数字信号处理(第四版)第9章数字信号处理的实现

第9章 数字信号处理的实现
2. 极点位置敏感度 下面分析系数量化误差对极零点位置的影响。如果 极零点位置改变了，严重时不仅IIR系统的频率响应会 发 生变化，还会影响系统的稳定性。因此研究极点位置 的 改变更加重要。为了表示系数量化对极点位置的影响，引 入极点位置灵敏度的概念，所谓极点灵敏度, 是指每 个极 点对系数偏差的敏感程度。相应的还有零点位置灵 敏度 ，分析方法相同。下面讨论系数量化对极点位置的 影响 。
就是量化后的数值。x可以是标量、向量和矩阵。将数取
整的方法有四舍五入取整、向上取整、向下取整、向零
取整，对应的MATLAB取整函数分别为 round(x)、
ceil(x)、floor(x)、fix(x)。round最常用，对应的MATLAB
量化语句为xq=q*round(x/q)。
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解 求解本例的系数量化与绘图程序为ep911.m。
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%ep911.m： 例题9.1.1 系数量化与图9.1.3绘图程序 B=1; A=［1, -0.17, 0.965］;%量化前系统函数系数向量
b=4; Aq=quant(A, b);
进行b位量化
%量化2进制位数 %对系统函数分母系数向量A
p=roots(A) pq=roots(Aq) ap=abs(p) a pq=abs(pq) %以下为绘图部分省略
%计算量化前的极点 %计算量化后的极点 %计算量化前极点的模 %计算量化后极点的模
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运行程序，得到量化后的系统函数
为
并求出H(z)和
的极点分别为
显然，因为系数的量化，使极点位置发生变化，算出极点
的模为： |p1, 2|=0.9823，
，说明量化后的极
点离单位圆稍远一些，会使带通滤波器的幅度特性的峰值
减小，中心频率有所移动。
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程序自动画出H(z)和Hˆ(z) 的幅频特性曲线分别
如图9.1.3中的实线和虚线所示。该例题说明由于系数 量化效应，使极点位置发生了变化，从而改变了原来 设计的频率响应特性。
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如果信号x(n)，
e(n)=Q［x(n)］－x(n) 一般x(n)是随机信号，那么e(n)也是随机的，经常将e(n)称 为量化噪声。为便于分析，一般假设e(n)是与x(n)不相关的 平稳随机序列，且是具有均匀分布特性的白噪声。设采用 定点补码制，截尾法和舍入法的量化噪声概率密度曲线分 别如图9.1.1(a)和(b)所示。这样截尾法量化误差的统计平均 值为－q/2，方差为q2/12；舍入法的统计平均值为0，方差 也为q2/12，这里q=2－b。很明显，字长b+1愈长，量化噪声 方差愈小。
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量化误差产生的原因是用有限长的寄存器存储数字引 起的，因此也将这种误差引起的各种效应称为有限寄存器 长度效应。这些量化效应在数字信号处理技术实现中，表 现在以下几方面：A/DC中量化效应，数字网络中参数量化效 应，数字网络中运算量化效应，FFT中量化效应等。这些量 化效应在数字信号处理技术实现时，都是很重要的问题，一 直受到科技工作者的重视，并在理论上进行了很多研究。随 着科学技术的飞速发展，主要是数字计算机的发展，计 算 机字长由8位、16位提高到32位；一些结合数字信号处理特 点发展起来的数字信号处理专用芯片近几年来发展尤其 迅 速，不仅处理快速，字长达到32 bit；另外，高精度的 A/D 变换器也已商品化。
系数量化效应直接和寄存器的长度有关，但也和系统 的结构有关，有的结构对系数的量化误差不敏感，有的却 很敏感。各种结构对系数量化误差的敏感度也是本节要研 究的内容之一。
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MATLAB按二进制双精度格式表示数，表示一个数用8 字节（64位二进制数）。键入命令eps、realmin和realmax，
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图9.1.3 量化前后系统幅频响应曲 线
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应当注意，数字滤波器的系数的大小有时差别 很大，如果用b位定点数表示时，以最大的系数确定 量化阶q，对所有系数统一量化，必然使较小的系数 相对量化误差很大，使滤波器性能远离设计指标要 求。所以工程实际中常常采用浮点制表示系数。
上式中， 的大小直接影响第i个系数偏差Δai对第k个极 点偏差Δpk的大小， 愈大， Δpk愈大， 愈小，Δpk
式的DSP芯片（或专用数字硬件电路），DSP芯片（或专用
数字硬件电路）的字长一般为8、16、32 bit，采用定点或浮
点二进制表示数，并进行数值运算。
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因此，用MATLAB设计完成后，必须考虑实际系 统的有效字长，对设计结果进行量化仿真检验。当然， 实际系统的有效字长越长，实际实现的性能越逼近 MATLAB设计结果。好在MATLAB提供了定点运算 方真模块库（Fix Point Blockset）, 有兴趣的读者请找 相关书籍学习。
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输入最大幅度为±1 V的b位A/D变换器，根据舍入量
化模型（9.1.1）式，可以写出b位A/D变换器的MATLAB 量化函数quant：
function y=quant(x, b, V)
if nargin<3 V=max(abs(x)); end
%缺省V，则默认V等于x的最大值
ax=abs(x);
%去掉负号
q=V/(2^b-1);
%计算量化阶q
xq=q*round(ax/q); %对|x|舍入值量化
y=sign(x).*xq;
%加入负号，恢复带负号的量化
值y
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该函数可以对带负号的数据x进行A/D变换，x可以 是标量、向量和矩阵。
应当注意，上述Ａ／Ｄ为线性量化，其缺点是不利于 小信号。为了改善小信号量化信噪比，工程上常常采用 非线性量化。
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1. 系数量化对系统频响特性的影响 数字网络或者数字滤波器的系统函数用下式表示：
（9.1.4）
式中的系数br和ar必须用有限位二进制数进行量化，存储 在有限长的寄存器中，经过量化后的系数用
表示，量化误差用Δbr和Δar表示，那么
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实际的系统函数用
（9.1.4）式中，分母多项式A(z)有N个极点，用pk （k=1, 2, …, N）表示，系数量化后的极点用 (k=1, 2, 3, …, N)表示，那么
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上式中极点偏差Δpk表示第k个极点的偏差，它应该和各个
系数偏差都有关，它和各系数偏差的关系用下式表示: (9.1.8 )
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图9.1.1 量化噪声e(n)的概率密度曲 线
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根据上述量化原理，建立量化的数学模型：
Q［x］=q round［x/q］
（9.1.1）
式中， round［x］表示对x四舍五入后取整，round［x/q］
表示x包含量化阶q的个数，所以Q［x］=q round［x/q］
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1. 数字信号处理中的量化效应 2. 数字信号处理技术的软件实现 3. 数字信号处理的硬件实现简介
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9.1 数字信号处理中的量化效应
9.1.1 量化及量化误差 数字信号处理技术实现时，信号序列值、运算结果及参
加运算的各个参数都必须用二进制的编码形式存储在有限长 的寄存器中，如果该编码长度长于寄存器的长度，需要进行 尾数处理；运算中，二进制乘法会使位数增多，也需要进行 尾数处理。尾数处理必然带来误差，例如，序列值0.8012用二 进制表示为(0.1100110101…)2，如用7位二进制表示，序列值 则为（0.110011）2, 其十进制为0.796 875，与原序列值的差值 为0.8012－0.796 875=0.004 325 ，该差值是因为用有限位二进 制数表示序列值形成的误差，称为量化误差。
图9.1.2 A/DC功能原理图及统计模型
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假设A/D变换器输入信号xa(t)不含噪声，输出 中仅考虑量化噪声e(n)，信号xa(t)平均功率用 表示， e(n)的平均功率用 表示，输出信噪比用S/N表示，
信噪比通常用dB数表示:
（9.1.3a）
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这样，随着计算字长的大大增加，量化误差大大减少 了，因此，对于处理精度要求不高、计算字长较长的一般 数字信号处理技术的实现，可以不考虑这些量化效应。但 是对于要求成本低，用硬件实现时，或者要求高精度的硬 件实现时，这些量化效应问题亦然是重要问题。
如果信号值用b+1位二进制数表示（量化），其中一位 表示符号，b位表示小数部分，能表示的最小单位称为量化 阶（或量化步长），用q表示，q=2－b。对于超过b位的部分 进行尾数处理。尾数处理有两种方法：一种是舍入法，即 将尾数第b+1位按逢1进位，逢0不进位，b+1位以后的数略 去的原则处理；另一种是截尾法，即将尾数第b+1位以及以 后的数码略去。显然这两种处理方法的误差会不一样。
可以显示出MATLAB浮点制表示的量化阶q=2－52=2.2204× 10－
16、可以表示的最大数和最小数分别为2.2251×10－308
和
0.7977×10308。所以MATLAB的量化误差可以忽略不计，用
MATLAB设计的滤波器系数可以看成精确的理论值。工程实
际中要把用MATLAB设计的滤波器付诸实现，必须采用嵌入
A/D变换器的功能原理图如图9.1.(a) 所示，图中
是量化编码后的输出，如果未量化的二进制编码用x(n)表
示，那么量化噪声为
，因此A/D变换
器的输出
为
（9.1.2）
考虑A/D变换器的量化效应，其统计模型如图9.1.2(b)所示。 这样，由于e(n)的存在而降低了输出端的信噪比。
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例如，x=0.8012，b=6，量化程序如下：
x=0.8012; b=6;
q=2^-b; xq=q*round(x/q) e=x-xq
%计算量化阶q %对x舍入值量化
%计算量化误差e
运行结果：
xq=0.796875, e=0.004325
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9.1.2 A/D变换器中的量化效应
A/D变换器采用定点舍入法，e(n)的统计平均值me=0，方 差
将 代入（9.1.3a）式，得到： （9.1.3b）
此式表明，A/D变换器的位数b愈多，信噪比愈高；每增加一 位，输出信噪比增加约6 dB。当然，输出信噪比也和输入信 号功率有关，为增加输出信噪比，应在A/D变换器动态范围 中，尽量提高信号幅度。如果对输出端信噪比提出要求，根 据（9.1.3b）式可以估计对A/D变换器的位数要求。
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设xa(t)服从标准正态分布N(0,
)，A/D变换器的动
态范围为±1 V。 我们知道，对于正态分布，xa(t)的幅度落
入±3σx以外的概率很小，可以忽略。为充分利用其动态
范围，取
，代入（9.1.3）式，得
如果要求S/N≥60 dB，由上式计算出b≥10；如果S/N≥ 80 dB，则d≥13。增加A/D变换器的位数，会增加输出端信 噪比，但A/D变换器的成本也会随位数b增加而迅速增加； 另外，输入信号本身有一定的信噪比，过分追求减少量化 噪声提高输出信噪比是没有意义的。因此，应根据实际需 要，合理选择A/D变换器位数。
表示，公式为
(9.1.5) (9.1.6)
(9.1.7)
显然，系数量化后的频率响应不同于原来设计的频率响应。
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【例 9.1.1】假设窄带滤波器的系统函数如下式:
如果用b+1位二进制表示上式中的系数，b=4，采用舍入 法处理尾数，试分析系数量化误差对极点位置和频响特 性的影响。
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9.1.3 数字系统中的系数量化效应
系统对输入信号进行处理时需要若干参数或者说系数， 这些系数都要存储在有限位数的寄存器中，因此存在系数 的量化效应。系数的量化误差直接影响系统函数的零、极 点位置，如果发生了偏移，会使系统的频率响应偏离理论 设计的频率响应，不满足实际需要。量化误差严重时，极 点移到单位圆上或者单位圆外，造成系统不稳定。