专辑07 带电粒子在电场运动-2021年高考5月北京市二模物理试题分项汇编(解析版)

2021年高考5月北京市二模物理试题分项汇编
专题07 带电粒子在电场运动
1、（2021·北京市丰台区高三下学期5月二模）如图所示， 用一条长l =0.2 m 的绝缘轻绳悬挂一个带电小球，小球质量m =1.0×10-2kg ，所带电荷量q =＋2.0×10-8C 。

现加一水平方向的匀强电场，电场区域足够大，平衡时绝缘绳与竖直方向夹角θ=37°，已知g=10m/s 2，sin37°=0.6，cos37°=0.8。

（1）求匀强电场电场强度的大小；
（2）若将轻绳向右拉至水平后由静止释放，求小球到达最低点时的速度大小；
（3）若在图中所示位置剪断轻绳，判断小球此后的运动情况，并求0.1s 后小球的速度大小。

【答案】（1）63.7510⨯N/C ；（2）1v =m/s ；（3）1.25m/s 【解析】
(1)小球静止，受重力、电场力和线的拉力，根据平衡条件有
tan37Eq mg =︒
解得
6tan 37 3.7510mg E q
︒
=
=⨯N/C
(2)小球由静止释放至最低点过程中，由动能定理
21
2
Eql mgl mv -+=
代入数据解得
1v =m/s
(3)剪断轻绳后，小球受重力、电场力将做匀加速直线运动。

根据牛顿第二定律可得
cos37mg
ma =︒
根据速度时间公式
v at =
联立可得0.1s 后小球的速度大小为
v =1.25m/s
2、（2021·北京市顺义区高三下学期5月二模）静止在太空的飞行器上有一种装置，它利用电场加速带电粒子，形成向外发射的粒子流，从而对飞行器产生反冲力，使其获得加速度。

已知飞行器的质量为M ，发射的是初速度为零的3价阳离子，射出时阳离子的速度为v ，每秒发射阳离子的个数为N ，每个阳离子的质量为m ，单位电荷的电量为e ，不计阳离子间的相互作用力和发射阳离子后飞行器质量的变化，求： （1）电场的加速电压U ； （2）发射器的发射功率P ； （3）飞行器获得的加速度a 。

【答案】（1）26mv U e =；（2）22
Nmv ；（3）Nmv M
【解析】
(1)每个阳离子带3个单位正电荷，电荷量为3e ，阳离子加速过程，根据动能定理可得
21
32
Ue mv =
解得
2
6mv U e
=
(2)每秒发射离子的能量为
W =Pt =P •1=P
发射功率可表示为
2
k 2
Nmv P N E =∆= (3)设射出离子后飞行器的速度为1v ，喷射时间为t ，根据动量守恒定律可得
10Ntmv Mv -=
根据加速度定义式可得
1v Nmv a t M
=
= 3、（2021·北京市东城区高三下学期5月二模）在一个点电荷Q 的电场中，以点电荷Q 的位置为原点O 建立平面直角坐标系，如图1所示，在其中A 、B 两点分别放置试探电荷，试探电荷受到静电力的大小F 跟试探电荷的电荷量q 的关系分别如图2中直线a 、b 所示。

已知A 点的坐标为（0.3 m ，0）。

（1）求A 点电场强度的大小E A 和B 点电场强度的大小E B 。

（2）求B 点到点电荷Q 的距离r B 。

（3）将一试探电荷从B 点移动到A 点，请根据点电荷场强分布的特点，自选两条移动路径证明，电场力做的功W BA 与路径无关（在图中画出所选择的路径）。

【答案】（10分）（1）E A =40N/C ；E B =40N/C ；（2）1.2m ；（3）见解析。

【解析】（1）A 点电场强度的大小-8
A -8410=N/C=40N/C 0.110F E q ⨯⨯＝；
B 点电场强度的大小-8
B -8
110=N/C=2.5N/C 0.410F E q ⨯⨯＝；
（2）由2
kQ E r ＝
，得A 214r r ==，得r 2=4 r 1=1.2m ； （3）如答图所示，连接OB ，以Ｑ所在处的原点O 为圆心，分别过A 做圆弧与OB 相交于Ｃ、过Ｂ做圆弧与ｘ轴相交于Ｄ，则所选两条路径分别为从B 到Ｃ到Ａ和从B 到Ｄ到Ａ。

ＣＡ和ＢＤ分别为点电荷Ｑ的等势面，沿等势面移动电荷时电场力做功为零；
ＢＣ和ＤＡ分别沿半径方向，根据到点电荷距离相等的各点场强大小相等的场强分布特点可知，试探
电荷分别从Ｂ到Ｃ和从Ｄ到Ａ的过程中，电场力在每小段距离上做的功都对应相等。

因此，电场力做功与这两条路径无关，只取决于初位置Ｂ和末位置Ａ。

O
答图1
4、（2021·北京市朝阳区高三下学期5月二模）静止电荷在其周围空间产生的电场，称为静电场；随时间变化的磁场在其周围空间激发的电场称为感生电场。

（1）如图1所示，真空中一个静止的均匀带电球体，所带电荷量为＋Q ，半径为R ，静电力常量为k 。

距球心r 处电场强度的大小分布满足如下关系：32()()Q
k
r r R R
E Q
k r R r
<=≥
；
a ．将电荷量为q 的试探电荷放在距离带电球球心2R 处，求其受到的静电力大小F ；
b ．在图2坐标系中画出E - r 图像，并借助该图像求出带电球的球心与球面间的电势差U 。

（2）如图3所示，在纸面内以O 为圆心、半径为a 的圆形区域内，分布着垂直纸面向里的磁场，磁感应强度B 的大小随时间均匀增加，变化率为k 。

该变化磁场激发感生电场，距圆心r 处的电场强度大小分布
满足如下关系：2
()2
1
()2k
r r a E ka r a r
<=≥；
电子感应加速器是利用感生电场使电子加速的设备。

一种电子感应加速器的简化模型如图4所示，空间存在垂直纸面向里的磁场，在以O 为圆心，半径小于r 0的圆形区域内，磁感应强度B 1=k 1t ，在大于等于r 0的环形区域内，磁感应强度B 2=k 2t ，其中k 1、k 2均为正的定值。

电子能在环形区域内沿半径等于r 0的圆形轨道运动，并不断被加速。

a ．分别说明B 1、B 2的作用；
R
O
图1
图1
图2
图3
图4
b ．推导k 1与k 2应满足的数量关系。

【答案】（12分）（1）a .
24R qQ
k
F =；b.如图所示；R kQ U 2=；（2）a .略；b. 122
1k k =。

【解析】（1）a . 由所给表达式可得 24R qQ
k
F = (2分)
b. E - r 关系如图所示
根据图像所围面积可求出球心到球面的电势差为R
kQ
U 2= (4分) （2）a . B 1的作用是产生感生电场，使电子加速，
B 2的作用是为电子做圆周运动提供向心力 (2分) b. 电子在轨道运动的瞬时速度为v ，电子的质量为m ，电荷量为e ，
由牛顿第二定律得02
2r v m evB =
经极短时间 t v
er m t B k ΔΔΔΔ022⋅==
t v
m
r k e ΔΔ2101=⋅ 综上得122
1
k k =
(4分) 全卷评分说明：用其他方法解答正确，给相应分数。

5、（2021·北京市西城区高三下学期5月二模）电场对放入其中的电荷有力的作用。

如图所示，带电球C 置于铁架台旁，把系在丝线上的带电小球A 挂在铁架台的P 点。

小球A 静止时与带电球C 处于同一水平线上，丝线与竖直方向的偏角为α。

已知A 球的质量为m ，电荷量为+q ，重力加速度为g ，静电力常量为k ，两球可视为点电荷。

t Δ
（1）画出小球A 静止时的受力图，并求带电球C 对小球A 的静电力F 的大小；
（2）写出电场强度的定义式，并据此求出带电球C 在小球A 所在处产生的电场的场强E A 的大小和方向；
（3）若已知小球A 静止时与带电球C 的距离为r ，求带电球C 所带的电荷量Q 。

【答案】（9分）（1）小球A 受力如答图1所示；（2）tan A mg E q
α=
，方向水平向右；（3）2
tan mgr Q kq
α
=。

【解析】（1）小球A 受力如答图1所示 （1分）
根据平衡条件可知 tan F mg α= （2分）
（2）电场强度的定义式 F E q
=
（1分）
带电球C 在小球A 所在处产生的电场的场强tan A F mg E q
q
α=
=
（1分）
方向水平向右（1分）
（3）根据库仑定律 2
=k
Qq F r
（2分）
C
A
P a
mg F F T
答图1
解得 2
tan mgr Q kq
α
=
（1分）
6、（2021·北京市西城区高三下学期5月二模）研究原子核的结构时，需要用能量很高的粒子轰击原子核。

为了使带电粒子获得很高的能量，科学家发明了各种粒子加速器。

图1为某加速装置的示意图，它由多个横截面积相同的金属圆筒依次排列组成，其轴线在同一直线上，序号为奇数的圆筒与序号为偶数的圆筒分别和交变电源的两极相连，交变电源两极间的电势差的变化规律如图2所示。

在t ＝0时，奇数圆筒相对偶数圆筒的电势差为正值。

此时和偶数圆筒相连的金属圆板（序号为 0）的中央有一电子，在圆板和圆筒1之间的电场中由静止开始加速，沿中心轴线进入圆筒1。

为使电子在圆筒之间的间隙都能被加速，圆筒长度的设计必须遵照一定的规律。

若电子的质量为m ，电荷量为-e ，交变电源的电压为U ，周期为T ，两圆筒间隙的电场可视为匀强电场，圆筒内场强均为0。

不计电子的重力和相对论效应。

（1）求电子进入圆筒1时的速度v 1，并分析电子从圆板出发到离开圆筒2这个过程的运动。

（2）若忽略电子通过圆筒间隙的时间，则第n 个金属圆筒的长度L n 应该为多少？
（3）若电子通过圆筒间隙的时间不可忽略，且圆筒间隙的距离均为d ，在保持圆筒长度、交变电压的变化规律和（2）中相同的情况下，该装置能够让电子获得的最大速度是多少？
【答案】（10分）（1）12Ue m =
v ；运动过程略；（2）2n nUe
T m =L ；（3）2m UeT dm
=v 。

【解析】（1）电子由金属圆板经电场加速进入圆筒1， 根据动能定理 211
02
Ue m =
-v （1分） t
T
-U
u
2T
0 U 图2
图1
交变 电压
解得：1=
v （1分） 电子从圆板开始先做匀加速直线运动，进入圆筒1，筒内场强为0，电子不受外力做匀速直线运动，在圆筒1、2之间间隙再做匀加速直线运动，进入圆筒2再做匀速直线运动。

（2分）
（2）电子进入第n 个圆筒时，经过n 次加速，根据动能定理21
02
n nUe m =
-v （1分）
解得 n =
v 由于不计电子通过圆筒间隙的时间，则电子在圆筒内做匀速直线运动的时间恰好是半个周期，则：
2
n n
T
L =v （1分）
解得 n =L （1分） （3）由于保持圆筒长度、交变电压的变化规律和（2）中相同，若考虑电子在间隙中的加速时间，则粒子进入每级圆筒的时间都要比（2）中对应的时间延后一些，如果延后累计时间等于2
T
，则电子再次进入电场时将开始减速，此时的速度就是装置能够加速的最大速度。

方法1：由于两圆筒间隙的电场为匀强电场，间距均相同，则电子的加速度为：
F a m =
F Ee = U E d = 则 Ue a dm
= （1分） 累计延后时间为
2T ，则电子的加速时间为2
T
，所以电子的最大速度为：2m T a =v （1分）
可得 2m UeT
dm
=
v （1分） 方法2：由于两圆筒间隙的电场为匀强电场，间距均为d ，经过N 次加速到最大速度，则：
122m T Nd ⎛⎫
=
⎪⎝⎭
v （1分）
根据动能定理 21 02m NUe m =-v （1分） 解得 2m UeT dm
=v （1分） 7、（2021·北京市海淀区高三下学期5月二模）放射性同位素电池具有工作时间长、可靠性高和体积小等优点，是航天、深海、医学等领域的重要新型电源，也是我国近年重点科研攻关项目。

某同学设计了一种利用放射性元素β衰变的电池，该电池采用金属空心球壳结构，如图19所示，在金属球壳内部的球心位置放有一小块与球壳绝缘的放射性物质，放射性物质与球壳之间是真空的。

球心处的放射性物质的原子核发生β衰变发射出电子，已知单位时间内从放射性物质射出的电子数为N ，射出电子的最小动能为E 1，最大动能为E 2。

在E 1和E 2之间，任意相等的动能能量区间ΔE 内的电子数相同。

为了研究方便，假设所有射出的电子都是沿着球形结构径向运动，忽略电子的重力及在球壳间的电子之间的相互作用。

元电荷为e ，a 和b 为接线柱。

（1）原子核是由质子1
1H 和中子10n 等核子组成的，说明β衰变的电子是如何产生的。

（2）求a 、b 之间的最大电势差U m ，以及将a 、b 短接时回路中的电流I 短。

（3）在a 、b 间接上负载时，两极上的电压为U ，通过负载的电流为I 。

论证电流大小I 随电压U 变化的关系，并在图20中画出I 与U 关系的图线。

（4）若电源的电流保持恒定且与负载电阻无关，则可称之为恒流源。

请分析负载电阻满足什么条件时该电源可视为恒流源。

（注意：解题过程中需要用到、但题目没有给出的物理量，要在解题中做必要的说明）
【答案】（12分）（1）10n →11H ＋ 0－1e ；（2）2m E U e
=；=I Ne 短；（3）论证及图像见解析；（4）当负载电图I
U
O 图20 Ne
阻满足0<R ≤1
2E Ne 时，该电池是恒流源。

【解析】（1）β衰变的实质是1个中子转化为1个质子和1个电子。

……（2分）
或写出核反应方程：10n →11H ＋ 0－1e 。

（2）根据动能定理有 －eU m = 0－E 2 …………………………（1分）
解得a 、b 之间的最大电势差 2m E U e
= …………………………（1分） 将a 、b 短接时所有逸出电子都能由球心处的放射源到达球壳，故短路电流=I Ne 短 …（1分） （3）①在0<eU ≤E 1时，即0<U ≤1E e
时，所有的电子都能够飞到球壳上，在单位时间内到达的电荷量为该电池可以供给的最大电流，此时=I Ne …………………………（1分）
②在E 1<eU < E 2时，即1E e <U <2E e
时，只有动能E ≥eU 的电子才能落到球壳上，这些电子决定了通过负载的电流（其余电子将在球心与球壳间往复运动，不流过负载）。

这些电子数与从放射性物质飞出的总电子数之比为 221
E eU E E η--= …………………………（1分） 因为单位时间发射的电子是按照能量均匀分布的，所以这时通过负载的电流I '为
221
E eU I Ne Ne E E η-'=-= ……（1分） ③在eU =E 2即U =2E e
时，电子将无法到达球壳，此时通过负载的电流为零。

……（1分） 综合①②③的分析，可知I 随电压U 变化的伏安特性关系如答图2所示 ………（1分）
（4）当0<U ≤1E e
时，所有的电子都能够飞到球壳上有 U =IR =NeR ………………（1分） 解得 当负载电阻满足0<R ≤1
2E Ne 时，该电池是恒流源 ………………（1分）
8、（2021·北京市朝阳区高三下学期5月二模反馈）静止电荷在其周围空间产生的电场，称为静电场；随时间变化的磁场在其周围空间激发的电场称为感生电场。

(1)如图所示，真空中有一半径为R 、电荷量为+Q 的均匀带电球体，静电力常量为k 。

以球心为坐标原点，沿半径方向建立x 轴。

理论分析表明，x 轴上各点的场强随x 变化关系如图所示：
a。

求x 1处场强E 1；
b。

若x 1R 大于Rx 2距离，x 1R 之间电势差绝对值为U 1，Rx 2之间电势差绝对值为U 2，请比较U 1、U 2大小并说明理由。

(2)现在科学技术研究中常要用到调整电子，电子感应加速器就是利用感生电场使电子加速的设备。

它的基本原理如图甲所示，上、下为两个电磁铁，磁极之间有一个环形真空室，电子在真空室内做圆周运动。

电磁铁线圈电流的大方向可以变化，在两极间产生一个变化的磁场，这个变化的磁场又在真空室内激发感生电场，其电场线是在同一平面内的一系列同心圆，产生的感生电场使电子加速。

图甲中上部分为侧视图、下部分为俯视图。

如果从上往下看，电子沿逆时针方向运动。

已知电子质量为m 、电荷量为e ，初速度为零，电子圆形轨道的半径为R 。

穿过电子圆形轨道面积的磁通量Φ随时间t 的变化关系如图乙所示，在t 0时刻后，电子轨道处的磁感应强度为B 0，电子加速过程中忽略相对论效应。

a 。

求在t 0时刻后，电子运动的速度大小；
I
U
O 答图2 Ne
b 。

为了约束加速电子在同一轨道上做圆周运动，电子感应加速器还需要加上“轨道约束”磁场，其原理如图丙所示。

两个同心圆，内圆半径为R ，内圆内有均匀的“加速磁场”B 1，方向垂直纸面向外。

另外在两圆面之间有垂直纸面向外的“轨道约束”磁场B 2，B 2之值恰好使电子在二圆之间贴近内圆面在B 2磁场中做逆时针的圆周运动（圆心为O ，半径为R ）。

现使B 1随时间均匀变化，变化率1B k t
∆∆（常数）为了使电子保持在同一半径R 上做圆周运动，求磁场B 2的变化率2
B t ∆∆。

【答案】(1)a 。

13 Q k x R ；b 。

见解析； (2)a 。

0B
eR
m ；b 。

2k
【解析】
(1)a 。

设Ox 1球体带电量为Q ＇
3
1
3x Q Q R '=
x 1处场强
11231kQ kQ E x x R
==' b 。

U 1>U 2，E -x 面积代表的物理量为电势差U ，根据图像，x 1R 之间的面积大于Rx 2之间的面积
(2)a 。

在t 0时刻后，电子轨道处的磁感应强度为B 0，电子在磁场中作匀速圆周运动，受到洛伦兹力等于向心力
2
00mv B ev R =
解得
00B eR
v m =
b 。

电子作圆周运动时受到洛伦兹力等于向心力
2
2mv evB R =
由法拉第电磁感应定律B 1产生的电动势为
2U k R π=
感生电场的电场强度
1
22U
E kR R π==
电子所受电场力为
1
2F eE keR ==
由动量定理
12
P F keR t ∆==∆ 若要使半径不变
22
B m v ma P k t teR eR teR ∆∆∆====∆∆∆。