周期函数的傅里叶级数

f ( ) lim (1 x2 ) 1 2 , x
f ( ) f ( ) lim (1) 1, x
所以 f ( x) 的傅里叶级数在点 x 收敛于
f ( ) f ( ) 2
2
2
傅里叶(Fourier)级数
傅里叶(Fourier)级数
上一节详细研究了一种重要的函数项级数: 幂级数.
下面研究另一种重要的函数项级数: 傅里叶 级数. 这种级数是由于研究周期现象的需要而 产生的. 它在电工、力学和许多学科中都有很 重要的应用.
傅里叶(Fourier)级数
历史朔源
1757年, 法国数学家克莱罗在研究太阳引起的摄动 时, 大胆地采用了三角级数表示函数:
一个函数的自乘 (平方) 在 [ , ] 上的积分非零.
傅里叶(Fourier)级数
1, cos x, sin x, cos 2x, sin2x, , cosnx, sinnx,
12dx 2 ,


1 cos nxdx 1 sinnxdx 0



傅里叶(Fourier)级数
基本三角函数系的正交性 (orthogonality)
基本三角函数系 1, cos x, sin x, cos 2x, sin2x, , cosnx, sinnx, 的正交性是指: 其中任何两个不同的函数的乘积 在一个周期长的区间 [ , ]上的积分为零, 而任
(3) 要注明傅氏级数的和函数与函数 f (x) 相等 的 x 的取值范围.
傅里叶(Fourier)级数
周 期 为2
的
函
数
f
(
x)

1, 1 x
2
,
当
当0
x
x


0 时, 时,
的傅里叶级数在 x 处收敛于____.
解 函数 f ( x) 满足狄利克雷条件, 因为

3
51
2 3
2
2
O
3
2
2
2
t
1
傅里叶(Fourier)级数
u
1
O
t
4
1
1u 1
1
u (sin t sin 3t sin5t sin7t)

3
51 7
2 3
2
2
O
3
2
2
2
t
1
傅里叶(Fourier)级数
傅里叶(Fourier)级数
问题的提出
在自然界和人类的生产实践中, 周期运动很常见.
如行星的飞转, 飞轮的旋转, 蒸气机活塞的往复运动,
物体的振动, 声、光、电的波动等.
数学上, 用周期函数来描述它们. 最简单最基本
的周期函数是 正弦型函数
角频率
谐函数
简谐波 简谐振动
Asin( t )
振幅
傅里叶级数收敛定理解决了这些问题.
傅里叶(Fourier)级数
狄利克雷 (Dirichlet) 收敛定理 设 f ( x) 是以 2 为周期的函数, 满足
(1) 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点;
(2) 在一个周期内逐段单调.
则 f ( x) 的傅里叶级数处处收敛, 且
f ( x),

f ( x)cos nxdx a0

三角函数系的正交性
cos nxdx

2


0

[ak
cos kx cos nxdx bk
sinkx cos nxdx]

k 1
k n 时非零
0
an

cos

2
nxdx

an
an

1

f ( x)cos nxdx (n 1, 2, 3,)
的矩形脉冲波u(t)
EmE,m ,
0

t
t
0
的傅里叶级数.
u u(t) 的图象
解 计算傅里叶系数
Em
an

1


f ( x)cos nxdx

O

t
1


u(t)cos ntdt 0
Em
奇
(n 0, 1, 2,)
傅里叶(Fourier)级数


cos mx cos nxdx sinmx sinnxdx 0, m n



sinmx cos nxdx 0
cos 2nxdx sin2nxdx 其中m, n 1, 2,


傅里叶(Fourier)级数
傅里叶系数 (Fourier coefficient)
f
(x)
~
a0 2


(an
n1
cos nx

bn
sin nx)
1
bn

u(t)sin ntdt 偶
2Em

sin ntdt
0

2Em cos nt
n
0
2Em (1 cos n ) n

2Em
n
[1 (1)n ]
4Em
n
若 x 为 f (x)的连续点，
s( x)

f (x) 2
f (x) ,
若
x为
f ( x) 的第一类间断点,
其中s(x) 为 f (x)的傅里叶级数的和函数.
傅里叶(Fourier)级数
注 (1) 函数展开成傅里叶级数的条件比展开成 幂级数的条件低得多;
(2) 周期函数的三角级数展开是唯一的, 就是 其傅里叶级数;
设有
f (x)
a0 2


(ak
k 1
cos kx bk
sinkx)
(1) 求 a0 . 两边积分

f ( x)dx

a0 dx 2


k 1
(ak
cos kx bk sinkx)dx 三角函数系的正交性


a0 2
dx
u
1
O
t
1
u
4
(sin t

1 sin 3t
1
u
sin
5t

1 sin7t
1 sin9t)

3
51 7
9
2
3
2
2
O
3
2
2
2
t
1
傅里叶(Fourier)级数
u
1
1, 当 t 0 u(t) 1, 当0 t
傅里叶(Fourier)级数
函数 f (x)的傅里叶级数常记为
f (x)
a0 2

(an cos nx bn sin nx)
n1
注 f (x) 的傅里叶级数不见得收敛；即使收敛，
级数的和也不一定是 f (x). 所以, 不能无条件的 它把“的符”傅号里叶级换 “数为=”收. 敛，当并f收(x敛) 满于足f什(x)么本条身件. 时，
傅里叶(Fourier)级数
在历史上, 三角级数的出现和发展与求解微分方 程是分不开的. 1753年, 丹贝努利首先提出将弦振动 方程的解表示为三角级数的形式, 这为函数的傅里叶 展开这个纯数学问题奠定了物理基础, 促进了分析学 的发展. 1822年, 傅里叶在《热的解析理论》一书中对 于欧拉和贝努利等人就一些孤立的特殊的情形所采用 的三角级数方法进行加工处理, 发展成一般理论.
O 3 2
t
2
2 1
2
2
傅里叶(Fourier)级数
u
1
4
1
u
u (sin t sin 3t)

3
1
O
t
1
2
3
2
2
O
3
2
2
2
t
1
傅里叶(Fourier)级数
u
1
O
t
4
1
1u
1
u (sin t sin 3t sin 5t)
2


(an
n1
cos nx

bn
sin nx)
其中
an bn

1

1


f ( x)cos nxdx,

f ( x)sin nxdx,

(n 0, 1, 2,) (n 1, 2,)
称为函数 f (x) 的傅里叶系数.
注 定积分的积分区间换成任一个长度为2 的区间 an 与 bn 的值不变, 例如[0, 2 ], [ / 2, 3 / 2] 等.


(ak
k 1
a0

cos

kxdx

bk
0

s in kxdx )

0
1
a0
f ( x)dx

傅里叶(Fourier)级数
(2) 求 an .
f
(x)

a0 2


(ak
k 1
cos
kx

bk
sinkx)
两边同时乘以cos nx 并从 到 逐项积分得
周期函数的傅里叶级数解题程序
(1) 画出 f (x)的图形, 并验证是否满足狄氏条件 (画图目的: 验证狄氏条件;由图形写出收敛域; 易看出奇偶性可减少求系数的工作量); (2) 求出傅氏系数; (3) 写出傅氏级数, 并注明它在何处收敛于 f (x).
傅里叶(Fourier)级数
例
求 周 期 为2

f ( x) A0 2 An cos nx ,
n1
An

1
2
2
f ( x)cos nxdx
0
1759年, 拉格朗日在对声学的研究中也使用了三
角级数. 1777年, 欧拉在研究天文学的时候, 用三角
函数的正交性得到了将函数表示成三角级数时的系
数, 也就是现今教科书中傅里叶级数系数.
4Em

n1
1 sin(2n 1)t 2n 1


u(t ),
0,
当t k时 当t k时
在点tu(tk)(4kEm0,1,12,s)处 in(不2n连 1续)t,
收敛于 Em2(Emn1 2tEnm12(;tEm0),0,2 ,)

f (t ) A0 An sin(nt n ) 谐波分析
即
n1

f (t ) A0 ( An sinn cos nt An cos n sinnt )
n1
傅里叶(Fourier)级数

A0 ( An sinn cos nt An cos n sinnt )
O
t
1
4 (sin t 1 sin 3t 1 sin5t 1 sin7t 1 sin9t )

3
5
7
9
( t , t 0)
11
傅里叶(Fourier)级数
把一个周期运动 (如矩形波) 分解为简谐振动的 迭加, 反映在数学上, 是把一个周期函数 f(t) 表示为 各类正弦函数的迭加, 即

傅里叶(Fourier)级数
(2) 求 bn .
f
(x)

a0 2


(ak
k 1
cos
kx

bk
sinkx)
两边同时乘以sinnx 并从 到 逐项积分得

f ( x)sinnxdx a0

三角函数系的正交性
s in nxdx

2


0

[ak
cos kx sinnxdx bk
sinkx sinnxdx]

k 1
0
k n 时非零
bn
sin2

nxdx

bn
bn

1

f ( x)sin nxdx (n 1, 2, 3,)

18
傅里叶(Fourier)级数
函数 f (x) 的傅里叶级数
a0
时间
初相
周期 2

傅里叶(Fourier)级数
除了正弦函数外, 常遇到的是非正弦周期函数,
如矩形波
u(t
)

1, 1,
当 t 0 当0 t
u
Hale Waihona Puke Baidu
1
O
t
1
傅里叶(Fourier)级数
u
1
u 4 sin t
u

1
O
t
1
2 3
n1
令
a0 2

A0 ,
an

An sinn , bn

An cosn ,
t

x.
a0 2


(an
n1
cos nx

bn
sin nx)
三角级数
函数 f (t) 满足什么条件, 才能展为三角级数?
系数 a0 , an , bn 如何确定? 为简便计, 考虑以 2 为周期的函数 f ( x). 1
u 和u(函t)的数图图象象
Em
O

t
Em
傅里叶(Fourier)级数
例
函数 f ( x)以 2 为周期, 且 将 f (x) 展开为傅里叶级数.
f
(
x)

x, 0,
解 f (x) 的图象
y
x 0, 0 x,
3 2
2 3
计算傅里叶系数
O
x

1
10

a0
0,
,
n 1, 3, 5, n 2, 4, 6,
故 u(t) 的傅里叶级数为
u(t) ~ 4Em 1 sin(2n 1)t
n1 2n 1
4Em (sint 1 sin3t 1 sin5t )

3
5
傅里叶(Fourier)级数
由于u(t)满足狄利克雷条件, 所以