高中数学选修1-1综合测试题及答案.

选修1-1模拟测试题一、选择题
1. 若p 、q 是两个简单命题,“p 或q ”的否定是真命题,则必有（ ） A.p 真q 真
B.p 假q 假
C.p 真q 假
D.p 假q 真
2.“cos2α=－
2
3
”是“α=k π+215π,k ∈Z ”的（ ）
A.必要不充分条件
B.充分不必要条件
C.充分必要条件
D.既不充分又不必要条
件
3. 设x x x f cos sin )(+=，那么( ) A ．x x x f sin cos )(-=' B ．
x
x x f sin cos )(+=' C ．x
x x f sin cos )(+-='
D ．x x x f sin cos )(--='
4.曲线f(x)=x 3+x －2在点P 0处的切线平行于直线y=4x －1,则点P 0的坐标为（ ） A.(1,0)
B.(2,8)
C.(1,0)和(－1,－4)
D.(2,8)和(－1,－4)
5.平面内有一长度为2的线段AB 和一动点P,若满足|PA|+|PB|=6,则|PA|的取值范围是 A.［1,4］
B.［1,6］
C.［2,6］
D.［2,4］
6.已知2x+y=0是双曲线x 2－λy 2=1的一条渐近线,则双曲线的离心率为（ ） A.2
B.3
C.5
D.2
7.抛物线y 2=2px 的准线与对称轴相交于点S,PQ 为过抛物线的焦点F 且垂直于对称轴的弦, 则∠PSQ 的大小是（ ） A.
3
π
B.
2
π
C.3π2
D.与p 的大小有关
8.已知命题p: “|x －2|≥2”,命题“q:x ∈Z ”,如果“p 且q ”与“非q ”同时为假命题,则满足条件的x 为（ ） A.{x|x ≥3或x ≤－1,x ∉Z}
B.{x|－1≤x ≤3,x ∉Z}
C.{－1,0,1,2,3}
D.{1,2,3}
9.函数f(x)=x 3+ax －2在区间(1,+∞)内是增函数,则实数a 的取值范围是（ ） A.［3,+∞］
B.［－3,+∞］
C.(－3,+∞)
D.(－∞,－3)
10.若△ABC 中A 为动点,B 、C 为定点,B(－2a ,0),C(2
a ,0),且满足条件sinC －sinB=21
sinA,则动
点A 的轨迹方程是（ ）
A.2216a
x －22
316a y =1(y ≠0)
B.2216a y +2
2
316a y =1(x ≠0)
C. 2
216a
x －22316a y =1的左支(y ≠0)
D. 2
216a
x －22
316a y =1的右支(y ≠0) 11.设a>0,f(x)=ax 2+bx+c,曲线y=f(x)在点P(x 0,f(x 0))处切线的倾斜角的取值范围为［0,4
π
］,则P 到曲线y=f(x)对称轴距离的取值范围为（ ）
A.［0,a
1
］
B.［0,
a 21］ C.［0,|a
b
2|］ D.［0,|
a
b 21
-|］ 12.已知双曲线22a x －22
b
y =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F 1、F 2,点P 在双曲线的右支上,且
|PF 1|=4|PF 2|,则此双曲线的离心率e 的最大值为（ ）
A.3
5
B.
3
4
C.2
D.
3
7 二、填空题
13. 对命题p ：7,70x x R x ∀∈+>，则p ⌝是______. 14.函数f(x)=x+x -1的单调减区间为__________. 15.抛物线y 2=
4
1
x 关于直线x －y=0对称的抛物线的焦点坐标是__________. 16.椭圆252x +9
2
y =1上有3个不同的点A(x 1,y 1)、B(4,49)、C(x 3,y 3),它们与点F(4,0)的距离成等
差数列,则x 1+x 3=__________. 三、解答题
17.已知函数f(x)=4x 3+ax 2+bx+5的图象在x=1处的切线方程为y=－12x,且f(1)=－12. (1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数f(x)在［－3,1］上的最值.
18.设P:关于x 的不等式a x >1的解集是{x|x<0}.Q:函数y=lg(ax 2－x+a)的定义域为R.如果P 和Q 有且仅有一个正确,求a 的取值范围.
19.已知x ∈R,求证:cosx ≥1－2
2
x .
20. 某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价定为P 元，则销售量Q （单位：件）与零售价P （单位：元）有如下关系：28300170Q P P =--．问该商品零售价定为多少时毛利润L 最大，并求出最大毛利润（毛利润=销售收入-进货支出）． 21.已知a ∈R,求函数f(x)=x 2e ax 的单调区间.
22.已知焦点在x 轴上的双曲线C 的两条渐近线过坐标原点,且两条渐近线与以点A(0,
2)为
圆心,1为半径的圆相切,又知C 的一个焦点与A 关于直线y=x 对称. (1)求双曲线C 的方程；
(2)若Q 是双曲线C 上的任一点,F 1、F 2为双曲线C 的左、右两个焦点,从F 1引∠F 1QF 2的平分线的垂线,垂足为N,试求点N 的轨迹方程.
参考答案：1. B “p 或q ”的否定是“p 且q ”,∴p 、q 是真命题,p 、q 都是假命题. 2.A 由“α=k π+
12π5,k ∈Z ”⇒“cos2α=cos 6π5=－23”,又“cos2α=－2
3”⇒“α=k π±
12π5,k ∈Z ”, ∴“cos2α=－2
3
”是“α=k π+12π5,k ∈Z ”的必要不充分条件. 3. 4.C f ′(x 0)=3x 02+1=4,∴x 0=±1. 5.D ∵|PA|+|PB|=6>2,∴P 点的轨迹为一椭圆，∴3－1≤|PA|≤3+1. 6.C x 2－λy 2=1的渐近线方程为y=±
λ
1
x,
∴λ
1
=2.∴λ=41.∴e=22
1a b +=41+=5.
7.B 由|SF|=|PF|=|QF|,知△PSQ 为直角三角形. 8.D “p 且q ”与“非q ”同时为假命题则p 假q 真.
9.B f ′(x)=3x 2+a,令3x 2+a>0,∴a>－3x 2〔x ∈(1,+∞)〕.∴a ≥－3.
10.D 由正弦定理知c －b=2
1
a,再由双曲线的定义知为双曲线的右支(c>b).
11.B ∵f ′(x)=2ax+b,∴k=2ax 0+b ∈［0,1］， ∴d=|x 0+
a
b 2|=a b ax 2|2|0+=a k 2.∴0≤d ≤a 21
.
12.A e=a c 22=||||||2121PF PF F F -≤||||||||2121PF PF PF PF -+=a a
23
10
=35.
13. 7,70x x R x ∃∈+≤；14. ［
43,1］；15. (0, 16
1)；16. 8. 13.这是一个全称命题，其否定是存在性命题. 14.定义域为{x|x ≤1},f ′(x)=1+x --121=x
x ---121
12<0,x -1≤21, 得x ≥43.
15. y 2=
41x 的焦点F(161,0),F 关于x －y=0的对称点为(0, 16
1
).
16.∵|AF|=a －ex 1=5－
54x 1,|BF|=5－54×4=59,|CF|=5－5
4x 3, 由题知2|BF|=|AF|+|CF|,∴2×59=5－54x 1+5－5
4
x 3.∴x 1+x 3=8.
17.解:(1)∵f ′(x)=12x 2+2ax+b,而y=f(x)在x=1处的切线方程为y=－12x,
∴⎩⎨⎧-='=-=12)1()1(12f f k ⇒⎩⎨⎧-=+++-=++12
5412
212b a b a a=－3,b=－18，故f(x)=4x 3－3x 2－18x+5. (2)∵f ′(x)=12x 2－6x －18=6(x+1)(2x －3)，令f ′(x)=0,解得临界点为x 1=－1,x 2=2
3.
那么f(x)的增减性及极值如下:
∵临界点x 1=－1属于［－3,1］,且f(－1)=16，又f(－3)=－76,f(1)=－12, ∴函数f(x)在［－3,1］上的最大值为16,最小值为－76.
18.解:使P 正确的a 的取值范围是0<a<1,而Q 正确ax 2－x+a 对一切实数x 恒大于0.
当a=0时,ax 2－x+a=－x 不能对一切实数恒大于0,故Q 正确⎩⎨⎧<4-1=∆>002
αa a>21
. 若P 正确而Q 不正确,则0<a ≤2
1
；若Q 正确而P 不正确,则a ≥1. 故所求的a 的取值范围是(0,
2
1
］∪［1,+∞). 19.证明:令f(x)=cosx －1+2
2
x ,则f ′(x)=x －sinx ，
当x>0时,由单位圆中的正弦线知必有x>sinx,∴f ′(x)>0,即f(x)在(0,+∞)上是增函数. 又∵f(0)=0,且f(x)连续,∴f(x)在区间［0,+∞］内的最小值 f(0)=0,
即f(x)≥0,得cosx －1+22x ≥0,即cosx ≥1－22x .∵f(－x)=cos(－x)－1+2)(2
x -=f(x),
∴f(x)为偶函数,即当x ∈(－∞,0)时,f(x)≥0仍成立，∴对任意的x ∈R,都有cosx ≥1－2
2
x .
20. 解：由题意知()20(20)L P P Q Q Q P =-=-
232(8300170)(20)15011700166000P P P P P P =---=--+-， 2()330011700L P P P '∴=--+． 令()0L P '=，得30P =或130P =-（舍）．
此时(30)23000L =．因为在30P =附近的左侧()0L P '>，右侧()0L P '<，(30)L ∴是极大值． 根据实际意义知，(30)L 是最大值，即零售价定为每件30元时，有最大毛利润为23000元． 21.解:函数f(x)的导数f ′(x)=2xe ax +ax 2e ax =(2x+ax 2)e ax . ①当a=0时,若x<0,则f ′(x)<0,若x>0,则f ′(x)>0.
所以当a=0时,函数f(x)在区间(－∞,0)内为减函数,在区间(0,+∞)内为增函数.
②当a>0时,由2x+ax 2>0,解得x<－a 2或x>0，由2x+ax 2<0,解得－a 2
<x<0，
所以当a>0时,函数f(x)在区间(－∞,－a 2)内为增函数,在区间(－a
2
,0)内为减函数,在区间(0,+∞)
内为增函数.
③当a<0时,由2x+ax 2>0,解得0<x<－
a 2,由2x+ax 2<0,解得x<0或x>－a
2. 所以当a<0时,函数f(x)在区间(－∞,0)内为减函数,在区间(0,－a 2)内为增函数,在区间 (－a
2
,+
∞)内为减函数.
22．解:(1)设双曲线C 的渐近线方程为y=kx,即kx －y=0， ∵该直线与圆x 2+(y －2)2=1相切,∴
2
12k
+=1,即k=±1.
∴双曲线C 的两条渐近线方程为y=±x ，故设双曲线C 的方程为22a
x －22
a y =1.
又双曲线C 的一个焦点为(2,0),∴2a 2=2,a 2=1.∴双曲线C 的方程为x 2－y 2=1. (2)若Q 在双曲线的右支上,则延长QF 2到T,使|QT|=|QF 1|. 若Q 在双曲线的左支上,则在QF 2上取一点T,使|QT|=|QF 1|.
根据双曲线的定义|TF 2|=2,所以点T 在以F 2(2,0)为圆心,2为半径的圆上,即点T 的轨迹方程是(x －2)2+y 2=4(y ≠0).
①
由于点N 是线段F 1T 的中点,设N(x,y)、T(x T ,y T ),
则⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=-=,
2,22
T T y y x x 即⎩⎨⎧=+=.2,22y y x x T T 代入①并整理得点N 的轨迹方程为x 2+y 2=1(y ≠0).。