一元二次方程定义

1 5x2 1 4x
一般式： 5x 2
4 x 1 0.
二次项系数为５，一次项系数－4，常数项－1.
2 4x2 81
一般式： 4x
2
81 0.
二次项系数为4，一次项系数0，常数项－81.
下列方程的二次项系数、一次项系数和常数项： 1 (1) x2 1 0 2
解：去括号，得 3x2－3x=5x+10. 移项，合并同类项，得一元二次方程的 一般形式： 3x2-8x-10=0. 其中二次项系数为3，一次项系数为－8，常数项为 －10.
练习
1.将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出 其中的二次项系数，一次项系数及常数项：
2 1 5 x 1 4x； 2 2 4 x 81；
一元二次方程定义
什么是方程？什么是方程的解（或根）？ 答：含有未知数的等式叫做方程。使方程 两边成立的未知数的值叫做方程的解。 曾学过哪些方程？ 分式方程，一元一次方程，二元一次方程。
什么叫做一元一次方程？
问题1
小区在每两幢楼之间，开辟面积为150平方米 的一块长方形绿地，并且长比宽多5米，则绿 地的长和宽各为多少？
≠± 1
时，是一元二次方程;
＝－1
时，是一元一次方程．
3.若关于x的方程（m+1)x |m|+1 -2x+3m=0 是一元二次方程,求m的值。
2.根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化成一元二次方程的 一般形式： （1）4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长x； （2）一个矩形的长比宽多2，面积是100，求矩形的长x；
（3）x2－5x=-6的根是 X1=2, x2=3
。
例3、解方程x2 = 2
2x－2
解 移项，得 x2 －2 2x+2=0,
即 x2 －2 2 x+( 2 )2=0. ∴(x － 2 )2=0,
∴x1=x2= 2
试一试
2、用因式分解法解下列一元二次方程
(1) (x 2) 2 x 4
2
（3）把长为1的木条分成两段，使较短一段的长与全长的积，等 于较长一段的长的平方，求较短一段的长x；
解：（1）设其边长为x，则面积为x2 4x2=25 （3）设其中的较短一段为x， 则另较长一段为（1－x）
x· 1 = (1－x) 2 X2－3x＋1=0.
4x2-25=0
（2）设长为x，则宽（x－2） x(x－2)=100. x2－2x－100=0.
像上面这种利用因式分解解一元二次方程 的方法叫做因式分解法。它的基本步骤是：
1.若方程的右边不是零，则先移项，使方程的右 边为零； 2、将方程的左边分解因式； 3、根据若A· B=0,则A=0或B=0,将解一元二次方程转化 为解两个一元一次方程。
试一试
1、填空：
（1）方程x2 =2x的根是 X1=0, x2=2 ； （2）4x2－25=0的根是 X1=2.5, x2=-2.5 .
x
（100－2x）（50－2x）=3600. 整理，得 4x2－300x+1400=0. 化简，得 x2－75x+350=0 . 由方程②可以得出所切正方形的具体尺寸． ②
方程① ② ③有什么特点？
x2+5x-150=0 x2－75x+350=0 9(1+x)2=12.96
1、整式方程 2、只含一个未知数的 一元方程；
2
这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中 ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一
次项系数；c是常数项．
一元二次方程的一般形式
ax２＋bx＋c＝０(a, b，c为常数, a≠０)
a:
b:
二次项系数
一次项系数．
c : 常数项
为什么a≠0?
b,c可以为零吗?
例: 将方程3x(x－1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般 形式，并写出其中的二次项系数，一次项系数及常数项．
(2) 9x ( x 1)
2
2
3.用因式分解法解下列方程：
（1）(ｘ－2)(2ｘ－3)＝6；
（2）(2x-1)2=-8x
做一做
用因式分解法解下列一元二次方程
(1)7x2＝21x；
(2)(7ｘ-1)2＝4x2； (3)4(ｘ－3)2-x(x－3)＝0； (4)x(ｘ－4)＝-4
2 x 3 3x 3 0
这节课我们学了什么？
1、一元二次方程的概念
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整 式方程叫做一元二次方程。
2、一元二次方程的一般形式
一般地,任何一个关于x 的一元二次方程都可以 化为 ax 2 bx的形式 c 0 ,我们把(a,b,c为常数，a≠0）称为一 元二次方程的一般形式。
(2)
(3) (4)
4x 0
2
2x x 5
2
x 2x
2
(5)
(6)
( x 6)( x 1) 12
( x 3) 7
2
概念的内涵与外延
1.关于x的方程 (k－3)x2 ＋ 2x－1＝0,当 k ≠3 _______ 时，是一元二次方程． 2.关于x的方程 (k2－1)x2 ＋ 2 (k－1) x ＋ 2k ＋ 2＝0, 当k 当k
2
2x 3x 3 2 0
2
① ② ③
3、未知数的最高次数是2的 二次方程； . 像这样的等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元）， 并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程.
判断下列方程是一元二次方程吗?
√ x 2x
(1) (3)
2
(2)
√
( x 3) 7
2
2 3 2 x 5
(6)
(4)
复习回顾
因式分解: 把一个多项式化成几个整式的积的形式 主要方法:
(1)提取公因式法
(2)公式法:
a2－b2=(a+b)(a－b)
a2±2ab+b2=(a±b)2
在学习因式分解时，我们已经知道， 可以利用因式分解求出某些一元二次方 程的解
请利用因式分解解下列方程： （1）y2-3y＝0; (2)4x2=9
9(1+x) =12.96
2
问题3 ：如图，有一块矩形铁皮，长100cm，宽50cm，在它的四角各 切一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方 盒，如果要制作的无盖方盒的底面积为3600cm2，那么铁皮各角应切去 多大的正方形？ 设切去的正方形的边长为xcm，则盒底的长为（100－2x）cm，宽 为（50－2x）cm，根据方盒的底面积为3600cm2，得
x
x5
解：设绿地的宽为x米，则长为(x+5)米，
x(x&题2
我们非常注重小区的环境建设，给住户一个 整洁、舒适的环境；我们2004年投入9万元， 2006年投入资金12.96万,那么从2004年到 2006年投入资金的年平均增长率是多少呢?
解:设年平均增长率为x,则可得方程:
一元二次方程的解：能使一元二次方程 两边相等的未知数的值叫一元二次方 程的解或根。 练习： 判断未知数的值x=-1，x=0是否 是方程x² -2=x的解？
试一试
1、已知关于x的一元二次方程x2+ax+a=0 的一个根是3，求a的值。 2、已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0 的一个根是1，求a+b+c的值。 若a-b+c=0，你能通过观察,求出方程的 一个根吗？
x 2y 3 0
2
(5) (7)
√ ( x 6)( x 1) 12
√ 4x 0
2
x x 5
2
(8)
√ 2x x 5
2
1 2 (9) x 1 0 √ 2
一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整
理，都能化成如下形式
ax bx c 0 a 0 .