06方差分析与正交实验设计
实验设计的方差分析与正交试验
实验设计的方差分析与正交试验一、实验设计中的方差分析方差分析（analysis of variance，ANOVA）是一种统计方法，用于比较不同组之间的均值差异是否具有统计学上的显著性。
在实验设计中，方差分析主要被用来分析因变量（dependent variable）在不同水平的自变量（independent variable）中的变化情况。
通过比较不同组之间的方差，判断是否存在显著差异，并进一步分析差异的原因。
1. 单因素方差分析单因素方差分析是最简单的方差分析方法，适用于只有一个自变量的实验设计。
该方法通过比较不同组之间的方差来判断各组均值是否有差异。
步骤如下：（1）确定研究目的，选择合适的因变量和自变量。
（2）设计实验，确定各组的样本个数。
（3）进行实验，并收集数据。
（4）计算各组的平均值和总平均值。
（5）计算组内方差和组间方差。
（6）计算F值，通过计算F值来判断各组均值是否有显著差异。
2. 多因素方差分析多因素方差分析是在单因素方差分析的基础上，增加了一个或多个自变量的情况下进行的。
这种方法可以用来分析多个因素对因变量的影响，并判断各因素的主效应和交互效应。
步骤如下：（1）确定研究目的，选择合适的因变量和多个自变量。
（2）设计实验，确定各组的样本个数。
（3）进行实验，并收集数据。
（4）计算各组的平均值和总平均值。
（5）计算组内方差、组间方差和交互方差。
（6）计算F值，通过计算F值来判断各组均值是否有显著差异。
二、正交试验设计正交试验设计是一种设计高效实验的方法，可以同时考虑多个因素和各个因素之间的交互作用，并通过较少的试验次数得到较准确的结果。
1. 正交表的基本原理正交表的设计是基于正交原理，即每个因素和其他所有因素的交互效应都是独立的。
通过正交表设计实验，可以确保各因素和交互作用在样本中能够均匀地出现，从而减少误差来源，提高实验结果的可靠性。
2. 正交试验设计的步骤（1）确定要研究的因素和水平。
正交试验设计中的方差分析
免。
QT
m i 1
p j 1
xij
x
2
m i 1
p
xi2j
j 1
1 mp
m i 1
p
2
xij
j1
按照差方和的加和性，总差方和等于各因素形成的差方和的 总和。
QT QA QB QN Qe
其中Qe为残差平方和，即误差的差方和。
3） 试验误差的差方和Qe：
试验误差的差方和是所有试验结果在不同水平下的指标值与该 水平下的均值之间的差的平方和。它是由随机误差引起的，故 叫误差的差方和。
Qe QT ( QA QB QN )
2.计算自由度：
试验的总自由度： fT n 1
各因素自由度： f因 m 1
如果有交互作用，则交互作用的自由度为两因素自由度之积:
明该因素对试验结果（试验指标）的影响显著，两个数差别 越大，说明该因素的显著性越大。
一．几个数据处理中常用的数理统计名词：
首先对几个数理统计名词进行回顾
1. 平均值 x
就是所有数据的和除以数据的个数。
x
1 n
n i 1
xi
1 n
x1
x2
xn
总体平均值：
1 n
n
xi
i 1
n
总体：数理统计学中指的是研究对象的某一特性值的全体； 样本：从总体中随机抽出的一组测量值。
2.极差 R： 就是一组数据中的最大值减去最小值得到的差值。 3.差方和Q： 测量值对平均值的偏差的平方n 1 i1
2
xi x
Q n 1
7.标准偏差s： 方差的平方根。
1 n
正交试验设计方差分析
6
表2.实验方案及实验结果的直观分析
列号 实验号
1 A wH2SO4 (%) 1 B mCuSO4· 5H2O(g) 1 C mZn (g) 1 空白列 2 10min内H2的 产率 32.62
2
3 4
2
3 1
1
1 2
2
3 3
1
3 1
40.40
41.07 34.97
5
6 7 8 9
2
3 1 2 3
此，因素水平变化所引起的波动，即因素A的偏差平方和SA应为：
SA=∑(yi-y总)2= (34.74-39.08)2+(38.71-39.08)2+(43.78-39.08)2
=123.37 上述计算结果我们可以通过S总=SA+ Se式来检验SA和 Se 计算正确与否。
(4)自由度和平均偏差平方和的计算 为了消除个数不同对实验指标所产生的影响，
S总 ( yi y总 )2
i 1
n
由表3知:
y总=1/9(32.62+34.97+36.62+40.40+…+44.53)=39.08
则：S总=(32.62-39.08)2+(34.97-39.08)2+…+(44.5339.08)2=151.08 S总反映了实验数据总的波动情况，如果硫酸质量分
i 1
i
即除以(n-1)，就得到平均偏差平方和。
平均偏差平方和 nS 1
为什么不除以n而要除以(n-1)呢？这是因为n个 数(y1, y2, y3, ……yn)之间并非彼此毫无关系，它们满 足的关系是： 1 n y yi n i 1 即n个数之和的均值为一定值，因此，n个数中 只有(n-1)个可“自由”变动，所以，求平均偏差平 方和时除以(n-1)，数学上将这个(n-1)称为S的自由 度。
第三章正交试验设计中的方差分析2例题分析
第三章_正交试验设计中的方差分析2-例题分析第三章中的例题分析是关于正交试验设计中的方差分析的。
本例题分析主要涉及到两个因素和一个响应变量，通过正交试验设计的方法，对这两个因素的影响进行分析。
首先，我们需要了解正交试验设计的基本原理。
正交试验设计是一种实验设计方法，通过选择合适的试验因素和水平，使得每个试验条件都能够得到充分的信息，从而降低试验误差，提高试验效率。
在正交试验设计中，试验因素之间是相互独立的，这样可以更好地分析每个因素对响应变量的影响。
在本例题中，我们有两个因素，分别记作因素A和因素B，每个因素有两个水平。
我们还有一个响应变量Y，需要确定因素A、因素B和Y之间的关系。
接下来，我们需要进行方差分析。
方差分析是一种用于比较不同因素对响应变量的影响的统计方法。
在本例题中，我们可以使用两因素方差分析来分析因素A和因素B对响应变量Y的影响。
首先，我们需要计算总平方和（SST），表示响应变量的总变异。
然后，我们需要计算因素A的平方和（SSA），表示因素A对响应变量的影响，以及因素B的平方和（SSB），表示因素B对响应变量的影响。
同时，我们还需要计算交互作用的平方和（SSAB），表示因素A和因素B之间的交互作用对响应变量的影响。
接下来，我们可以计算各个平方和的自由度和均方差，从而得到F值。
F值可以用来判断因素对响应变量的影响是否显著。
如果F值大于临界值，则说明该因素对响应变量的影响是显著的。
最后，我们可以进行多重比较，比较每个因素水平之间的差异。
多重比较可以帮助我们确定哪些因素水平之间的差异是显著的。
通过以上的分析，我们可以得出因素A、因素B和响应变量Y之间的关系。
同时，我们还可以根据多重比较的结果，确定哪些因素水平之间的差异是显著的。
总结起来，本例题分析主要涉及到正交试验设计中的方差分析。
通过对两个因素和一个响应变量进行分析，我们可以确定因素对响应变量的影响是否显著，并确定哪些因素水平之间的差异是显著的。
第六章 方差分析与正交试验设计
第六章 方差分析与正交试验设计在生产实践和科学研究中，经常要分析各种因素对试验指标是否有显著的影响。
例如，工业生产中，需要研究各种不同的配料方案对生产出的产品的质量有无显著差异，从中筛选出较好的原料配方；农业生产中，为了提高农作物的产量，需要考察不同的种子、不同数量的肥料对农作物产量的影响，并从中确定最适宜该地区种植的农作物品种和施肥数量。
要解决诸如上述问题，一方面需要设计一个试验，使其充分反映各因素的作用，并力求试验次数尽可能少，以便节省各种资源和成本；另一方面就是要对试验结果数据进行合理的分析，以便确定各因素对试验指标的影响程度。
§6.1 单因素方差分析仅考虑一个因素A 对试验指标有无显著影响，可以让A 取r 个水平：r A A A ,,,21 ，在水平i A 下进行i n 次试验，称为单因素试验，试验结果观测数据ij x 列于下表：并设在水平i A 下的数据i in i i x x x ,,21来自总体),(~2σμi i N X ，),,2,1(r i =。
检验如下假设：r H μμμ=== 210:， r H μμμ,,,:211 不全相等 检验统计量为),1(~)/()1/(r n r F r n S r S F e A ----=其中21211)()(x x n x x S iri i ri n j i A i-=-=∑∑∑===，称为组间差平方和。
211)(i ri n j ije x xS i-=∑∑==，称为组内差平方和。
这里 ∑==ri i n n 1，∑==in j ij i i x n x 11，∑∑===r i n j ij ix n x 111。
对于给定的显著性水平)05.001.0(或=αα，如果),1(r n r F F -->α，则拒绝0H ，即认为因素A 对试验指标有显著影响。
实际计算时，可事先对原始数据作如下处理：ba x x ij ij -='再进行计算，不会影响F 值的大小。
正交设计与方差分析
正交设计适用于多因素、多水平的试验安排，而方差分析 适用于检验数据间的差异和因素显著性。
04
正交设计与方差分析的实例
正交设计实例
实验设计
正交设计是一种实验设计方法， 通过选择合适的正交表，安排多 因素多水平的实验，以最小实验 次数获得尽可能多的信息。
特点
正交设计具有均衡分散、整齐可 比的特点，能够快速有效地找到 最优方案。
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复合正交设计
适用于多个因素，每个因素有多个水平的实验。
混合水平正交设计
适用于某些因素水平较多，而其他因素水平较少 的实验。
02
方差分析简介
方差分析的定义
• 方差分析（ANOVA）是一种统计分析方法，用于比较两 个或多个组之间的平均值差异是否显著。它通过分析数据 的变异来源，将总变异分解为组间变异和组内变异，从而 评估不同组之间的差异是否具有统计意义。
适用范围有限
正交设计主要适用于多因素、多水平的实验设计，对于其他类型 的实验可能不太适用。
对实验条件要求较高
正交设计要求实验条件相同，对于实验条件不易控制的情况可能不 太适用。
对实验结果分析要求较高
正交设计需要对实验结果进行复杂的统计分析，对于数据分析能力 要求较高。
正交设计与方差分析的发展趋势
多元化
正交设计与方差分析在未来的应用前景
科学研究
正交设计与方差分析在科学研究领域的应用将会越来越广泛，特别是在生物、化学、物理 等领域。
工业生产
工业生产中需要进行大量的实验研究和数据分析，正交设计与方差分析可以为工业生产提 供有效的实验设计和数据分析方法。
数据分析
正交设计与方差分析作为一种统计分析方法，在数据分析领域的应用将会越来越广泛。
第十章 方差分析与正交试验设计
第十章方差分析与正交试验设计方差分析与试验设计是英国统计学家和遗传学家费希尔进行农业试验发展起来的通过试验获取数据并进行分析的统计方法。
方差分析讨论的是生产和科学试验中有哪些因素对试验结果有显著作用，哪些因素没有显著作用。
讨论的是一个因素对试验结果是否有影响称为一元方差分析，讨论的是多个因素对试验结果是否有影响称为多元方差分析．对于因素多于两个的方差分析，公式变得相当复杂，试验次数较多，我们介绍一个试验次数少的试验设计方案，正交试验设计。
10．1 一元方差分析人们常常通过试验来考察了解各种因素对产品或成品的性能，成本、产量等的影响，我们把性能、成本、产量等统称为试验指标。
有些指标可以直接用数量表示，称为定量指标；不能直接用数量表示的，称为定性指标，可按评定结果打出分数或评出等级，这时就能用数量表示了。
在试验中，影响试验指标的原因称为因素。
因素在试验中所处的各种状态称为因素的水平，某个因素在试验中需要考察它的几种状态，就称它为几水平的因素。
在生产实践和科学试验中，人们经常要研究这样的问题：如果改变生产条件是否会对产品（指标）产生显著影响?如果改变试验条件是否会对试验结果（指标）产生显著影响?方差分析的作用就在于通过对试验数据的统计分析，从而推断试验数据间的差异是由于生产条件的改变还是由于随机误差的影响，并分析出最佳的试验条件。
为此弄清楚方差分析处理问题的基本思想，下面举例说明。
例10.1.1 某灯泡厂用四种不同配料方案制成的灯丝生产四批灯泡,在每批，其中下标i表示第i批灯泡中取若干个做寿命试验，它们的寿命分别记为xij灯泡，第二个下标j表示第j次试验。
具体数据如下表10.1.1 四批灯泡的寿命试验表响。
在这里灯泡的寿命就是指标，灯泡品种就是因子，四种不同品种的灯泡就是四个水平,因此这是一个单因子四水平试验。
我们将每一种配料制成的灯泡，其寿命看成同一总体，而不同品种的灯泡就是不同总体，因而出现四个不同总体。
正交试验设计2正交试验数据方差分析和贡献率分析
正交试验设计2正交试验数据方差分析和贡献率分析正交试验设计是一种实验设计方法，通过选择适当的试验水平组合和设置统计模型，以减少试验阶段的试验次数和工作量，提高试验的效率和准确性。
正交设计通过对变量进行排列组合，使各变量的效应独立出现并减少副效应的影响，从而使实验结果更加可靠。
正交设计数据分析方法方差分析(ANOVA)是一种统计方法，用于测试在不同因素水平下的平均值是否相等。
在正交试验中，方差分析可以用于测试各个因子对试验结果的影响是否显著。
方差分析通常包括总体均值检验、各因子的效应检验以及误差项的检验。
通过方差分析可以确定哪些因子对试验结果的影响是显著的，进而确定最佳的试验条件。
贡献率分析是一种用于确定各个因子对试验结果的贡献程度的方法。
贡献率分析可以通过计算各个因子的均方根(RMS)值来确定各个因子的贡献程度。
贡献率可以用来排除一些不显著的因子，从而进一步优化试验条件。
1.节省试验次数和工作量：由于正交设计能够减少变量之间的相关性，可以通过较少的试验次数得到可靠的结果。
2.减少误差项：正交设计通过考虑副效应的影响，减少了试验误差的可能性，提高了数据的可靠性。
3.确定关键因素：正交设计通过方差分析和贡献率分析，可以确定对试验结果有着显著影响的关键因素，从而进行进一步优化。
4.灵活性：正交设计可以根据实验需求进行灵活的调整和改变，以适应多样的试验条件和目标。
总结正交试验设计是一种有效的实验设计方法，可用于减少试验次数和工作量，提高试验效率和准确性。
方差分析和贡献率分析是对正交设计数据进行进一步分析和总结的重要工具，可以帮助确定关键因素和优化试验条件。
正交试验设计能够在实验设计的早期阶段对各个因子进行全面考虑，从而为实验结果的有效性和可靠性打下基础。
正交试验设计中的方差分析
目的
通过方差分析，可以确定不同组之间 的平均值差异是否由随机误差引起， 还是由处理因素或自变量引起。
方差分析的数学模型
数学模型
方差分析使用数学模型来描述数据之间的关系，特别是不同组之间的平均值差异。模型通常包括组间差异和组内 差异两部分。
医学研究
通过正交试验设计中的方差分析，研究不同治疗方案、药物剂量等因素对疾病治疗效果的影响，为临床 治疗提供科学依据。
方差分析的局限性
04
方差分析对数据的要求
独立性
数据必须是相互独立的，不存 在相互关联或依赖关系。
正态性
数据应符合正态分布，才能保 证统计推断的准确性。
同方差性
各组数据的方差应相等，否则 可能导致误判。
制定试验方案
根据正交表设计试验方案，确定每个因素的每个 水平。
实施试验
按照试验方案进行试验，记录每个试验的结果。
方差分析
利用方差分析法对试验结果进行分析，确定各因 素对试验结果的影响程度和显著性。
优化方案
根据方差分析结果，优化试验方案，进行下一步试验。
方差分析的基本原理
02
方差分析的定义与目的
定义
拉丁方设计方差分
析
适用于需要控制试验条件的试验， 通过拉丁方设计平衡试验条件和 试验误差。
正交试验设计中的方差分析步骤
确定试验因素和水平
根据研究目的和实际情况确定试验因 素和水平。
制定正交表
根据试验因素和水平选择合适的正交 表。
安排试验
按照正交表进行试验，记录试验数据。
方差分析
对试验数据进行方差分析，包括自由 度、离均平方和、均方、F值等计算。
QC工具方法培训-正交试验、方差分析
0.381 0.487
125
0.174
11
0.553 0.684
26
0.374 0.478
150
0.159
12
0.532 0.661
27
0.367 0.470
200
0.138
13
0.512 0.641
28
0.361 0.463
300
0.113
14
0.497 0.623
29
0.355 0.456
400
652 4.922819 0.035945 4.256495
9
132.4444
总计
2496
11
设α=0.05，则 F1-0.05(2,9)=4.26 拒绝原假设
13
第一节 方差分析
水平
数据
课堂练习： A1 6
5
7
A2 2
1
3
方差分析：单因素方差分析
SUMMARY
组
观测数 求和
A1
3
18
A2
3
6
方差分析
0.095
15
0.482 0.606
30
0.349 0.449 1000 0.062
1%
0.418 0.393 0.372 0.354 0.325 0.302 0.283 0.267 0.254 0.228 0.208 0.181 0.143 0.123 0.081
21
第二节 回归分析
(三) 一元线性回归方程——定量分析
i1 j 1
16
第一节 方差分析
水平
A1：原结构 A2：改进方案1 A3：改进方案2
第4章 方差分析、正交试验设计
r r
i 2 ( X ij X i )( X i X ) 2[( X i X ) ( X ij X i )] 其中： 2 ( X ij X i )(X i X ) 21[(X i X )1( X ij X i )] 其中： i 1 j 1 i j
r i 1 j 1
i
j n 1 r ni n i 1 11r X X ij ni X i n i 1 j 1 n i 1
X rX 1 r n X 1 r n X ij i i
i 1
i 1 QT ( jX1ij X ) 2
r
i 1 j 1 r r
ni ni
i 1
j 1
r
i 1
j 1
i 1 i 1
E、
QE
2 [( X i X )(ni X i ni X i )] 0
i 1
i
Ar
QT QE QA
QA
r n r 于是，总离差平方和被分解为组内离差平方和与 ( X ij X i )2 ni ( X i X )2 从而： QT i 1 j 1 i 1 组间离差平方和之和。 QE ——反映了 ij 的作用 ②组内离差平方和 ②组内离差平方和QQE——反映了 的作用 ②组内离差平方和 E ——反映了 ij 的作用 ②组内离差平方和QEEE ——反映了ijij的作用 ②组内离差平方和 Q ——反映了 ij ij 的作用 r ②组内离差平方和 ③分解定理 QA 2 Q E——反映了的作用 QEn、 X ) ②组内离差平方和Q ——反映了 )] n ( ) ij 的作用 QEr ( X ij nn [( ) ( i n r r r rn 2 2 2 i 1 ( jXX X )) 2 ( X 1 n Q r ) QQQ ( X ij X 设 [( Yn ( 立 ( ij) ,ij ) 2 [( ( ( )] , ) ) ) (Q 2 (i ~ ( E 理 ( Q 定 E ((XijX：XiX)))2Y11r,Yn12,i相)互独)])]QiAr( N(( i )i ) 2 4.1.1 X i j [([( QT)ij( E i ， Yjn (0 )1 ， )] )] QE i 11j j11 ij X i i[( i ij ) ( i i )] 1 ij i i i) ③组间离差平方和1Qj 1 ——反映了 i 的作用. ii 1j11j 11 A i 1 j 1 i 2 2 Q A——反映了 Y 2 ~ 2 (n) ， 又 若 ③组间离差平方和 是 r——反映了的作用. i ③组间离差平方和 QQ A——反映了 的作用. 1,2,n,于是，总离差平方和被分解为组内离差平方和 n ， 于 Q ——反映了i 的作用. n ③组间离差平方和 r ③组间离差平方和 A A Q Y1 Y22 ③组间离差平方和 QA ——反映了i iri i的作用. 的作用. 2 rr rr nn Q ni ( X i 2X ) ni的作用.i ( )]2 i [( i ③组间离差平方和rrr A ——反映了 QA r ( X i X ) rn n QQ1 (( Xi i ) 2 i ( X i QiX 2 2, ni 1, n 的线性组合的 X 22 r i i QA rnQ21X X )Q2，nn1 ( X iX )是 Yr2 , Y )])] 2 ( Q A ( X X2) n ( X X ) 2 Y1 n r[([([( ( )] 其中 ) i 1 j Q 组间离差平方和之和。 nn ( ( )] 2 nj j 1 X i X ) i 1 1r ni ( Xi X ) 2 Q A r ii1 1( r [( i 1
正交试验设计及其方差分析
第三节正交试验设计及其方差分析在工农业生产和科学实验中,为改革旧工艺，寻求最优生产条件等,经常要做许多试验,而影响这些试验结果的因素很多，我们把含有两个以上因素的试验称为多因素试验.前两节讨论的单因素试验和双因素试验均属于全面试验（即每一个因素的各种水平的相互搭配都要进行试验),多因素试验由于要考虑的因素较多,当每个因素的水平数较大时，若进行全面试验，则试验次数将会更大.因此，对于多因素试验，存在一个如何安排好试验的问题。
正交试验设计是研究和处理多因素试验的一种科学方法，它利用一套现存规格化的表——正交表,来安排试验，通过少量的试验,获得满意的试验结果。
1.正交试验设计的基本方法正交试验设计包含两个内容：（1）怎样安排试验方案;（2）如何分析试验结果.先介绍正交表.正交表是预先编制好的一种表格。
比如表9—17即为正交表L4（23)，其中字母L表示正交，它的3个数字有3种不同的含义：（1) L4（23)表的结构:有4行、3列，表中出现2个反映水平的数码1，2.列数↓L4 （23)↑↑行数水平数（2) L4（23）表的用法：做4次试验，最多可安排2水平的因素3个。
最多能安排的因素数↓L4（23）↑↑试验次数水平数（3) L4（23）表的效率:3个2水平的因素.它的全面试验数为23=8次,使用正交表只需从8次试验中选出4次来做试验，效率是高的。
L4（23)↑↑实际试验数理论上的试验数正交表的特点:（1）表中任一列,不同数字出现的次数相同.如正交表L4（23)中，数字1，2在每列中均出现2次.（2）表中任两列，其横向形成的有序数对出现的次数相同.如表L4（23）中任意两列，数字1，2间的搭配是均衡的.凡满足上述两性质的表都称为正交表（Orthogonal table）.常用的正交表有L9（34），L8（27），L16（45）等,见附表。
用正交表来安排试验的方法，就叫正交试验设计.一般正交表L p(n m）中,p=m（n—1)+1.下面通过实例来说明如何用正交表来安排试验。
方差分析与正交试验设计
第七章 方差分析与正交试验设计
一 基 本 要 求
1．了解单因素试验的方差分析；会利用正交表安排试验设计。 2．了解双因素无重复试验的方差分析及双因素有重复试验的方差分析。
二
重 点 与 难 点
重点：正确理解方差分析的基本思想及解决简单实际问题一般步骤。 难点：因子间有交互作用的正交试验设计及方差分析。
j = 1,2,3,L , r ）。设对每一个水平组合 Ai B j 做了 n 次试验（这里只讨论每个水
平所作试验次数相同的情形），试验结果为 yij1 , yij 2 ,L , yijn （ i = 1,2,3,L , k ；
j = 1,2,3,L , r ）。假定对水平组合 Ai B j 试验结果的理论值为 µ ij ，即 Eyijl = µ ij ，
$ =y −y $ = y ，α $ i = yi⋅ − y ， β µ j ⋅j $ ij = yij − yi⋅ − y⋅ j + y i = 1,2,L , k；j = 1,2,L , r γ
（7-11）
n
其中， y =
1 k r n 1 r n 1 y ， y = yijl ， y⋅ j = ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ i⋅ ijl nkr i =1 j =1 l =1 nr j =1 l =1 nk
—151—
方差分析与正交试验设计
差异，这是由随机误差所引起的，因此称为误差平方和，有时也称为组内差。
2 2 一定时，若 而 S 组间 = r ∑ ( y i − y ) 2 则是由 A 的不同水平变化所引起的。所以 S 总 i =1 2 2 A 的不同水平引起的变化非常显著时，则 S 组间 较大，相应地 S 误 就较小；而 2 2 当因子 A 的不同水平引起的变化不显著时，则 S 组间 较小，相应地 S 误 就较大， 2 即数据的差别主要是由随机误差造成的。这样一来我们就可以通过比较 S 组间 2 与 S误 的相对大小，来检验因子水平改变时引起的差异是否显著。记 n = kr , k
正交设计试验资料的方差分析
数据整理
将收集到的数据整理成 表格形式，便于后续分 析。
数据筛选
对异常值进行筛选和处 理，确保数据质量。
正交设计试验资料的方差分析过程
确定试验因素和水平
明确试验因素和各因素的水平， 为后续分析提供基础。
计算各因素的效应值
根据试验结果，计算各因素的效 应值。
计算误差平方和
根据效应值和水平，计算误差平 方和。
跨学科融合
标准化与规范化
结合其他学科的理论和方法，拓展正交设 计试验的应用领域，推动多学科交叉融合 发展。
制定和完善正交设计试验的标准和规范， 提高试验的可靠性和可比性。
正交设计试验资料方差分析的实际应用价值
科学研究
在科学研究领域，正交设计 试验资料方差分析可用于探 索和验证科学假设，揭示现 象背后的机制和规律。
正交试验设计的基本原理
1 2
正交性原理
正交试验设计基于正交性原理，即每个因素在试 验中出现的次数相同，且各次出现的概率相等。
均匀分散原理
正交试验设计通过均匀分散原理，确保每个水平 在试验中都有均衡的分布，从而减少结果的偏差。
3
代表性原理
正交试验设计通过代表性原理，选取具有代表性 的样本点进行试验，以反映整体情况。
正交设计试验资料的方差 分析
• 正交设计试验概述 • 方差分析基础 • 正交设计试验资料的方差分析方法 • 实例分析 • 总结与展望
01
正交设计试验概述
正交试验设计的基本概念
正交试验设计是一种统计技术，用于 在多因素、多水平条件下进行试验， 以最小化试验次数，同时最大化信息 收集。
它利用正交表来安排试验，确保每个 因素的每个水平都被等可能地选取， 从而得到全面而均衡的试验结果。
正交实验设计与方差分析2024
引言概述正交实验设计与方差分析是一种常用于实验设计和数据分析的统计方法。
这种方法能够帮助研究人员系统地设计实验、收集数据，并通过方差分析对数据进行统计分析。
正交实验设计适用于多因素实验设计，能够探究多个因素对结果变量的影响，并确定各个因素对结果变量的相对重要性。
方差分析则是用来比较不同组别之间的均值差异是否显著，并推断这些差异是否由于随机因素引起。
正文内容1.正交实验设计的基本原理1.1.因素和水平1.2.正交实验设计的完备性和平衡性1.3.主效应和交互效应的概念1.4.正交表和正交实验设计的选择1.5.正交实验设计的优点和局限性2.正交实验设计的建立步骤2.1.确定要研究的因素和水平2.2.选择适当的正交表2.3.构建试验方案2.4.进行实验和数据收集2.5.数据分析和结果解释3.方差分析的基本原理3.1.单因素方差分析3.2.多因素方差分析3.3.方差分析中的假设检验3.4.方差分析的效应量和效应大小3.5.方差分析结果的解释和报告4.正交实验设计与方差分析的应用领域4.1.医学研究4.2.工程设计4.3.农业实验4.4.社会科学研究4.5.生产过程优化5.正交实验设计与方差分析的案例分析5.1.一个药物疗效评价的正交实验设计案例5.2.一个工程设计的正交实验设计案例5.3.一个农业实验的正交实验设计案例5.4.一个社会科学研究的正交实验设计案例5.5.一个生产过程优化的正交实验设计案例总结正交实验设计与方差分析是一种重要的统计方法，在实验设计和数据分析中具有广泛的应用。
通过正交实验设计，研究人员能够系统地探究多个因素对结果变量的影响，并确定各个因素的相对重要性。
方差分析则用于比较不同组别之间的均值差异，并推断这些差异是否显著。
正交实验设计与方差分析能够帮助研究人员有效地设计实验、收集数据并进行统计分析，为科学研究和应用提供有力支持。
在不同领域，如医学研究、工程设计、农业实验、社会科学研究和生产过程优化等方面都有广泛的应用。
正交试验设计结果的方差分析
n
T xi i 1
②各因素引起的离差平方和
• 第j列所引起的离差平方和 ：
S j
1 r
(
m p1
K
2 pj
)
T2 n
k
ST S j Se j 1
③交互作用的离差平方和
• 若交互作用只占有一列，则其离差平方和就等于 所列离差平方和之和，
第6章 正交试验设计结果的方差分析
正交试验设计结果的方差分析法
• 能估计误差的大小 • 能精确地估计各因素的试验结果影响的重要程度
6.1 方差分析的基本步骤
• 正交试验多因素的方差分析，其基本思想是先计算出各因素 和误差的离差平方和，然后求出自由度、均方、F值，最后进 行F检验。
• 如果用正交表Ln(mk)来安排试验，则因素的水平数为m，正交 表的列数为k，总试验次数为n，试验结果为xi(i＝1~n)。
– 若m ＝ 2， fA×B＝fj – 若m ＝ 3， fA×B＝ 2fj= fA ＋fB ④误差的自由度：
fe＝空白列自由度之和
（3）计算均方
•
以A因素为例
：VA
SA fA
以A×B为例 ：
VAB
S AB f AB
误差的均方：
Ve
Se fe
注意：
• 若某因素或交互作用的均方≤Ve，则应将它们归入误差列 • 计算新的误差、均方
（6）列方差分析表
6.2 二水平正交试验的方差分析
• 正交表中任一列对应的离差平方和：
例6-1
6.2.2 三水平正交试验的方差分析
• m=3，所以任一列的离差平方和：
例6-3 注意： ➢ 交互作用的方差分析 ➢ 有交互作用时，优方案的确定
6.3 混合水平正交试验的方差分析
方差分析与正交试验设计 - 副本幻灯片
5、双因素试验、多因素试验
如果在试验中所要考察的影响指标的因素 有两个〔或多个〕，这种试验为双〔多〕因素试 验。
可采用双〔多〕因素方差分析方法。
二、单因素方差分析
某试验中只考察因素A对指标的影响，设因素A有 r个水平，在每一水平下进展m次重复试验，结果
为 Y i1,Y i2, ,Y imi 1 ,2 , ,r
方差分析的根本思想:
根据波动的来源，将全部观察值总的偏差平方 和及自由度分解为两个或多个局部，除随机误 差外，其余每个局部的波动可由某些特定因素 的作用加以解释。
通过比较不同来源波动的方差，借助F分布作 出统计推断，从而判断某因素对观察指标有无 影响。
在一定置信区间下，确定对指标有影响的显 著因素，确定显著因素的最佳水平。
第一节 方差分析
一、几个根本概念 1、指标：衡量试验效果的特征量。产品的质量特
性一般会有多个质量指标。 2、因素：影响试验效果的条件〔可控、不可控〕
。 3、水平：因素所处的各个状态〔等级〕。
t水平因素：因素在试验中需要考察 单t 种因状素态、三水平
4、单因素试验
单因素试验：一个试验中考察的因素只有一个。
检验如下假设是否为真：
H 0 ： 1 2 r
当 H0不真时，表示不同 水平下指标的均值有显著
H 1： 1,2, ,r不全相 差著异的等 ，，此否时则称称因因素素AA不是显显