高二数学(理)《三个正数的算术-几何平均数》(课件)

(a b c)(a b c ab bc ca ) 1 2 2 2 (a b c) (a b) (b c) (c a) 0, 2
2 2 2
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制作 06
2011年上学期
如果a, b, c R , 那么a b c 3abc
*
n

a1a2 an 叫做这n个正数的几何平均数。
a1 a 2 a n ≥ n
n
2.基本不等式：
a1a2 an n N * , ai R ,1 i n
语言表述：n个正数的算术平均数不小于 它们的几何平均数，当且仅当a1＝a2＝…=an时， 等号成立．
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(1)abc为定值时
a b c 3 abc
3
当且仅当a b c时, 等号成立.
(2)a b c为定值时
abc 3 abc ( ) 3
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abc 3 推论: abc(a , b, c R ) 3
(1)abc为定值时
*
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推广
关于“平均数”的概念：
1.如果 a1 , a2 , , an R , n 1且n N 则： a1 a 2 a n 叫做这n个正数的算术平均数。 n
*
n

a1a2 an 叫做这n个正数的几何平均数。
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abc 3 推论: abc(a , b, c R ) 3
(1)abc为定值时
a b c 3 abc
3
当且仅当a b c时, 等号成立.
(2)a b c为定值时
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abc 3 推论: abc(a , b, c R ) 3
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201பைடு நூலகம்年上学期
复习：
定理1.如果 a, b R ，那么 a 2 b 2 2ab （当且仅当 a
b 时取“=”）
a, b R
1．指出定理适用范围：
ab 定理2.如果 a , b 是正数，那么 ab 2
（当且仅当
2．强调取“=”的条件：
ab
a b时取“=”号）
三个正数的算术
几何平均数
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复习：
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复习：
定理1.如果 a, b R ，那么 a 2 b 2 2ab （当且仅当 a
b 时取“=”）
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2011年上学期
复习：
定理1.如果 a, b R ，那么 a 2 b 2 2ab （当且仅当 a
（当且仅当
2．强调取“=”的条件：
ab
a b时取“=”号）

注意：1．这个定理适用的范围： a, b R
2．语言表述：两个正数的算术平均数不小于 它们的几何平均数。
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注意:利用算术平均数和集合平均
数定理时一定要注意定理的条件:
一正;二定;三相等.有一个条件达不
a b c 3 abc
3
当且仅当a b c时, 等号成立.
(2)a b c为定值时
abc 3 abc ( ) 3
当且仅当a b c时, 等号成立.
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推广
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推广
关于“平均数”的概念：
3
当且仅当a b c时, 等号成立.
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abc 3 推论: abc(a , b, c R ) 3
(1)abc为定值时
a b c 3 abc
3
当且仅当a b c时, 等号成立.
(2)a b c为定值时
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b 时取“=”）
a, b R
1．指出定理适用范围：
2．强调取“=”的条件：
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复习：
定理1.如果 a, b R ，那么 a 2 b 2 2ab （当且仅当 a
b 时取“=”）
a, b R
1．指出定理适用范围：
2．强调取“=”的条件：
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推广
关于“平均数”的概念：
1.如果 a1 , a2 ,
, an R , n 1且n N 则：
*

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2011年上学期
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关于“平均数”的概念：
1.如果 a1 , a2 , , an R , n 1且n N 则： a1 a 2 a n 叫做这n个正数的算术平均数。 n
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例1.已知x, y, z R , 求证 : ( x y z ) 27xyz
3

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例1.已知x, y, z R , 求证 : ( x y z ) 27xyz
3

x yz 3 证明：因为 xyz, 所以 3
n
2.基本不等式：
a1a2 an n N * , ai R ,1 i n
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关于“平均数”的概念：
1.如果 a1 , a2 , , an R , n 1且n N 则： a1 a 2 a n 叫做这n个正数的算术平均数。 n
到就不能取得最值.
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1.基本不等式及其常用变式 (1)a b 2ab (a, b R) ab (2) ab (a, b R ) 2 a b 1 (3) 2(ab 0) x （x 2 0） b a x 2 2 ab 2 a b (4)ab ( ) ( a, b R ) 2 2 2 2 2 (5)a + b + c ab+bc + ca (a,b,c R)
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2 ( 1 ) 当 0 x 1 时 , 求函数 y x (1 x)的最大值. 例2:
解: 0 x 1,
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2 ( 1 ) 当 0 x 1 时 , 求函数 y x (1 x)的最大值. 例2:

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a b c 3abc
3 3 3
(a b) 3a b 3ab c 3abc
3 3 2 3
(a b)3 c3 3a 3b 3ab 2 3abc
2 2 (a b c) (a b) (a b)c c 3ab(a b c ) 2 2 2 (a b c) a 2ab b ac bc c 3ab
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2011年上学期
abc 3 推论: abc(a , b, c R ) 3
(1)abc为定值时
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abc 3 推论: abc(a , b, c R ) 3
(1)abc为定值时
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2011年上学期
复习：
定理1.如果 a, b R ，那么 a 2 b 2 2ab （当且仅当 a
b 时取“=”）
a, b R
1．指出定理适用范围：
ab 定理2.如果 a , b 是正数，那么 ab 2
（当且仅当
2．强调取“=”的条件：
ab
a b时取“=”号）
定理3
abc 3 若a, b.c R , 那么 abc , 3 当且仅当a b c时，等号成立。

语言表述：三个正数的算术平均不 小于它们的几何平均。
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abc 3 推论: abc(a , b, c R ) 3
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3 3 3

等号当且仅当a＝b＝c时成立．
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定理3
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定理3
abc 3 若a, b.c R , 那么 abc , 3 当且仅当a b c时，等号成立。

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3

x yz 3 证明：因为 xyz, 所以 3
( x y z) xyz, 27
3
即 ( x y z ) 27xyz
3
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2 ( 1 ) 当 0 x 1 时 , 求函数 y x (1 x)的最大值. 例2:
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例1.已知x, y, z R , 求证 : ( x y z ) 27xyz
3

x yz 3 证明：因为 xyz, 所以 3
( x y z) xyz, 27
3
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例1.已知x, y, z R , 求证 : ( x y z ) 27xyz
b 时取“=”）
1．指出定理适用范围：
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复习：
定理1.如果 a, b R ，那么 a 2 b 2 2ab （当且仅当 a
b 时取“=”）
a, b R
1．指出定理适用范围：
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2011年上学期
复习：
定理1.如果 a, b R ，那么 a 2 b 2 2ab （当且仅当 a
2 2
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思考
基本不等式给出了两个整数的算术 平均数与几何平均数的关系，这个不等 式能否推广呢？例如，对于3个正数，会
有怎样的不等式成立呢？
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类比、猜想：若a , b, c R , 那么 abc 3 abc,当且仅当a b c时, 3 等号成立.

注意：1．这个定理适用的范围： a, b R
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复习：
定理1.如果 a, b R ，那么 a 2 b 2 2ab （当且仅当 a
b 时取“=”）
a, b R
1．指出定理适用范围：
ab 定理2.如果 a , b 是正数，那么 ab 2
解: 0 x 1, 1 x 0,
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2 ( 1 ) 当 0 x 1 时 , 求函数 y x (1 x)的最大值. 例2:
解: 0 x 1, 1 x 0,
x x y x (1 x ) 4 (1 x ) 2 2
ab
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复习：
定理1.如果 a, b R ，那么 a 2 b 2 2ab （当且仅当 a
b 时取“=”）
a, b R
1．指出定理适用范围：
ab 定理2.如果 a , b 是正数，那么 ab 2
2．强调取“=”的条件：
ab
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abc 3 推论: abc(a , b, c R ) 3
(1)abc为定值时
a b c 3 abc
3
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abc 3 推论: abc(a , b, c R ) 3
(1)abc为定值时
a b c 3 abc
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关于“平均数”的概念：
1.如果 a1 , a2 , , an R , n 1且n N 则： a1 a 2 a n 叫做这n个正数的算术平均数。 n
*
n

a1a2 an 叫做这n个正数的几何平均数。
a1 a 2 a n ≥ n