高考数学 最后冲刺精编模拟试题1
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2011年高考数学最后冲刺精编模拟试题1
本试卷共4页,21小题,满分150分。
考试用时120分钟。
一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分.在每小题给出的四个选项中,只有
一项是符合题目要求的.
1. 已知,a b 是实数,则“0a >且0b >”是“0a b +>且0ab >”的 ( ) A .充分而不必要条件 B .必要而不充分条件 C .充分必要条件 D .既不充分也不必要条件
2.已知全集U R =,集合{212}M x x =-≤-≤和{21,1,2,}N x x k k ==-=的关系的韦恩(Venn )图如图1所示,则阴影部分所示的集合的元素共有
A. 3个
B. 2个
C. 1个
D. 无穷多 3. 若复数z 满足方程220z +=,则3z =
A.±-- D. ± 4. 设0a >,对于函数()sin (0)sin x a
f x x x
π+=
<<,下列结论正确的是
A .有最大值而无最小值
B .有最小值而无最大值
C .有最大值且有最小值
D .既无最大值又无最小值
5. 已知正四棱柱1111ABCD A BC D -中,1AA =
2AB ,E 为1AA 重点,则异面直线BE 与1CD 所形成角的余弦值为
(A )
10 (B) 15 (C) 10
(D) 35
6. 在二项式2
5
1()x x
-的展开式中,含4
x 的项的系数是( )
A .10-
B .10
C .5-
D .5
7.如图所示,f i (x )(i =1,2,3,4)是定义在[0,1]上的四个函数,其中满足性质:“对[0,1]中任意的x 1和x 2,任意λ∈[0,1],f [λx 1+(1-λ)x 2]≤λf (x 1)+(1-λ)f (x 2)恒成立”的只有( )
A.f 1(x ),f 3(x )
B.f 2(x )
C.f 2(x ),f 3(x )
D.f 4(x )
8. 若a ,b ,c >0且a (a +b +c )+bc =4-23,则2a +b +c 的最小值为
(A )3-1 (B) 3+1 (C) 23+2 (D) 23-2
二、填空题:本大题共7小题,考生作答6小题,每小题5分,满分30分. (一)必做题(9~12题)
9.在正方体上任选3个顶点连成三角形,则所得的三角形是直角非等腰三角形的概率为 10.若三点(2,2),(,0),(0,)(0)A B a C b ab ≠共线,则
11
a b
+的值等于__________. 11. 在数列{a n }中,若a 1=1,a n +1=2a n +3 (n ≥1),则该数列的通项a n =_________. 12. 执行下边的程序框图,输出的
(二)选做题(13 ~ 15题,考生只能从中选做两题)
13. (不等式选讲选做题)函数log (3)1(0,1)a y x a a =+->≠的图象恒过定点A ,若点A 在直线10mx ny ++=上,其中0mn >,则
12
m n
+的最小值为_______. 14. (坐标系与参数方程选做题)设M 、N 分别是曲线2sin 0ρθ+=和s ()4
2
in π
ρθ+
=
上的动点,则M 、N 的最小距离是 15. (几何证明选讲选做题)如图,在正三角形ABC 中,E 、F 依次是AB 、AC 的中点,AD ⊥BC ,EH ⊥BC ,F G⊥BC ,D 、H 、G 为垂足,若将正三角形ABC 绕AD 旋转一周所得的圆锥的体积为V ,则其中由阴影部分所产生的旋转体的体积与V 的比值是 .
三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤, 16. (本小题满分12分)
设函数()f x a b =,其中向量(2cos ,1),(cos ,3sin 2),a x b x x x R ==∈
(1)
若函数()1,,;33f x x x ππ⎡⎤
=-∈-
⎢⎥⎣⎦
且求 (2) 若函数2sin 2y x =的图象按向量(,)()3
c m n m π
=<
平移后得到函数()y f x =的图
象,求实数m,n 的值。
17. .(本小题满分12分)
某班有学生45人,其中O 型血的人有10人,A 型血的人有12人, B 型血的人有8人,AB 型血的人有15人,现抽取两人进行检验, (1) 求这两人血型相同的概率; (2) 求这两人血型相同的分布列.
18. (本小题满分14分)已知长方体1AC 中,棱
1,AB BC ==棱12BB =,连结1B C ,过B
点作1B C 的垂线交1CC 于E ,交1B C 于F .
(1)求证:1
AC ⊥平面EBD ; (2)求点A 到平面11A B C 的距离;
(3)求平面11A B C 与直线
DE 所成角的正弦值.
19、(本题满分14分)
已知双曲线2
2
2x y -=的左、右焦点分别为1F ,2F ,过点2F 的动直线与双曲线相交于A B
,B
D
B D 1
两点.
(I )若动点M 满足1111FM F A F B FO =++(其中
O 为坐标原点),求点M 的轨迹方程; (II )在x 轴上是否存在定点C ,使CA ·CB 为常数?若存在,求出点C 的坐标;若不存在,请说明理由.
20、(本小题满分14分)已知函数2
()(1)
f x x =-,数列{}n a 是公差为d 的等差数列,{}n b 是公
比为q (,1q R q ∈≠)的等比数列.若1(1),a f d =-3(1),a f d =+1(1),b f q =-3(1).b f q =+ (Ⅰ)求数列{}n a ,{}n b 的通项公式; (Ⅱ)若{}n c 对n N *
∈,恒有
312
112323n n n
c c c c a b b b nb ++++⋅⋅⋅+=,求13521
n c c c c -
+++⋅
⋅ 的值;
(Ⅲ)试比较3131n n b b -+与1
2
n n a a ++的大小.
21、(本小题满分14分)已知函数f (x)=
1ln x
x ax
-+。
(1)若函数f (x)在[1,+∞)上为增函数,求正实数a 的取值范围; (2)当a =1时,求f (x)在[
1
2
,2]上的最大值和最小值。
(3)求证:对于大于1的正整数n ,1ln 1n n n
>-。
2010三轮复习精编模拟套题(一)参考答案及详细解析
答案:1—8 CBDBCBAD
9.
37 10. 12 11. n a =1
23n +-. 12.30 13.8 14.1 15. 8
5 一、选择题 1.答案:C
【解析】对于“0a >且0b >”可以推出“0a b +>且0ab >”,反之也是成立的 2.答案:B
【解析】由{212}M x x =-≤-≤得31≤≤-x ,则{}3,1=⋂N M ,有2个,选B. 3.答案:D
【解析】由i z i z z 222023
2
±=⇒±=⇒=+,故选D. 4. 答案:B
【解析】令sin ,(0,1]t x t =∈,则函数()sin (0)sin x a
f x x x
π+=
<<的值域为函数
1,(0,1]a y t t =+∈的值域,又0a >,所以1,(0,1]a
y t t
=+∈是一个减函减,故选B 。
5. 答案:C
【解析】本题考查异面直线夹角求法,方法一:利用平移,CD ’∥BA',因此求△EBA'中∠A'BE
即可,易知EB=2,A'E=1,A'B=5,故由余弦定理求cos ∠,或由向量法可求。
6. 答案:B
【解析】对于()251031551()
()1r
r
r
r r r r T C x C x x
--+=-=-,对于1034,2r r -=∴=,则4x 的项的系数是2
25(1)10C -=
7. 答案:A
【解析】利用特殊值法,因为λ∈[0,1],令λ=
2
1
,则不等式变为: f (
221x x +)≤2)()(21x f x f +。
f (221x x +)为自变量x 1、x 2中点,2
2
1x x +对应的函数值即“中点的纵坐标”,
2
1
[f (x 1)+f (x 2)]为x 1、x 2对应的函数值所对应的点的中点,即“纵坐标的中点”,再结合f (x )函数图象的凹凸性,可得到答案A 8. 答案:D
【解析】若,,0a b c >
且()4a a b c bc +++=-
所以2
4a ab ac bc +++=-
2222211
4(44422)(4442)44
a a
b a
c bc a ab ac bc bc a ab ac bc b c -=+++=
+++++++++≤∴
222)(2)a b c ++≤,则(2a b c ++)
≥2,选D. 二、填空题 9. 答案:
3
7
【解析】在正方体上任选3个顶点连成三角形可得3
8C 个三角形,要得直角非等腰..
三角形,则每个顶点上可得三个(即正方体的一边与过此点的一条面对角线),共有24个,得
38
24
C 10. 答案:
12
a 22AB =(-,-),C 2
b 2A =(-,-) ,依题意,有(a -2)∙(b -2)-4=0,即
ab -2a -2b =0所以11a b +=1
2
11. 答案:n a =1
2
3n +-.
【解析】 在数列{}n a 中,若111,23(1)n n a a a n +==+≥,∴ 132(3)(1)n n a a n ++=+≥,即{3n a +}是以134a +=为首项,2为公比的等比数列,113422n n n a -++=⋅=,所以该数列的通项n a =1
2
3n +-.
12.答案:30
【解析】:按照程序框图依次执行为S=5,n=2,T=2; S=10,n=4,T=2+4=6;S=15,n=6,T=6+6=12;
S=20,n=8,T=12+8=20;S=25,n=10,T=20+10=30>S,输出T=30 13. 答案:8
【解析】函数l o g (3)1(0
a y x a a =+
->≠的图象恒过定点(2,1)A --,(2)(1)10m n -⋅+-⋅+=,21m n +=,,0m n >,
12124()(2)448.n m m n m n m n m n +=+⋅+=++≥+= 14.
1 15答案:
8
5
【解析】解法一:设正三角形边长为2,其高AD =
3,旋转半径BD =1,
V =31π·1·3=
3
3π. 又EF =1,HD =
21,HE =2
3,则HGEF 旋转所得圆柱的体积V 1=π· (
21)2·8
323π
=. 由阴影部分产生的旋转体的体积8
5,2435212==-=V V V V V π.
故由阴影部分所产生的旋转体的体积与V 的比是
8
5. 解法二:设圆锥的高为h ,底面半径为r ,则圆柱的高为
2h ,底面圆半径为2
r ,则858313
12)2
(1122=-=⋅
-
=-=-h r h
r V V V V V ππ柱柱 三、解答题
16. 解:(1
)依题设得2()2cos 2122 f x x x xos x x ==+ =2sin(2x+
)16
π
=+
由2sin(2x+
)11sin(2)662
x π
π+=+=-得 5,23
32
6
6
x x π
π
π
π
π
-
≤≤
∴-
≤+
≤
2,6
3
4
x x π
π
π
∴+
=-
=-
即
(2)函数y=2sin2x 的图象按向量(,)c m n =平移后得到函数sin 2()y x m n =-+的图象,即函数()y f x =的图象。
由(1)得:()2sin 2()112
f x x π
=+
+,又,,12
12
m m n π
π
<
∴=-
=
17. 16.(本题满分12分)
解(1)记两人血型同为O ,A ,B ,AB 型的概率分别为P 1,P 2,P 3,P 4,则
.66
7,49514,151,2214321====
P P P P ---------------------------4分 故两人血型相同的概率为495
122
=P ----6分
(2)将两人血型同为O ,A ,B ,AB 型编号为1,2,3,4, 记两人血型相同为X ,则 X 的可能取值为1,2,3,4,其分布列为:
18. (1)证:以A 为原点, 1,,AB AD AA 分别为
,,x y z 轴建立空间直角坐标系,那么 (0,0,0)A 、(1,0,0)B 、(1,1,0)C 、(0,1,0)D 、1(0,0,2)A 、1(1,0,2)B 、1(1,1,2)C 、
1(0,1,2)D ,1
(1,1,2)AC =-,(1,1,0)BD =-,………(2分) 设(1,1,)E z ,则:(0,1,)BE z =,1(0,1,2)CB =-,1BE B C ⊥∴1120BE CB z ∙=-+=,1
2
z =
,∴1(1,1,)2E ,1
(0,1,)2
BE =
,
11100AC BD ∙=-++=,10110AC BE ∙=+-=,
∴11
,AC BD AC BE ⊥⊥,………(4分) 又
BD BE B =
∴
1
AC ⊥平
面
EBD .………(5分)
连结1AE ,A 到平面11A B C (2)
的距离,即三棱锥
11A A B C -的高,设为
h,
……(6分)11A B C
S
=
,1113C A B A V -=,由1111A A B C C A B A V V --=
得
:
1133⨯=
,h =
………(8分) ∴点A 到平面11A B C
的距离是
.………(9分) (3)连结DF ,
111
1,,AC BE B C BE AC B C C ⊥⊥=,∴BE ⊥平面11A B C ,
∴DF 是DE 在平面11A B C 上的射影,EDF ∠是DE 与平面11A B C 所成的角,………(1
1分)
设(1,,)F y z ,那么1(0,,),(1,1,),(0,1,2)BF y z CF y z BC ==--=-,1
0BF BC ∙= ∴20y z -= ①
1
//CF BC ,∴22z y =- ② 由①、②得42
,55
y z ==,1(1,0,)2DE =,11
(0,,)510
EF =--………(12分)
在Rt FDE
中,DE EF =
=.∴
1sin 5EF EDF ED ∠==,因此,DE 与平面11A B C 所成的角的正弦值是
1
5
.………(14分) 19. 解:由条件知1(20)F -,,2(20)F ,,设11()A x y ,,22()B x y ,. 解法一:(I )设()M x y ,,则则1
(2)FM x y =+,,111(2)F A x y =+,, 1221(2)(20)F B x y FO =+=,,,,由1111FM F A F B FO =++得 1212
26x x x y y y +=++⎧⎨
=+⎩,即12124x x x y y y +=-⎧⎨+=⎩,
于是AB 的中点坐标为422x y -⎛⎫
⎪⎝⎭
,. 当AB 不与x 轴垂直时,1212248
22
y
y y y x x x x -==
----,即1212()8y y y x x x -=--. 又因为A B ,两点在双曲线上,所以22112x y -=,22
222x y -=,两式相减得
12121212()()()()x x x x y y y y -+=-+,即1212()(4)()x x x y y y --=-.
将1212()8
y
y y x x x -=
--代入上式,化简得22(6)4x y --=. 当AB 与x 轴垂直时,122x x ==,求得(80)M ,,也满足上述方程. 所以点M 的轨迹方程是2
2
(6)4x y --=.
(II )假设在x 轴上存在定点(0)C m ,,使CA CB 为常数. 当AB 不与x 轴垂直时,设直线AB 的方程是(2)(1)y k x k =-≠±. 代入2
2
2x y -=有2
2
2
2
(1)4(42)0k x k x k -+-+=.
则12x x ,是上述方程的两个实根,所以212241k x x k +=-,212242
1
k x x k +=-,
于是2
1212()()(2)(2)CA CB x m x m k x x =--+--
22221212(1)(2)()4k x x k m x x k m =+-++++ 22222222
(1)(42)4(2)
411k k k k m k m k k +++=-++-- 222
22
2(12)2442(12)11
m k m m m m k k -+-=+=-++--. 因为CA CB 是与k 无关的常数,所以440m -=,即1m =,此时CA CB =1-. 当AB 与x 轴垂直时,点A B ,
的坐标可分别设为(2
,(2, 此时(12)(12)1CA CB =-=-,,.
故在x 轴上存在定点(10)C ,,使CA CB 为常数.
解法二:(I )同解法一的(I )有12124x x x y y y
+=-⎧⎨
+=⎩,
当AB 不与x 轴垂直时,设直线AB 的方程是(2)(1)y k x k =-≠±. 代入2
2
2x y -=有2
2
2
2
(1)4(42)0k x k x k -+-+=.
则12x x ,是上述方程的两个实根,所以2
12241
k x x k +=-.
212122
44(4)411k k
y y k x x k k k ⎛⎫+=+-=-= ⎪--⎝⎭
. 由①②③得2
2441k x k -=-.…………………………………………………④
241
k
y k =
-.……………………………………………………………………⑤ 当0k ≠时,0y ≠,由④⑤得,
4
x k y
-=,将其代入⑤有
222
2
4
44(4)(4)(4)1x y x y
y x x y
y -⨯
-==----.整理得22(6)4x y --=. 当0k =时,点M 的坐标为(40),,满足上述方程.
当AB 与x 轴垂直时,122x x ==,求得(80)M ,,也满足上述方程. 故点M 的轨迹方程是22(6)4x y --=.
(II )假设在x 轴上存在定点点(0)C m ,,使CA CB 为常数,
当AB 不与x 轴垂直时,由(I )有212241k x x k +=-,2122421
k x x k +=-.
以上同解法一的(II ).
20. (Ⅰ) ∵ 312a a d -=, ∴ (1)(1)2f d f d d +--=. 即 22
(2)2d d d --=, 解得 d =2.
∴ 1(21)0a f =-=. ∴ 2(1)n a n =-. ………………………………… 2分 ∵ 231b q b =, ∴
22
2(1)(1)(2)f q q q f q q +==--. ∵ 0, 1q q ≠≠, ∴ 3q =. 又1(1)1b f q =-=, ∴ 1
3n n b -=.………………………………………… 4分
(Ⅱ) 由题设知 1
21c a b =, ∴1212c a b ==.
当2
n ≥时, 3112
1
123
123(1)n n n n n
c c c
c c a b b b n b nb -+-++++
+=-,
31
12
123
1
23(1)n n
n c c c c a b b b n b --++++
=-,
两式相减,得12n
n n n c a a nb +=-=.
∴ 1
223n n n c nb n -== (1122c b a ==适合).…………………………… 7分
设T=13521n c c c c -++++,
∴ 24
22263103(42)3n T n -=+⨯+⨯+
+-
224622232363103(46)3(42)3n n T n n -=⨯+⨯+⨯+
+-+-
两式相减 ,得
2422282434343(42)3n n T n --=+⨯+⨯+
+⨯--
19(91)
24(42)991n n n --=+⨯---1929(42)922n n
n =+⨯---⨯
55
94922n n
n =-+⨯-.
∴
255
()316216n n T =
+-.………………………………………………… 9分
(Ⅲ) 3131n n b b -+31=31
n n
-+2131n =-+, 12n n a a ++2212(1)22n n n ==-++. 现只须比较31n
+与22n +的大小.
当n=1时, 31422n
n +==+;
当n=2时, 3110226n
n +=>+=;
当n=3时, 3128228n
n +=>+=;
当n=4时, 31822210n
n +=>+=.
猜想2n ≥时,3122n
n +>+.
用数学归纳法证明
(1)当n=2时,左边3110n =+=,右边226n =+=,3122n
n +>+成立.
(2)假设当n=k 时, 不等式成立,即3122k
k +>+.
当n=k+1时, 1
3
13313123k k k k ++=⨯+=++⨯
2223222k k k >++⨯>++2(1)2k =++.
即当n=k+1时,不等式也成立.
由(1)(2),可知2n ≥时,3122n
n +>+都成立.
所以 3122n
n +≥+(当且仅当n =1时,等号成立)
所以2131
n -+2122n ≥-
+.即3131n n b b -+12n n a a ++≥. …………………………… 14分 21.(1)f ′(x)=
21(0)ax a ax -> 依题2
1
ax ax -≥0在[1,+∞)上恒成立
即a ≥
1
x
在[1,+∞)上恒成立,∴a ≥1 …… (2)当a=1时,f ′(x)=21x x
-,其中x ∈[12,2], 而x ∈[12,1)时,f ′(x)<0;x ∈(1,1
2]
时,f ′(x)>0, ∴x=1是f (x)在[1
2
,2]上唯一的极小值点,∴ [f (x)]min =f (1)=0 ……
又f (12)-f (2)=32-2ln2=34ln ln 22e ->0,∴f (12)>f (2), ∴[f (x)]max =f (1
2)=1-ln2
综上,a=1时,f (x)在[1
2
,2]上的最大值和最小值分别为1-ln2和0 ……
(3)若a=1时,由(1)知f (x)=1ln x
x x
-+在[1,+∞)上为增函数, 当n>1时,令x=
1
n
n -,则x>1,故f (x)>f (1)=0, 即f (1n n -)=111
n
n n n -
--+ln 1n n -=-1n +ln 1n n ->0,∴ln 1n n ->1
n ……。