2024学年湖北省百所重点中学下学期高三期末考试仿真卷数学试题

2024学年湖北省百所重点中学下学期高三期末考试仿真卷数学试题
请考生注意：
1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。

写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．
2-31i
i =+（ ） A ．15-22i B ．15--22
i
C ．
15
+22
i D ．15-
+22
i 2．已知向量(1,2)a =，(4,1)b λ=-，且a b ⊥，则λ=（ ） A ．
12
B ．
14
C ．1
D ．2
3．2021年某省将实行“312++”的新高考模式，即语文、数学、英语三科必选，物理、历史二选一，化学、生物、政治、地理四选二，若甲同学选科没有偏好，且不受其他因素影响，则甲同学同时选择历史和化学的概率为 A ．
18
B ．
14
C ．
16
D ．
12
4．为得到的图象，只需要将
的图象（ ）
A ．向左平移个单位
B ．向左平移个单位
C ．向右平移个单位
D ．向右平移个单位
5．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）
A ．
643
B ．64
C ．
323
D ．32
6．已知12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的-一个公共点，且1223
F PF π
∠=，设椭圆和双曲线的离心率分别为12,e e ，则12,e e 的关系为（ ） A ．
2212
314e e += B ．
22
1241433
e e += C ．
2
212
13
4e e += D ．2
2
1234e e +=
7．要排出高三某班一天中，语文、数学、英语各2节，自习课1节的功课表，其中上午5节，下午2节，若要求2节语文课必须相邻且2节数学课也必须相邻（注意：上午第五节和下午第一节不算相邻），则不同的排法种数是（ ） A ．84
B ．54
C ．42
D ．18
8．一物体作变速直线运动，其v t -曲线如图所示，则该物体在
1
s~6s 2
间的运动路程为（ ）m ．
A ．1
B ．
43
C ．
494
D ．2
9．已知(0,)απ∈，且tan 2α=，则cos2cos αα+=（ ）
A ．
53
5
B ．
53
5
C ．
53
5
D ．
53
5
10．已知1cos ,,3
2πααπ⎛⎫
=-∈
⎪⎝⎭,则()sin πα+= ( ) A ．
2
3
B ．22
3
-
C ．22
3
±
D ．
13
11．已知函数()ln f x x =，()()23g x m x n =++，若()0,x ∀∈+∞总有()()f x g x ≤恒成立.记()23m n +的最小值为(),F m n ，则(),F m n 的最大值为（ ）
A ．1
B ．
1e
C ．
2
1e D ．
3
1e
12．在三角形ABC 中，1a =，
sin sin sin sin b c a b
A A
B C
++=+-，求sin b A =（ ） A ．
32
B ．
23
C ．
12
D ．
62
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知πtan 34θ⎛⎫+
= ⎪⎝
⎭，则tan θ=______，cos 24πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭
______. 14．过圆2
2
240x y x y ++-=的圆心且与直线230x y +=垂直的直线方程为__________.
15．工人在安装一个正六边形零件时，需要固定如图所示的六个位置的螺栓.若按一定顺序将每个螺栓固定紧，但不能．．连续．．
固定相邻的2个螺栓.则不同的固定螺栓方式的种数是________．
16．在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若223a b bc -=，sin 23C B =，则A =____. 三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）贫困人口全面脱贫是全面建成小康社会的标志性指标.党的十九届四中全会提出“坚决打赢脱贫攻坚战，建立解决相对贫困的长效机制”对当前和下一个阶段的扶贫工作进行了前瞻性的部署，即2020年要通过精准扶贫全面消除绝对贫困，实现全面建成小康社会的奋斗目标.为了响应党的号召，某市对口某贫困乡镇开展扶贫工作.对某种农产品加工生产销售进行指导，经调查知，在一个销售季度内，每售出一吨该产品获利5万元，未售出的商品，每吨亏损2万元.经统计A ，B 两市场以往100个销售周期该产品的市场需求量的频数分布如下表：
A 市场：
需求量
（吨） 90
100
110
频数
20
50
30
B 市场：
需求量
（吨） 90
100
110
频数
10
60
30
（单位：吨）表示下一个销售周期两市场的需求量，Y （单位：万元）表示下一个销售周期两市场的销售总利润. （1）求200X >的概率；
（2）以销售利润的期望为决策依据，确定下个销售周期内生产量190n =吨还是200n =吨?并说明理由. 18．（12分）已知函数()1621f x x =--． （1）解不等式()2f x x ≤+；
（2）若函数()y f x a =-存在零点，求a 的求值范围．
19．（12分）已知函数()2()f x lnx ax a R =+∈，2()12()g x x f x =+-. （1）当1a =-时，
①求函数()f x 在点()()
1,1A f 处的切线方程； ②比较()f m 与1
()f m
的大小;
（2）当0a >时，若对(1,)x ∀∈+∞时，()0g x ，且()g x 有唯一零点，证明：34
a <
． 20．（12分）已知函数231
()sin cos ,()222
x f x x x R =
+-∈. （1）当[0,]x π∈时，求函数的值域；
（2）ABC 的角,,A B C 的对边分别为,,a b c 且3c =
，()1f C =，求AB 边上的高h 的最大值.
21．（12分）某地为改善旅游环境进行景点改造．如图，将两条平行观光道l 1和l 2通过一段抛物线形状的栈道AB 连通（道路不计宽度），l 1和l 2所在直线的距离为0.5（百米），对岸堤岸线l 3平行于观光道且与l 2相距1.5（百米）（其中A 为抛物线的顶点，抛物线的对称轴垂直于l 3，且交l 3于M ），在堤岸线l 3上的E ，F 两处建造建筑物，其中E ，F 到M 的距离为1 （百米），且F 恰在B 的正对岸（即BF ⊥l 3）．
（1）在图②中建立适当的平面直角坐标系，并求栈道AB 的方程；
（2）游客（视为点P ）在栈道AB 的何处时，观测EF 的视角(∠EPF )最大？请在（1）的坐标系中，写出观测点P 的
22．（10分）已知函数()()sin 06f x x πωω⎛
⎫
=-> ⎪
⎝
⎭
的图象向左平移2
π
后与函数()()cos 22g x x πϕϕ⎛
⎫
=+<
⎪⎝
⎭
图象重合.
（1）求ω和ϕ的值； （2）若函数()88h x f x g x ππ⎛⎫
⎛
⎫=+
+- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
，求()h x 的单调递增区间及图象的对称轴方程. 参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．B 【解题分析】
利用复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【题目详解】
()()()()
231231515111222i i i i z i i i i -----====--++-．
故选B ． 【题目点拨】
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题． 2．A 【解题分析】
根据向量垂直的坐标表示列方程，解方程求得λ的值. 【题目详解】
由于向量(1,2)a =，(4,1)b λ=-，且a b ⊥，所以()14210λ⨯+⨯-=解得λ=1
2
. 故选：A 【题目点拨】
本小题主要考查向量垂直的坐标表示，属于基础题.
【解题分析】
甲同学所有的选择方案共有12
2412C C =种，甲同学同时选择历史和化学后，只需在生物、政治、地理三科中再选择一科即可，共有1
33C =种选择方案，根据古典概型的概率计算公式，可得甲同学同时选择历史和化学的概率31
124
P =
=，故选B ． 4．D 【解题分析】
试题分析：因为，所以为得到的图象，只需要将的图象向右平
移个单位；故选D ． 考点：三角函数的图像变换． 5．A 【解题分析】
根据三视图，还原空间几何体，即可得该几何体的体积. 【题目详解】
由该几何体的三视图，还原空间几何体如下图所示：
可知该几何体是底面在左侧的四棱锥，其底面是边长为4的正方形，高为4， 故()16444433
V =
⨯⨯⨯=. 故选：A 【题目点拨】
本题考查了三视图的简单应用，由三视图还原空间几何体，棱锥体积的求法，属于基础题. 6．A 【解题分析】
设椭圆的半长轴长为1a ，双曲线的半长轴长为2a ，根据椭圆和双曲线的定义得： 121
12222PF PF a PF PF a ⎧+=⎪⎨
-=⎪⎩ ，解得112
2
12PF a a PF a a ⎧=+⎪⎨
=-⎪⎩，然后在12F PF △中，由余弦定理得：()()()()2
2
212121212242cos
3
c a a a a a a a a π
=++--+⋅-⋅，化简求解. 【题目详解】
设椭圆的长半轴长为1a ，双曲线的长半轴长为 2a ，
由椭圆和双曲线的定义得： 121
12222PF PF a PF PF a ⎧+=⎪⎨
-=⎪⎩ ， 解得1122
12PF a a PF a a ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩，设121222,3π
=∠=F F c F PF ，
在12F PF △中，由余弦定理得： ()()()()2
2
2
12121212242cos
3
c a a a a a a a a π
=++--+⋅-⋅， 化简得2221234a a c +=，
即
22
12314e e +=. 故选：A 【题目点拨】
本题主要考查椭圆，双曲线的定义和性质以及余弦定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 7．C 【解题分析】
根据题意，分两种情况进行讨论：①语文和数学都安排在上午；②语文和数学一个安排在上午，一个安排在下午.分别求出每一种情况的安排方法数目，由分类加法计数原理可得答案． 【题目详解】
根据题意，分两种情况进行讨论：
①语文和数学都安排在上午，要求2节语文课必须相邻且2节数学课也必须相邻，将2节语文课和2节数学课分别捆
绑，然后在剩余3节课中选1节到上午，由于2节英语课不加以区分，此时，排法种数为123323
2
2
18C A A A =种； ②语文和数学都一个安排在上午，一个安排在下午.
语文和数学一个安排在上午，一个安排在下午，但2节语文课不加以区分，2节数学课不加以区分，2节英语课也不
加以区分，此时，排法种数为1424
2
2
24C A A =种. 综上所述，共有182442+=种不同的排法. 故选：C ． 【题目点拨】
本题考查排列、组合的应用，涉及分类计数原理的应用，属于中等题． 8．C 【解题分析】
由图像用分段函数表示()v t ，该物体在1s~6s 2间的运动路程可用定积分6
12
()d s v t t =⎰表示，计算即得解 【题目详解】 由题中图像可得，
2,01()2,131
1,363
t t v t t t t ⎧
⎪≤<⎪
=≤≤⎨⎪⎪+<≤⎩
由变速直线运动的路程公式，可得
6
1
3
111326
2
1()d 22d 1d 3s v t t tdt t t t ⎛⎫
==+++ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰
6
1
3
22112
31492(m)64
t
t t t ⎛⎫
=+++= ⎪⎝⎭．
所以物体在1s~6s 2间的运动路程是49
m 4
． 故选：C
【题目点拨】
本题考查了定积分的实际应用，考查了学生转化划归，数形结合，数学运算的能力，属于中档题. 9．B 【解题分析】
分析：首先利用同角三角函数关系式，结合题中所给的角的范围，求得cos α的值，之后借助于倍角公式，将待求的
详解：根据题中的条件，可得α为锐角，
根据tan 2α=，可求得cos α=
，
而223
cos 2cos 2cos cos 11555
αααα+=+-=
+-=
，故选B. 点睛：该题考查的是有关同角三角函数关系式以及倍角公式的应用，在解题的过程中，需要对已知真切求余弦的方法要明确，可以应用同角三角函数关系式求解，也可以结合三角函数的定义式求解. 10．B 【解题分析】
利用诱导公式以及同角三角函数基本关系式化简求解即可． 【题目详解】
1cos 3α=-，,2παπ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
sin 3
α∴===
()sin sin 3
παα∴+=-=-
本题正确选项：B 【题目点拨】
本题考查诱导公式的应用，同角三角函数基本关系式的应用，考查计算能力． 11．C 【解题分析】
根据()0,x ∀∈+∞总有()()f x g x ≤恒成立可构造函数()()ln 23h x x m x n =-+-,求导后分情况讨论()h x 的最大值可得最大值最大值()1ln 23123h m n m ⎛⎫
=-+--
⎪+⎝⎭
,
即()ln 2310m n -+--≤.根据题意化简可得()()()2323ln 231m n m m +≥+-+-⎡⎤⎣⎦,求得
()()(),23ln 231F m n m m =+-+-⎡⎤⎣⎦,再换元求导分析最大值即可.
【题目详解】
由题, ()0,x ∀∈+∞总有()ln 23x m x n ≤++即()ln 230x m x n -+-≤恒成立.
设()()ln 23h x x m x n =-+-,则()h x 的最大值小于等于0. 又()()1
'23h x m x
=
-+, 若230m +≤则()'0h x >,()h x 在()0,∞+上单调递增, ()h x 无最大值. 若230m +>,则当123x m >
+时,()'0h x <,()h x 在1,23m ⎛⎫
+∞
⎪+⎝⎭
上单调递减, 当1023x m <<
+时,()'0h x >,()h x 在10,23m ⎛
⎫ ⎪+⎝⎭
上单调递增.
故在123x m =
+处()h x 取得最大值()11ln 1ln 2312323h n m n m m ⎛⎫
=--=-+-- ⎪
++⎝⎭
. 故()ln 2310m n -+--≤,化简得()()()2323ln 231m n m m +≥+-+-⎡⎤⎣⎦.
故()()(),23ln 231F m n m m =+-+-⎡⎤⎣⎦,令()23,0t m t =+>,可令()()ln 1k t t t =-+, 故()'ln 2k t t =--,当21t e >
时, ()'0k t <,()k t 在21,e ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
递减； 当210t e <<时, ()'0k t >,()k t 在210,e ⎛⎫
⎪⎝⎭
递增. 故在2
1t e =
处()h t 取得极大值,为22221111
ln 1=k e e e e
⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故(),F m n 的最大值为2
1
e . 故选：C 【题目点拨】
本题主要考查了根据导数求解函数的最值问题,需要根据题意分析导数中参数的范围,再分析函数的最值,进而求导构造函数求解()23m n +的最大值.属于难题. 12．A 【解题分析】
利用正弦定理边角互化思想结合余弦定理可求得角B 的值，再利用正弦定理可求得sin b A 的值. 【题目详解】
sin sin sin sin b c a b A A B C ++=+-，由正弦定理得b c a b
a a
b c
++=+-，整理得222a c b ac +-=，
由余弦定理得2221
cos 22
a c
b B a
c +-==，0B π<<，3B π∴=.
由正弦定理sin sin a b A B =得sin sin 1sin 3b A a B π==⨯=. 故选：A. 【题目点拨】
本题考查利用正弦定理求值，涉及正弦定理边角互化思想以及余弦定理的应用，考查计算能力，属于中等题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．
1
2
【解题分析】
利用两角和的正切公式结合πtan 34θ⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭可得出tan θ的方程，即可求出tan θ的值，然后利用二倍角的正、余弦公
式结合弦化切思想求出cos2θ和sin 2θ的值，进而利用两角差的余弦公式求出cos 24πθ⎛
⎫
- ⎪⎝
⎭
的值. 【题目详解】
πtan 11tan 33tan 41tan 2θθθθ+⎛
⎫+=⇒=⇒= ⎪-⎝
⎭，
2222
2
222
cos sin 1tan 3
cos 2cos sin cos sin 1tan 5
θθθθθθθθθ--=-===++， 2222sin cos 2tan 4
sin 22sin cos sin cos tan 15
θθθθθθθθθ==
==++，
()
cos 2cos 2sin 242πθθθ⎛
⎫∴-=+=
⎪⎝
⎭
故答案为：
12；
10
. 【题目点拨】
本题主要考查三角函数值的计算，考查两角和的正切公式、两角差的余弦公式、二倍角的正弦公式、余弦公式以及弦化切思想的应用，难度不大． 14．3270x y -+= 【解题分析】
根据与已知直线垂直关系，设出所求直线方程，将已知圆圆心坐标代入，即可求解.
【题目详解】
22240x y x y ++-=圆心为(1,2)-，
所求直线与直线230x y +=垂直，
设为320x y C -+=，圆心(1,2)-代入，可得7C =， 所以所求的直线方程为3270x y -+=. 故答案为：3270x y -+=. 【题目点拨】
本题考查圆的方程、直线方程求法，注意直线垂直关系的灵活应用，属于基础题. 15．60 【解题分析】
分析：首先将选定第一个钉，总共有6种方法，假设选定1号，之后分析第二步，第三步等，按照分类加法计数原理，可以求得共有10种方法，利用分步乘法计数原理，求得总共有61060⨯=种方法.
详解：根据题意，第一个可以从6个钉里任意选一个，共有6种选择方法，并且是机会相等的，若第一个选1号钉的时候，第二个可以选3,4,5号钉，依次选下去，可以得到共有10种方法，所以总共有10660⨯=种方法，故答案是60. 点睛：该题考查的是有关分类加法计数原理和分步乘法计数原理，在解题的过程中，需要逐个的将对应的过程写出来，所以利用列举法将对应的结果列出，而对于第一个选哪个是机会均等的，从而用乘法运算得到结果. 16．
6
π 【解题分析】
由sin C B =，根据正弦定理“边化角”，可得c =，根据余弦定理2222cos a b c bc A =+-，结合已知联立方程组，即可求得角A . 【题目详解】
sin C B =
根据正弦定理：
sin sin b c
B C
=
∴可得c =
根据余弦定理：2222cos a b c bc A =+-
由已知可得：22a b -=
故可联立方程：2
2222
2cos c a b c bc A a b ⎧=⎪=+-⎨⎪-=⎩
解得：cos A =由0A π<<
∴6
A π
=
故答案为：
6
π. 【题目点拨】
本题主要考查了求三角形的一个内角，解题关键是掌握由正弦定理“边化角”的方法和余弦定理公式，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（1）0.42；（2）200n =吨，理由见解析 【解题分析】
（1）设“A 市场需求量为90，100，110吨”分别记为事件1A ，2A ，3A ，“B 市场需求量为90，100，110吨”分别记为
事件1B ，2B ，3B ，由题可得()1P A ，()2P A ，()3P A ，()1P B ，
2()P B ，()3P B ，代入()()233233200P X P A B A B A B >=++，计算可得答案；
（2）X 可取180，190，200，210，220，求出190n =吨和200n =吨时的期望，比较大小即可. 【题目详解】
（1）设“A 市场需求量为90，100，110吨”分别记为事件1A ，2A ，3A ，“B 市场需求量为90，100，110吨”分别记为事件1B ，2B ，3B ，则
()10.2P A =，()20.5P A =，()30.3P A =， ()10.1P B =，)2(0.6P B =，()30.3P B =， ()()233233200P X P A B A B A B >=++
()()()()()()233233P A P B P A P B P A P B =++ 0.50.30.30.60.30.30.42=⨯+⨯+⨯=；
（2）X 可取180，190，200，210，220，
()()111800.20.10.02P X P A B ===⨯=
()()21121900.50.10.20.60.17P X P A B A B ==+=⨯+⨯=
当190n =时，()()18051020.02190510.02948.()6E Y =⨯-⨯⨯+⨯⨯-=
当200n =时，()()()()18052020.021*******.17200510.020.17E Y =⨯-⨯⨯+⨯-⨯⨯+⨯⨯--
985.3=.
9486985.3<.，
200n ∴=时，平均利润大，所以下个销售周期内生产量200n =吨.
【题目点拨】
本题考查离散型随机变量的期望，是中档题. 18．（1）17
{|3
x x ≤-或5}x ；（2）16a ≤． 【解题分析】
（1）通过讨论x 的范围，将绝对值符号去掉，转化为求不等式组的解集，之后取并集，得到原不等式的解集； （2）将函数零点问题转化为曲线交点问题解决，数形结合得到结果. 【题目详解】
（1）有题不等式可化为22116x x ++-≥，
当2x -≤时，原不等式可化为22116x x ---+≥，解得173
x ≤-； 当1
22
x -<≤时，原不等式可化为22116x x +-+≥，解得13x ≤-，不满足，舍去； 当1
2
x >
时，原不等式可化为22116x x ++-≥，解得5x ≥， 所以不等式的解集为17|53x x x ⎧⎫≤-
≥⎨⎬⎩
⎭
或． （2）因为()1172,2
1152,2x x f x x x ⎧
-≥⎪⎪=⎨⎪+<⎪⎩
，
所以若函数()y f x a =-存在零点则可转化为函数()y f x =与y a =的图像存在交点，
函数()f x 在1
(,]2-∞上单调增，在1[,)2+∞上单调递减，且1()162
f =. 数形结合可知16a ≤． 【题目点拨】
该题考查的是有关不等式的问题，涉及到的知识点有分类讨论求绝对值不等式的解集，将零点问题转化为曲线交点的问题来解决，数形结合思想的应用，属于简单题目. 19．（1）①见解析，②见解析；（2）见解析 【解题分析】
（1）①把1a =-代入函数解析式，求出函数的导函数得到()1f '，再求出()1f ，利用直线方程的点斜式求函数()f x 在点A 处的切线方程；
②令1122
()()()2()22h m f m f lnm m ln lnm m m m m m =-=---=-+，利用导数研究函数的单调性，可得当01m <<时，
1()()f m f m >；当1m =时，1()()f m f m =；当1m 时，1
()()f m f m
<．
（2）由题意，21240x lnx ax +--，()g x '在(1,)+∞上有唯一零点201x a a =++．利用导数可得当0(1,)x x ∈时，()g x 在0(1,)x 上单调递减，当0(x x ∈，)+∞时，()g x 在0(x ，)+∞上单调递增，得到0()()min g x g x =．由()0g x 在(1,)
+∞恒成立，且()0g x =有唯一解，可得00()0()0
g x g x '=⎧⎨=⎩，得2
000
00
212(2)0x lnx x x x +---=，即200230lnx x --+=．令2000()23h x lnx x =--+，则000
2
()2h x x x '=-
-，再由0()0h x '<在(1,)+∞上恒成立，得0()h x 在(1,)+∞上单调递减，进一步得到00
11()2a x x =-在(1,2)上单调递增，由此可得34
a <． 【题目详解】
解：（1）①当1a =-时，()2f x lnx x =-，1
()2f x x
'=
-，()11f '=-， 又(1,2)A ，∴切线方程为2(1)y x +=--，即10x y ++=； ②令1122
()()()2()22h m f m f lnm m ln lnm m m m m m
=-=---=-+，
则222
222(1)
()20m m h m m m m -+'=--=-
<， ()h m ∴在(0,)+∞上单调递减．
又()10h =，
∴当01m <<时，()0h m >，即1()()f m f m
>；
当1m =时，()0h m =，即1
()()f m f m =；
当1m 时，()0h m <，即1
()()f m f m
<．
证明：（2）由题意，21240x lnx ax +--，
而222(21)()24x ax g x x a x x
--'=--=，
令()0g x '=
，解得x a =±
0a >，
∴1a ，
()g x ∴'在(1,)+∞
上有唯一零点0x a =+．
当0(1,)x x ∈时，()0g x '<，()g x 在0(1,)x 上单调递减， 当0(x x ∈，)+∞时，()0g x '>，()g x 在0(x ，)+∞上单调递增． 0()()min g x g x ∴=．
()0g x 在(1,)+∞恒成立，且()0g x =有唯一解，
∴00()0()0g x g x '=⎧⎨=⎩，即0
020
0022401240
x a x x lnx ax ⎧
--=⎪⎨⎪+--=⎩，
消去a ，得2
00000
2
12(2)0x lnx x x x +---
=， 即200230lnx x --+=．
令2000()23h x lnx x =--+，则000
2
()2h x x x '=-
-，
0()0h x '<在(1,)+∞上恒成立， 0()h x ∴在(1,)+∞上单调递减，
又()120h =>， ()22210h ln =--<， 012x ∴<<．
00
11
()2a x x =
-在(1,2)上单调递增， 34
a ∴<
． 【题目点拨】
本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查利用导数研究函数的单调性，考查逻辑思维能力与推理论证能力，属难题． 20．（1）1,12⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
.（2）32
【解题分析】
（1）由题意利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，得出结论.
（2）由题意利用余弦定理､三角形的面积公式､基本不等式求得ab 的最大值，可得AB 边上的高h 的最大值.
【题目详解】
解：（1
）∵函数211cos 1()cos sin 22226x x f x x x x π+⎛⎫=
+-=+-=+ ⎪⎝
⎭， 当[0,]x π∈时，7,666x π
ππ⎡⎤+
∈⎢⎥⎣⎦，1sin ,162x π⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦
. （2）ABC 中，c =
()1sin 6f C C π⎛
⎫
==+
⎪⎝
⎭
∴3
c π
=
.
由余弦定理可得2222232cos c a b ab C a b ab ab ==+-⋅=+-，当且仅当a b =时，取等号，
即ab 的最大值为3. 再根据11sin 223
ABC
S
h ab π=
=⋅，故当ab 取得最大值3时，h 取得最大值为32.
【题目点拨】
本题考查降幂公式、两角和的正弦公式，考查正弦函数的性质，余弦定理，三角形面积公式，所用公式较多，选用恰当的公式是解题关键，本题属于中档题．
21．（1）见解析，22x y =，x ∈[0，1]；（2）P
1
，2)时，视角∠EPF 最大． 【解题分析】
（1）以A 为原点，l 1为x 轴，抛物线的对称轴为y 轴建系，设出方程，通过点B 的坐标可求方程；
（2）设出P 的坐标，表示出tan EPF ∠，利用基本不等式求解tan EPF ∠的最大值，从而可得观测点P 的坐标． 【题目详解】
（1）以A 为原点，l 1为x 轴，抛物线的对称轴为y 轴建系
由题意知：B (1，0.5)，设抛物线方程为2
2x py = 代入点B 得：p ＝1，故方程为2
2x y =，x ∈[0，1]； （2）设P
，2t )，t ∈[0
，
2
]，作PQ ⊥l 3于Q ，记∠EPQ ＝α，∠FPQ ＝β
1EQ =+，22PQ t =-
，1FQ =
224222
tan tan 2(2)22tan tan()121tan tan 231(2)t t t EPF t t t t αβαβαβ+---∠=+===---+-
- 令2
32[2]2
t x -=∈，
，22t x =-，则：
222221
tan 3(2)212322x x EPF x x x x x x
∠=
==≤
-+--++-，
当且仅当3x x =
即x =
22t =
t = 故P
1
，2)时视角∠EPF 最大， 答：P
1
，2)时，视角∠EPF 最大． 【题目点拨】
本题主要考查圆锥曲线的实际应用，理解题意，构建合适的模型是求解的关键，涉及最值问题一般利用基本不等式或者导数来进行求解，侧重考查数学运算的核心素养.
22．（1）2ω=，3π
ϕ=；（2）5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦
，
212k x ππ=+，k Z ∈. 【解题分析】
（1）直接利用同角三角函数关系式的变换的应用求出结果．
（2）首先把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用正弦型函数的性质的应用求出结果． 【题目详解】
（1）由题意得2ω=，
5sin 2cos 2263f x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛
⎫+=+
=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
2
π
ϕ<
，3
π
ϕ∴=
（2）()sin 2cos 2881212h x f x g x x x ππππ⎛
⎫
⎛⎫⎛⎫⎛
⎫=+
+-=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
23x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭
由23
2
x k π
π
π+
=+
，解得212
k x ππ
=
+， 所以对称轴为212
k x ππ
=
+，k Z ∈. 由222232k x k πππ
ππ-≤+≤+，
解得51212
k x k ππππ-≤≤+， 所以单调递增区间为5,,1212k k k Z ππππ⎡⎤
-+∈⎢⎥⎣
⎦
., 【题目点拨】
本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．。