高中数学必修一第三章《函数的应用》单元测试卷及答案2套

高中数学必修一第三章《函数的应用》单元测试卷及答案2套
测试卷一
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．函数y ＝1＋1
x
的零点是( )
A ．(－1,0)
B ．－1
C ．1
D ．0
2．设函数y ＝x 3
与y ＝(12
)x －2的图象的交点为(x 0，y 0)，则x 0所在的区间是( )
A ．(0,1)
B ．(1,2)
C ．(2,3)
D ．(3,4)
3．某企业2010年12月份的产值是这年1月份产值的P 倍，则该企业2010年度产值的月平均增长率为( )
A .
P P －1 B .
11
P －1
C .11P
D .
P －1
11
4．如图所示的函数图象与x 轴均有交点，其中不能用二分法求图中交点横坐标的是( )
A ．①③
B ．②④
C ．①②
D ．③④
5．如图1，直角梯形OABC 中，AB∥OC，AB ＝1，OC ＝BC ＝2，直线l∶x＝t 截此梯形所得位于l 左方图形面积为S ，则函数S ＝f(t)的图象大致为图中的( )
图1
6．已知在x 克a%的盐水中，加入y 克b%的盐水，浓度变为c%，将y 表示成x 的函数关系式为( )
A ．y ＝c －a
c －b x B ．y ＝c －a
b －
c x C ．y ＝
c －b
c －a
x
D ．y ＝
b －c
c －a
x 7．某单位职工工资经过六年翻了三番，则每年比上一年平均增长的百分率是( ) (下列数据仅供参考：2＝1.41，3＝1.73，33＝1.44，6
6＝1.38)
A ．38%
B ．41%
C ．44%
D ．73%
8．某工厂生产某种产品的固定成本为200万元，并且生产量每增加一单位产品，成本增加1万元，又知总收入R 是单位产量Q 的函数：R(Q)＝4Q －1200Q 2
，则总利润L(Q)的最大值
是________万元，这时产品的生产数量为________．(总利润＝总收入－成本)( )
A ．250 300
B ．200 300
C ．250 350
D ．200 350
9．在一次数学实验中，运用图形计算器采集到如下一组数据：
x －2.0 －1.0 0 1.00 2.00 3.00 y
0.24
0.51
1
2.02
3.98
8.02
则x 、y )
A ．y ＝a ＋bx
B ．y ＝a ＋b x
C ．y ＝ax 2＋b
D ．y ＝a ＋b x
10．根据统计资料，我国能源生产自1986年以来发展得很快，下面是我国能源生产总量(折合亿吨标准煤)的几个统计数据：1986年8.6亿吨，5年后的1991年10.4亿吨，10年后的1996年12.9亿吨，有关专家预测，到2001年我国能源生产总量将达到16.1亿吨，则专家是以哪种类型的函数模型进行预测的？( )
A ．一次函数
B ．二次函数
C ．指数函数
D ．对数函数
11．用二分法判断方程2x 3
＋3x －3＝0在区间(0,1)内的根(精确度0.25)可以是(参考数据：0.753
＝0.421875,0.6253
＝0.24414)( )
A ．0.25
B ．0.375
C ．0.635
D ．0.825
12．有浓度为90%的溶液100g ，从中倒出10g 后再倒入10g 水称为一次操作，要使浓度低于10%，这种操作至少应进行的次数为(参考数据：lg 2＝0.3010，lg 3＝0.4771)( )
A ．19
B ．20
C ．21
D ．22
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．用二分法研究函数f(x)＝x 3
＋2x －1的零点，第一次经计算f(0)<0，f(0.5)>0，可得其中一个零点x 0∈________，第二次计算的f(x)的值为f(________)．
14．若函数f(x)＝a x
－x －a(a>0，且a≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围为________．
15．一批设备价值a 万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低b%，则n 年后这批设备的价值为________________万元．
16．函数f(x)＝x 2
－2x ＋b 的零点均是正数，则实数b 的取值范围是________． 三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)华侨公园停车场预计“十·一”国庆节这天停放大小汽车1200辆次，该停车场的收费标准为：大车每辆次10元，小车每辆次5元．
(1)写出国庆这天停车场的收费金额y(元)与小车停放辆次x(辆)之间的函数关系式，并指出x 的取值范围．
(2)如果国庆这天停放的小车占停车总辆数的65%～85%，请你估计国庆这天该停车场收费金额的范围．
18．(12分)光线通过一块玻璃，其强度要损失10%，把几块这样的玻璃重叠起来，设光线原来的强度为a ，通过x 块玻璃后强度为y.
(1)写出y 关于x 的函数关系式；
(2)通过多少块玻璃后，光线强度减弱到原来的1
3以下？(lg 3≈0.4771)
19．(12分)某医药研究所开发一种新药，据监测，如果成人按规定的剂量服用，服用药后每毫升中的含药量y(微克)与服药的时间t(小时)之间近似满足如图所示的曲线，其中OA 是线段，曲线AB 是函数y ＝ka t
(t≥1，a>0，且k ，a 是常数)的图象．
(1)写出服药后y 关于t 的函数关系式；
(2)据测定，每毫升血液中的含药量不少于2微克时治疗疾病有效．假设某人第一次服药为早上6∶00，为保持疗效，第二次服药最迟应当在当天几点钟？
(3)若按(2)中的最迟时间服用第二次药，则第二次服药后3小时，该病人每毫升血液中的含药量为多少微克(精确到0.1微克)?
20．(12分)已知一次函数f(x)满足：f(1)＝2，f(2)＝3， (1)求f(x)的解析式；
(2)判断函数g(x)＝－1＋lg f 2
(x)在区间[0,9]上零点的个数．
21．(12分)截止到2009年底，我国人口约为13.56亿，若今后能将人口平均增长率控制在1%，经过x 年后，我国人口为y 亿．
(1)求y 与x 的函数关系式y ＝f(x)；
(2)求函数y ＝f(x)的定义域；
(3)判断函数f(x)是增函数还是减函数？并指出函数增减的实际意义．
22．(12分)某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元．该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不能低于51元．
(1)当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰降为51元？
(2)设一次订购量为x 个，零件的实际出厂单价为P 元，写出函数的表达式； (3)当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购1000个，利润又是多少元？(工厂售出一个零件的利润＝实际出厂单价－成本)
答案
1．B [由1＋1x ＝0，得1
x
＝－1，∴x ＝－1.]
2．B [由题意x 0为方程x 3
＝(12)x －2的根，
令f (x )＝x 3
－2
2－x
，
∵f (0)＝－4<0，f (1)＝－1<0，f (2)＝7>0， ∴x 0∈(1,2)．]
3．B [设1月份产值为a ，增长率为x ，则aP ＝a (1＋x )11
， ∴x ＝
11
P －1.]
4．A [对于①③在函数零点两侧函数值的符号相同，故不能用二分法求．] 5．C [解析式为S ＝f (t ) ＝⎩⎪⎨⎪⎧
12t ·2t 0≤t ≤112×1×2＋t －1×2
1<t ≤2
＝⎩⎪⎨⎪⎧
t 2
0≤t ≤12t －11<t ≤2
∴在[0,1]上为抛物线的一段，在(1,2]上为线段．]
6．B [根据配制前后溶质不变，有等式a %x ＋b %y ＝c %(x ＋y )，即ax ＋by ＝cx ＋cy ，故
y ＝c －a b －c
x .] 7．B [设职工原工资为p ，平均增长率为x ， 则p (1＋x )6
＝8p ，x ＝68－1＝2－1＝41%.]
8．A [L (Q )＝4Q －1200Q 2－Q －200＝－1200(Q －300)2
＋250，故总利润L (Q )的最大值是
250万元，
这时产品的生产数量为300.]
9．B [∵x ＝0时，b x
无意义，∴D 不成立． 由对应数据显示该函数是增函数，且增幅越来越快， ∴A 不成立． ∵C 是偶函数，
∴x ＝±1的值应该相等，故C 不成立． 对于B ，当x ＝0时，y ＝1， ∴a ＋1＝1，a ＝0；
当x ＝1时，y ＝b ＝2.02，经验证它与各数据比较接近．]
10．B [可把每5年段的时间视为一个整体，将点(1,8.6)，(2，10.4)，(3,12.9)描出，通过拟合易知它符合二次函数模型．]
11．C [令f (x )＝2x 3
＋3x －3，f (0)<0，f (1)>0，f (0.5)<0，f (0.75)>0，
f (0.625)<0，
∴方程2x 3
＋3x －3＝0的根在区间(0.625,0.75)内， ∵0.75－0.625＝0.125<0.25，
∴区间(0.625,0.75)内的任意一个值作为方程的近似根都满足题意．]
12．C [操作次数为n 时的浓度为(910)n ＋1，由(910)n ＋1<10%，得n ＋1>－1lg 910＝
－1
2lg3－1
≈21.8，
∴n ≥21.] 13．(0,0.5) 0.25
解析 根据函数零点的存在性定理． ∵f (0)<0，f (0.5)>0，
∴在(0,0.5)存在一个零点，第二次计算找中点，
即
0＋0.5
2
＝0.25. 14．(1，＋∞)
解析 函数f (x )的零点的个数就是函数y ＝a x
与函数y ＝x ＋a 交点的个数，如下图，由函数的图象可知a >1时两函数图象有两个交点，0<a <1时两函数图象有唯一交点，故a >1.
15．a (1－b %)n
解析 第一年后这批设备的价值为a (1－b %)；
第二年后这批设备的价值为a (1－b %)－a (1－b %)·b %＝a (1－b %)2
； 故第n 年后这批设备的价值为a (1－b %)n
. 16．(0,1]
解析 设x 1，x 2是函数f (x )的零点，则x 1，x 2为方程x 2
－2x ＋b ＝0的两正根，
则有⎩⎪⎨⎪
⎧
Δ≥0x 1＋x 2＝2>0
x 1x 2＝b >0
，即⎩
⎪⎨
⎪⎧
4－4b ≥0
b >0.
解得0<b ≤1.
17．解 (1)依题意得y ＝5x ＋10(1200－x ) ＝－5x ＋12000，0≤x ≤1200. (2)∵1200×65%≤x ≤1200×85%， 解得780≤x ≤1020，
而y ＝－5x ＋12000在[780,1 020]上为减函数， ∴－5×1020＋12000≤y ≤－5×780＋12000. 即6900≤y ≤8100，
∴国庆这天停车场收费的金额范围为[6 900,8 100]． 18．解 (1)依题意：y ＝a ·0.9x
，x ∈N *
. (2)依题意：y ≤1
3
a ，
即：a ·0.9x
≤a
3，0.9x
≤13
＝0.91
log 3
0.9，
得x ≥log 0.913＝－lg32lg3－1≈－0.4771
0.9542－1
≈10.42.
答 通过至少11块玻璃后，光线强度减弱到原来的1
3
以下．
19．解 (1)当0≤t <1时，y ＝8t ；
当t ≥1时，⎩⎪⎨⎪⎧
ka ＝8，
ka 7
＝1.
∴⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝22，
k ＝8 2.
∴y ＝⎩⎪⎨⎪
⎧
8t ， 0≤t <1，8222t
，t ≥1.
(2)令82·(
22
)t
≥2，解得t ≤5. ∴第一次服药5小时后，即第二次服药最迟应当在当天上午11时服药． (3)第二次服药后3小时，每毫升血液中含第一次所服药的药量为y 1＝82×(22)8＝2
2
(微克)；含第二次服药后药量为y 2＝82×(
22)3＝4(微克)，y 1＋y 2＝2
2
＋4≈4.7(微克)． 故第二次服药再过3小时，
该病人每毫升血液中含药量为4.7微克． 20．解 (1)令f (x )＝ax ＋b ，由已知条件得
⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ＋
b ＝22a ＋b ＝3，解得a ＝b ＝1，
所以f (x )＝x ＋1(x ∈R )．
(2)∵g (x )＝－1＋lg f 2
(x )＝－1＋lg (x ＋1)2
在区间[0,9]上为增函数，且g (0)＝－1<0，
g (9)＝－1＋lg102＝1>0，
∴函数g (x )在区间[0,9]上零点的个数为1个． 21．解 (1)2009年底人口数：13.56亿． 经过1年，2010年底人口数：
13．56＋13.56×1%＝13.56×(1＋1%)(亿)． 经过2年，2011年底人口数：
13．56×(1＋1%)＋13.56×(1＋1%)×1% ＝13.56×(1＋1%)2
(亿)． 经过3年，2012年底人口数：
13．56×(1＋1%)2
＋13.56×(1＋1%)2
×1% ＝13.56×(1＋1%)3(亿)．
∴经过的年数与(1＋1%)的指数相同．
∴经过x年后人口数为13.56×(1＋1%)x(亿)．
∴y＝f(x)＝13.56×(1＋1%)x.
(2)理论上指数函数定义域为R.
∵此问题以年作为时间单位．
∴此函数的定义域是{x|x∈N*}．
(3)y＝f(x)＝13.56×(1＋1%)x.
∵1＋1%>1,13.56>0，
∴y＝f(x)＝13.56×(1＋1%)x是增函数，
即只要递增率为正数，随着时间的推移，人口的总数总在增长．
22．解(1)设每个零件的实际出厂价恰好降为51元时，一次订购量为x0个，则x0＝100
＋60－51
0.02
＝550.
因此，当一次订购量为550个时，每个零件的实际出厂价恰好降为51元．
(2)当0<x≤100时，P＝60；
当100<x<550时，P＝60－0.02·(x－100)＝62－
x
50
；
当x≥550时，P＝51.
所以P＝f(x)＝
⎩⎪
⎨
⎪⎧60，0<x≤100
62－
x
50
，100<x<550，
51，x≥550
(x∈N)．
(3)设销售商的一次订购量为x个时，工厂获得的利润为L元，
则L＝(P－40)x＝
⎩⎪
⎨
⎪⎧20x，0<x≤100
22x－
x2
50
，100<x<550，
11x，x≥550
(x∈N)．
当x＝500时，L＝6000；
当x＝1000时，L＝11000.
因此，当销售商一次订购500个零件时，
该厂获得的利润是6000元；
如果订购1000个，利润是11000元．
测试卷二
(时间：120分钟满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．设方程|x 2
－3|＝a 的解的个数为m ，则m 不可能等于( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
2．将进货单价为80元的商品按90元一个售出时，能卖出400个，已知该商品每个涨价1元，其销售量就减少20个，为了赚得最大利润，售价应定为( )
A ．每个110元
B ．每个105元
C ．每个100元
D ．每个95元
3．今有一组实验数据如下表，现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是( )
A .y ＝log 2t
B ．y ＝12
C ．y ＝t 2
－12
D ．y ＝2t －2
4．某商场对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总额： (1)如果不超过200元，则不给予优惠；
(2)如果超过200元但不超过500元，则按标价给予9折优惠；
(3)如果超过500元，其500元内的按第(2)条给予优惠，超过500元的部分给予7折优惠．
某人两次去购物，分别付款168元和423元，假设他去一次购买上述同样的商品，则应付款是( )
A ．413.7元
B ．513.7元
C ．548.7元
D ．546.6元
5．方程x 2
＋ax －2＝0在区间[1,5]上有解，则实数a 的取值范围为( )
A ．(－235
，＋∞) B ．(1，＋∞) C ．[－235
，1]
D ．(－∞，－235
]
6．设f(x)是区间[a ，b]上的单调函数，且f(a)f(b)<0，则方程f(x)＝0在区间[a ，b]( )
A ．至少有一实根
B ．至多有一实根
C ．没有实根
D ．必有唯一实根
7．方程x 2
－(2－a)x ＋5－a ＝0的两根都大于2，则实数a 的取值范围是( )
A ．a<－2
B ．－5<a<－2
C ．－5<a≤－4
D ．a>4或a<－4
8．四人赛跑，其跑过的路程f(x)和时间x 的关系分别是：f 1(x)＝12
x ，f 2(x)＝1
4x ，f 3(x)
＝log 2(x ＋1)，f 4(x)＝log 8(x ＋1)，如果他们一直跑下去，最终跑到最前面的人所具有的函数关系是( )
A ．f 1(x)＝12
x
B ．f 2(x)＝14
x
C ．f 3(x)＝log 2(x ＋1)
D ．f 4(x)＝log 8(x ＋1)
9．函数f(x)＝ln x －2
x
的零点所在的大致区间是( )
A ．(1,2)
B ．(2,3)
C ．(e,3)
D ．(e ，＋∞)
10．已知f(x)＝(x －a)(x －b)－2的两个零点分别为α，β，则( )
A ．a<α<b<β
B ．α<a<b<β
C ．a<α<β<b
D ．α<a<β<b
11．设f(x)是连续的偶函数，且当x>0时是单调函数，则满足f(2x)＝f(x ＋1
x ＋4)的所有x
之和为( )
A ．－92
B ．－72
C ．－8
D ．8
12．在某种金属材料的耐高温实验中，温度随着时间变化的情况由微机记录后再显示的图象如图所示．现给出下面说法：
①前5分钟温度增加的速度越来越快； ②前5分钟温度增加的速度越来越慢； ③5分钟以后温度保持匀速增加； ④5分钟以后温度保持不变． 其中正确的说法是( )
A ．①④
B ．②④
C ．②③
D ．①③
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧
log 2x x>0
3x
x≤0
，且关于x 的方程f(x)＋x －a ＝0有且只有
一个实根，则实数a 的取值范围是______________．
14．要建造一个长方体形状的仓库，其内部的高为3m ，长与宽的和为20m ，则仓库容积的最大值为________．
15．已知函数f(x)＝⎩
⎪⎨⎪⎧
2x
－1， x>0，
－x 2
－2x ，x≤0.若函数g(x)＝f(x)－m 有3个零点，则实
数m 的取值范围为________．
16．若曲线|y|＝2x
＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 的取值范围是________． 三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)讨论方程4x 3
＋x －15＝0在[1,2]内实数解的存在性，并说明理由．
18．(12分)(1)已知f(x)＝
2
3x
－1
＋m 是奇函数，求常数m 的值； (2)画出函数y ＝|3x
－1|的图象，并利用图象回答：k 为何值时，方程|3x
－1|＝k 无解？有一解？有两解？
19．(12分)某出版公司为一本畅销书定价如下： C(n)＝⎩⎪⎨⎪⎧
12n ，1≤n≤24，n ∈N *
，11n ，25≤n ≤48，n ∈N *
，
10n ，n ≥49，n ∈N *，这里n 表示定购书的数量，C (n )是定购n 本书所
付的钱数(单位：元)．
若一本书的成本价是5元，现有甲、乙两人来买书，每人至少买1本，两人共买60本，问出版公司最少能赚多少钱？最多能赚多少钱？
20．(12分)是否存在这样的实数a，使函数f(x)＝x2＋(3a－2)x＋a－1在区间[－1,3]上与x轴恒有一个交点，且只有一个交点？若存在，求出范围；若不存在，请说明理由．
21．(12分)已知a是实数，函数f(x)＝2ax2＋2x－3－a，如果函数y＝f(x)在区间[－1,1]上有零点，求实数a的取值范围．
22．(12分)我国是水资源比较贫乏的国家之一，各地采用价格调控等手段以达到节约用水的目的．某市用水收费标准是：水费＝基本费＋超额费＋定额损耗费，且有如下三条规定：
①若每月用水量不超过最低限量m立方米时，只付基本费9元和每户每月定额损耗费a 元；
②若每月用水量超过m立方米时，除了付基本费和定额损耗费外，超过部分每立方米付n元的超额费；
③每户每月的定额损耗费a不超过5元．
(1)求每户每月水费y(元)与月用水量x(立方米)的函数关系式；
(2)该市一家庭今年第一季度每月的用水量和支付的费用如下表所示：
m，n，a的值．
答案
1．A [在同一坐标系中分别画出函数y1＝|x2－3|和y2＝a的图象，如图所示．
可知方程解的个数为0,2,3或4，不可能有1个解．] 2．D [设售价为x 元，则利润
y ＝[400－20(x －90)](x －80)＝20(110－x )(x －80)
＝－20(x 2
－190x ＋8800) ＝－20(x －95)2
＋4500.
∴当x ＝95时，y 最大为4500元．]
3．C [当t ＝4时，y ＝log 24＝2，y ＝12
log 4＝－2，y ＝42
－1
2
＝7.5，y ＝2×4－2＝6.
所以y ＝
t 2－1
2
适合，
当t ＝1.99代入A 、B 、C 、D4个选项，y ＝
t 2－1
2
的值与表中的1.5接近，故选C.]
4．D [购物超过200元，至少付款200×0.9＝180(元)，超过500元，至少付款500×0.9＝450(元)，可知此人第一次购物不超过200元，第二次购物不超过500元，则此人两次购物总金额是168＋423
0.9＝168＋470＝638(元)．若一次购物，应付500×0.9＋138×0.7
＝546.6(元)．]
5．C [令f (x )＝x 2
＋ax －2，则f (0)＝－2<0， ∴要使f (x )在[1,5]上与x 轴有交点，则需要
⎩
⎪⎨⎪⎧
f 1≤0f 5≥0
，即⎩
⎪⎨
⎪⎧
a －1≤0
23＋5a ≥0，解得－23
5
≤a ≤1.]
6．D [∵f (a )·f (b )<0，∴f (x )在区间[a ，b ]上存在零点，
又∵f (x )在[a ，b ]上是单调函数，∴f (x )在区间[a ，b ]上的零点唯一，即f (x )＝0在[a ，b ]上必有唯一实根．]
7．C [由题意知⎩⎪⎨⎪⎧
Δ≥02－a
2>2f 2>0
，解得－5<a ≤－4.]
8．B [在同一坐标系下画出四个函数的图象，由图象可知f 2(x )＝1
4x 增长的最快．]
9．B [f (2)＝ln2－2
2
＝ln2－1<1－1＝0，
f (3)＝ln3－23>1－23＝13
>0.故零点所在区间为(2,3)．]
10．B [设g (x )＝(x －a )(x －b )，则f (x )是由g (x )的图象向下平移2个单位得到的，而g (x )的两个零点为a ，b ，f (x )的两个零点为α，β，结合图象可得α<a <b <β.]
11．C [∵x >0时f (x )单调且为偶函数， ∴|2x |＝|
x ＋1
x ＋4
|，即2x (x ＋4)＝±(x ＋1)． ∴2x 2
＋9x ＋1＝0或2x 2
＋7x －1＝0. ∴共有四根．
∵x 1＋x 2＝－92，x 3＋x 4＝－7
2，
∴所有x 之和为－92＋(－7
2
)＝－8.]
12．B [因为温度y 关于时间t 的图象是先凸后平行直线，即5分钟前每当t 增加一个单位增量Δt ，则y 随相应的增量Δy 越来越小，而5分钟后y 关于t 的增量保持为0.故选B.]
13．(1，＋∞)
解析 由f (x )＋x －a ＝0， 得f (x )＝a －x ，
令y ＝f (x )，y ＝a －x ，如图，
当a >1时，y ＝f (x )与y ＝a －x 有且只有一个交点， ∴a >1. 14．300m 3
解析 设长为x m ，则宽为(20－x )m ，仓库的容积为V ， 则V ＝x (20－x )·3＝－3x 2
＋60x,0<x <20，
由二次函数的图象知，顶点的纵坐标为V 的最大值． ∴x ＝10时，V 最大＝300(m 3)． 15．(0,1)
解析 函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
2x
－1， x >0，
－x 2
－2x ，x ≤0的图象如图所示，
该函数的图象与直线y ＝m 有三个交点时m ∈(0,1)，此时函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点．
16．[－1,1]
解析 分别作出两个函数的图象，通过图象的交点个数来判断参数的取值范围．曲线|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 的图象如图所示，由图象可得：如果|y |＝2x
＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 应满足的条件为b ∈[－1,1]．
17．解 令f (x )＝4x 3
＋x －15， ∵y ＝4x 3
和y ＝x 在[1,2]上都为增函数． ∴f (x )＝4x 3＋x －15在[1,2]上为增函数，
∵f (1)＝4＋1－15＝－10<0，f (2)＝4×8＋2－15＝19>0， ∴f (x )＝4x 3＋x －15在[1,2]上存在一个零点， ∴方程4x 3＋x －15＝0在[1,2]内有一个实数解． 18．解 (1)∵f (x )＝2
3x －1＋m 是奇函数，
∴f (－x )＝－f (x )，∴23－x －1＋m ＝－2
3x －1－m .
∴2·3x
1－3x ＋m ＝2
1－3x －m ， ∴2
3x －1
1－3
x
＋2m ＝0. ∴－2＋2m ＝0，∴m ＝1.
(2)作出直线y ＝k 与函数y ＝|3x
－1|的图象，如图．
①当k <0时，直线y ＝k 与函数y ＝|3x
－1|的图象无交点，即方程无解；
②当k ＝0或k ≥1时，直线y ＝k 与函数y ＝|3x
－1|的图象有唯一的交点，所以方程有一解；
③当0<k <1时，直线y ＝k 与函数y ＝|3x
－1|的图象有两个不同的交点，所以方程有两解．
19．解 设甲买n 本书，则乙买(60－n )本(不妨设甲买的书少于或等于乙买的书)，则
n ≤30，n ∈N *.
①当1≤n ≤11且n ∈N *
时，49≤60－n ≤59，
出版公司赚的钱数f (n )＝12n ＋10(60－n )－5×60＝2n ＋300； ②当12≤n ≤24且n ∈N *时，36≤60－n ≤48， 出版公司赚的钱数
f (n )＝12n ＋11(60－n )－5×60＝n ＋360；
③当25≤n ≤30且n ∈N *
时，30≤60－n ≤35， 出版公司赚的钱数f (n )＝11×60－5×60＝360. ∴f (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧
2n ＋300， 1≤n ≤11，n ∈N *
，n ＋360，12≤n ≤24，n ∈N *
，
360，25≤n ≤30，n ∈N *.
∴当1≤n ≤11时，302≤f (n )≤322； 当12≤n ≤24时，372≤f (n )≤384； 当25≤n ≤30时，f (n )＝360.
故出版公司最少能赚302元，最多能赚384元． 20．解 若实数a 满足条件， 则只需f (－1)f (3)≤0即可．
f (－1)f (3)＝(1－3a ＋2＋a －1)(9＋9a －6＋a －1)＝4(1－a )(5a ＋1)≤0，
所以a ≤－1
5
或a ≥1.
检验：(1)当f (－1)＝0时a ＝1， 所以f (x )＝x 2
＋x .
令f (x )＝0，即x 2
＋x ＝0，得x ＝0或x ＝－1. 方程在[－1,3]上有两根，不合题意，故a ≠1. (2)当f (3)＝0时a ＝－1
5，
此时f (x )＝x 2
－135x －65.
令f (x )＝0，即x 2
－135x －65
＝0，
解得，x ＝－2
5
或x ＝3.
方程在[－1,3]上有两根，不合题意，故a ≠－1
5.
综上所述，a ∈(－∞，－1
5
)∪(1，＋∞)．
21．解 当a ＝0时，函数为f (x )＝2x －3，其零点x ＝3
2不在区间[－1,1]上．
当a ≠0时，函数f (x )在区间[－1,1]分为两种情况： ①函数在区间[－1,1]上只有一个零点，此时：
⎩
⎪⎨
⎪⎧
Δ＝4－8a －3－a ≥0f －1·f 1＝a －5a －1≤0
或⎩
⎪⎨⎪⎧
Δ＝4－8a －3－a ＝0－1≤－1
2a ≤1，
解得1≤a ≤5或a ＝－3－72
.
②函数在区间[－1,1]上有两个零点，此时
⎩⎪⎨⎪⎧
Δ>0
－1<－12a <1f －1f 1
≥0
，即⎩⎪⎨⎪⎧
8a 2
＋24a ＋4>0
－1<－1
2a
<1
a －5a －1
≥0
.
解得a ≥5或a <－3－7
2
.
综上所述，如果函数在区间[－1,1]上有零点，那么实数a 的取值范围为(－∞，－3－7
2
]∪[1，＋∞)． 22．解 (1)依题意，得y ＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
9＋a ，0<x ≤m ， ①
9＋n x －m ＋a ，x >m .②
其中0<a ≤5.
(2)∵0<a ≤5，∴9<9＋a ≤14.
由于该家庭今年一、二月份的水费均大于14元，故用水量4立方米，5立方米都大于最低限量m 立方米．
将⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝4，y ＝17
和⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝5，y ＝23
分别代入②，
得⎩
⎪⎨
⎪⎧
17＝9＋n 4－m ＋a ， ③23＝9＋n 5－m ＋a .④
③－④，得n ＝6.
代入17＝9＋n (4－m )＋a ，得a ＝6m －16. 又三月份用水量为2.5立方米，
若m <2.5，将⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝2.5，y ＝11代入②，得a ＝6m －13，
这与a ＝6m －16矛盾．
∴m ≥2.5，即该家庭三月份用水量2.5立方米没有超过最低限量．
将⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝2.5，
y ＝11代入①，得11＝9＋a ，
由⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ＝6m －16，11＝9＋a ，解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ＝2，
m ＝3.
∴该家庭今年一、二月份用水量超过最低限量，三月份用水量没有超过最低限量，且m ＝3，n ＝6，a ＝2.。