高二数学人教A版选修一《3.3.1抛物线及其标准方程》新课件(34页)

(2)不同点： ①焦点在 x 轴上时，方程的右端为±2px，左端为 y2；焦点 在 y 轴上时，方程的右端为±2py，左端为 x2. ②开口方向与 x 轴(或 y 轴)的正半轴相同时，焦点在 x 轴(或 y 轴)正半轴上，方程右端取正号；开口方向与 x 轴(或 y 轴)的负 半轴相同时，焦点在 x 轴(或 y 轴)负半轴上，方程右端取负号．
_－__p2_，___0__
x2＝2py(p>0)
__0_，___p2__
x2＝－2py(p>0)
__0_，__－__p2__
准线方程
_x_＝__－__p2_
__x_＝__p2__ __y_＝__－__p2_ __y_＝__p2__
2.抛物线标准方程的特点 (1)是关于 x，y 的二元二次方程． (2)p 的几何意义是 焦点到准线 的距离．
(二)基本知能小试
1．抛物线 y2＝－8x 的焦点坐标是
()
A．(2,0)
B．(－2,0)
C．(4,0)
D．(－4,0)
解析：抛物线 y2＝－8x 的焦点在 x 轴的负半轴上，且p2＝2，
因此焦点坐标是(－2,0)．
答案：B
2．抛物线 y2＝8x 的焦点到准线的距离是
A．1
B．2
C．4
D．8
()
[析题建模]
解：(1)如图，以经过点 B 且垂直于 l(垂足为 K)的直线为 y 轴，线段 BK 的中点 O 为原点，建立直角坐标系 xOy，则 B(0,2)，A(2,4)． 因为曲线形公路 PQ 上任意一点到 B 地的距离等于到高铁线 l 的距离，所以 PQ 所在的曲线是以 B(0,2)为焦点，l 为准线的抛 物线． 设抛物线方程为 x2＝2py(p>0)，则 p＝4， 故曲线形公路 PQ 所在曲线的方程为 x2＝8y.
答案：A 2．已知动点 P 到定点(2,0)的距离和它到直线 l：x＝－2 的距离
相等，则点 P 的轨迹方程为________． 答案：y2＝8x
知识点二 抛物线的标准方程
(一)教材梳理填空
1．抛物线标准方程的几种形式
图形
标准方程 y2＝2px(p>0)
焦点坐标
__p2_，___0___
y2＝－2px(p>0)
[对点练清] 1．[变结论]若本例中点 M 所在轨迹上一点 N 到点 F 的距离为 2，
求点 N 的坐标．
解：设点 N 的坐标为(x0，y0)，则|NF|＝2.又点 M 的轨迹方
程为 y2＝2x(x≠0)，所以由抛物线的定义得 x0＋12＝2，解
得 x0＝32.因为 y20＝2x0，所以 y0＝± 3，故点 N 的坐标为
谢谢 !
[对点练清] 1．若抛物线 y2＝2px 的焦点坐标为(1,0)，则 p＝______，准线方
程为________．
解析：因为抛物线的焦点坐标为(1,0)， 所以p2＝1，p＝2，准线方程为 x＝－p2＝－1. 答案：2 x＝－1
2．根据下列条件分别求出抛物线的标准方程： (1)焦点在 y 轴上，焦点到准线的距离为 5； (2)焦点为直线 3x－4y－12＝0 与坐标轴的交点．
[典例 1] 根据下列条件分别求出抛物线的标准方程： (1)准线方程为 y＝23； (2)经过点(－3，－1)． [解] (1)因为抛物线的准线交 y 轴于正半轴，且p2＝23，则 p ＝43，所以所求抛物线的标准方程为 x2＝－83y. (2)∵点(－3，－1)在第三象限，∴设所求抛物线的标准方程 为 y2＝－2px(p>0)或 x2＝－2py(p>0)． 若抛物线的标准方程为 y2＝－2px(p>0)， 则由(－1)2＝－2p×(－3)，解得 p＝16；
解：(1)已知抛物线的焦点在 y 轴上，可设方程为 x2＝ 2my(m≠0)，由焦点到准线的距离为 5，知|m|＝5，m＝±5， 所以满足条件的抛物线有两条，它们的标准方程分别为 x2＝10y 和 x2＝－10y. (2)对于直线方程 3x－4y－12＝0， 令 x＝0，得 y＝－3；令 y＝0，得 x＝4， ∴抛物线的焦点为(0，－3)或(4,0)．
题型三 抛物线的实际应用 [学透用活]
[典例 3] 某河上有座抛物线形拱桥，当水面距拱顶 5 m 时， 水面宽 8 m，一木船宽 4 m，高 2 m，载货后船露在水面上的部 分高为34 m，问水面上涨到与拱顶相距多少时，木船开始不能通 航？
[解] 以拱桥的拱顶为坐标原点，建立如图所示的平面直角 坐标系，设抛物线方程为 x2＝－2py(p>0)，
二、应用性——强调学以致用 2.如图所示，A 地在 B 地东偏北 45°方向，
相距 2 2 km 处，B 地与东西走向的高 铁线(近似看成直线)l 相距 4 km.已知 曲线形公路 PQ 上任意一点到 B 地的距离等于到高铁线 l 的距 离，现要在公路旁建造一个变电房 M(变电房与公路之间的距 离忽略不计)，分别向 A 地、B 地送电． (1)试建立适当的直角坐标系，求环形公路 PQ 所在曲线的轨 迹方程； (2)问变电房 M 应建在相对 A 地的什么位置(方位和距离)，才 能使得架设电路所用电线长度最短？并求出最短长度．
提示：不一定是抛物线，当直线 l 经过点 F 时，点的轨迹 是过点 F 且垂直于定直线的一条直线，l 不过定点 F 时，点的轨 迹是抛物线．
(二)基本知能小试
1．若动点 P 到定点 F(－4,0)的距离与到直线 x＝4 的距离相等，
则点 P 的轨迹是
()
A．抛物线
B．线段
C．直线
D．射线
解析：动点 P 的条件满足抛物线的定义．
(2)要使架设电路所用电线长度最短， 即|MA|＋|MB|值最小． 如图所示，过 M 作 MH⊥l，垂足为 H， 依题意得|MB|＝|MH|， 所以|MA|＋|MB|＝|MA|＋|MH|，故当 A，M，H 三点共线时，|MA| ＋|MH|取得最小值，即|MA|＋|MB|取得最小值，此时 M2，12. 变电房 M 建在 A 地正南方向且与 A 地相距72 km 时，所用电线 长度最短，最短长度为 6 km.
解析：由 y2＝8x 得 p＝4，即焦点到准线的距离为 4.
答案：C
3．抛物线 x＝4y2 的准线方＝－116
D．x＝18
()
解析：由 x＝4y2 得 y2＝14x，故准线方程为 x＝－116.
答案：C
题型一 抛物线的标准方程 [学透用活]
四种位置的抛物线标准方程的对比 (1)共同点： ①原点在抛物线上； ②焦点在坐标轴上； ③焦点的非零坐标都是一次项系数的14.
[方法技巧] 抛物线定义的 2 种应用
根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的 实现距 距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线定义 离转化 可以实现点点距离与点线距离的相互转化，从而
简化某些问题 在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最 解决最 小值时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折 值问题 线为直线解决最值问题
[方法技巧] 求解抛物线实际应用题的 5 步骤
[对点练清] 喷灌的喷头装在直立管柱 OA 的顶点 A 处，喷出的水流呈抛物 线形，且最高点 B 高 5 m，与 OA 所在的直线相距 4 m，水流落 在以 O 为圆心，半径为 9 m 的圆上，则管柱 OA 的长是多少？ 解：如图所示，建立直角坐标系，则 B 点坐标为(0,0)，设水流 所形成的抛物线的方程为 x2＝－2py(p>0). 因为点 C(5，－5)在抛物线上，所以 25＝－2p·(－5)， 因此 2p＝5，所以抛物线的方程为 x2＝－5y. 因为点 A(－4，y0)在抛物线上， 所以 16＝－5y0，即 y0＝－156， 所以 OA 的长为 5－156＝1.8(m)． 所以管柱 OA 的长为 1.8 m.
若抛物线的标准方程为 x2＝－2py(p>0)， 则由(－3)2＝－2p×(－1)，解得 p＝92. ∴所求抛物线的标准方程为 y2＝－13x 或 x2＝－9y.
[方法技巧] 1．用待定系数法求抛物线标准方程的 4 步骤
2．求抛物线的标准方程时需注意的 3 个问题 (1)把握开口方向与方程间的对应关系． (2)当抛物线的类型没有确定时，可设方程为 y2＝mx 或 x2 ＝ny，这样可以减少讨论情况的个数． (3)注意 p 与p2的几何意义．
[解] 由于位于 y 轴右侧的动点 M 到 F12，0的距离比它到 y 轴的距离大12，所以动点 M 到 F12，0的距离与它到直线 l：x ＝－12的距离相等．由抛物线的定义知动点 M 的轨迹是以 F 为 焦点，l 为准线的抛物线(不包含原点)，其方程应为 y2＝2px(p>0) 的形式，而p2＝12，所以 p＝1,2p＝2，故点 M 的轨迹方程为 y2 ＝2x(x≠0)．
第三章 圆锥曲线的方程 3.3.1抛物线及其标准方程
高二数学人教A版选修一新课件
知识点一 抛物线的定义 (一)教材梳理填空 抛物线的定义 (1)定义：平面内与一个定点 F 和一条定直线 l(不经过点 F) 的 距离相等 的点的轨迹叫做抛物线． (2)焦点：定点 F. (3)准线：定直线 l.
[微思考] 在抛物线定义中，若去掉条件“l 不经过点 F”， 点的轨迹还是抛物线吗？
当焦点为(0，－3)时，p2＝3，∴p＝6，此时抛物线的标准方 程为 x2＝－12y； 当焦点为(4,0)时，p2＝4，∴p＝8，此时抛物线的标准方程为 y2＝16x. ∴所求抛物线的标准方程为 x2＝－12y 或 y2＝16x.
题型二 抛物线定义及应用 [学透用活]
[典例 2] 若位于 y 轴右侧的动点 M 到 F12，0的距离比它 到 y 轴的距离大12. 求点 M 的轨迹方程．
[课堂思维激活] 一、综合性——强调融会贯通 1．已知点 P 是抛物线 y2＝2x 上的一个动点，求点 P 到点 A(0,2)
的距离与点 P 到该抛物线准线的距离之和的最小值． 解：由抛物线的定义可知，抛物线上的点到准线 的距离等于到焦点的距离．由图可知，当点 P， A(0,2)和抛物线的焦点 F12，0三点共线时距离 之和最小．所以最小距离 d＝ 0－122＋2－02＝ 217.
课后作业
1. 从课后习题中选取； 2. 完成练习册本课时的习题.
学法指导
新课程标准有以下几项变化，一是理念变化：确立核心素养导向的课 程目标；二是结构变化：明确学业要求与学业质量标准；三是内容变化： 调整教学要求和增加教学内容。最终是要结合学生认知水平和生活经验， 设计合理的生活情境、数学情境、科学情境。关注情境的真实性，适当引 入数学文化，真正让学生感受数学与生活的密切关系和对生活的影响以及 作用。培养学生的核心素养目标，从本质上提升教学质量。
由题意知，点 A(4，－5)在抛物线上(设 AA′为水面宽且 AA′＝8 m)，所以 16＝－2p×(－5)，2p＝156，所以抛物线方程 为 x2＝－156y(－4≤x≤4)．
设水面上涨到船面两侧与拱桥接触于 B，B′(B′与 B 关于 y 轴对称)时，船开始不能通航，设 B 点坐标为(2，y)，由 22＝－ 156y，得 y＝－54，此时水面与抛物线拱顶相距|y| ＋34＝54＋34＝2(m)．
课堂中要使学生体验数学与现实生活与其他学科的联系，锻炼了表达 和解决问题的能力；培养了学生运用数学思维进行表达与交流的能力，发 展应用意识与实践能力。课堂教学要让学生有充分的独立思考的时间，有 丰富的动手操作活动，培养学生学会观察，学会表达。只有坚持学习，与 时俱进，真正做到以培养学生的核心素养为目标，我们才能提高教学质量。
32，
3或32，－
3.
2．[变结论]若本例中增加一点 A(3,2)，其他条件不变，求|MA| ＋|MF|的最小值，并求出点 M 的坐标．
解：如图，由于点 M 在抛物线上，所以|MF| 等于点 M 到其准线 l 的距离|MN|，于是|MA|＋ |MF|＝|MA|＋|MN|≥|AN|＝3＋12＝72.当 A，M， N 三点共线时，|MA|＋|MN|取最小值，亦即|MA|＋|MF|取最 小值72，这时 M 的纵坐标为 2.可设 M(x0,2)，代入抛物线方程 得 x0＝2，即 M(2,2)．