10.3平面曲线的弧长

O
C( x0 , 0) x
图中 x 轴 ( x 0)表示直线轨道,AB是半径为R的
圆弧轨道,OA为缓冲轨道. 缓冲曲线常采用三次 曲线
y x3 , 6Rl
其中 l 是 OA 的弧长.对此曲线用曲率公式求得: K 8R2l2x .
4R2l 2 x4 3 2
当 x 从 0 变为 x0 时,曲率 K 从 0 连续地变为
K

(a2 sin2 t
ab b2 cos2 t )3 2

(a 2
ab b2 )sin2 t
b2 3 2
.
当 a b 0 时, 在 t 0, π 处曲率最大,在 t π , 2
3π 处曲率最小,
2
Kmax

a b2
, Kmin

b a2
.
由例1可得,若
a

b

R,
n
记 || T || max{ P0 P1 , P1P2 , , Pn1Pn }, sT Pi1Pi i 1
分别表示最长弦的长度和折线的总长度.
定义1 对于曲线C的无论怎样的分割T，如果存在有限极限
lim
|T || 0
sT

s.
则称曲线C是可求长的,并把极限s定义为曲线C的弧长.
定理10.1 设曲线C由参数方程(1)给出.若C为一光滑曲线，
则C是可求长的，且弧长为
S=


x2 t y2 t dt
(2)
证: 1. 对C作任意分割T={P0，P1，…，Pn}，并设P0与Pn
分别对应 t= 与t= ，且
Pi ( xi, yi )= ( x ( t i ), y ( t i ) ), i=1，2，…，n－1.
§3 平面曲线的弧长
一、平面曲线的弧长
在这一部分中我们首先建立了曲线弧长的相关概念， 然后曲线在三种表示情形，即分参数方程、直角坐标方程、 极坐标方程给出时，得到了相应的弧长公式.其中曲线C 由参数方程给出时的弧长公式是以定理10.1的形式给出的， 其余两种类型通过转化为参数方程，也很简便地得到了相应
s(t)=
t
a
x2 y2 d .
由于被积函数是连续的，因此,
ds dt

dx dt



dy dt
2
,ds = dx2 dy2
.
特别称s(t)的微分ds为弧微分.
例4 求星形线 x a cos3 t, y a sin3 t, t [0,2π]
则各点处曲率相等,
为
1 R
.
显然, 直线上各点处的曲率为 0.
设曲线上一点P处曲率 K 0.若过 P 作一个半径为
1 的圆, 使它在点 P 处与曲线有相同的切线,
K 并在 P 近旁与曲线位于切线的同侧(见图). 我们把这个圆称为曲线 y
在 P 处的曲率圆.曲率圆
C
P
的半径称为曲率半径, 曲
s
= b a
1 f 2 x dx
(4)
（2）若曲线C由极坐标方程r r( ), [, ] 表示，
其中 r '( )在 [, ]上连续，且 r( ) 与 r '( )不同时
为零时，弧长公式为
s=
r 2 r2 d
(5)
证：（1）若曲线C由直角坐标方程 y = f (x)，x∈[a，b]
为零时，此极坐标曲线为一光滑曲线.由定理10.1 弧长为

s=
r2 r2 d .
例1 求摆线x=a（t－sin t），y=a（1－cos t）（a＞ 0）
一拱的弧长.
解 x′（t）=a（1－cos t），y′（t）=a sin t，
由公式（2）得
s= 2 x2 t y2 t dt 2 2a2 1 cos t dt
1
K P0
率圆的圆心称为曲率中心. O
x
例2 如图所示, 火车轨道从直道进入半径为 R 的
圆形弯道时,为了行车安全,必须经过一段缓冲轨
道(用虚线表示),
使得曲率由零连续地变到
1 R
,
以保证火车行驶安全
y
(使火车的向心加速度 a v2 不发生跳跃式的 Q

式的突变).
B R
l
A( x0 , y0 )
K lim Δ lim Δ d ,
t0 Δs s0 Δs ds
则称此极限 K 为曲线 C 在点 P 的曲率.
由于曲线光滑,故总有
(t) arctan y(t) 或 (t) arccot x(t) .
x(t )
y(t )
若 x(t), y(t) 二阶可导,则由
1 4π2 ) .
*二、平面曲线的曲率
曲率是刻画曲线的弯曲程度的一个概念.如图所示,
在光滑曲线 C 上, 弧段 PQ 与 QR 的长度相差不 多而弯曲程度却很不一样. y
这反映动点沿曲线从P 移
C
到Q 时, 切线转过的角度 Δ
P
比动点从Q 移到 R 时切线.
转过的角度Δ 要大得多 O
R
的周长.
y
解 x(t) 3a cos2 t sin t,
y(t) 3a sin2 t cos t.
O
ax
π
因此 s 4 2 x2(t ) y2(t )dt 0
π
4 2
3a cos2 t sin t
2

3a sin2 t cos t
2
dt
0
12a
K (1 y2 )3 2 . 例1 求椭圆 x a cos t, y bsin t, 0 t 2π 上曲率
最大和最小的点.
解 由于 x a sin t, x(t) a cos t, y bcos t, y bsin t,
因此椭圆在各点的曲率为
0
02
2
例3 求心形线r=a（1+cos）（a＞0）的周长.
解 由公式（5）得
s= 2 r2 r2 d 2 2a2 1 cos d
0
0
= 4a.
下面简单介绍弧微分:
若把公式(2)中的积分上限改为t，就得到曲线(1)
由端点P0到动点P（x（t），y（t））的弧长，即
表示，把它看作参数方程，即为x = x，y = f (x)，
x∈[a，b]。当f（x）在[a，b]上连续可微时，
C为一光滑曲线，由定理10.1弧长为
s= b a
1 f 2 xdx.
（2）曲线C由极坐标方程 r r( ), [, ]
表示, 把它化为参数方程:
x r cos , y r sin , ,
π 2
sin
t
cos
tdt

12a

sin2
t
0
2
π 2
0
6a.
例5 求阿基米德螺线 r a , [0,2π](a 0) 的一
段弧长.
解 s 2π r 2( ) r2( ) d a 2π 1 2d
0
0

a 2

2π
1 4π2 ln(2π
Pi1Pi xi2 yi2 0 时，必有△ti→0.反之，当
△ti→0时，显然有 Pi1Pi 0 .
由此知道：当C为光滑曲线时，T 0与 T 0
是等价的.
4．由于 x2 t y2 t 在[ , ]上连续从而可积，
因此根据定义1，只需证明：
0
0
cos d 8a.
0
2
例2
求悬链线y=
ex
ex 2
从x=0到x=a＞0那一段的弧长.
ex ex
解 y′= 2
,
1
y2
=
ex
e x 2
4 ,由公式（4）得
s a
=
1 y2 dx
a e x e x dx ea ea
.
可得
s(t )

x2(t)

y2
(t
1
)
2
d
ds

(t )
s(t )

x(t) y(t) x(t) y(t) x2 (t ) y2 (t )3 2 .
即
xy xy
K ( x2 y2 )3 2 .
若曲线由 y f ( x) 表示,则 y

Q
(t)
x
设 (t )表示曲线在点 P( x(t), y(t)) 处切线的倾角,
Δ (t Δt) (t) 表示动点由 P 沿曲线移至
Q( x(t Δt), y(t Δt)) 时切线倾角的增量.若 PQ 之长为 Δs ,则称
K Δ
Δs 为弧段 PQ 的平均曲率.如果存在有限极限
K0
8R2l 2 x0 1
8l 2 x0
.
4R2l 2 x04 3 2
R

4l
2


x04 R2
3
2
当
x0
l,且
x0 R
很小时,K0

1 R
. 因此曲线段
OA
的曲率从 0 渐渐增加到接近于 1 , 从而起到缓冲 R
作用.
从而曲线C的内接折线总长为
n
s T
xi2 yi2
i 1
n
= x2 i y2 i ti
i1
3． 又因C为光滑曲线，当 x'(t) 0 时，在t的某邻域内 x x(t)
有连续的反函数，故当△ x→0时，△t→0；类似地，
当 y'(t) 0 时，亦能由△y→0推知△t→0。所以当
n
limsT lim x2 i y2 i ti , (3)
T 0
T' 0 i 1
而后者即为(2)式右边的定积分.为此记
i x2 i y2 i x2 i y2 i
则有
n
ST =

x2 i y2 i i ti .
i 1
利用三角形不等式易证
i y i y i y i y i
由 y'(t)在 [ , ]上连续，从而一致连续，
故对任给的 0, 存在 0, 当 T ' 时,只要i ,i i，
就有,
i

的弧长公式.
先建立曲线弧长的概念.
设平面曲线C.如图10—14所示，在C 上从A到B依次取分点：
A=P0，P1，P2…，Pn－1，Pn=B，它们
成为对曲线C的一个分割，记为T.然 后用线段联结T中每相邻两点， 得到C的n条弦 Pi1Pi , （i=1，2，…，n），这 n条弦又成为C的一条内接折线.
由于x r cos r sin ,
y' r sin r cos ,
x2 y2 r2 r2 ,
因此 r '( )在 [, ]上连续，且 r( ) 与 r '( )不同时
定义2 设平面曲线C 由参数方程
x x(t), y y(t), t [, ].(1)
给出.如果 x(t )与 y(t ) 在 [ , ]上连续可微， 且 x'(t)与 y'(t) 不同时为零(即x2 (t ) y2 (t ) 0,
t [ , ] )则称C为一条光滑曲线.
，i =1，2，…，n.
因此有,
n
sT i1
n
n
x2 i y2 i ti iti ≤ i ti .
i1
i1
即(3)式得证，亦即公式(2)成立.
推论 （1）若曲线C由直角坐标方程 y=f（x）,x∈[a，b]表示，
其中f（x）在[a，b]上连续可微时，弧长公式为
于是，与T对应地得到区间[，]的一个分割
T : t0 t1 t2 tn1 tn .
2． 在T′所属的每个小区间△i=[ti－1，ti]上，
由微分中值定理得
xi x(ti ) x(ti1) x(i )ti ,i i;
yi y(ti ) y(ti1 ) y(i )ti ,i i ;