立体几何初步学生版习题

立体几何初步1）部分与整体1.（2009江西卷理）如图，正四面体的顶点，，分别在两两垂直的三条射线，，上，则在下列命题中，错误．．的为 （ ） A ．是正三棱锥 B ．直线∥平面 C ．直线与所成的角是 D ．AC BD ⊥2、一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为a ， 则这个球的体积为______3、三棱锥P ABC -内接于球，,,1AB AC PA ABC PA AB AC ⊥⊥===面 则,B C 两点的球面距离（ ）(A )4π (B )3π (C )2π(D )42π体积与面积1如图，已知球是棱长为1 的正方体的内切球，则平面截球的截面面积为_______2如图,正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1,P 为BC 的中点,Q 为线段1CC 上的动点,过点A,P,Q 的平面截该正方体所得的截面记为S.则下列命题正确的是_____(写出所有正确命题的编号).ABCD A B C Ox Oy Oz O ABC -OB ACD AD OB 45 yxzOAB CDO 1111ABCD A B C D -1ACD OO A B C DA 1B 1C 1D 1·3 在四面体ABCD 中，截面AEF 经过四面体内切球（与四个面都相切）球心O ，且与BC 、DC 分别截于E 、F ,如果截面将四面体分为体积相等的两部分，设四棱锥A BEFD -与三棱锥A EFC -的表面积分别为1S 、2S ，则必有（ ）A. 1S <2SB. 1S >2SC. 1S =2SD. 1S 、2S 的大小关系不能确定4.将边长为a 的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，使BD=a ，则三棱锥D-ABC 的体积为______5.在多面体ABCDEF ,四边形ABCD 为边长3的正方形，3//,2AB EF EF =,EF 与面AC 的距离2，面体ABCDEF 的体积为_____(10)如图，在体积为1的三棱锥A —BCD 侧棱AB 、AC 、AD 上分别取点E 、F 、G ， 使AE : EB=AF : FC=AG : GD=2 : 1，记O 为三平面BCG 、CDE 、DBF 的交点，则三棱锥O —BCD 的体积等于 （ ）A ．91 B ．81 C ． 71 D ．41投影与视图1、已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的全面积为A. B ．C. 142342++ D. 144342++DGAC EFOB2.某三棱锥的三视图如图所示，（正方形边长为1）则该三棱锥的体积为________________3.（某四面体的三视图如图所示．该四面体的六条棱的长度中，最大的是（ C ）（A）B）（C）（D）4.的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a 和b 的线段，则a +b 的最大值为A ．B ．C ．D ．5关于直角AOB 在定平面α内的射影有如下判断：①可能是0°的角；②可能是锐角；③可能是直角；④可能是钝角；⑤可能是180°的角.其中正确判断的序号是平行与垂直 1．已知为异面直线,平面,平面.直线满足,,,l m l n l l αβ⊥⊥⊄⊄,则 （ ）A ．,且B ．,且C ．与相交,且交线垂直于 D ．与相交,且交线平行于2、设a 、b 是异面直线，给出下列命题：① 经过直线a 有且仅有一个平面平行于直线b ；4② 经过直线a 有且仅有一个平面垂直于直线b ； ③ 存在分别经过直线a 和b 的两个平行平面；④ 存在分别经过直线a 和b 的两个互相垂直平面。

其中正确的．．．命题为（ ） A 、①②③ B 、②③ C 、①③④ D 、仅① 3.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱线长为1，线 段11B D 上有两个动点E ，F ，且12EF =，则下列结论中错 误的是 （ ） A ．AC BE ⊥B ．//EF ABCD 平面C ．三棱锥A BEF -的体积为定值D ．△AEF 的面积与△BEF 的面积相等4. 如图，平面α⊥平面β，αβ= 直线l ，,A C 是α内不同的两点,,B D 是β内不同的两点，且,,,A B C D ∉直线l , ,M N 分别是线段,AB CD 的中点. 下列判断正确的是（ ）A ．当2CD AB =时，,M N 两点不可能重合 B ．,M N 两点可能重合，但此时直线AC 与直线l 不可能相交C ．当AB 与CD 相交，直线AC 平行于l 时，直线BD 可以与l 相交D ．当,AB CD 是异面直线时，MN 可能与l 平行5 ．（2012年高考（浙江理））已知矩形ABCD ,AB =1,BC将∆ABD 沿矩形的对角线BD 所在的直线进行翻着,在翻着过程中,（ ）A ．存在某个位置,使得直线AC 与直线BD 垂直B ．存在某个位置,使得直线AB 与直线CD 垂直C ．存在某个位置,使得直线AD 与直线BC 垂直D ．对任意位置,三直线“AC 与BD ”,“AB 与CD ”,“AD 与BC ”均不垂直10.设123,,l l l 为空间中三条互相平行且两两间的距离分别为4，5，6的直线.给出下列三个结论：①i i A l ∃∈(1,2,3)i =，使得123A A A ∆是直角三角形；βαlBACDMN· ·②i i A l ∃∈(1,2,3)i =，使得123A A A ∆是等边三角形；③三条直线上存在四点(1,2,3,4)i A i =，使得四面体1234A A A A 为在一个顶点处的三条棱两两互相垂直的四面体.其中，所有正确结论的序号是（ ） A ．① 轨迹相关1. （2004如图，定点A 和且AC PC ⊥A. C. 点2． 如图，正方体1PE AC ⊥于A ．线段物线的一部分3.若三棱锥A-BCD 内一动点P 到底面BCD 的距离与到棱AB 的距离相等，则动点P 的轨迹与△ABC （ D ）（A ） （B ）4..正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，在正方体表面上与点A 距离是332的点形成一条曲线，这条曲线的长度是 ( ) A.π33 B.π23C. π3D.π3657.已知三棱锥，两两垂直且长度均为6，长为2的线段的一个端点在棱上运动，另一个端点在内运动（含边界），则的中点的轨迹与三棱锥的面所围成的几何体的体积为( )A ．B ．或C ．D ．或变化与最值1．（2012石景山一模文科）如图，已知平面l αβ= ，A 、B 是l 上的两个 点，C 、D 在平面β内，且,,DA CB αα⊥⊥ 4AD =，6,8AB BC ==，在平面α上有一个 动点P ，使得APD BPC ∠=∠，则PAB ∆面积 的最大值是（ ） A ．239 B ．536C ．12D ．24 2.在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点1P ，2P 分别是线段AB ，1BD （不包括端点）上的动点，且线段12P P 平行于平面11A ADD ，则四面体121PP AB 的体积的最大值是 A ．124 B ．112 C ．16 D ．123、如图,已知正四棱锥S-ABCD 所有棱长都为1,点E 是侧棱SC 上一动点,过点E 垂直于SC 的截面将正四棱锥分成上、下两部分 （1）截面可能是几边形_____________（2）.记SE=x(0<x<1),截面下面部分的体积为V(x),则函数y=V(x)的图像大致为( A)A BCO -OAOB OC 、、MN M OA N BCO ∆MN P 6π6π636π+366π-6π366π-αAC BDP β4．在长方形中，，，为的中点，为线段（端 点除外）上一动点．现将沿折起，使平面平面．在平面内过点作，为垂足．设，则的取值范围是 ． 6 正方体的棱长为，是它的内切球的一条弦（我们把球面上任意两点之间的线段称为球的弦），为正方体表面上的动点，当弦的长度最大时，PM PN的取值范围是 ．7．（2012年丰台区高三期末考试理8）如图，P 是正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1对角线AC 1上 一动点，设AP 的长度为x ，若△PBD 的面积为f(x)，则f(x)的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．8．（2012年朝阳区高三期末考试理7）已知正方形ABCD的边长为ABC ∆沿对角线AC 折起，使平面ABC ⊥平面ACD ，得到如图所示的三棱锥B ACD -．若O 为AC 边的中点，M ，N 分别为线段DC ，BO 上的动点（不包括端点），且BN CM =.设BN x =，则三棱锥N AMC -的体积()y f x =的函数图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．ABCD 2AB =1BC =E DC F EC AFD ∆AF ABD ⊥ABC ABD D DK AB ⊥K AK t =t 1111D C B A ABCD -2MN PMN1A空间平面化1、已知////D C B A ABCD -为长方体，对角线/AC 与平面BD A /相交于点Ｇ，则Ｇ与BD A /∆的（ ）Ａ．垂心； Ｂ．重心； Ｃ．内心； Ｄ．外心；2.如图所示，在正方体中，是棱的中点，是侧面上的动点，且面，则最大与最小值是_______3.如图，正方体''''-ABCD A B C D 边长为2，N 是底面正方形ABCD 面上的动点，M 是'B B 的中点，若AM ⊥'D N ，'D N 最大值为4、与正方体的三条棱、、所在 直线的距离相等的点( )（A ）有且只有1个 （B ）有且只有2个 （C ）有且只有3个 （D ）有无数个 5.在棱长为1的正方体''''ABCD A B C D -中，若点P 是棱上一点，则满足'2PA PC +=的点P 的个数为（ ）A ．4B ． 6C ． 8 D． 126．如图,在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,E 为BC 上,点P 到直线CC 1的距离的最小值为__________.1111ABCD A B C D -E 1DD F 11CDD C 1B F ∥1A BE 1B F 1111ABCD A B C D -AB 1CC 11A D Ａ ＢＣＡＢＣＤＤA1B 1D 1C 1AB CD E A'B'C'D'ABC D7.如图，四面体OABC 的三条棱OC OB OA ,,两两垂直，2==OB OA ,3=OC ，D 为四面体OABC 外一点.给出下列命题.①不存在点D ,使四面体有三个面是直角三角形②不存在点D ,使四面体是正三棱锥③存在点D ,使CD 与AB 垂直并且相等④存在无数个点D ,使点O 在四面体的外接球面上 其中真命题的序号是( ) （A ）①②（B ）②③（C ）③（D ）③④8连结球面上两点的线段称为球的弦．半径为4的球的两条弦AB 、CD 的长度分别等于27、43，M 、N 分别为AB 、CD 的中点，每条弦的两端都在球面上运动，有下列四个命题： ①弦AB 、CD 可能相交于点M ②弦AB 、CD 可能相交于点N③MN 的最大值为5 ④MN 的最小值为l 其中真命题的个数为( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E 、F 分别为棱AA1，CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1、EF 、CD 都相交的直线（ ）A 不存在B 有且只有两条C 有且只有三条D 有无数条10.对于四面体ABCD ，下列命题正确的是_________（写出所有正确命题的编号）． ①相对棱AB 与CD 所在的直线异面；②由顶点A 作四面体的高，其垂足是BCD ∆的三条高线的交点；③若分别作ABC ∆和ABD ∆的边AB 上的高，则这两条高所在直线异面； ④分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点;⑤最长棱必有某个端点，由它引出的另两条棱的长度之和大于最长棱．1．如图所示，四边形EFGH 为空间四边形ABCD 的一个截面，若截面为平行四边形.（1）求证：AB ∥平面EFGH ，CD ∥平面EFGH .（2）若AB =4，CD =6，求四边形EFGH 周长的取值范围. （2、正方形ABCD 与正方形ABEF 所在平面相交于AB ，在AE ，BD 上各有一点P ，Q ，且AP ＝DQ ．求证PQ ∥平面BCE ．(用两种方法证明)3.如图，在正四面体PABC 中,点D ,E ,F ,G,M 分别是棱AP ,AC ,BC ,PB,AB 的中点. （Ⅰ）求证：DE ∥平面BCP ；（Ⅱ）求证：ABC PMC ⊥平面平面；ABCD ABCD ABCD OABDC（Ⅲ）求证：四边形DEFG 为矩形；4．（本小题共14分）如图，在底面为平行四边形的四棱锥P ABCD -中，AB AC ⊥，PA ⊥平面ABCD ，且PA AB =，点E 是PD 的中点． （Ⅰ）求证：AC PB ⊥；（Ⅱ）求证：PB ∥平面AEC ；5．（本小题共14分）如图，在直四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB=AD=2，DC=DC AD AA ⊥=,3,321，AC ⊥BD ，垂足为E.（Ⅰ）求证BD ⊥A 1C ；（Ⅱ）求证：面A 1BD ⊥面BDC 1的大小； (提示：证明A 1E ⊥C 1E) 6如图，在三棱锥P -ABC 中，AC =BC =2，∠ACB =90°， AP =BP =AB ，PC ⊥AC .（Ⅰ）求证：PC ⊥AC ；MP BCA ED（Ⅱ）求点C 到平面APB 的距离.7.如图，在三棱锥中，底面，点，分别在棱上，且（Ⅰ）求证：面AED ⊥平面；（Ⅱ）是否存在点使得面AED ⊥面PED ,若存在指明位置，若不存在说明理由. 证明：(1)略（2）做AE PC ⊥于，则面AED ⊥面PED ,证明如下：略8（2010北京理16）如图，正方形ABCD 和四边形ACEF 所在的平面互相垂直，CE AC ⊥，//EF AC，AB =1CE EF ==，（Ⅰ）求证：//AF 平面BDE ；（Ⅱ）求证：CF ⊥平面BDE ；（Ⅰ）提示：证//EG AF（Ⅱ）提示：证CF BD ⊥,CF EG ⊥9.【北京市昌平区2013届高三上学期期末理】在四棱锥E ABCD -中，底面ABCD 是正方形， ,AC BD O 与交于点EC ABCD F 底面，^为BE 的中点. （Ⅰ）求证：DE ∥平面ACF ；（Ⅱ）求证：BD AE ^；（Ⅲ）若,AB =在线段EO 上是否存在点G ，使CG BDE 平面^？若存在，求出EG EO的值，若不存在，请说明理由．10四棱锥S －ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，侧面SBC ⊥底面ABCD 。