数列大题高考真题(广东理科)

1.
2. 数列{}n a 满足a 1=2，a 1+n =242n a --,数列{b n }定义为：b n =21+n a n ,n ∈N *.
（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）证明：b n <7, n ∈N *.
3 . 设b>0,数列{}n a 满足a 1=b ，1
1(2)
22n n n nba a n a n --=≥+-.
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）证明：对于一切正整数n ，1
1 1.2n n n b a ++≤+
参考答案：
1.
2 . 解：（１）设4sin 21π
=a ,则
332222sin 22sin 44cos 1(24cos 224sin 442π
ππ
π
π
==-=-=--=a 若12sin 2+=k k a π
，则由递推关系知
2112sin 22cos 22+++=-=k k k a ππ
所以，{}n a 的通项公式 )(2sin 21*+∈=N n a n n π
（２）由（１）知，)(2sin 212
*++∈=N n b n n n π
，于是 因为20π
<<x 时，sinx<x （可先设函数g(x)=sinx-x,x ∈（0，2π
）证明）
所以
72222sin 212
12
<=⋅<=++++πππn n n n n b
正毕.
3.解（１）法一：12(1)n n
a ba n a n -=+-，得12(1)121n a n n
n a ba b b a -+--==+⋅，
（ⅰ）当2b =时，{}n b 是以
12为首项，12为公差的等差数列， 即111(1)222
n b n n =+-⨯=，∴2n a = （ⅱ）当2b ≠时，设12()n n b b b λλ-+=
⋅+，则122(1)n n b b b b λ-=⋅+-， 令21(1)b b λ-=，得12b λ=-，1121()22n n b b b b b -∴+=⋅+--(2)n ≥， 知12n b b +-是等比数列，11112()()22n n b b b b b
-∴+=+⋅--，又11b b =， 12112()222n n
n n n
b b b b b b b -∴=⋅-=⋅---，(2)2n n n n nb b a b -∴=-． 法二：（ⅰ）当2b =时，{}n b 是以
12为首项，12为公差的等差数列， 即111(1)222
n b n n =+-⨯=，∴2n a = （ⅱ）当2b ≠时，1a b =，2222222(2)22b b b a b b -==+-，33223333(2)242
b b b a b b b -==++-， 猜想(2)2n n n n
nb b a b -=-，下面用数学归纳法证明： ①当1n =时，猜想显然成立；
②假设当n k =时，(2)2k k k k
kb b a b -=-，则 1111(1)(1)(2)(1)(2)2(1)(2)2(2)2k k k k k k k k k k k b a k b kb b k b b a a n kb b k b b +++++⋅+⋅-+-===+--+⋅--， 所以当1n k =+时，猜想成立，
由①②知，*n N ∀∈，(2)2
n n n n nb b a b -=-． （２）（ⅰ）当2b =时， 1
12212
n n n a ++==+，故2b =时，命题成立； （ⅱ）当2b ≠时，222212222n n n n n n b b b ++≥⋅=， 212122122222n n n n n n b b b b --+⋅+⋅≥⋅=，
1111221,22222n n n n n n n n b b b b +--++⋅+⋅≥⋅= ，以上n 个式子相加得 2212n n b b -+⋅+111122n n n n b b +--++⋅+⋅+ 2121222n n n n b n b -++⋅+≥⋅，
1221212112(2)[(222)2](2)2(2)2(2)n n n n n n n n n n n n n n n n b b b b b b b a b b +--++⋅-+⋅++⋅+-⋅-=≤-- 2212121(222)(2)2(2)2(2)
n n n n n n n n n b b b b b b b --++⋅++⋅+--⋅-=- 212111
(2)22n n n n n n b b b ++++--⋅+⋅=
2111211(2)(22)2(2)n n n n n n n n n b b b b +++++-⋅+⋅-=-1112n n b ++=+．故当2b ≠时，命题成立； 综上（ⅰ）（ⅱ）知命题成立．。