4 圆周角定理及其推论的应用

O
A
D
几个与圆周角相关的结论： 1.圆的内接平行四边形是矩形； 2.圆的内接梯形是 等腰梯形 ； 3.圆内两条平行弦所夹的弧 相等 ； 4.圆的内接四边形的对角互补.并且一 个外角等于它的内对角.
关于圆周角定理的训练（1）
1.OA是圆O的半径，以OA为直径的 圆C与圆O的弦AB交于点D，判断AD 与BD的关系,说明理由.
要点： 1.顶点在圆上 2.两边与圆相交
二、探索与圆周角有关的性质 1、直径所对的圆周角
如图，线段AB是⊙O 的直径，点C是⊙O上任 意一点（除点A、B） 那 A 么∠ACB就是直径AB所 对的圆周角.想想 看,∠ACB会是怎么样的 角？为什么呢？
.1.gsp
C
1 2
O
B
推论1：
直径所对的圆周角等于90°（直角） . 反过来也是成立的，即: 90°的圆周角所对的弦是直径..
三 与圆周角有关的辅助线：
过圆上某点作直径，连结过直径端点的弦：
构造直角三角形； 构造同弧所对的圆周角(等角)
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练习二 1.如图,在⊙O中,∠BOC=50°,∠A= . ︵ ︵ 2．如图,在⊙O中,AB＝ AC,∠ABC＝70°.∠BOC=
3.在⊙O中,弦BC=2,∠A=30°,则⊙O的半径为 4. 在⊙O中,弦BC=2,∠A=45°,则⊙O的半径为
如果延长BC到E，那么
∠DCE＋∠BCD ＝ 180°. 又 ∵∠A ＋∠BCD＝ 180°， ∴∠A＝∠DCE. B A
O
D
C
E
因为∠A是与∠DCE相邻的内角∠DCB的对角,我们 把∠A叫做∠DCE的内对角.
画图分析几个相关的结论： 1.圆的内接平行四边形是 ； 2.圆内两条平行弦所夹的弧 ； 3.圆的内接梯形是 ；
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圆周角与圆心的位置关系有以下三种情况：
C O A
B A D O
C
C
O
B D A
圆心在角 的外部
B
圆心在角 的一边上
圆心在角 的内部
推论2：
同弧(或等弧) 所对的圆周角等于它所对 的圆心角的一半. 同弧或等弧所对的圆周角都相等.
在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等
当球员在B,D,E处射门 时,他所处的位置对球 门AC别形成三个张角 ∠ABC, ∠ADC,∠AEC. 这三个角的大小有什 么关系?.
证明： ∵ ∠ABC=∠APC=60° ∠BAC=∠CPB=60°. (同弧所对的圆周角相等） ∴△ABC等边三角形.
P
A
· O
B
C
5.已知:如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的 圆交BC于D,交AC于E. A 求证：⌒ ⌒
BD=DE
O
E D C
B
5.已知：如图，在△ABC中，AB=AC,以AB为直 径的圆交BC于D,交AC于E. 求证：⌒ ⌒
圆周角定理及其应用
学习目标
理解并掌握圆周角的定义. 掌握圆周角的性质及定理.
一、认识圆周角
究竟什么样的角是圆周角呢？
定义：顶点在圆上, 并且两边都与圆相交 的角,叫做圆周角.
A
●
O
B
C
辨一辨：指出下图中的圆周角
A
A
O
（1）
C O
O D
E O
（4）
B
（2） （3）
O B
（5）
O
A
B
F （6）
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备
用
议一议
圆周角和圆心角的关系
驶向胜利 的彼岸
1.首先考虑一种特殊情况： 当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的一边(BC)上时,圆周角 A ∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系. C ∵∠AOC是△ABO的外角， ∴∠AOC=∠B+∠A. O ∵OA=OB， ∴∠A=∠B. B ∴∠AOC=2∠B. 1 一条弧所对的圆周角等于它所 即 ∠ABC = ∠AOC. 2 对的圆心角的一半.
（1）求证：AB· AC=AE· AD ； ⌒ （2）若F为BC的中点，求证：AF平分∠DAE.
A
O
B E
D
C
2、在圆的内接△ABC中，AB+AC=12， AD⊥BC于D，且AD=3，设⊙O的半径为y， AB的长为x. （1）用含x的代数式表示y； （2）当AB长为多少时，⊙O的面积最大？并 求出最大面积.
A
F
E B D O C
5.如图：已知BC为⊙Ｏ的直径，AD⊥BC， 垂足为D，BF交AD于E，且AE=BE． ︵ ︵ （１）求证：AB=AF 3 （２）若sin∠FBC＝ , AB 4 5 , 求AD 的长。
5
Ａ Ｅ Ｏ
Ｆ
Ｂ
Ｄ
Ｃ
与圆周角有关的辅助线：
过圆上某点作直径，连结过直径端点的弦：
构造直角三角形； 构造同弧所对的圆周角(等角)
●
C

O
1 ∴ ∠ABC = ∠AOC. 2
一条弧所对的圆周角等于它所 对的圆心角的一半.
B
议一议
圆周角和圆心角的关系
驶向胜利 的彼岸
如果圆心不在圆周角的一边上,结果会怎样? 3.当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的外部时,圆周角 ∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系会怎样? A


老师提示:能否也转化为1的情况?
C
A
O
B
练习
如图，AB为⊙O的直径，∠A=80°，
求∠ABC的度数.
A
O
ACOB源自B二、探索与圆周角有关的性质
2、探索： 同弧所对的圆周角与圆心角的关系. 在圆O中任意画出一个圆周角∠ACB(弧AB为劣弧) 再画出弧AB所对的圆心角，即∠AOB.
用你所学过的知识比较一下∠ACB 与∠AOB,你会发现什么？
圆的两条平行弦所夹的弧相等.
1.两条弦在圆心的同侧
O
2.两条弦在圆心的两侧
A
●
A C
●
B D
O
B D
C
7、如图:AB是⊙Ｏ的直径,弦CD⊥AB于点E,G是 ⌒上任意一点,延长AG,与DC的延长线相交于点 AC F,连接AD,GD,CG,找出图中所有和∠ADC相等的 角,并说明理由.
G
F C E B
●
议一议
圆周角和圆心角的关系
驶向胜利 的彼岸
如果圆心不在圆周角的一边上,结果会怎样? 2.当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的内部时,圆周角 ∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系会怎样? A D

老师提示:能否转化为1的情况?
过点B作直径BD.由1可得: ∠ABD
1 = 2∠AOD,∠CBD 1 = 2 ∠COD,
A E
●
A E B D
C
在同圆内,同弧或等弧所对的 圆周角相等.
O C
B D
内容小结：
圆周角定理的内容: 1、半圆或直径所对的圆周角是直角； 2、90°的圆周角所对的弦是直径； 3、一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心 角的一半； 4、同弧或等弧所对的圆周角相等； 5、在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的 弧相等； （等弧---等角，直径 直角三角形）
Ａ
O
Ｂ
Ｄ
Ｃ
5.点A、B、C在半径为2cm的圆 上，若BC=2 3 cm，求∠BAC的
度数.（画图分析后进行计算）
与圆周角有关的辅助线：
过圆上某点作直径，连结过直径端点的弦：
构造直角三角形； 构造同弧所对的圆周角(等角)
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1、已知：点A、B、C三点在⊙O上，AD是
△ABC的高，AE是圆O的直径．
过点B作直径BD.由1可得: ∠ABD
1 ∠ABC = ∠AOC. 2
1 = 2 ∠AOD,∠CBD 1 = 2 ∠COD,
C
B
●
O
∴
一条弧所对的圆周角等于它所 对的圆心角的一半.
. . .
.
A
B
●
C O
B O
A
A O
B
C
C
(第 2 题)
5.圆的内接四边形的对角互补.
.如图,在⊙O中,∠BAD=70°,求∠C的大小.
A D
B
●
O
B
C
D A
●
O C
圆的内接四边形的对角互补.并且一 个外角等于它的内对角. 6.如图:四边形ABCD内接于⊙Ｏ,求
∠BOD.
A
O B
C
D
70

圆内接四边形的一个外角等于它的内对角.
BD=DE A 证明：连结AD. ∵AB是圆的直径，点D在圆上， E ∴∠ADB=90°， C D B ∴AD⊥BC， ∵AB=AC， ∴AD平分顶角∠BAC，即∠BAD=∠CAD，
∴⌒ ⌒ BD= DE
（同圆或等圆中，相等的圆周角 所对弧相等）.
二 圆周角定理的作用：
（1）直径 直角（垂直关系）； （2）圆周角--圆心角； （3）同弧 等圆周角，等弧 等圆周角.
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练习一
：
1.求圆中角X的度数.
O
70° x
.
O A
.
x
120 °
A
B
O
B
2.如图,圆心角∠AOB=100°，A C 则∠ACB= .
3.如图,在直径为AB的半圆中,点O为圆 心,点C、D为半圆上的两点， ∠COD=500，则∠CAD=______.
4.如图P是△ABC的外接圆上的一点, ∠APC=∠CPB=600,判断△ABC形状.
A
B
O
D
C
E
3、已知：点A、B、C在⊙O上，AB=AC，点D是 BC边上一点，点E是直线AD和圆的交点. （1）探索：AB、AD、AE之间的关系. （2）当D为BC延长线上一点时，上述结论还 成立吗？如果成立，请画图给予证明；若不 A 成立，说明理由.