2019年惠州市初三数学上期末一模试卷含答案

2019年惠州市初三数学上期末一模试卷含
答案
一、选择题
1 .若一元二次方程x 2
-2x+m=0有两个不相同的实数根，则实数 A. m>l B. 1 C. m> 1
D. m< 1
2 .下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是 （）
A.正三角形
B.平行四边形
C.正五边形
D,正六边形
3 . 一种药品原价每盒 25元，经过两次降价后每盒 16元，设两次降价的百分率
都为
x,则 x 满足等式()
A. 16(1+2x)=25 B, 25(1-2x)=16 C. 25(1-x)2=16 D, 16(1+x)2=25
BC 是直径，若/ D=34。

，则/ OAC 等于（
）
C. 72°
D, 56°
90。

，半径为4.如图2,将这张扇形纸片折叠，使
C. 110°
D. 55
点A 与点O 恰好重合，折痕为 CD,图中阴影为重合部分，则阴影部分的面积为（ m 的取值范围是（
6.如图1, 一个扇形纸片的圆心角为
A. 4—2m
B. 8- 473
C. 8- 273
3 3 3
2 ............. 」
7.一次函数y ax bx c（a 0）的图像如图所不，下列结论正确是
（）
8 D.—
3
A. abc 0
B. 2a b 0
C. 3a c 0
A.
12.如图，AB 为。

的直径，四边形 上，PD 与。

相切，D 为切点，若/
ABCD 为。

的内接四边形，点 BCD= 125°,则/ ADP 的大小为（
14 .抛物线y= - x 2
+bx+c 的部分图象如图所示，若 y>0,则x 的取值范围是
10.已知点 P （ - b, 2）与点Q （3, 2a ）关于原点对称点，则
b 的值分别是（ A. T 、3
11,与 y=2 B. 1、 — 3
C. - 1、— 3
D. 1、3
（x-1） 2+3形状相同的抛物线解析式为（ ）
A. y=1+ —x
2
B. y= (2x+1) 2
C. y= (x - 1) 2
D. y=2x 2
A. 25°
二、填空题
B . 40
° C. 35°
D. 30°
13.设a 、b 是方程x 2
x 2019
的两个实数根，则 a 1 b 1的值为
P 在BA 的延长线
D. ax 2 bx c 3 0有两个不相等的实数根
2
8.如图，二次函数 y ax bx c 的图象与x 轴相交于（-2, 0）和（4, 0）两点，当 函数值y>0时，自变x
C. x> 0 A. x< - 2 B. - 2vx<4
D. x>4
9
. 射击运动员射击一次，命中靶心 ”这个事件是（） 确定事件 B.必然事件 C.不可能事件
D.不确定事件
15.如图，AB是。

的直径，/ AOE=78。

，点C、D是弧BE的三等分点，则/
COE =
16.某地区2017年投入教育经费2 500万元，2019年计划投入教育经费3 025万元，则2017年至2019年，该地区投入教育经费的年平均增长率为 .
17. 4ABC中，Z A=90° , AB=AC,以A为圆心的圆切BC于点D,若BC=12cm,则。

A的半径为cm.
18.请你写出一个有一根为0的一元二次方程： .
19.若二次函数y=x2— 3x+3—m的图象经过原点，则m=.
20.如图，RtAOAB的顶点A （ - 2, 4）在抛物线y=ax2上，将RtAOAB绕点O顺时针旋转90。

，得到△ OCD,边CD与该抛物线交于点P,则点P的坐标为.
办
O *
三、解答题
21.已知二次函数y=2x2+m .
（1）若点（-2, y1）与（3, y2）在此二次函数的图象上，则y1 y2 （填多"、“=”
或2”）；
（2）如图，此二次函数的图象经过点（0, -4）,正方形ABCD的顶点C、D在x轴上，
A、B恰好在二次函数的图象上，求图中阴影部分的面积之和.
22.已知关于x的一元二次方程(a+c) x2+2bx+ (a-c) =0,其中a、b、c分别为祥BC三边的长.
(1)如果x=- 1是方程的根，试判断那BC的形状，并说明理由；
(2)如果方程有两个相等的实数根，试判断SBC的形状，并说明理由；
(3)如果那BC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根.
23.如图，已知AB是。

上的点，C是。

上的点，点D在AB的延长线上，
/ BCD= / BAC .
(1)求证：CD是。

的切线;
(2)若/ D=30 , BD=2,求图中阴影部分的面积.
24.某地区2013年投入教育经费2500万元，2015年投入教育经费3025万元.
(1)求2013年至2015年该地区投入教育经费的年平均增长率；
(2)根据(1)所得的年平均增长率，预计2016年该地区将投入教育经费多少万元25.已知关于x的一元二次方程x2+ (m+3) x+m+2 = 0.
(1)求证：无论m取何值，原方程总有两个实数根；
(2)若x1，x2是原方程的两根，且x12+x22 = 2,求m的值.
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一、选择题
1.D
解析：D
【解析】
分析：根据方程的系数结合根的判别式△> 0,即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出实数m的取值范围.
22x m0有两个不相同的实数根，
详解：..•方程
x
2
V 2 4m 0,
解得：mv1.
故选D.
点睛：本题考查了根的判别式，牢记§△> 0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键.
2.D
解析：D
【解析】 【分析】
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解. 【详解】
A.是轴对称图形，不是中心对称图形,
B.不是轴对称图形，是中心对称图形,
C.是轴对称图形，不是中心对称图形,
D.是轴对称图形，也是中心对称图形, 故答
案选：D.
【点睛】 本题考查的知识点是中心对称图形, 形，轴对称图形.
3. C
4. C
解析：C
OC.
/ COD=2/ CED=60 ,/ BOD=/ BOC+/ COD=110 ,故选 C.
5. D
解析：D
AOC ,再根据等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理即可解决
•. /ADC=34° , . AOC =2 Z ADC =68 ° •. OA=OC, OAC=/OCA -(180。

— 68。

)=56。

2 , 故选D .
【点睛】
本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属 于中考常考题型.
6. C
解析：C
故错误; 故错误; 故错误; 故正确
轴对称图形，解题的关键是熟练的掌握中心对称图
解析：C
【解析】解：第一次降价后的价格为:
25X (1-x),第二次降价后的价格为： 25X (1-
x) 2.
•••两次降价后的价格为
16 元，25 (1 - x) 2=16.故选 C.
根据圆周角定理求出/ 问题. 【详解】
试题分析：如图，连接 【考点】圆周角定理.
【解析】
【分析】
连接OD,根据勾股定理求出CD,根据直角三角形的性质求出/ AOD,根据扇形面积公
式、三角形面积公式计算，得到答案.
【详解】
解：连接OD, 在Rt^OCD 中，OC=2OD = 2
2 ，
・・./ODC = 30。

，CD= J OD2 OC22用
・ ./ COD = 60。

,
2
，阴影部分的面积=60一- 12 2 3= 8 2.3 ,
360 2 3
故选：C.
------ =
【点睛】
本题考查的是扇形面积计算、勾股定理，掌握扇形面积公式是解题的关键.
7. C
解析：C
【解析】
【分析】观察图象：开口向下得到a< 0;对称轴在y轴的右侧得到a、b异号，则b>0;
抛物线与y轴的交点在x轴的上方得到O 0,所以abc<。

；由对称轴为x= — =1,可得
2a
2a+b=0；当x=-1时图象在x轴下方得到y=a-b+cv0,结合b=-2a可得3a+cv0；观察图象可知抛物线的顶点为（1,3）,可得方程ax2bx c 3 0有两个相等的实数根，据此对各选项进行判断即可.
【详解】观察图象：开口向下得到av 0；对称轴在y轴的右侧得到a、b异号，则b>0；
抛物线与y轴的交点在x轴的上方得到c> 0,所以abcv 0,故A选项错误；
.•.对称轴x= 上-=1, .•.b=-2a,即2a+b=0,故B选项错误；
2a
当x=-1 时，y=a-b+cv0,又= b=-2a, 3a+cv0,故C 选项正确；
•••抛物线的顶点为(1,3),
，ax2bx c 3 0的解为x i=x2=1,即方程有两个相等的实数根，故D选项错误，
故选C.
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c (awq的图
象，当a>0,开口向上，函数有最小值，a<0,开口向下，函数有最大值；对称轴为直线
x= — , a与b同号，对称轴在y轴的左侧，a与b异号，对称轴在y轴的右侧；当c>
2a
0,抛物线与y轴的交点在x轴的上方；当△=b2-4ac>0,抛物线与x轴有两个交点.
8. B
解析：B
【解析】【分析】【详解】
当函数值y>0时，自变量x的取值范围是：-2vxv4.
故选B.
9. D
解析：D 【解析】
试题分析：射击运动员射击一次，命中靶心”这个事件是随机事件，属于不确定事件，
故选D.
考点：随机事件.
10.A
解析：A
【解析】【分析】
让两个横坐标相加得0,纵坐标相加得0即可求得a, b的值. 【详解】
解：: P (-b, 2)与点Q (3, 2a)关于原点对称点，. .-b+3=0, 2+2a=0, 解得a=-1, b=3, 故选A . 【点睛】
用到的知识点为：两点关于原点对称，这两点的横纵坐标均互为相反数；互为相反数的两个数和为0.
11.D
解析：D
【解析】
【分析】
抛物线的形状只是与a有关，a相等，形状就相同.
【详解】
y=2 (x - 1) 2+3 中,a=2 .
故选D.
【点睛】
本题考查了抛物线的形状与a的关系，比较简单.
12.C
解析：C
【解析】
【分析】
连接AC, OD,根据直径所对的圆周角是直角得到/ ACB是直角，求出/ ACD的度数，根
据圆周角定理求出/ AOD的度数，再利用切线的性质即可得到/ ADP的度数.
【详解】
连接AC, OD.
・. AB是直径，・・./ACB=90° ,
・./ ACD=125° - 90° =35° ,
・./AOD=2/ACD=70° .
・.OA=OD,
・./ OAD=Z ADO,
，/ADO=55° .
・••PD与。

相切,
・••ODXPD,
・・./ADP=90° - Z ADO=90° -55° =35° .
故选：C.
【点睛】
本题考查了切线的性质、圆周角定理及推论，正确作出辅助线是解答本题的关键.
二、填空题
13.-2017【解析】【分析】根据根与系数的关系可得出将其代入中即可得出结
论【详解】二•是方程的两个实数根••.一・故答案为：-2017【点睛】本题考查了根
与系数的关系牢记两根之和等于两根之积等于是解题的关键
解析：-2017
【解析】
【分析】
根据根与系数的关系可得出a b 1, ab 2019,将其代入
a 1
b 1 ab a b 1中即可得出结论.
【详解】
•「a、b是方程x2x2019 0的两个实数根，
• . a b 1 , ab 2019,
.a 1 b 1 ab a b 1 2019 1 1 2017.
故答案为：-2017.
【点睛】
b c
本题考查了根与系数的关系，牢记两根之和等于一，两根之积等于一”是解题的关键.
a a
14.-3<x<1【解析】试题分析：根据抛物线的对称轴为x=-1一个交点为（10）可推出另一交点为（-30）结合图象求出y>0时x的范围解：根据抛物
线的图象可知：抛物线的对称轴为x=- 1已知一个交点为（1
解析：—3vxv1
【解析】
试题分析：根据抛物线的对称轴为x=-1, 一个交点为（1, 0）,可推出另一交点为（-
3, 0）,结合图象求出y>0时，x的范围.
解：根据抛物线的图象可知：
抛物线的对称轴为x=- 1,已知一个交点为（1, 0）,
根据对称性，则另一交点为（- 3, 0）,
所以y>0时，x的取值范围是-3vxv 1.
故答案为-3<x<1.
考点：二次函数的图象.
15.680【解析】【分析】根据/AOE的度数求出劣弧的度数得到劣弧的度数根据圆心角弧弦的关系定理解答即可【详解】: / AOE=78」•劣弧的度数为
78、AB是。

的直径」•劣弧的度数为180°-78°=1
解析：68°
【解析】
【分析】
根据/ AOE的度数求出劣弧A E的度数，得到劣弧B E的度数，根据圆心角、弧、弦的关系定理解答即可.
【详解】
・「/AOE=78° , .••劣弧A E 的度数为78° .
.「AB是。

的直径，，劣弧？£的度数为180° -78° =102° .
•・•点C、D 是弧BE 的三等分点，・••/ COE 2 102。

=68 .
3
故答案为：68° .
【点睛】
本题考查了圆心角、弧、弦的关系定理，掌握在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等是解题的关键.
16.10【解析】【分析】设年平均增长率为x则经过两次变化后2019年的经费为2500(1+x)2; 2019年投入教育经费3025万元建立方程2500(1+x)2=3025求解即可【详解】解：设年平均增长
解析：10%
【解析】
【分析】
设年平均增长率为x,则经过两次变化后2019年的经费为2500(1+x)2;
2019年投入教育经费3025万元，建立方程2500(1+x) 2=3025,求解即可. 【详解】
解：设年平均增长率为x,得
2500(1+x) 2=3025,
解得x=0.1=10%,或x=-2.1 (不合题意舍去).
所以2017年到2019年该地区投入教育经费的年平均增长率为10%.
【点睛】
本题考查一元二次方程的应用--求平均变化率的方法，能够列出式子是解答本题的关键 .
17.【解析】【分析】由切线性质知AD±BC艮据AB= ACM得BD= CD-AD= BC =6【详解】解：如图连接AD则AD，BC「AB= AC； BD= CD= AD= BO 6故答案为：6【点睛】本题考查了圆的切线性
解析：【解析】
【分析】
由切线性质知ADXBC,根据AB = AC可得BD = CD = AD= - BC=6
2 ,
【详解】
解：如图，连接AD,
则ADXBC,
•.AB=AC,
• .BD = CD = AD= 1BC = 6, 2
故答案为：6.
D
【点睛】
本题考查了圆的切线性质，解题的关键在于掌握圆的切线性质^
18.【解析】【分析】根据一元二次方程定义只要是一元二次方程且有一根为
0即可【详解】可以是=0等故答案为：【点睛】本题考核知识点：一元二次方
程的根解题关键点：理解一元二次方程的意义
解析：x24x 0
【解析】
【分析】
根据一元二次方程定义，只要是一元二次方程，且有一根为0即可.
【详解】
可以是x2 4x 0 , x2 2x=0 等.
故答案为：x24x 0
【点睛】
本题考核知识点：一元二次方程的根.解题关键点：理解一元二次方程的意义.
19.【解析】【分析】此题可以将原点坐标（00）代入y=x2-3x+3-m求得m的
值即可【详解】由于二次函数y=x2-3x+3-m的图象经过原点把（00）代入
y=x2-3x+3-m 得：3-m=0 解得：m=
解析：【解析】
【分析】
此题可以将原点坐标（0, 0）代入y=x2-3x+3-m ,求得m的值即可.
【详解】
由于二次函数y=x2-3x+3-m的图象经过原点，
把（0, 0）代入y=x2-3x+3-m ,得：
3-m=0,
解得：m=3.
故答案为3.
【点睛】
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，通过代入点的坐标即可求解.
20.（2）【解析】由题意得：即点P的坐标
解析：（J2 , 2）.
【解析】
由题意得：4 4a a 1 y x2
OD 2 2 x2x 22,即点P 的坐标22,2 .
三、解答题
21.v； ( 2) 8.
【解析】
【分析】
【详解】
解：(1)由二次函数y 2x2 m图象知：其图像关于y轴对称
又•••点(2, y i)在此二次函数的图象上
(2, y i)也在此二次函数的图象上
•••当x 0时函数是增函数
• , y i y2
故答案为：<； 2
(2)二•一次函数y 2x m的图象经过点(0,-4)
m = -4
•••四边形ABCD为正方形
又•••抛物线和正方形都是轴对称图形，且y轴为它们的公共对称轴
•.OD=OC , Sb影=S E形BCOE
设点B的坐标为(n, 2n) (n >0)
•・•点B在二次函数y 2x2 4的图象上
2n 2n24
解得，n1 2, n2 1 (舍负)
.••点B的坐标为(2, 4)
•S|影=S巨形BCOE =2 4=8.
【点睛】
本题考查二次函数的图象.
22. (1) AABC是等腰三角形；(2)AABC是直角三角形；(3) x1=0, x2= - 1. 【解析】
试题分析：(1)直接将x=-1代入得出关于a, b的等式，进而得出a=b,即可判断AABC 的形状；
(2)利用根的判别式进而得出关于a, b, c的等式，进而判断那BC的形状；
(3)利用AABC是等边三角形，则a=b=c,进而代入方程求出即可.
试题解析：(1)那BC是等腰三角形；
理由：・•• x=- 1是方程的根，
( a+c) x( - 1) 2-2b+ (a-c) =0,
• - a+c - 2b+a - c=0, a - b=0, a=b,
••.△ABC是等腰三角形；
(2)二,方程有两个相等的实数根，
(2b) 2-4 (a+c) (a-c) =0,
•1- 4b2- 4a2+4c2=0,
•-a2=b2+c2,
••.△ABC是直角三角形；
(3)当那BC是等边三角形，.•.( a+c) x2+2bx+ (a-c) =0,可整理为：2ax2+2ax=0,
•' x2+x=0,
解得：x i=0, x2=- 1 .
考点：一元二次方程的应用.
23. (1)证明见解析；(2)阴影部分面积为- J3
3
【解析】
【分析】(1)连接OC,易证/ BCD= / OCA,由于AB是直径，所以/ ACB=90 ,所以/ OCA+OCB= / BCD+ / OCB=90 , CD 是。

O 的切线；
(2)设。

O的半径为r, AB=2r ,由于/ D=30 , / OCD=90 ,所以可求出r=2, ZAOC=120 , BC=2 ,由勾股定理可知：AC=2 J3,分别计算^ OAC的面积以及扇形OAC的面积即可求出阴影部分面积.
【详解】(1)如图，连接OC,
•. OA=OC ,
••. / BAC= / OCA ,
••• / BCD= / BAC ,
/ BCD= / OCA ,
•. AB是直径，
/ ACB=90 ,
•・・ / OCA+OCB= / BCD+ / OCB=90
/ OCD=90
•••OC是半径，
••.CD是。

O的切线
(2)设。

O的半径为r,
•.AB=2r ,
••• / D=30 , / OCD=90 ,
.♦.OD=2r, / COB=60 . ・ r+2=2r,
. .r=2, Z AOC=120
・•. BC=2
，由勾股定理可知：AC=2 J3,
口… 1 - -
易求S AAOC = — X2 J3 X1= J3
2
120 4 4
S 扇形OAC= --------- -
360 3
【点睛】本题考查圆的综合问题，涉及圆的切线判定，勾股定理，含30度的直角三角形的
性质，等边三角形的性质等知识，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键^
24.10%； 3327.5 万元.
【解析】
试题分析：(1) 一般用增长后的量=增长前的量X(1 +增长率)，2015年要投入教育经费是2500 (1+x)万元，在2015年的基础上再增长x,就是2016年的教育经费数额，即可列出方程求解.
(2)利用2016年的经费X (1+增长率)即可.
试题解析：(1)设增长率为x,根据题意2015年为2500 (1+x)万元，2016年为2500 (1 + x) ( 1+x)万元. 则2500 (1+x) ( 1+x) =3025 ,
解得x=0.1=10%,或x= - 2.1 (不合题意舍去).
答：这两年投入教育经费的平均增长率为10%.
(2)3025X (1+10%) =3327.5 (万元).
故根据(1)所得的年平均增长率，预计2017年该地区将投入教育经费3327.5万元.
25.(1)详见解析；(2)m=- 3 或m=- 1
【解析】
【分析】
(1)根据根的判别式即可求出答案.
(2)利用跟与系数的关系可以得到如果把所求代数式利用完全平方公式变形，结合前面的等式即可解答.
【详解】
解：(1)证明：.「△= ( m+3) 2―4 (m+2)
=(m+1) 2,
:无论m取何值，(m+1) 2>0,
，原方程总有两个实数根.
(2) • X1, X2是原方程的两根，
/.Xi+X2= - ( m+3) , xix2= m+2 ,
-X I2+X22= 2,
( X1 + X2) 2 - 2X1X2= 2,
，代人化简可得：mF+4 m+3 = 0,
解得：m= - 3或m= - 1
【点睛】
此题考查根与系数的关系，根的判别式，解题的关键是熟练运用根与系数的关系，本题属于基础题型.。