考研数学二(一元函数积分学)历年真题试卷汇编12(题后含答案及解析)

考研数学二（一元函数积分学）历年真题试卷汇编12(题后含答案及
解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．(95年)曲线y=x(x一1)(2一x)与x轴所围图形面积可表示为
A．一∫02x(x—1)(2一x)dx
B．∫01x(x一1)(2一x)dx—∫12x(x-1)(2一x)dx
C．一∫01x(x一1)(2一x)dx+∫12x(x—1)(2一x)dx
D．∫02x(x一1)(2一x)dx
正确答案：C
解析：y=x(x—1)(2一x)与x轴的交点为x=0,x=1,x=2，因此该曲线与x轴围成的面积为∫02|x(x-1)(2-x)|dx=-∫01x(x-1)(2一x)dx+∫12x(x-1)(2-x)dx所以应选(C)．知识模块：一元函数积分学
2．(96年)设f(x)，g(x)在区间[a，b]上二连续，且g(x)＜f(x)＜m，(m为常数)，由曲线y=g(x)，y=f(x)，x=a及x=b所围平面图形绕直线y=m旋转而成的旋转体体积为
A．∫abπ[2m—f(x)+g(x)][f(x)一g(x)]dx
B．∫abπ[2m一f(x)一g(x)][f(x)一g(x)]dx
C．∫abπ[m一f(x)+g(x)][f(x)一g(x)]dx
D．∫abπ[m一f(x)一g(x)][f(x)一g(x)]dx
正确答案：B
解析：V=π∫ab(m一g(x))2dx一π∫ab(m一f(x))2dx =π∫ab[2m一g(x)一f(x)][f(x)一g(x)]dx所以应选(B)．知识模块：一元函数积分学
3．(97年)设在闭区间[a，b]上f(x)＞0，f’(x)＜0．f”(x)＞0．记S1=∫abf(x)dx，S2=f(b)(b一a)，S3=[f(a)+f(b)](b一a)．则
A．S1＜S2＜S3
B．S2＜S3＜S1
C．S3＜S1＜S2
D．S2＜S1＜S3
正确答案：D
解析：在[0．ln2]上考虑f(x)=e-x，显然f(x)满足原题设条件，而则S2＜S1＜S3 知识模块：一元函数积分学
4．(97年)设F(x)=∫xx+2πsintsintdt，则F(x)
A．为正常数．
B．为负常数．
C．恒为零．
D．不为常数．
正确答案：A
解析：F(0)=∫02πesintsintdt=-∫02πesintdcost=-esintcost|02π+∫02πesintcos2tdt=∫02πesintcos2tdt＞0 知识模块：一元函数积分学
5．(99年)设则当x→0时，α(x)是β(x)的
A．高阶无穷小．
B．低阶无穷小．
C．同阶但非等价无穷小．
D．等价无穷小．
正确答案：C
解析：故，当x→0时，α(x)是β(x)的同阶但非等价无穷小．知识模块：一元函数积分学
6．(99年)设f(x)是连续函数，F(x)是f(x)的原函数，则
A．当f(x)是奇函数时，F(x)必是偶函数。

B．当f(x)是偶函数时，F(x)必是奇函数．
C．当f(x)是周期函数时，F(x)必是周期函数．
D．当f(x)是单调增函数时，F(x)必是单调增函数．
正确答案：A
解析：排除法．(B)(C)(D)分别举反例如下：(B)的反例：f(x)=cosx，F(x)=sinx+1不是奇函数;(C)的反例：f(x)=cosx+1，F(x)=sinx+x不是周期函数;(D)的反例：f(x)=x，F(x)=不是单调函数；所以应选(A)．知识模块：一元函数积分学
填空题
7．(96年)
正确答案：2
解析：知识模块：一元函数积分学
8．(96年)由曲线，x=2及y=2所围图形的面积S=______．
正确答案：
解析：由图2．15可知所求面积为知识模块：一元函数积分学
9．(97年)
正确答案：
解析：将根式里面配方得知识模块：一元函数积分学
10．(98年)
正确答案：一cotx.lnsinx—cotx—x+
C．
解析：=一∫lnsinxdcotx=一cotx.ln sinx+∫cot2xdx=一cotx.ln sinx+∫(csc2x-1)dx=一cotx.ln sinx-cotx—x+C 知识模块：一元函数积分学
11．(98年)设f(x)连续，则∫0xtf(x2一t2)dt=_____．
正确答案：xf(x2)．
解析：令x2-t2=u，则原式==xf(x2) 知识模块：一元函数积分学
12．(99年)
正确答案：
解析：知识模块：一元函数积分学
13．(99年)函数上的平均值为______．
正确答案：
解析：知识模块：一元函数积分学
解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

14．(94年)求曲线y=3一|x2一1|与x轴围成封闭图形绕y=3旋转所得的旋转体的体积．
正确答案：y=x2+2 (0≤x≤1) y=4-x2 (1≤x≤2)没对应区间[0,1]的这部分旋转体体积为V1，对应区间[1，2]上的体积为V2,则dV1=π{32一[3一(x2+2)]2}dxdV2=π{32一[3一(4一x2)]2}dx则V=2(V1+V2) =2π∫01{32一[3一(x2+2)]2}dx+2π∫12{32一[3一(4一x2)]2}dx = 涉及知识点：一元函数积分学
15．(95年)设f(x2一1)=且f[φ(x)]=lnx,求∫φ(x)dx．
正确答案：涉及知识点：一元函数积分学
16．(95年)求摆线一拱(0≤t≤2π)的弧长．
正确答案：涉及知识点：一元函数积分学
17．(95年)求函数f(x)=(2一t)e-tdt的最大值和最小值．
正确答案：因为f(x)是偶函数，故只需求f(x)在[0，+∞)内的最大值与最小值．令f’(x)=2x(2一x2)=0故在区间(0，+∞)内有唯一驻点当0＜x＜时，f’(x)＞0；当时，f’(x)＜0所以是极大值点，即最大值点．最大值=∫02(2一t)e-tdt=1+e-2 f(+∞)=∫0+∞(2-t)e-tdt=-(2-t)e-t|0+∞+e-t|0+∞=1又f(0)=0，故x=0为最小值点，所以f(x)的最小值为0．涉及知识点：一元函数积分学
18．(95年)设f(x)=计算∫0πf(x)dx.
正确答案：由分部积分法知∫0πf(x)dx=f(x)x|0π-∫0πxf’(x)dx 涉及知识点：一元函数积分学
19．(96年)
正确答案：涉及知识点：一元函数积分学
20．(96年)
正确答案：涉及知识点：一元函数积分学
21．(96年)设有正椭圆柱体，其底面的长短轴分别为2a，2b，用过此柱体底面的短轴与底面成α角的平面截此柱体，得一楔形体(如图2．1 0)求此楔形体的体积．
正确答案：底面椭圆的方程为以垂直于y轴的平面截此楔形体，所得截面为直角三角形，其一直角边长为另一直角边长为故截面面积涉及知识点：一元函数积分学
22．(96年)计算不定积分
正确答案：涉及知识点：一元函数积分学
23．(97年)
正确答案：涉及知识点：一元函数积分学
24．(97年)计算∫e2x(tanx+1)2dx．
正确答案：原式=∫e2xsec2xdx+2∫e2xtanxdx=∫e2xdtanx+2∫e2xtanxdx=e2xtanx一2∫e2xtanxdx+2∫e2xtanxdx=e2xtanx+C 涉及知识点：一元函数积分学
25．(97年)设函数f(x)在闭区间[0，1]上连续，在开区间(0，1)上大于零，
并满足xf’(x)=f(x)+(a为常数)，又曲线y=f(x)与x=1，y=0所围的图形S的面积值为2．求函数y=f(x)．并问a为何值时，图形S绕x轴旋转一周所得旋转体体积最小．
正确答案：由题设知．当x≠0时据此并由f(x)在点x=0处的连续性，得又由已知条件得故a=一5时，旋转体体积最小．涉及知识点：一元函数积分学
26．(97年)已知函数f(x)连续，且，设φ(x)=∫01f(xt)dt，求φ’(x)，并讨论φ’(x)的连续性．
正确答案：由题设知f(0)=0，φ(0)=0，令xt=u,得由于从而可知φ’(x)在x=0处连续．涉及知识点：一元函数积分学
27．(98年)确定常数a，b，c的值，使
正确答案：由于x→0时，ax一sinx→0且故b=0．再用洛必达法则若a≠1，则上式为∞，与原题设不符．故a=1 涉及知识点：一元函数积分学
28．(98年)计算积分
正确答案：|x一x2|=于是涉及知识点：一元函数积分学
29．(98年)设y=f(x)是区间[0，1]上任一非负连续函数．(1)试证存在x0∈(0，1)，使得在区间在区间[0，x0]上以f(x0)为高的矩形的面积等于在区间[x0，1]上以y=f(x)为曲面的曲边梯形的面积．(2)又设f(x)在(0，1)上可导，且f’(x)＞，证明(1)中的x0是唯一的．
正确答案：令φ(x)=一x∫01f(t)dt，则ψ(x)在[0，1]上满足罗尔定理的条件．则存在x0∈(0，1)，使ψ’(x0)=0．即x.f(x0)一∫x01f(t)dt=0又φ”(x)=xf’(x)+2f(x)＞0．则上式中的x0是唯一的．涉及知识点：一元函数积分学
30．(98年)设有曲线过原点作其切线，求由此曲线、切线及x轴围成的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的表面积．
正确答案：设切点的横坐标为x0．则曲线处的切线方程为将x=0．y=0 代入上式得一2(x0一1)=一x0,解得x0=2于是切线方程为由曲线段(1≤x≤2)绕x 轴旋转一周所得到的旋转面的面积为由直线段(0≤x≤2)绕x轴旋转一周所得到的旋转面的面积为因此，所求旋转体的表面积为S=S1+S2= 涉及知识点：一元函数积分学。