△ABE≌Rt△CBF（HL），∴∠BAE＝∠BCF＝16°，∴∠ACF＝∠BCA＋∠BCF＝61°，故答案为：61．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明Rt△ABE≌Rt△CBF是本题的关键．11．（2021·广东·深圳市龙岗区木棉湾实验学校八年级阶段练习）如图，△ABC的面积为25cm2，BP平分∠ABC，过点A作AP⊥BP于点P，则△PBC的面积为________；∵BP 平分ABC Ð，∴ABP EBP Ð=Ð．∵AP BP ^，12．（2022·全国·八年级专题练习）如图，BD 是△ABC 的中线，E 为A B 边上一点，且:2:1AE EB =，连接CE 交BD 于F ，连接AF 并延长交BC 于点G ，则:BGF ADF S S =△△______．【答案】1:3【分析】作//DK EC ，交AB 于K ，作//DH BC ，交AG 于H ．通过平行线的性质证明AH GH =，GF FH =，3AH HF =，即可求出:1:3BGF ADF S S D D =．【详解】解：作//DK EC ，交AB 于K ，作//DH BC ，交AG 于H ，BD Q 是ABC D 的中线，AD CD \=，AK EK \=，AH GH =，:2:1AE EB =Q ，EB EK AK \==，//EF DK Q ，BF DF \=，//DH BC Q ，GBF HDF \Ð=Ð，在GBF D 和HDF D 中，GBF HDF BF DF BFG DFH Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî，()GBF HDF ASA \D @D ，GF HF \=，BGF DHF S S D D =，AH GH =Q ，3AH HF \=，33ADF DHF BGF S S S D D D \==，:1:3BGF ADF S S D D \=，故答案为：1:3．【点睛】本题考查三角形的面积，三角形全等，平行线的性质，等高模型等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，属于中考常考题型．三、解答题13．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，D 是AB 边上一点，DF 交AC 于点E ，DE ＝FE ，AE ＝CE ．求证：FC //AB ．【答案】见解析【分析】由DE =FE ，AE =CE ，易证得△ADE ≌△CFE ，即可得∠A =∠ECF ，则可证得FC ∥AB ．【详解】证明：在△ADE 和△CFE 中，DE FE AED CEF AE CE =ìïÐ=Ðíï=î，∴△ADE ≌△CFE （SAS ），∴∠A =∠ECF ，∴FC //AB ．【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质以及平行线的判定．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．14．（2022·江苏·八年级课时练习）已知：如图AD 为△ABC 的高，E 为AC 上一点BE 交AD 于F 且有BF ＝AC ，FD ＝CD ．求证：Rt △BFD ≌Rt △ACD ．【答案】证明见解析【分析】由题意可知BFD △和ACD △都为直角三角形，即可直接利用“HL ”证明BFD ACD @△△．【详解】证明：∵AD 是ABC V 的高，∴AD BC ^，即BFD △和ACD △都为直角三角形．∴在Rt BFD V 和Rt ACD △中BF AC FD CD =ìí=î，∴()BFD ACD HL @V V ．【点睛】本题考查全等三角形的判定；掌握判定三角形全等的方法是解答本题的关键．15．（2022·陕西·中考真题）如图，在△ABC 中，点D 在边BC 上，CD =AB ，DE ∥AB ，∠DCE =∠A ．求证：DE =BC ．【答案】证明见解析【分析】利用角边角证明△CDE ≌△ABC ，即可证明DE =BC ．【详解】证明：∵DE ∥AB ，∴∠EDC =∠B ．又∵CD =AB ，∠DCE =∠A ，∴△CDE ≌△ABC (ASA)．∴DE =BC ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定是本题的关键．16．（2021·广东广州·中考真题）如图，点E 、F 在线段BC 上，//AB CD ，A D Ð=Ð，BE CF =，证明：AE DF =．【答案】见解析【分析】利用AAS 证明△ABE ≌△DCF ，即可得到结论．【详解】证明：∵//AB CD ，∴∠B =∠C ，∵A D Ð=Ð，BE CF =，∴△ABE ≌△DCF （AAS ），∴AE DF =．【点睛】此题考查全等三角形的判定及性质，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．17．（2021·全国·八年级专题练习）如图，已知AB ＝DC ，AC ＝DB ，BE ＝CE,求证：AE ＝DE.【答案】见解析【分析】利用SSS 证明△ABC ≌△DCB ，根据全等三角形的性质可得∠ABC=∠DCB ，再由SAS 定理证明△ABE ≌△CED ，即可证得AE=DE ．【详解】证明：在△ABC 和△DCB 中，AB DC AC DB BC CB ìïíïî＝＝＝，∴△ABC ≌△DCB （SSS ）．∴∠ABC=∠DCB ．在△ABE 和△DCE 中，AB DCABC DCB BE CE ＝＝＝ìïÐÐíïî，∴△ABE ≌△DCE （SAS ）．∴AE=DE ．【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．注意：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．18．（2022·江苏泰州·九年级专题练习）如图，V ABC 中，AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，过点B 作BE ⊥AD ，交AD 延长线于点E ，F 为AB 的中点，连接CF ，交AD 于点G ，连接BG ．（1）线段BE 与线段AD 有何数量关系？并说明理由；（2）判断V BEG的形状，并说明理由．。

人教版八年级数学上册12.2.4《直角三角形全等的判定》教学设计

人教版八年级数学上册12.2.4《直角三角形全等的判定》教学设计一. 教材分析《直角三角形全等的判定》是人教版八年级数学上册第12.2.4节的内容，本节课主要让学生掌握HL（斜边-直角边）判定两个直角三角形全等的方法，并能够运用该方法解决实际问题。

本节课是学生在学习了三角形的基本概念、全等三角形的性质及判定方法的基础上进行的，是对全等三角形判定方法的进一步拓展和深化。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了三角形的基本概念、全等三角形的性质及判定方法，能够运用SSS、SAS、ASA、AAS判定两个三角形全等。

但是，对于直角三角形全等的判定方法，学生可能还比较陌生，需要通过实例分析、自主探究等方式，让学生理解和掌握HL判定两个直角三角形全等的方法。

三. 教学目标1.让学生掌握HL（斜边-直角边）判定两个直角三角形全等的方法。

2.培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。

3.培养学生的逻辑思维能力和合作交流能力。

四. 教学重难点1.教学重点：掌握HL（斜边-直角边）判定两个直角三角形全等的方法。

2.教学难点：如何让学生理解和运用HL判定两个直角三角形全等。

五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例，引发学生的思考，激发学生的学习兴趣。

2.自主探究法：引导学生通过合作交流、动手操作，自主发现HL判定两个直角三角形全等的方法。

3.讲解法：教师对HL判定两个直角三角形全等的方法进行讲解，帮助学生理解和掌握。

4.练习法：通过适量练习，让学生巩固所学知识，提高运用能力。

六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示直角三角形全等的判定方法。

2.学习材料：准备相关的学习材料，如三角形模型、直角三角形等。

3.教学设备：准备黑板、粉笔、投影仪等教学设备。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个生活实例，如建筑工人测量高度，引入直角三角形全等的概念。

提问：如何判断两个直角三角形全等呢？2.呈现（10分钟）展示直角三角形全等的判定方法，引导学生观察、思考，引导学生发现HL判定两个直角三角形全等的方法。

专题12.2 三角形全等的判定(解析版)

专题12.2 三角形全等的判定全等三角形的判定定理（1）边边边（SSS）：三边对应相等的两个三角形全等.（2）边角边（SAS）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.（3）角边角（ASA）：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.（4）角角边（AAS）：两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等.（5）斜边、直角边（HL）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等. （只适用两个直角三角形）【例题1】如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB=AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD（）A．∠B=∠C B．AD=AE C．BD=CE D．BE=CD【答案】D．【解析】欲使△ABE≌△ACD，已知AB=AC，可根据全等三角形判定定理AAS、SAS、ASA添加条件，逐一证明即可．∵AB=AC，∠A为公共角，A．如添加∠B=∠C，利用ASA即可证明△ABE≌△ACD；B．如添AD=AE，利用SAS即可证明△ABE≌△ACD；C．如添BD=CE，等量关系可得AD=AE，利用SAS即可证明△ABE≌△ACD；D．如添BE=CD，因为SSA，不能证明△ABE≌△ACD，所以此选项不能作为添加的条件．【点拨】欲使△ABE≌△ACD，已知AB=AC，可根据全等三角形判定定理AAS、SAS、ASA添加条件，逐一证明即可．【例题2】如图，点E、F分别是矩形ABCD的边AB、CD上的一点，且DF＝BE．求证：AF＝CE．【答案】见解析。

【解析】证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝∠B＝90°，AD＝BC，在△ADF和△BCE中，，∴△ADF≌△BCE（SAS），∴AF＝CE．【点拨】由SAS证明△ADF≌△BCE，即可得出AF＝CE．【例题3】如图，△ABC中，∠BAC=90度，AB=AC，BD是∠ABC的平分线，BD的延长线垂直于过C点的直线于E，直线CE交BA的延长线于F．求证：BD=2CE．【答案】见解析。

12.2 三角形全等的判定(解析版)

12.2 三角形全等的判定1.理解和掌握边边边、边角边的方法判断三角形全等；2.理解和掌握角边角和角角边的方法判断三角形全等；3.理解和掌握直角三角形的判定方法。

一、判定方法一：边边边（SSS ）1.边边边：三边对应相等的两个三角形全等(可以简写成“边边边“或“SSS “)。

2.书写格式①先写出所要判定的两个三角形。

②列出条件：用大括号将两个三角形中相等的边分别写出。

③得出结论：两个三角形全等。

如下图，在△ABC 和 △A ′B ′C ′中，∵AB =A ′B ′,BC =B ′C ′,AC =A ′C ′,∴△ABC≅△A ′B ′C ′(SSS ).书写判定两个三角形全等的条件：在书写全等的过程中，等号左边表示同一个三角形的量，等号右边表示另一个三角形的量。

如上图，等号左边表示△ABC 的量，等号右边表示 △A ′B ′C ′的量。

3.作一个角等于已知角已知：∠AOB 。

求作： ∠A ′O ′B ′,使 ∠A ′O ′B ′=∠AOB .作法：如上图所示，①以点O 为圆心、任意长为半径画弧，分别交 OA ，OB 于点 C ，D 。

②画一条射线( O ′A ′,以点 O ′为圆心、OC 长为半径画弧，交( O ′A ′于点 C ′.③以点C ′为圆心、CD 长为半径画弧，与上一步中所画的弧交于点 D ′.④过点。

D ′画射线 O ′B ′,则 ∠A ′O ′B ′=∠AOB .题型一利用SSS 直接证明三角形全等如图，已知AC DB =，要用“SSS ”判定ABC DCB @V V ，则只需添加一个适当的条件是_____．【答案】AB DC=【分析】根据全等三角形的判定：三边对应相等的两个三角形全等，即可．【详解】∵全等三角形的判定“SSS ”：三边对应相等的两个三角形全等，∴当ABC V 和DCB △中，AC DB BC BC AB DC =ìï=íï=î，∴()SSS ABC DCB @V V ，故答案为：AB DC =．【点睛】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定()SSS ：三边对应相等的两个三角形全等．1．如图，已知AC DB =，要使得ABC DCB @V V ，根据“SSS ”的判定方法，需要再添加的一个条件是_______．【答案】AB DC=【分析】要使ABC DCB @V V ，由于BC 是公共边，若补充一组边相等，则可用SSS 判定其全等．【详解】解：添加AB DC =．在ABC V 和DCB △中AB DC BC CB AC BD =ìï=íï=î，∴()ABC DCB SSS @△△，故答案为：AB DC =．【点睛】本题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．添加时注意：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择添加的条件是正确解答本题的关键．2．如图，AB DC =，若要用“SSS ”证明ABC DCB △△≌，需要补充一个条件，这个条件是__________．【答案】AC BD=【分析】由图形可知BC 为公共边，则可再加一组边相等，可求得答案．【详解】解：∵AB DC =，BC CB =，∴可补充AC DB =，在ABC V 和DCB V 中，AB DC BC CB AC DB =ìï=íï=î，∴ABC V ≌()SSS DCB V ；故答案为：AC DB =．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．题型二全等三角形的性质与SSS 综合如图，点E 、点F 在BD 上，且AB CD =，BF DE =，AE CF =，求证：AB CD ∥．【分析】根据全等三角形的判定得出ABE CDF △≌△，推出B D Ð=Ð，利用平行线的判定解答即可．【详解】证明：∵BF DE =，∴BE DF =，在ABE V 和CDF V 中，AB DC AE CF BE DF =ìï=íï=î，∴()SSS ABE CDF V V ≌，∴B D Ð=Ð，∴AB CD ∥．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会利用全等三角形解决问题，属于中考常考题型．1．已知：如图，RPQ D 中，RP RQ =，M 为PQ 的中点．求证：RM 平分PRQ Ð．【分析】先根据M 为PQ 的中点得出PM QM =，再由SSS 定理得出PRM QRM V V ≌，由全等三角形的性质即可得出结论．【详解】证明：M Q 为PQ 的中点（已知），PM QM \=，在RPM △和RQM V 中，RP RQ PM QM RM RM =ìï=íï=î，(SSS)RPM RQM \V V ≌，PRM QRM \Ð=Ð（两三角形全等，对应角相等）即RM 平分PRQ Ð．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答此题的关键．2．已知如图，四边形ABCD 中，AB BC =，AD CD =，求证：A C Ð=Ð．【分析】连接BD ，已知两边对应相等，加之一个公共边BD ，则可利用SSS 判定ABD CBD ≌△△，根据全等三角形的对应角相等即可证得．【详解】证明：连接BD ，AB CB =Q ，BD BD =，AD CD =，SSS ABD CBD \≌（）V V ．A C \Ð=Ð．【点睛】此题主要考查学生对全等三角形的判定方法的理解及运用，常用的判定方法有SSS ，SAS ，ASA ，HL 等．题型三作一个角等于已知角如图：(1)在A Ð的内部利用尺规作CED A Ð=Ð（不写作法，保留作图痕迹）(2)判断直线DE AB 与的位置关系【分析】（1）根据作一个角等于已知角的方法在；A Ð的内部作CED A Ð=Ð，即可求解．（2）根据图形及平行线的判定定理可直接得到答案．【详解】（1）解：如图所示，在A Ð的内部作CED A Ð=Ð，则CED Ð即为所求；（2）∵CED A ÐÐ＝，∴DE AB ∥．故答案为：DE AB ∥．【点睛】本题主要考查角的尺规作图及平行线的判定，熟练掌握基本作图以及平行线的判定定理是解题的关键．1．如图，已知Ðb 和线段a ，求作ABC V ，使B b Ð=Ð，2,AB a BC a==【分析】先画射线BP ，以B 为圆心，a 为半径画弧，与射线BP 交于点D ，再画DA a =，再以b 的顶点为圆心，a 为半径画弧，交b 的两边分别为E ，F ，再以D 为圆心，EF 为半径画弧，交前弧于C ，再连接AC ，从而可得答案．【详解】解：如图，ABC V 即为所求；【点睛】本题考查的是作三角形，作一个角等于已知角，作一条线段等于已知线段，熟练掌握基本作图是解本题的关键．2．已知a Ð．求作CAB a Ð=Ð．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）【分析】按照作与已知角相等的角的尺规作图方法作图即可．【详解】解：如图，CAB Ð为所作．【点睛】本题主要考查了作与已知角相等的角的尺规作图，熟知相关作图方法是解题的关键．二、判定方法二：边角边（SAS ）1.边角边：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(可以简写成“边角边“或“SAS “)。

数学人教版八年级上册12.2三角形全等的判定定理2(SAS).2 三角形全等的判定

A
A
B 图一在图一中， ∠A 是AB和AC的夹角，符合图一的条件，它可称为 “两边夹角”。
C
B
图二
C
符合图二的条件，通常说成“两边和其中一边的对角”
探索边角边
已知△ABC，画一个△A′B′C′使A B =A′B′,A C =A′ C ′, ∠A =∠A′。
画法: 1.画 ∠DA′ E= ∠A； ′ 2.在射线A D上截取A′ B′ =AB,在射线A′ E上截取A ′C ′=AC; C C′ 3. 连接B ′C′.
补充题：
例1 如图AC与BD相交于点O，已知OA=OC，OB=OD，说明 △AOB≌△COD的理由。 A B
O
D C C D
例2 如图，AC=BD， ∠CAB= ∠DBA，你能判断 BC=AD吗？说明理由。
A B 归纳：判定两条线段相等或二个角相等可以通过从它们所在的两个三角形全等而得到。
课堂小结:
A B A′ B′ D
思考： ① △A′ B′ C′ 与 △ABC 全等吗？如何验正？思考： ②这两个三角形全等是满足哪三个条件？结论:两边及夹角对应相等的两个三角形全等
三角形全等判定方法2
两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全
等。(可以简写成“边角边”或“ SAS ” )
用符号语言表达为：
A D
B
1
那么量出ED的长，就是A、B的距离.为什么？【要求学生写出理由即证明过程】
C
2
E
D
例2：点E、F在AC上，AD//BC，AD=CB，AE=CF
求证（1）△AFD≌△CEB
A 分析：证三角形全等的三个条件边 AD = CB （已知）角 ∠A=∠ 边 C AF = CE E F C D

人教版八年级数学上册 12.2三角形全等的判定知识点归纳

人教版八年级数学上册 12.2三角形全等的判定知识点归纳
全等三角形的判定依据：
①三边对应相等的两个三角形全等，简称“边边边”或“SSS ”。

②两边一夹角对应相等的两个三角形全等，简称“边角边”或“SAS ”。

③两角一夹边对应相等的两个三角形全等，简称“角边角”或“ASA ”。

④两角一对边对应相等的两个三角形全等，简称“角角边”或“AAS ”。

⑤一条斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简称“斜边直角边”或“HL ”。

温馨提示：“SSA ”和“AAA ”不能证明两个三角形全等。

全等三角形的证明格式：
SSS 、SAS 、ASA 、AAS 的证明格式： HL 的证明格式：
在△ABC 与△DEF 中在Rt △ABC 与Rt △DEF 中 ∵{ 条件1条件2条件3
∵{条件1条件2 ∴△ABC ≌△DEF （条件） ∴△ABC ≌△DEF （HL ）。

人教版八年级上册数学12.2 三角形全等的判定

∠B=∠E，
BC=EF，
∠C=∠F ∴ △ABC≌△DEF(ASA)
提出问题： (1)从已知条件看，可用“ASA”直接证明两个三角形全等吗？ (2)要用“ASA”来证明缺少什么条件？能不能用三角形内角和来证明∠C＝∠F? (3)通过上面的证明你能得出什么结论？
活动3 知识归纳
1．两角和它们的夹边分别_相__等__的两个三角形全等，简写成“_角__边__角__”或“_A_S_A_”． 2．两角和其中一个角的_对__边_分别相等的两个三角形全等，简写成“_角__角__边__”或“_A_A_S_”．
12.2 三角形全等的判定第1课时用“SSS”判定三角形全等
一、教学目标
1．探索构建三角形全等条件的思路，体会研究几何问题的方法． 2．学会用“边边边(SSS)”定理判定两个三角形全等． 3．学会用“边边边(SSS)”判定方法和全等三角形的性质，解决一些实际问题．
二、教学重难点重点
用“边边边(SS 练习第1，2题． 2．如图，在△ACE和△BDF中，AE＝BF，CE＝DF，
要利用“SSS”证△ACE≌△BDF时，需添加一个条件是
( C) A．AB＝BC C．AB＝CD
B．DC＝BC D．以上都不对
3．画△ABC，使AB＝4 cm，BC＝5 cm，AC＝6 cm.作法：①画线段AC＝_6__c_m_； ②分别以A，C为圆心，以_4__c_m_、_5__c_m_长为半径画弧，两弧相交于点B； ③连接AB，BC，则△ABC即为所求．
AB＝DE，
AC＝DF， BC＝EF，
∴△ABC≌△DEF(SSS)， ∴∠ABC＝∠DEF， ∴AB∥DE.
例3 如图，已知AB＝AC，AD＝AE，BD＝CE.求证： ∠3＝∠1＋∠2. 证明：∵AB＝AC，AD＝AE，BD＝CE ∴△ABD≌△ACE(SSS)， ∴∠2＝∠ABD，∠1＝∠BAD. 又∵∠3＝∠ABD＋∠BAD， ∴∠3＝∠1＋∠2.

12.2 三角形全等的判定(第三课时ASA、AAS)(解析版)

八年级数学上分层优化堂堂清十二章三角形12.2三角形全等的判定第三课时ASA、AAS（解析版）学习目标：1、掌握三角形全等的“角边角”“角角边”条件．能运用全等三角形的条件，解决简单的推理证明问题2．经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程．3、积极投入，激情展示，体验成功的快乐。

【学习重点】已知两角一边的三角形全等探究．【学习难点】灵活运用三角形全等条件证明老师对你说：知识点1 全等三角形的判定3：角边角（ASA）(1)两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）.（2）书写格式:如图12-2-5所示,在列举两个三角形全等的条件时，如:在△ABC和△A′B′C′中,∠A=∠A′AB=A′B′∠B=∠B′∴△ABC≌△A′B′C′(SAS).知识点2 全等三角形判定4——“角角边”（AAS）（1）两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）（2）书写格式:如图12-2-5所示,在列举两个三角形全等的条件时，如:图12-2-5在△ABC和△A′B′C′中,∠A=∠A′∠B=∠B′AC=A′C′∴△ABC≌△A′B′C′(SAS).由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论.知识点3 判定方法的选择1.选择哪种判定方法，要根据具体的已知条件而定，见下表：已知条件可选择的判定方法一边一角对应相等SAS AAS ASA两角对应相等ASA AAS两边对应相等SAS SSS2.如何选择三角形证全等（1）可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等；（2）可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等；（3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等；（4）如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形.注意：三个角对应相等的两个三角形不一定全等.如图，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC 和△ADE不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等.知识点1 全等三角形的判定3：角边角（ASA ）【例1-1】如图，点A 、D 、B 、E 在同一条直线上，若AD =BE ，∠A =∠EDF ，∠E =∠ABC.求证：AC =DF ．【答案】见解析【分析】由AD=BE 知AB =ED ，结合∠A =∠EDF ，∠E =∠ABC ，依据“ASA ”可判定△ABC ≌△DEF ，依据两三角形全等对应边相等可得AC =DF ．【详解】证明：∵AD =BE ，∴AD +BD =BE +BD ，即AB =ED ，在△ABC 和△DEF 中，∠ABC =∠E AB =ED ∠A =∠EDF，∴△ABC≌△DEF (ASA)，∴AC =DF ．【点评】本题主要考查全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．【例1-2】在平行四边形ABCD 中，AD ＝2AB ，F 是AD 的中点，过点C 作CE ⊥AB ，垂足E 在线段AB 上，接EF 、CF ，则下列结论错误的是（）A．∠DCF＝1∠BCD B．∠DFE＝3∠AEF2C．EF＝CF D．S△BEC＝2S△CEF【答案】D【分析】分别利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质得出△AEF≌△DMF，得出对应线段之间关系进而得出答案．【详解】解：∵F是AD的中点，∴AF＝FD，∵在▱ABCD中，AD＝2AB，∴AF＝FD＝CD，∴∠DFC＝∠DCF，∵AD∥BC，∴∠DFC＝∠FCB，∴∠DCF＝∠BCF，∴∠DCF＝1∠BCD，故此选项A正确；2设∠FEC＝x，则∠FCE＝x，∴∠DCF＝∠DFC＝90°−x，∴∠EFC＝180°−2x，∴∠EFD＝90°−x＋180°−2x＝270°−3x，∵∠AEF＝90°−x，∴∠DFE＝3∠AEF，故此选项B正确；延长EF，交CD延长线于M，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，∴∠A ＝∠MDF ，∵F 为AD 中点，∴AF ＝FD ，在△AEF 和△DFM 中，A FDM AF FDAFE DFM Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî，∴△AEF ≌△DMF （ASA ），∴EF ＝MF ，∠AEF ＝∠M ，∵CE ⊥AB ，∴∠AEC ＝90°，∴∠AEC ＝∠ECD ＝90°，∵EF ＝MF ，∴CF ＝MF ，即CF ＝EF ，故选项C 正确；∵EF ＝MF ，∴S △EFC ＝S △CFM ，∵MC ＞BE ，∴S △BEC ＜2S △EFC故S △BEC ＝2S △CE F 错误；故选项D 不成立；故选D【点拨】此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，得出△AEF ≌△DMF是解题关键．【例1-3】如图，点C 在线段BD 上，在ABC V 和DEC V 中，A D AB DE B E Ð=Ð=Ð=Ð，，．求证：AC DC =．证明见解析【分析】直接利用ASA 证明ABC DEC ≌△△，再根据全等三角形的性质即可证明．【详解】解：在ABC V 和DEC V 中，A D AB DEB E Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî∴()ASA ABC DEC ≌V V ∴AC DC =．【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．知识点2 全等三角形判定4——“角角边”（AAS ）【例2-1】如图，在△ABC 中，D 为BC 边上一点，∠1=∠2=∠3，AC=AE ．求证：△ABC≌△ADE ．【答案】证明见解析【分析】由三角形外角的性质及∠1=∠2=∠3可得到∠ADE =∠B ，再结合图形并利用恒等变换可得到∠BAC =∠DAE ，最后利用AAS 即可得证．【详解】证明：∵∠ADC=∠1+∠B，即∠ADE+∠3=∠1+∠B，∵∠1=∠2=∠3，∴∠ADE=∠B，∵∠1=∠2，∴∠1+∠DAC=∠2+∠DAC，∴∠BAC=∠DAE，在△ABC和△ADE中，∠ABC=∠ADE∠BAC=∠DAEAC=AE，∴△ABC≌△ADE(AAS)．【点评】本题考查三角形全等的判定，三角形外角的性质．掌握三角形全等的判定是解题的关键．【例2-2】如图，将等腰直角三角形ABC的直角顶点置于直线l上，且过A，B两点分别作直线的垂线，垂足分别为D，E，请你在图中找出一对全等三角形，并写出证明它们全等的过程．【答案】△ADC与△CEB全等，证明见解析【分析】先证明∠CAD=∠BCE，然后根据AAS证明△ADC≌△CEB，即可求解．【详解】解：△ADC与△CEB全等理由如下：根据题意可知：AC=CB,∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°;在Rt△ADC中，∠CAD+∠ACD=90°,又∵∠ACD+∠BCE=90°,∴∠CAD=∠BCE.在△ADC与△CEB中，(1)求证：△BDF≌(2)若AD=5，CE=【答案】(1)见解析(2)10知识点3 判定方法的选择【例3-1】如图，AC∥BD，AE，BE 分别平分∠CAB 和∠DBA ，CD 经过点E ．求证：CE =DE ．【答案】证明见解析【分析】在AB 上截取AF =AC ，连接EF ，通过证明△ACE≌△AFE 和△BEF≌ΔBED ，然后根据全等三角形的性质分析求证．【详解】证明：在AB 上截取AF =AC ，连接EF ．∵AE ，BE 分别平分∠CAB 和∠DBA ，∴∠CAE =∠FAE,∠EBF =∠EBD ．∵AC∥BD ，∴∠C +∠D =180°，在△ACE 和△AFE 中AC =AF ∠CAE =∠FAE AE =AE，∴△ACE≌△AFE ，∴∠C =∠AFE,CE =EF ，∵∠AFE +∠EFB =180°,∠C +∠D =180°，∴∠EFB =∠D ，在△BEF 和△BED 中∠EFB =∠D ∠EBF =∠EBD BE =BE，∴△BEF≌ΔBED ，∴EF =ED ，∴CE =DE ．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，通过添加辅助线构造全等三角形是解题关键．【例3-2】如图，在ABC V 中60A Ð=°，BE 、CF 是ABC V 的角平分线，且BE 、CF 相交于点O ．求证：OF OE =．【分析】先根据三角形内角和定理得到120ABC ACB Ð+Ð=°，再利用角平分线的定义以及三角形内角和得到BOC Ð的度数；在BC 上截取BG BF =，先证明()SAS BOF BOG V V ≌得到BOF BOG Ð=Ð，OF OG =，再得到COE COG Ð=Ð，接着证明()ASA COG COE V V ≌得到OG OE =，然后利用等线段代换得到结论．解：∵180A ABC ACB Ð+Ð+Ð=°，60A Ð=°，∴120ABC ACB Ð+Ð=° ，∵BE ，CF 均为ABC V 的角平分线，∴12OBC ABC Ð=Ð，12OCB ACB ÐÐ＝，∴()1602ABC ACB OBC OCB Ð+Ð=°ÐÐ＋＝，∴()180120BOC OBC OCB Ð=°-Ð+Ð=°．在BC 上截取BG BF =，如图所示：∵OB 平分ABC Ð，∴ABO CBO Ð=Ð，∵在BOF V 和BOG △中BF BG FBO GBO BO BO =ìïÐ=Ðíï=î，∴()SAS BOF BOG V V ≌，∴BOF BOG Ð=Ð，OF OG =，∵120BOC Ð=°，∴60BOF COE Ð=Ð=°，∴60BOG Ð=°，∴1206060COG Ð=°-°=°，∴COE COG Ð=Ð，∵OC 平分ACB Ð，∴ACO BCO Ð=Ð，∵在COG V 和COE V 中GCO ECO CO COGOC EOC Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî，∴()ASA COG COE V V ≌，∴OG OE =，∴OF OE =．【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定方法．也考查了角平分线的定义．能力强化提升训练1.如图，线段AB 与CF 交于点E ，点D 为CF 上一点，连接AD 、AF 、BC ，已知AD BC =，12Ð=Ð．(1) 请添加一个条件________使ADF BCE V V ≌，并说明理由．(2) 在（1）的条件下请探究AE 与BE 的数量关系，并说明理由．(1)DF CE =，理由见分析；(2)AE BE =，理由见分析．【分析】（1）利用SAS 判定定理，添加DF CE =即可判断；（2）利用全等三角形的判定与性质，再结合等角对等边即可判断．（1）解：添加条件：DF CE =，理由如下：∵AD BC =，12Ð=Ð，DF CE =，∴()SAS ADF BCE ≌△△；（2）解：AE BE =，理由如下：∵ADF BCE V V ≌，∴F CEB =∠∠，AF BE=∵CEB AEF Ð=Ð，∴F AEF Ð=Ð，∴AE AF =，∴AE BE =．【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质以及等角对等边，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．2 .如图，AB ＝AC ，BE ⊥AC 于E ，CD ⊥AB 于D ，BE 、CD 交于点O ，求证：OB ＝OC ．【分析】证△ABE ≌△ACD ，推出∠B =∠C ，AD =AE ，求出BD =CE ，证△BDO ≌△CEO ，根据全等三角形的性质推出即可．证明：∵BE ⊥AC ，CD ⊥AB ，∴∠ADC ＝∠AEB ＝90°，在△ABE 和△ACD 中A A AEB ADC AB AC Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î∴△ABE ≌△ACD （AAS ），∴∠B ＝∠C ，AD ＝AE ，∵AB ＝AC ，∴BD ＝CE ，在△BDO 和△CEO 中DOB EOC B CBD CE Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î∴△BDO ≌△CEO （AAS ），∴OB ＝OC ．【点拨】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力．3 .(1)如图1，在等腰直角△ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC ，过点C 作直线DE ，AD ⊥DE 于D ，BE ⊥DE 于E ，求证：△ADC≌△CEB ；(2)如图2，在等腰直角△ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC ，过点C 作直线CE ，AD ⊥CE 于D ，BE ⊥CE 于E ，AD =2.5cm ，DE =1.7cm ，求BE 的长；(3)如图3，在平面直角坐标系中，A (−1,0)，C (1,3)，△ABC 为等腰直角三角形，∠ACB =90°，AC =BC ，求点B 坐标．【答案】(1)证明见解析(2)0.8cm (3)4，1【分析】（1）由题意知∠D =∠E =90°，由∠ACD +∠BCE =180°−∠ACB =90°，∠ACD +∠CAD =180°−∠D =90°，可得∠CAD =∠BCE ，进而结论得证；（2）同理（1）证明△ADC≌△CEB (AAS)，则BE =CD ，CE =AD =2.5cm ，根据BE =CD =CE−DE 计算求解BE 的值即可；（3）如图3，过点C 作平行于x 轴的直线DE ，过A 作AD ⊥DE 于D ，过B 作BE ⊥DE 于E ，由（1）可得△ACD≌△CBE ，则CE =AD =3，BE =CD =2，进而可求B 点坐标．【详解】（1）证明：∵AD ⊥DE ，BE ⊥DE ，∴∠D =∠E =90°，∵∠ACD +∠BCE =180°−∠ACB =90°，∠ACD +∠CAD =180°−∠D =90°，∴∠CAD =∠BCE ，在△ADC 和△CEB 中，∵∠D =∠E ∠CAD =∠BCE AC =BC，∴△ADC≌△CEB (AAS)；（2）解：∵AD ⊥CE ，BE ⊥CE ，∴∠ADC =∠E =90°，∵∠ACD +∠CAD =180°−∠ADC =90°，∠ACD +∠BCE =180°−∠E =90°，∴∠CAD =∠BCE ，在△ADC 和△CEB 中，∵∠ADC =∠E ∠CAD =∠BCE AC =BC，∴△ADC≌△CEB (AAS)，∴BE =CD ，CE =AD =2.5cm ，∴BE =CD =CE−DE =0.8cm ，∴BE 的长为0.8cm ；（3）解：如图3，过点C 作平行于x 轴的直线DE ，过A 作AD ⊥DE 于D ，过B 作BE ⊥DE 于E ，由（1）可得△ACD≌△CBE ，∴CE =AD =3，BE =CD =2，∴B 4，1．【点评】本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的判定与性质等知识．解题的关键在于证明三角形全等．堂堂清一、选择题（每小题4分，共32分）1．如图，,,AB BF ED BF CD CB ^^=，判定△EDC≌△ABC 的理由是（）A ．ASAB ．SASC ．SSSD ．无法确定【答案】A【解析】解：∵,AB BF ED BF ^^，∴90ABC EDC Ð=Ð=°，∵ACB Ð和ECD Ð为对顶角，∴Ð=ÐACB ECD ，又∵CD CB =，∴()EDC ABC ASA ≌△△．故选：A ．2 .王强同学用10块高度都是2cm 的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚可以放进一个等腰直角三角板（AC=BC,　∠ACB=90°）点C 在DE 上，点A 和B 分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离为（）A ．10cmB ．14cmC ．20cmD ．6cm【答案】C 【解析】解：∵AC BC =，90ACB Ð=°，AD DE ^，BE DE ^，∴90ADC CEB Ð=Ð=°，∴90ACD BCE Ð+Ð=°，90ACD DAC Ð+Ð=°，∴BCE DAC Ð=Ð，∵在ADC D 和CEB D 中，ADC CEB DAC BCE AC BC Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î∴()ADC CEB AAS D D ≌；∴6cm EC AD ==，14cm DC BE ==，∴20(cm)DE DC CE =+=，故选：C ．3 .如图，AC 与DB 交于点O ，下列条件不能证明ABC DCB D @D 的是( )A ．AB DC =，AC DB=B ．A D Ð=Ð，ABC DCB Ð=ÐC ．BO CO =，A DÐ=ÐD ．AB DC =，ACB DBCÐ=Ð【解析】解：A ．在ABC D 和DCB D中，Q AB DC AC BD BC BC =ìï=íï=î，()ABC DCB SSS \D @D ，故A 选项不合题意；B ．在ABCD 和DCB D 中，Q A D ABC DCB BC BC Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，()ABC DCB AAS \D @D ，故B 选项不合题意；C ．BO CO =Q ，ACB DBC \Ð=Ð，在ABC D 和DCB D 中，Q A D ABC DBC BC BC Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，()ABC DCB AAS \D @D ，故C 选项不合题意；D ．AB DC =Q ，ACB DBC Ð=Ð，不能证明ABC DCB D @D ，故D 选项符合题意；故选：D ．4 .如图，ADC ADB Ð=Ð，添加一个条件，仍不能说明ABD ACD D @D 的是( )A ．AB AC =B ．BAD CAD Ð=ÐC ．B C Ð=ÐD ．BD CD=【解析】解：A 、添加AB AC =，利用SSA 不能判定ABD ACD D @D ，故此选项符合题意；B 、添加BAD CAD Ð=Ð，利用ASA 能判定ABD ACD D @D ，故此选项不合题意；C 、添加B C Ð=Ð，利用AAS 能判定ABD ACD D @D ，故此选项不合题意；D 、添加BD CD =，可利用SAS 能判定ABD ACD D @D ，故此选项不合题意；故选：A ．5 .如图，测量河两岸相对的两点A ，B 的距离时，先在AB 的垂线BF 上取两点C 、D ，使CD BC =，再过点D 画出BF 的垂线DE ，当点A ，C ，E 在同一直线上时，可证明EDC ABC @△△，从而得到ED AB =，则测得ED 的长就是两点A ，B 的距离，判定EDC ABC @△△的依据是（）A ．“SSS ”B ．“ASA ”C ．“HL ”D ．“SAS ”【答案】B 【解析】解：根据题意得AB ⊥BC ，DE ⊥CD ，∴∠ABC=∠EDC=90°，∵CD=BC ，∠ACB=∠ECD ，∴根据“ASA”可判断△EDC ≌△ABC ．故选：B ．6. 如图，在ABC V 中，D 是AB 的中点，//,//DE BC DF AC ，若20AE =，则DF 的值为（）A ．10B ．15C ．20D ．25【答案】C 【解析】解：∵D 是AB 的中点，∴AD DB =，∵//,//DE BC DF AC ，∴,B ADE BDF A Ð=ÐÐ=Ð，∴△ADE≌△DBF (ASA )，∴20DF AE ==．故选：C ．7 .如图，经过平行四边形ABCD 的对角线AC 中点的直线分别交边CB ，AD 的延长线于E ，F ，则图中全等三角形的对数是（）A ．3对B ．4对C ．5对D ．6对【答案】C 【解析】：Q 四边形ABCD 为平行四边形，EF 经过AC 的中点，AB CD \=，AD BC =，AO CO =，AOE COF Ð=Ð，F E Ð=Ð，又AOF COE Ð=Ð，AOE COF Ð=Ð，BAF DCE Ð=Ð，()\D @D AOH COG ASA ，()D @D AOF COE ASA ，()FDG EBH ASA D @D ，()ABC CDA SSS D @D ，()D @D AFH CEG ASA ．故图中的全等三角形共有5对．故选:C8 .如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ，AE 是中线，过点B 作BF ⊥AE 于点F ，过点C 作CD ⊥BC 交BF的延长线于点D ．下列结论：①BE ＝CE ；②AE ＝BD ；③∠BAE ＝∠CBD ；④∠EAC ＝∠BAE ；⑤BC ＝2CD ．正确的个数是（）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【答案】C 【解析】解：①∵AE 是中线，∴BE ＝CE ，故①正确；②∵DC ⊥BC ，BF ⊥AE ，∴∠DBC+∠D ＝∠DBC+∠BEA ＝90°．∴∠D ＝∠BEA ．∵∠DCB ＝∠ABE ＝90°，在△DBC 与△ABE 中，90DCB EBA D AEB BC AB ÐÐ°ìïÐÐíïî＝＝＝＝，∴△BCD ≌△ABE （AAS ）．∴BD ＝AE ，故②正确；③∵△BCD ≌△ABE ，∴∠BAE ＝∠CBD ；故③正确；④∵AE 是中线，∴∠EAC≠∠BAE ，故④错误；⑤∵△BCD ≌△ABE ，∴BE ＝CD ，∵BC ＝2BE ，∴BC ＝2CD ，故⑤正确．∴正确的结论有①②③⑤，共4个．故选：C ．二、填空题（每小题4分，共20分）9 .已知，如图，D A Ð=Ð，//EF BC ，添加一个条件：　(AC DF AB DE ==或)BC EF =　，使得ABC DEF D @D．【解析】解：//EF BC Q ，ACB DFE \Ð=Ð，又D A Ð=ÐQ ，\添加条件AC DF =，可以使得()ABC DEF ASA D @D ，添加条件AB DE =，可以使得()ABC DEF AAS D @D ，添加条件BC EF =，可以使得()ABC DEF AAS D @D ，故答案为：(AC DF AB DE ==或)BC EF =．10 .如图，已知ABC D 中，点D ，E 分别在边AC ，AB 上，连接BD ，DE ，180C AED Ð+Ð=°，请你添加一个条件，使BDE BDC D @D ，你所添加的条件是　CBD EBD Ð=Ð　（只填一个条件即可）．【解析】解：添加的条件是：CBD EBD Ð=Ð，理由是：180C AED Ð+Ð=°Q ，180DEB AED Ð+Ð=°，C DEB \Ð=Ð，在BDE D 和BDC D 中EBD CBD DEB CBD BD Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，()BDE BDC AAS \D @D ，故答案为：CBD EBD Ð=Ð．11 .如图，在Rt ABC V 中，90BAC Ð=°，AB AC =，分别过点B 、C 作经过点A 的直线的垂线段BD 、CE，若6BD =厘米，8CE =厘米，则DE 的长为______．【答案】14厘米【解析】解：90BAC Ð=°Q 90DAB EAC \Ð+Ð=°,BD DE CE DE ^^Q 90DAB DBA \Ð+Ð=°DBA EAC\Ð=Ð在Rt △ADB 与Rt △CEA 中90ADB CEA DBA EAC AB AC Ð==°ìïÐ=Ðíï=î∴Rt △ADB ≅Rt △CEA(AAS),DB AE DA EC\==8614DE DA AE EC DB \=+=+=+=故答案为：14厘米．12 .如图，为了测量B 点到河对面的目标A 之间的距离，在B 点同侧选择了一点C ，测得∠ABC ＝65°，∠ACB ＝35°，然后在M 处立了标杆，使∠MBC ＝65°，∠MCB ＝35°，得到△MBC ≌△ABC ，所以测得MB 的长就是A ，B 两点间的距离，这里得到△MBC ≌△ABC 的依据是 ______．【答案】ASA【解析】解：在△ABC 和△MBC 中，ABC MBC BC BC ACB MCB Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî，∴△MBC ≌△ABC （ASA ），故答案为：ASA ．13 .如图，在△ACD 中，∠CAD ＝90°，AC ＝4，AD ＝6，AB ∥CD ，E 是CD 上一点，BE 交AD 于点F ，若AB ＝DE ，则图中阴影部分的面积为 _____．【答案】12【解析】解：//AB CD Q ，BAD D \Ð=Ð，在BAF D 和EDF D 中，BFA EFD BAD D AB DE Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，()BAF EDF AAS \D @D ，BAF EDF S S D D \=，\图中阴影部分面积11461222BAF ACD ACEF S S S AC AD D D =+==××=´´=四边形，故答案为：12．三、解答题（共6小题，48分）14 .（8分）点B 、F 、C 、E 在直线l 上（F 、C 之间不能直接测量），点A 、D 在l 异侧，//AB DE ，A D Ð=Ð，AB DE =．（1）试说明△ABC 与△DEF 全等；（2）若10m BE =，3m BF =，求FC 的长度．【答案】（1）证明见解析；（2）4m ．【解析】（1）//AB DE Q ，∴ABC DEB Ð=Ð，在△ABC 和△DEF 中，A D AB DE ABC DEB Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî，∴△ABC ≌△DEF （ASA ）（2）∵△ABC ≌△DEF ，∴BC=EF ，∴BC-FC=EF-FC ，即BF=CE ，∵10m BE =，3m BF =，∴FC=EF-BF-CE=10-3-3=4m ．15 .（8分）如图，已知BC ＝EF ，AC ∥DF ，∠A ＝∠D ．求证：△ACB ≌△DFE．【分析】先根据平行线的性质得到∠ACB＝∠F，再利用AAS即可证明△ACB≌△DFE．【解答】证明：∵AC∥DF，∴∠ACB＝∠F，在△ACB与△DFE中，，∴△ACB≌△DFE（AAS）．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定，平行线的性质，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键．16 .（8分）已知△ABC≌△DCE，且B、C、E三点在同一直线上，△ABC与△DCE在直线BE的同一侧，AC与BD交于点F，图中还有全等三角形吗？请写出来，并说明理由．【分析】由△ABC≌△DCE，得到AB＝CD，∠ABC＝∠DCE，因此AB∥CD，推出∠A＝∠DCF，∠ABF ＝∠CDF，即可证明△ABF≌△CDF（ASA）．【解答】解：还有△ABF≌△CDF，理由如下：∵△ABC≌△DCE，∴AB＝CD，∠ABC＝∠DCE，∴AB∥CD，∴∠A＝∠DCF，∠ABF＝∠CDF，在△ABF和△CDF中，∴△ABF≌△CDF（ASA）．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，关键是由△ABC≌△DCE，推出AB∥CD，得到∠A＝∠DCF，∠ABF＝∠CDF．17 .（8分）已知：如图∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：△ABE≌△ADE．【分析】先利用AAS判定△DEC≌△BEC，从而得出DE＝BE，再利用SAS判定△ABE≌△ADE．【解答】证明：在△DEC和△BEC中∵，∴△DEC≌△BEC（ASA）．∴DE＝BE．∵∠3＝∠4，∴∠DEA＝∠BEA．∵DE＝BE，AE＝AE，在△ABE和△ADE中∵，∴△ABE≌△ADE（SAS）．【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．18 .（8分）如图，在△ABC 中，∠B=∠C ，过BC 的中点D 作DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为点E 、F ．（1）求证∶DE=DF ；（2）若∠BDE=55°，求∠BAC 的度数．【答案】（1）见解析；（2）110゜【解析】（1）：∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴∠BED=∠CFD=90°，∵D 是BC 的中点，∴BD=CD ，在△BED 与△CFD 中BED CFD B CBD CD Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î∴△BED≌△CFD （AAS ），∴DE=DF ；（2解：∵55,,BDE DE AB Ð=°^∴∠C=∠B=35°，∴∠BAC=1803535110.°-°-°=°19 .（8分）在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，如图1所示，BC 边在直线l 上，若Rt △ABC 绕点C 沿顺时针方向旋转α，过点A 、B 分别作l 的垂线，垂足分别为点D 、E ．(1) 当0＜α＜90°时，证明：△ACD ≌△CBE ，并探究线段AD 、BE 和DE 的数量关系并说明理由；(2) 当90°＜α＜180°，且α≠135°时，探究线段AD 、BE 和DE 的数量关系（直接写出结果）．【答案】(1)DE =AD +BE ，理由见分析；(2)AD =DE +BE【分析】（1）由“AAS”可证△BCE ≌△CAD ，可得BE =CD ，AD =CE ，可得结论；（2）由“AAS”可证△BCE ≌△CAD ，可得BE =CD ，AD =CE ，可得结论．（1）解：DE =AD +BE ，理由如下：证明：∵BE ⊥ED ，AD ⊥DE ，∴∠BEC =∠ADC =90°=∠ACB ，∴∠ACD +∠BCE =90°=∠ACD +∠DAC ，∴∠DAC =∠BCE ，在△ACD 和△CBE 中，ADC BEC DAC BCE AC BC Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，∴△ACD ≌△CBE （AAS ），∴CD =BE ，AD =CE ，∴DE =AD +BE ；（2）解： AD =DE +BE ，理由如下：如图，∵BE ⊥ED ，AD ⊥DE ，∴∠BEC =∠ADC =90°=∠ACB ，∴∠ACD +∠BCE =90°=∠ACD +∠DAC ，∴∠DAC =∠BCE ，在△BCE 和△CAD 中，BEC ADC BCE DAC BC AC Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，∴△BCE≌△CAD（AAS），∴BE=CD，AD=CE，∴AD=DE+BE．【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键.拓展培优*冲刺满分1 .如图，∠BCD=90°，BC=DC，直线PQ经过点D．设∠PDC=α（45°<α<135°），BA⊥PQ于点A，将射线CA绕点C按逆时针方向旋转90°，与直线PQ交于点E．（1）判断：∠ABC________∠PDC（填“>”或“=”或“<”）；（2）猜想△ACE的形状，并说明理由；【答案】（1）=；（2）△ACE是等腰直角三角形；理由见解析；（3）45°<α<90°．【分析】（1）由四边形ABCD的内角和与邻补角的性质证明∠EDC=∠ABC，即可得到结论．（2）由旋转的性质可得：∠ACE=∠BCD=90°，证明∠ECD=∠BCA，再证明△ECD≌△ACB，从而可得结论；（3）当∠PDC=∠ABC=α=90°时，△ABC的外心在其斜边上，∠ABC=α＞90°时，△ABC的外心在其外部，从而可得到答案．【详解】解：（1）∵AB⊥AD，∠DCB=90°，∴∠CDA+∠ABC=360°−90°−90°=180°，∵∠CDA+∠CDE=180°，∴∠EDC=∠ABC.故答案为：=．（2）△ACE是等腰直角三角形．理由如下：由旋转可得：∠ACE=∠BCD=90°，∴∠ECD+∠DCA=90°=∠DCA+∠BCA，∴∠ECD=∠BCA，在△ECD与△ACB中，{∠ECD=∠BCA CD=CB∠EDC=∠ABC∴△ECD≌△ACB(ASA)∴EC=AC，又∵∠ACE=90°∴△ACE是等腰直角三角形．【点评】本题考查的是四边形的内角和，三角形的外接圆的性质，旋转的性质，三角形全等的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键．2 .在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．(1)当直线MN绕点C旋转到如下图所示的位置时，求证：①△ADC≌△CEB；②DE=AD+BE；(2)当直线MN绕点C旋转到如下图所示的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，不必证明；(3)当直线MN绕点C旋转到如图的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，不必证明．【答案】(1)①见解析；②见解析(2)AD=BE+DE(3)BE=AD+DE【分析】（1）①用AAS证明△ADC≌△CEB即可；②根据全等三角形的性质，得出AD=CE，BE=CD，进而得出DE=BE+CD；（2）先证明△ACD≌△CBE(AAS)，可得AD=CE，BE=CD，进而得出AD=CD+DE=BE+DE；（3）先证明△ACD≌△CBE(AAS)，可得AD=CE，BE=CD，进而得出BE=CD=CE+DE=AD+DE．【详解】（1）证明：①∵AD⊥MN，BE⊥MN，∴∠ADC=∠BEC=90°，∵∠BCA=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°，∠BCE+CBE=90°，∴∠ACD=∠CBE，在△ADC和△CEB中，∵∠ADC=∠CEB=90°∠ACD=∠CBEAC=BC，∴△ADC≌△CEB(AAS)；②∵△ADC≌△CEB，∴AD=CE，BE=CD，∴DE=DC+CE=BE+AD．（2）解：AD=BE+DE．∵AD⊥MN，BE⊥MN，∴∠ADC=∠BEC=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCD=90°，∠BCD+∠CBE=90°，∴∠ACD=∠CBE，在△ACD和△CBE中，∵∠ADC=∠CEB∠ACD=∠CBEAC=BC，∴△ACD≌△CBE(AAS)，∴AD=CE，BE=CD，∴AD=CD+DE=BE+DE．（3）解：BE=AD+DE．∵AD⊥MN，BE⊥MN，∴∠ADC=∠BEC=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCD=90°，∠BCD+∠CBE=90°，∴∠ACD=∠CBE，在△ACD和△CBE中，∵∠ADC=∠CEB∠ACD=∠CBEAC=BC，∴△ACD≌△CBE(AAS)，∴AD=CE，BE=CD，∴BE=CD=CE+DE=AD+DE．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，垂线的定义，余角的性质．解题的关键熟练掌握三角形全等的条件，证明△ACD≌△CBE．3. 如图（1），AB＝4cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝3cm．点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．它们运动的时间为t（s）．（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系，请分别说明理由；（2）如图（2），将图（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB＝∠DBA＝60°”，其他条件不变．设点Q的运动速度为xcm/s，是否存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用SAS证得△ACP≌△BPQ，得出∠ACP＝∠BPQ，进一步得出∠APC+∠BPQ＝∠APC+∠ACP＝90°得出结论即可；（2）由△ACP≌△BPQ，分两种情况：①AC＝BP，AP＝BQ，②AC＝BQ，AP＝BP，建立方程组求得答案即可．【解答】解：（1）当t＝1时，AP＝BQ＝1，BP＝AC＝3，又∠A＝∠B＝90°，在△ACP和△BPQ中，，∴△ACP≌△BPQ（SAS）．∴∠ACP＝∠BPQ，∴∠APC+∠BPQ＝∠APC+∠ACP＝90°．∴∠CPQ＝90°，即线段PC与线段PQ垂直．（2）存在，理由：①若△ACP≌△BPQ，则AC＝BP，AP＝BQ，则，解得；②若△ACP≌△BQP，则AC＝BQ，AP＝BP，则，解得：；综上所述，存在或，使得△ACP与△BPQ全等．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．在解题时注意分类讨论思想的运用．。

12.2全等三角形的判定(第2课时)

证明：在△ABC和△ADC中，
A
AB=AD ∠BAC=∠DAC AC=AC
∴△ABC≌△ADC（SAS）.
BC D
探究新知探索“SSA”能否识别两三角形全等
思考：两边一角分别相等包括“两边夹角”和“两边及其中
一边的对角”分别相等两种情况，前面已探索出“SAS”判定三角形全等的方法，那么由“SSA”的条件能判定两个三角形
人教版.八年级上册
12.2 三角形全等的判定（第2课时）
学习目标
3. 了解“SSA”不能作为两个三角形全等的条件．
2. 会用“SAS”判定定理证明两个三角形全等并能应用其解决实际问题．
1. 探索并正确理解三角形全等的判定定理 “SAS”.
课堂导入除了SSS外,还有其他情况吗？
当两个三角形满足六个条件中的3个时，有四种情况:
AB=CB(已知)
而问题改∠变A成BD:=∠CBD(已知)
B
问AD=CD吗B？D=BBDD平(公分共∠边AD)C吗？
∴△ABD≌△CBD(SAS)
A D
C
由△ABD≌△CBD可得 AD=CD,∠ADB=∠CDB（全等三角形的对应边相等,对应角相等） ∴BD平分∠ADC（角平分线的定义）
变式训练
如图，已知∠BAC=∠DAC，AB=AD.求证：△ABC ≌△ADC.
全等吗？请举例说明.
A
如图，在△ABC 和△ABD 中，
AB =AB，AC = AD，∠B =∠B，
但△ABC 和△ABD 不全等．
BC
D
注：这个角一定要是这两边所夹的角
归纳小结
注意：（1）牢记“边边角”不能判定两个三角形全等，只有两边及其夹角分别相等才能判定两个三角形全等.

人教版八年级数学上册12.2全等三角形的判定课件

画弧，交O′A′于点C′；
B D
O
C
A O′
C′ A′
知识点2 用尺规作一个角等于已知角
③以点C′为圆心，CD 长为半径画弧，与②中所画的弧交于点D′；
B
D
D′
O
C
A O′
C′ A′
知识点2 用尺规作一个角等于已知角 ④ 过点D′画射线O′B′，则∠A′O′B′=∠AOB．
B D
B′ D′
O
C
若不是，则需要满足几个条件呢?
知识点1 三角形全等判定“边边边”
【探究1】当满足一个条件时，△ABC 与△A'B'C'全等吗？
①满足一条边相等时
②满足一个角相等时
（不能）
（不能）
【结论】只有一条边或一个角对应相等的两个三角形不一定全等
知识点1 三角形全等判定“边边边”
【探究2】当满足两个条件时，△ABC 与△A'B'C'全等吗？
三个条件
① 三边 ② 三角 ③ 两边一角 ④ 两角一边
知识点1 三角形全等判定“边边边”
【探究3】当满足三边相等时，△ABC 与△A'B'C'全等吗？
先任意画出一个△ABC.再画出一个 △A′B′C′，使 A′B′ =AB，B′C′ =BC， A′C′ =AC．把画好的△A′B′C′ 剪下来，放到△ABC上，它们全等吗？
课堂演练
例工人师傅常用角尺平分一个任意角. 做法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取 OM=ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M，N重合.过角尺顶点C的射线OC便是∠AOB的平分线.为什么？
【课本P37 练习第2题】

初中数学人教版八年级上册12.2 三角形全等的判定

例1 如图12-2-1,AB=CD，BE=CF，AF=DE．求证：△ABE ≌△DCF.
图12-2-1
证明：∵AF=DE，∴AF-EF=DE-EF，即AE=DF. 在△ABE和△DCF中，AB=DC, BE=CF, AE=DF, ∴△ABE ≌△DCF(SSS).
对于本题中“AF=DE”这个条件的运用是证明的突破口，由“AF=DE”得到对应边相等，即AE=DF. 证明中积累图形情境下的小结论，掌握证明题的小技巧，可以迅速地获得解题思路.
在本题的证明过程中，有些同学想当然地把 DE=DF直接作为已知条件来利用，从而导致错误．在证明时，要结合图形、已知、求证等各种信息，综合运用后分析找到适合的解题思路，按照严谨的推理步骤完成证明过程．需要特别指出的是，当我们学习了角平分线的性质后，可直接得出 DE=DF．
题型一 “边边边”的运用例10 如图12-2-12，已知AB=BC，AD=DC，
图12-2-6
图12-2-7
证明：如图12-2-7.∵AB∥CD，∴∠1=∠2.
∵AF=CE，∴AF+EF=CE+EF，即AE=CF. 在△ABE和△CDF中，∠1=∠2, ∠ABE=∠CDF,AE=CF, ∴△ABE ≌△CDF（AAS）.
应用“AAS”证明两个三角形全等时，一定要注意它和“ASA”的主要区别在边与角的关系上，前者是一组等角的对边相等，后者是两组等角的夹边相等，使用时一定要弄清楚.
求证△AEB ≌△AFC，必须找到这对三角形的“对应”元素，选取适当的三角形全等的判定方法，而 ∠1与∠2不是相应三角形的对应角，不能直接使用，应该先转化为∠EAB=∠FAC.
凭对图形的直观印象，误把未知当条件参与证明例9 如图12-2-11，在△ABC中，AD是角平分线， BD=CD，DE，DF分别垂直于AB，AC，垂足分别为E， F．求证：BE=CF ．

12.2_三角形全等的判定(ASA)

分析:如果能证明△ACD ≌ △ABE,就可以得出AD=AE
证明：在△ACD ≌ △ABE中，
∠A= ∠A AC=AB ∠C=∠B ∴△ACD ≌ △ABE （ASA） ∴ AD=AE
巩固与提高
1.已知:如图，∠ABC＝∠DCB，∠ACB＝∠DBC，求证：△ABC≌△DCB．
证明:在△ABC和△DCB中，
又∵AB = AC
∴BD = CE
巩固与提高
4、如图，AE⊥BE，AD⊥DC，CD =BE，∠DAB =∠EAC．求证：AB =AC．证明：∵ ∠DAB =∠EAC， A ∴ ∠DAC =∠EAB. ∵ AE⊥BE，AD⊥DC， D ∴ ∠D =∠E =90°. 在△ADC 和△AEB 中,
E
∠DAC =∠EAB， ∠D =∠E， CD =BE，
_____________ OB=OD _____________ ∠B =∠D __________
OA=OC _____________ ∠A =∠C _____________ ASA 根据：_______
例3 .如图,D在AB上,E在AC上,AB=AC, ∠B= ∠C. 求证:AD=AE.
ASA
复习
1.什么是全等三角形？ 2.判定两个三角形全等要具备什么条件?
边边边：三边对应相等的两个三角形全等。
有两边和它们夹角对应相等的两个三角形边角边：全等。
复习
在△ABC 和△A′B′C′中，
AB=A′B′
AC= A′C′ BC= B′C′
(SSS) ∴△ABC≌ △A′B′C′
复习
边角边公理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（“边角边”或 “SAS”）
∴ △ADC ≌△AEB（AAS）． ∴ AC =AB．

人教版初中数学三角形全等的判定

E
F
△ABC≌△DEF。
一个小结
• 到这里，我们就彻底学完了五种判定两个三角形全等的定理：
SSS，SAS，ASA，AAS，HL
指出对应的两个三角形
用大括号摆出相等条件
写出结论并标明定理
学完本节课你应该知道
全等三角形“斜边、直角边”（HL）判定
定理：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等
画图思路
N
A
A′
B
C M B′
C′
连接△A′B′C′
“HL”判定定理
• 从刚才的探究活动中，你能得到什么结论？
斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。
（HL,“斜边，直角边”）
用这个定理，可以判定三角形全等！
“HL”判定定理
A
∵在Rt△ABC和Rt△ DEF中
B
C
AB=DE
D
AC=DF
感谢观看，欢迎指导！
1.阅读说明文，首先要整体感知文章的内容，把握说明对象，能区分说明对象分为具体事物和抽象事理两类；其次是分析文章内容，把握说明对象的特征。事物性说明文的特征多为外部特征，事理性说明文的特征多为内在特征。 2.该类题目考察学生对文本的理解，在一定程度上是在考察学生对这类题型答题思路。因此一定要将这些答题技巧熟记于心，才能自如运用。 3. 结合实际，结合原文，根据知识库存，发散思维，大胆想象。由文章内容延伸到现实生活，对现实生活中相关现象进行解释。对人类关注的环境问题等提出解决的方法，这种题考查的是学生的综合能力，考查的是学生对生活的关注情况。 4.做好这类题首先要让学生对所给材料有准确的把握，然后充分调动已有的知识和经验再迁移到文段中来。开放性试题，虽然没有规定唯一的答案，可以各抒已见，但在答题时要就材料内容来回答问题。 5.木质材料由纵向纤维构成，只在纵向上具备强度和韧性，横向容易折断。榫卯通过变换其受力方式，使受力点作用于纵向，避弱就强。 6.另外，木质材料受温度、湿度的影响比较大，榫卯同质同构的链接方式使得连接的两端共同收缩或舒张，整体结构更加牢固。而铁钉等金属构件与木质材料在同样的热力感应下，因膨胀系数的不同，从而在连接处引起松动，影响整体的使用寿命。 7.家具的主体建构中所占比例较大。建筑中的木构是梁柱系统，家具中的木构是框架系统，两个结构系统之间同样都靠榫卯来连接，构造原理相同。根据建筑物体积、材质、用途等方面的不同，榫卯呈现出不同的连接构建方式。 8.正是在大米的哺育下，中国南方地区出现了加速度的文明发展轨迹。河姆渡文化之后，杭嘉湖地区兴盛起来的良渚文化，在东亚大陆率先迈上了文明社会的台阶，成熟发达的稻作农业是其依赖的社会经济基础。 9.考查对文章内容信息的筛选有效信息的能力。这类试题，首先要明确信息筛选的方向，即挑选的范围和标准，其次要对原文语句进行加工，用凝练的语言来作答。 10.剪纸艺术传达着人们美好的情感，美化着人们的生活，而且能够填补创作者精神上的空缺，使沉浸于艺术中的人们忘掉一切烦恼。或许这便是它能在民间顽强地生长，延续至今而生命力旺盛不衰的原因吧。

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两个条件 ①两角； ②两边； ③一边一角。
结论：只给出一个或两个条件时，都不能保证所画的三角形一定全等。
探索三角形全等的条件
3.如果满足三个条件，你能说出有哪几种可能的情况？
①三角； ②三边； ③两边一角；
④两角一边。
⑴三个角
已知两个三角形的三个内角分别为30°， 60° ，90° 它们一定全等吗？
3. 有时需添辅助线(如:造公共边)
作业：
1、已知：如图1，AB=AD，BC=DC，求证： △ABC≌ △ADC。 2、已知: 如图2,四边形ABCD中， AD=CB,AB=CD求证：∠A＝∠C。
A B D A 图2 B D C
C
图1
8㎝
结论:只有一条边或一个角对应相等的两个三角形不一定全等.
2.如果满足两个条件，你能说出有哪几种可能的情况？
①两边；
②一边一角；
③两角。
①如果三角形的两边分别为8cm，11cm 时
8cm
8cm
11cm
11cm
结论:两条边对应相等的两个三角形不一定全等.
②三角形的一条边为8cm,一个内角为40°时:
练习2、如图，已知AC=FE、BC=DE，点A、 D、B、F在一条直线上，AD=FB．要用 “边边边”证明△ABC≌△FDE，除了已知中的AC=FE，BC=DE以外，还应该有什么条件？怎样才能得到这个条件？证明∠C＝∠E 证明：∵AD=FB ∴AD+DB=FB+BD 即 AB=FD
AC=FE（已知） BC=DE（已知） AB=FD（已证）
A D
C
B E F
∴△ABC≌△FDE（SSS） ∴∠C＝∠E
1.边边边公理：有三边对应相等的两个三角形全等简写成“边边边”（SSS）
2.边边边公理在应用中用到的数学方法:
证明线段(或角)相等所在的两个三角形全等.
转化
证明线段(或角)
3、两个三角形全等的注意点：
1. 说明两三角形全等所需的条件应按对应边的顺序书写 . 2. 结论中所出现的边必须在所证明的两个三角形中.
A
D
如何用符号语言来表达呢
B
C
E
F
在△ABC与△DEF中 AB=DE AC=DF
BC=EF
∴△ABC≌△DEF（SSS）
叫判做断证两明个三三角角形形全全等等。的推理过程，
?
试一试：如图， AB=AC,BD=CD,BH=CH,问图中有几组全等三角形？它们全等的条件是什么？
§12.2 三角形全等的判定定理
E
A
B
F
C
1、什么叫全等三角形？
能够重合的两个三角形叫全等三角形。
2、已知△ABC ≌△ DEF，找出其中相等的边与角
A D
BCEFra bibliotekF①AB=DE ④ ∠A= ∠D
② BC=EF ⑤ ∠B=∠E
③ CA=FD
⑥ ∠C= ∠F
小明看到同学有一个三角形的积木，非常喜欢。于是决定让在深圳的姑妈给自己买一个和同学一样的积木，他如何给姑妈打电话描述这个三角形积木呢？
A
解： △ABD≌△ACD； △ABH≌△ACH； △DBH≌△DCH；根据边边边定理
D B H C
练习1、如图, △ABC是一个钢架，AB=AC,AD是连接A与BC中点D的支架，求证： △ABD≌△ACD 证明：∵D是BC的中点
A C D
∴BD=CD 在△ABD与△ACD中
B
AB=AC（已知） BD=CD（已证） AD=AD（公共边） ∴△ABD≌△ACD（SSS）
这说明有三个角对应相等的两个三角形不一定全等
⑵三条边已知两个三角形的三条边都分别为7cm、 8cm、11cm 。它们一定全等吗？
7cm 11cm 8cm 11cm 7cm 8cm 11cm 7cm 8cm
先任意画出一个△ABC，再画出一个△A’B’C’ ,使
A’B’= AB ,B’C’ =BC, A’ C’ =AC.把画好△A’B’C’的剪下，放到△ABC上，他们全等吗？画法:
A
D
B
①AB=DE
② BC=EF
C
E
③ CA=FD
F
④ ∠A= ∠D
⑤ ∠B=∠E
⑥ ∠C= ∠F
思考：
1.满足这六个条件可以保证△ABC ≌△ DEF吗？ 2.如果只满足这些条件中的一部分,那么能保证 △ABC ≌△ DEF吗?
1.只给一个条件
1.只给一条边时； 8㎝ 2.只给一个角时；
40◦ 40◦
1.画线段 B’C’ =BC; 2.分别以 B’ ， C’为圆心,BA,BC为半径画弧,两弧交于点A’; 3. 连接线段 A’B’ ， A’C’ .
上述结论反映了什么规律？
边边边公理：
三边对应相等的两个三角形全等。
简写为“边边边”或“SSS” 注：这个定理说明，只要三角形的三边的长度确定了，这个三角形的形状和大小就完全确定了，这也是三角形具有稳定性的原理。
40◦ 8cm
40◦ 8cm
结论:一条边一个角对应相等的两个
三角形不一定全等.
③如果三角形的两个内角分别是40°，46°时
40◦
46◦
40◦
46◦
结论:两个角对应相等的两个三角形不一定全等.
根据三角形的内角和为180度，则第三角一定确定，所以当三内角对应相等时，两个三角形不一定全等
一个条件 ①一角； ②一边；