2013年高考文科数学全国卷2(含详细答案)

数学试卷 第1页（共36页）
数学试卷 第2页（共36页）
数学试卷 第3页（共36页）
绝密★启用前
2013年普通高等学校招生全国统一考试(全国新课标卷2)
文科数学
注意事项：
1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号框.写在本试卷上无效.
3.回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效.
4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合
题目要求的.
1.已知集合{|31}M x x =-<<,{3,2,1,0,1}N =---,则M N = ( )
A .{2,1,0,1}--
B .{3,2,1,0}---
C .{2,1,0}--
D .{3,2,1}---
2.
2|
|1i
=+
( )
A .22
B .2
C .2
D .1
3.设x ,y 满足约束条件10,10,3,x y x y x -+⎧⎪
+-⎨⎪⎩
≥≥≤则23z x y =-的最小值是
( )
A .7-
B .6-
C .5-
D .3-
4.ABC △的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知2b =,π6B =,π
4
C =,则ABC △的面积为
( )
A .232+
B .31+
C .232-
D .31-
5.设椭圆C ：22
221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ,2F ,P 是C 上的点,212PF F F ⊥,
1230PF F ∠=,则C 的离心率为
( )
A .
36
B .13
C .12
D .
33
6.已知2
sin 23
α=,则2πcos ()4α+=
( )
A .16
B .13
C .
12 D .
23
7.执行如图的程序框图,如果输入的4N =,那么输出的S = ( )
A .1111234+++
B .1111232432+++
⨯⨯⨯ C .111112345++++
D .111112324325432
++++
⨯⨯⨯⨯⨯⨯
8.设3log 2a =,5log 2b =,2log 3c =,则
( )
A .a c b >>
B .b a c >>
C .c b a >>
D .c a b >>
9.一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz -中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),
(0,0,0),画该四面体三视图中的正视图时,以zOx 平面为投影面,则得到的正视图可以为
( )
A
B
C
D
10.设抛物线C :24y x =的焦点为F ,直线l 过F 且与C 交于A ,B 两点.若||3||AF BF =,则l 的方程为
( )
A .1y x =-或1y x =-+
B .3
(1)3y x =
-或3
(1)3y x =-- C .3(1)y x =-或3(1)y x =--
D .2
(1)2
y x =-或2
(1)2
y x =-
- 11.已知函数32()f x x ax bx c =+++,下列结论中错误的是
( )
A .0x ∃∈R ,0()0f x =
B .函数()y f x =的图象是中心对称图形
C .若0x 是()f x 的极小值点,则()f x 在区间0(,)x -∞单调递减
D .若0x 是()f x 的极值点,则0()0f x '=
12.若存在正数x 使2()1x x a -<成立,则a 的取值范围是
( )
A .(,)-∞+∞
B .(2,)-+∞
C .(0,)+∞
D .(1,)-+∞
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22题～第24题为选考题,考生根据要求作答.
二、填空题：本大题共4小题,每小题5分.
13.从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数,其和为5的概率是________. 14.已知正方形ABCD 的边长为2,E 为CD 的中点,则AE BD =________. 15.已知正四棱锥O ABCD -的体积为32
2
,底面边长为3,则以O 为球心,OA 为半径的球的表面积为________.
16.函数cos(2)(ππ)y x ϕϕ=+-≤＜的图象向右平移π2个单位后,与函数πsin(2)3
y x =+的图象重合,则ϕ=________.
三、解答题：解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）
已知等差数列{}n a 的公差不为零,125a =,且1a ,11a ,13a 成等比数列.
（Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求14732+n a a a a -++⋅⋅⋅+. --------在
--------------------此--------------------
卷--------------------
上--------------------
答--------------------
题--------------------
无--------------------
效--------
--------
姓名________________ 准考证号_____________
数学试卷 第4页（共36页）
数学试卷 第5页（共36页）
数学试卷 第6页（共36页）
18.（本小题满分12分）
如图,直三棱柱111ABC A B C -中,D ,E 分别是AB ,1BB 的中点. （Ⅰ）证明：1BC ∥平面1A CD ；
（Ⅱ）设12AA AC CB ===,
22AB =,求三棱锥1C A DE -的体积.
19.（本小题满分12分）
经销商经销某种农产品,在一个销售季度内,每售出1t 该产品获利润500元,未售出的产品,每1t 亏损300元.根据历史资料,得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图,如图所示.经销商为下
一个销售季度购进了130t 该农产品.以X (单位:t ,100150X ≤≤)表示下一个销售季度内的市场需求量,T (单位:元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润. （Ⅰ）将T 表示为X 的函数；
（Ⅱ）根据直方图估计利润T 不少于57 000元的概率.
20.（本小题满分12分）
在平面直角坐标系xOy 中,已知圆P 在x 轴上截得线段长为22,在y 轴上截得线段长为23.
（Ⅰ）求圆心P 的轨迹方程； （Ⅱ）若P 点到直线y x =的距离为2
2
,求圆P 的方程.
21.（本小题满分12分）
已知函数2()e x f x x -=.
（Ⅰ）求()f x 的极小值和极大值；
（Ⅱ）当曲线()y f x =的切线l 的斜率为负数时,求l 在x 轴上截距的取值范围.
请从下面所给的22、23、24三题中选定一题作答,并用2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑,按所涂题号进行评分；不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分.
22.（本小题满分10分）选修4—1:几何证明选讲
如图,CD 为ABC △外接圆的切线,AB 的延长线交直线CD 于点D ,E ,F 分别为弦
AB 与弦AC 上的点,且BC AE DC AF =,B ,E ,F ,C 四点共圆.
（Ⅰ）证明：CA 是ABC △外接圆的直径；
（Ⅱ）若DB BE EA ==,求过B ,E ,F ,C 四点的圆的面积与ABC △外接圆面积的比值.
23.（本小题满分10分）选修4—4:坐标系与参数方程
已知动点P ,Q 都在曲线C ：2cos ,
2sin x t y t =⎧⎨=⎩
（t 为参数）上,对应参数分别为=t α与=2t α
(02π)α<<,M 为PQ 的中点.
（Ⅰ）求M 的轨迹的参数方程；
（Ⅱ）将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数,并判断M 的轨迹是否过坐标原点.
24.（本小题满分10分）选修4—5:不等式选讲
设a ,b ,c 均为正数,且1a b c ++=.证明: （Ⅰ）1
3
ab bc ca ++≤；
（Ⅱ）222
1a b c b c a
++≥.
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4．【答案】B
【解析】ππ()π-+64πA B C ⎛ ⎝＝－＋＝由正弦定理得
sin sin a b
A B
=，
6．【答案】A
【解析】由半角公式可得，
cos
4
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的投影即正视图为
，故选
10．【答案】C
【解析】由题意可得抛物线焦点当直线l 的斜率大于0时，如图所示，过物线定义可得，AM AF ＝，
设3()0AM AF t t ＝＝＞，BN ＝
6
11．【答案】C
【解析】若0x 是()f x 的极小值点，则正确.
12．【答案】D
【解析】由题意可得，x a >
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【答案】2
{}
,AB AD 为基底，则0AB AD ⋅=，而1
2
AE AB AD =
+，-BD AD AB =， ∴22111()(-)--222
AE BD AB AD AD AB AB AD ⋅=+⋅=+=
15．【答案】24π
【解析】如图所示，在正四棱锥
∴132
2OO ＝
，1AO ＝在1Rt OO A ∆中，OA ＝|
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又D 是AB 中点，连结1DF 因为1DF ACD ⊂平面，1
ACD 平面， 所以11
.BC ACD 平面 （2）因为11ABC A B C －是直三棱柱，所以AA AC CB ＝，D AB A ＝，于是
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