考研数学二真题及答案

2015年考研数学二真题一、选择题：（1~8小题,每小题4分，共32分。

下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。

） (1)下列反常积分中收敛的是 (A)∫√x 2dx (B)∫lnxx +∞2dx (C)∫1xlnx +∞2dx (D) ∫xe x+∞2dx【答案】D 。

【解析】题干中给出4个反常积分，分别判断敛散性即可得到正确答案。

∫√x+∞2dx =2√x|2+∞=+∞；∫lnx x+∞2dx =∫lnx +∞2d(lnx)=12(lnx)2|2+∞=+∞；∫1xlnx+∞2dx =∫1lnx+∞2d(lnx)=ln?(lnx)|2+∞=+∞； ∫xe +∞2dx =−∫x +∞2de −x=−xe −x |2+∞+∫e −x+∞2dx=2e −2−e −x |2+∞=3e −2， 因此(D)是收敛的。

综上所述，本题正确答案是D 。

【考点】高等数学—一元函数积分学—反常积分 (2)函数f (x )=lim t→0(1+sin t x)x2t 在(-∞,+∞)内(A)连续 (B)有可去间断点 (C)有跳跃间断点 (D)有无穷间断点 【答案】B【解析】这是“1∞”型极限，直接有f (x )=lim t→0(1+sin t x)x 2t=elimt→0x 2t(1+sin t x −1)=ex limt→0sintt=e x (x ≠0),f (x )在x =0处无定义，且lim x→0f (x )=lim x→0e x =1,所以 x =0是f (x )的可去间断点，选B 。

综上所述，本题正确答案是B 。

【考点】高等数学—函数、极限、连续—两个重要极限 (3)设函数f (x )={x αcos 1x β,x >0，0,x ≤0(α>0,β>0).若f ′(x )在x =0处连续，则(A)α−β>1 (B)0<α−β≤1 (C)α−β>2 (D)0<α−β≤2 【答案】A 【解析】易求出f′(x )={αx α−1cos 1x +βx α−β−1sin 1x ,x >0，0,x ≤0再有 f +′(0)=lim x→0+f (x )−f (0)x=lim x→0+x α−1cos 1x ={0, α>1,不存在，α≤1，f −′(0)=0于是，f ′(0)存在?α>1，此时f ′(0)=0. 当α>1时，lim x→0x α−1cos1x β=0，lim x→0βxα−β−1sin1x β={0, α−β−1>0,不存在，α−β−1≤0，因此，f′(x )在x =0连续?α−β>1。

选A 综上所述，本题正确答案是C 。

【考点】高等数学—函数、极限、连续—函数连续的概念，函数的左极限和右极限(4)设函数f(x)在(-∞,+∞)内连续，其二阶导函数f′′(x)的图形如右图所示，则曲线y=f(x)的拐点个数为(A)0 (B)1(C)2 (D)3【答案】C【解析】f(x)在(-∞,+∞)内连续，除点x=0外处处二阶可导。

y=f(x)的可疑拐点是f′′(x)=0的点及f′′(x)不存在的点。

f′′(x)的零点有两个，如上图所示，A点两侧f′′(x)恒正，对应的点不是y=f(x)拐点，B点两侧f′′(x)异号，对应的点就是y=f(x)的拐点。

虽然f′′(0)不存在，但点x=0两侧f′′(x)异号，因而(0,f(0)) 是y= f(x)的拐点。

综上所述，本题正确答案是C。

【考点】高等数学—函数、极限、连续—函数单调性，曲线的凹凸性和拐点(5)设函数f(μ,ν)满足f(x+y,yx )=x2−y2，则?f?μ|μ=1ν=1与?f?ν|μ=1ν=1依次是(A)12,0(B)0,12(C)−12,0 (D)0,−12【答案】D【解析】先求出f (μ,ν) 令{μ=x +y,ν=y x,?{x =μ1+ν,y =μν1+ν,于是 f (μ,ν)=μ2(1+ν)2−μ2ν2(1+ν)2=μ2(1−ν)1+ν=μ2(21+ν−1)因此?f ?μ|μ=1ν=1=2μ(21+ν−1)|(1,1)=0?f?ν|μ=1ν=1=−2μ2(1+ν)2|(1,1)=−12综上所述，本题正确答案是D 。

【考点】高等数学-多元函数微分学-多元函数的偏导数和全微分 (6)设D 是第一象限中由曲线2xy =1,4xy =1与直线y =x,y =√3x 围成的平面区域，函数f(x,y)在D 上连续，则∬f (x,y )dxdy =D (A)∫dθπ3π4∫f(r cos θ,r sin θ)1sin 2θ12sin 2θrdr (B) ∫dθπ3π4∫f(r cos θ,r sin θ)√sin 2θ1√2sin 2θrdr(C) ∫dθπ3π4∫f(r cos θ,r sin θ)1sin 2θ12sin 2θdr (D) ∫dθπ3π4f(r cos θ,r sin θ)√sin 2θ√2sin 2θdr【答案】 B【解析】D 是第一象限中由曲线2xy =1,4xy =1与直线y =x,y =√3x 围成的平面区域，作极坐标变换，将∬f (x,y )dxdy D化为累次积分。

D 的极坐标表示为π3≤θ≤π4，√sin 2θ≤θ≤√2sin 2θ，因此∬f (x,y )dxdy D=∫dθπ3π4cos θ,r sin θ)√sin 2θ√2sin 2θrdr综上所述，本题正确答案是B 。

【考点】高等数学—多元函数积分学—二重积分在直角坐标系和极坐标系下的计算。

(7)设矩阵A=[11112a 14a 2],b =[1d d 2]。

若集合Ω={1,2}，则线性方程 Ax =b 有无穷多解的充分必要条件为 (A)a?Ω,d?Ω (B) a?Ω,d ∈Ω (C)a ∈Ω,d?Ω (D) a ∈Ω,d ∈Ω 【答案】D【解析】Ax =b 有无穷多解?r (A |b )=r (A )<3|A |是一个范德蒙德行列式，值为(a −1)(a −2),如果a?Ω，则 |A |≠0，r (A )=3，此时Ax =b 有唯一解，排除(A),(B) 类似的，若d?Ω，则r (A |b )=3，排除(C)当a ∈Ω,d ∈Ω时，r (A |b )=r (A )=2，Ax =b 有无穷多解 综上所述，本题正确答案是D 。

【考点】线性代数-线性方程组-范德蒙德行列式取值，矩阵的秩，线性方程组求解。

(8)设二次型f(x 1,x 2,x 3)在正交变换x =Py 下的标准形为2y 12+y 22−y 32,其中P =(e 1,e 2,e 3),若Q =(e 1,−e 3,e 2)在正交变换 x =Qy 下的标准形为(A) 2y 12−y 22+y 32 (B) 2y 12+y 22−y 32 (C) 2y 12−y 22−y 32 (D) 2y 12+y 22+y 32 【答案】A【解析】设二次型矩阵为A ,则 P −1AP =P T AP =[20001000−1] 可见e 1,e 2,e 3都是A 的特征向量，特征值依次为2,1,-1，于是-e 3也是A 的特征向量，特征值为-1，因此 Q T AQ =Q −1AQ =[2000−10001]因此在正交变换x =Qy 下的标准二次型为2y 12−y 22+y 32 综上所述，本题正确答案是A 。

【考点】线性代数-二次型-矩阵的秩和特征向量，正交变换化二次型为标准形。

二、填空题：(9~14)小题，每小题4分，共24分。

(9)设{x =acr tan t ,y =3t +t 3,则d 2ydx 2|t=1=【答案】48【解析】由参数式求导法dy dx=y t ′x t′=3+3t 211+t 2=3(1+t 2)2再由复合函数求导法则得d 2y dx =d dx[3(1+t 2)2]=d dt[3(1+t 2)2]dt dx=6(1+t 2)?2t?1x t′=12t(1+t 2)2, d 2y dx |t=1=48综上所述，本题正确答案是48。

【考点】高等数学-一元函数微分学-复合函数求导 (10)函数f (x )=x 22x 在x =0处的n 阶导数f (n )(0)= 【答案】n (n −1)(ln2)n−2(n =1,2,3,??) 【解析】解法1 用求函数乘积的n 阶导数的莱布尼茨公式在此处键入公式。

f (n )(x )=∑C n k (x 2)k (2x )(n−k)n k=0 其中C n k =n!k!(n−k )!,注意(x 2)k |x=0=0(k ≠2)，C n 2=n(n−1)2,于是f (n )(0)=C n 2?2?(2x )(n−2)|x=0=n (n −1)(ln2)n−2 (n ≥2)f ′(0)=0因此f (n )(0)=n (n −1)(ln2)n−2(n =1,2,3,??) 解法2利用泰勒展开 f (x )=x 22x =x 2e xln2=x 2∑(xln2)nn!∞n=0=∑ln n2n!xn+2=∞n=0∑ln n−22(n−2)!x n ∞n=2由于泰勒展开系数的唯一性，得ln n−22(n−2)!=f (n )(0)n!可得f (n )(0)=n (n −1)(ln2)n−2(n =1,2,3,??)综上所述，本题正确答案是n (n −1)(ln2)n−2 (n =1,2,3,??) 【考点】高等数学—一元函数微分学—高阶导数，泰勒展开公式 (11)设函数f (x )连续，φ(x )=∫xf(t)dt x 20.若φ(1)=1，φ′(1)=5,则f (1)=【答案】2【解析】改写φ(x )=x ∫f(t)dt x 2,由变限积分求导法得 φ′(x )=∫f(t)dt x 2+xf (x 2)?2x =∫f(t)dt x 2+2x 2f (x 2)由φ(1)=1=∫f(t)dt 10 ，φ′(1)=∫f(t)dt 1+2f (1)=1+2f (1) 可得f (1)=2综上所述，本题正确答案是2【考点】高等数学—一元函数积分学—变限积分函数的性质及应用(12)设函数y =y (x )是微分方程y ′′+y ′−2y =0的解，且在x =0处 y (x )取得极值3，则y (x )= 【答案】e −2x +2e x【解析】求y (x )归结为求解二阶常系数齐次线性方程的初值问题 {y ′′+y ′−2y =0y (0)=3，y ′(0)=0由特征方程λ2+λ−2=0 可得特征根 λ1=−2，λ2=1，于 是得通解 y =C 1e −2x +C 2e x 又已知 {C 1+C 2=3−2C 1+C 2=0?C 1=1，C 2=2综上所述，本题正确答案是e −2x +2e x【考点】高等数学—常微分方程—二阶常系数齐次线性方程 (13)若函数z =z(x,y)由方程e x+2y+3z +xyz =1确定，则 dz |(0,0)=【答案】−13dx−23dy【解析】先求z(0,0)，在原方程中令x=0,y=0得e3z=1?z(0,0)=0方程两边同时求全微分得e x+2y+3z(dx+2dy+3dz)+xydz+yzdx+xzdy=0令x=0,y=0,z=0得dx+2dy+3dz|(0,0)=0dz|(0,0)=−13dx−23dy综上所述，本题正确答案是−13dx−23dy【考点】高等数学-多元函数微分学-隐函数的偏导数和全微分(14)设3阶矩阵A的特征值为2,-2,1，B=A2−A+E,其中E为3阶单位矩阵，则行列式|B|=【答案】 21【解析】A的特征值为2,-2,1,则B的特征值对应为3,7,1所以|B|=21【考点】线性代数—行列式—行列式计算线性代数—矩阵—矩阵的特征值三、解答题：15~23小题，共94分。