大一上学期(第一学期)高数期末考试题(有答案)

其通解为
y C1e x C2 e2x
1, r2 2.
2
1
代入初始条件 y(0)
y (0) 1，得
C1
, C2 3
3
y
2 e
x
故所求曲线方程为：
3
五、解答题（本大题 10 分）
1 e2 x 3
y 15. 解：（1）根据题意，先设切点为 ( x0 , ln x0 ) ，切线方程：
ln x0
1
(x x0
x0 )
设 ( x) 1 x ， ( x) 3 33 x，则当 x 1时（ ）
2.
1x
.
（A） ( x)与 (x) 是同阶无穷小，但不是等价无穷小； 是等价无穷小；
（B） ( x)与 (x)
（C） ( x) 是比 ( x) 高阶的无穷小； 无穷小 .
（D） ( x) 是比 (x) 高阶的
x
3.
F (x) 若
1
(1 q) f ( x) d x q f ( x)dx
0
q
1 [0, q ] 2 [ q,1]
q (1 故有：
q) f ( 1)
q (1
f ( 1) f ( 2)
q) f ( 2 )
0
q
1
f ( x) d x q f ( x )dx
0
0
证毕。
17.
x
F ( x) f ( t)dt , 0 x
证：构造辅助函数：
x 0, y 0 ， y (0) 1 10. 解： u x7 7 x6dx du
原式
1 (1 u)
11
du
(
2 )du
7 u(1 u) 7 u u 1
1 (ln | u | 2ln | u 1|) c
7
1 ln | x7 |
2 ln | 1
x7 | C
7
7
1
f ( x)dx 11. 解： 3
0
1
成平面图形 D.
(1) 求 D 的面积 A；(2) 求 D 绕直线 x = e 旋转一周所得旋转体的体积 V.
六、证明题（本大题有 2 小题，每小题 4 分，共 8 分）
16. 设 函 数 f ( x) 在 0,1 上 连 续 且 单 调 递 减 ， 证 明 对 任 意 的 q
q
1
f ( x ) d x q f ( x)dx
大一上学期高数期末考试 一、 单项选择题 (本大题有 4 小题 , 每小题 4 分, 共 16 分)
1. 设 f ( x ) cos x ( x sin x ), 则在 x 0处有 (
) .
（ A） f (0) 2 （B） f (0) 1 （ C） f (0) 0 （D） f ( x) 不可导 .
0
。其满足在 [0, ] 上连续，在 (0, )
上可导。 F ( x) f ( x) ，且 F (0) F ( ) 0
| 0 f ( x) cosxdx cosxdF ( x) F ( x) cosx sin x F ( x )dx
由题设，有
0
0
0 0
，
F ( x) sin xdx 0
有0
，由积分中值定理，存在
求 1
1
f ( x )dx．
3
1
g( x )
12. 设函数 f (x) 连续，
f ( xt ) dt
f ( x) lim
0
，且 x 0 x
A ，A 为常数 . 求
g(x) 并讨论 g( x) 在 x 0 处的连续性 .
13. 求微分方程 xy 2 y x ln x 满足 y(1)
1 9 的解 .
四、 解答题（本大题 10 分）
0)
A 2 ， g ( x) 在 x
0 处连续。
1 xln x
1 x
Cx 2
3
9
y( 1 ) 1 C, 9
0 y 1 x ln x 1 x
，3
9
四、 解答题（本大题 10 分）
x将此方程关于 x 求导得 y 2y y
特征方程： r 2 r 2 0 解出特征根： r1
1
由于切线过原点，解出
x0
e ，从而切线方程为：
y
x e
A
1
(ey
ey)dy
1 e1
则平面图形面积
0
2
V1 1 e2
（ 2）三角形绕直线 x = e 一周所得圆锥体体积记为 V1，则
3
曲线 y ln x 与 x 轴及直线 x = e 所围成的图形绕直线 x = e 一周所得旋转体体积
为 V2
1
V2
( e e y )2 dy
14. 已知上半平面内一曲线 y y( x) ( x 0) ，过点 ( 0,1) ，且曲线上任一点
M ( x0 , y0 ) 处切线斜率数值上等于此曲线与 x 轴、 y 轴、直线 x x0 所围成 面积的 2 倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程 . 五、解答题（本大题 10 分）
15. 过坐标原点作曲线 y ln x 的切线，该切线与曲线 y ln x 及 x 轴围
0
V V1 V2 D 绕直线 x = e 旋转一周所得旋转体的体积
(5e2 12e 3) 6
六、证明题（本大题有 2 小题，每小题 4 分，共 12 分）
q
1
q
q
1
f ( x) d x q f (x)dx f ( x) d x q( f ( x) d x f (x)dx)
16. 证明： 0
0
0
0
q
q
(0, ) ，使 F ( ) sin 0 即
F( ) 0 综上可知 F (0) F ( ) F ( ) 0, 尔定理，知存在
(0, ) .在区间 [0, ] ,[ , ] 上分别应用罗
1 (0, ) 和 2 ( , ) ， 使 F ( 1 ) 0 及 F ( 2 ) 0 ， 即 f ( 1 ) f ( 2 ) 0 .
(2t
0
x) f (t)dt ， 其 中 f ( x) 在 区 间 上 ( 1,1) 二 阶 可 导 且
f ( x ) 0 ，则（
）.
（A）函数 F ( x) 必在 x 0 处取得极大值；
（B）函数 F ( x) 必在 x 0 处取得极小值；
（C）函数 F ( x) 在 x 0 处没有极值，但点 (0, F (0)) 为曲线 y F ( x) 的拐点；
（D）函数 F (x) 在 x 0 处没有极值，点 (0, F (0)) 也不是曲线 y F ( x) 的拐点。
1
4. 设 f ( x )是连续函数，且
f ( x ) x 2 f ( t )dt , 则 f ( x ) ( 0
)
x2 （A） 2
x2 2
（ B） 2 （C） x 1 （D） x 2 .
二、填空题（本大题有 4 小题，每小题 4 分，共 16 分）
5.
e6
1 (cosx ) 2 c
. 6. 2 x
.7. 2 . 8.
3
.
三、解答题（本大题有 5 小题，每小题 8 分，共 40 分）
9. 解：方程两边求导
ex y ( 1 y ) c oxsy( xy) ( y
)
y ( x)
ex y y cos(xy) ex y x cos(xy)
g ( x)
0
x2
x
( x 0)
f (u)du
g (0)
lim 0
x0
x2
lim f ( x) A x 0 2x 2
x
xf ( x) f ( u)du
lim g ( x) lim
x0
x0
0
x2
A A
2
dy 2 y ln x
13. 解： dx x
2
2
dx
dx
y e x ( e x ln xdx C )
二、填空题（本大题有 4 小题，每小题 4 分，共 16 分）
2
l i m( 1 3 x ) sin x
5. x 0
.
已知 cosx 是 f ( x) 的一个原函数 ,
6.
x
.
cosx
则 f (x)
dx
x
lim (cos 2
cos2 2
cos 2 n 1 )
7. n n
n
n
n
.
1
2 x 2 arcsin x 1
xe xdx
2x
3
0
x 2 dx
0
xd(
e x)
1
1
(x
1)2 dx
3
0
xe x e x 0 3
0 cos2 d (令 x 1
2
sin )
2e3 1 4
12. 解：由 f (0) 0 ，知 g(0) 0。
x
1
f ( u)du
xt u
g( x ) f ( xt )dt 0
0
x
(x
x
xf ( x) f (u)du
0
0
.
[ 0,1] ，
f ( x ) d x 0 f ( x ) cos x dx 0
17. 设函数 f ( x) 在 0, 上连续，且 0
，0
.
证明：在 0, 内至少存在两个不同的点 1 , 2 ，使 f ( 1) f ( 2 ) 0.（提
F ( x) 示：设
x
f ( x )dx
0
）
解答
一、 单项选择题 (本大题有 4 小题 , 每小题 4 分 , 共 16 分 ) 1、 D 2、 A 3、 C 4、C
dx
8.
－1 2
1 x2
.
三、解答题（本大题有 5 小题，每小题 8 分，共 40 分）
9. 设函数 y y(x) 由方程 ex y sin(xy) 1确定，求 y ( x ) 以及 y (0) .
求
10.
1 x7 x(1 x7 ) dx.
设 f (x)
11.
xe x ， x 0 2x x 2， 0 x