圆周角第1课时圆周角定理及其推论1课件数学九年级下册

在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆 周角相等，都等于该弧所对的圆心角的 一半；相等的圆周角所对的弧相等.
O
C
B
圆周角的一边通 过圆心
O
C
B
圆心在圆周角 的内部
O
B C
圆心在圆周角 的外部
4.在圆上任意变动点A的位置（包含上述三种位置关系）， 探究2的结论是否成立？
变动点 A 的位置，圆周角的
A
A
度数没有变化，它的度数恰
好为同弧所对的圆心角的度
A
数的一半.
探究
问题1：分别测量下图中 AB所对的圆周角∠BAC 和圆心角∠BOC的度数， 它们之间有什么关系？
1 BAC BOC
2
问题2：在☉O上任意取一段弧，作出它所对的圆周角和圆心角，测量他 们的度数，结论还成立吗？你发现了什么规律？
成立，可以发现，同弧所对的圆周角的度数等于这条弧 所对的圆心角的度数的一半.
问题3：你能证明这个猜想吗？ ①圆心O在∠BAC的一边上
③圆心O在∠BAC的外部
②圆心O在∠BAC的内部
2.2.2圆周角第1课时圆 周角定理及其推论1
九年级下
湘教版
学习目标
1.理解圆周角的概念；
重点
2.探索圆周角与圆心角及其所对弧的关系，知道同弧(或等弧)所对的圆
周角相等.
难点
3.了解并证明圆周角定理及其推论：圆周角等于它所对弧上的圆心角的
一半.
难点
新课引入
如图，把圆心角∠BOC 的顶点 O 拉 到圆上，得到∠BAC. ∠BAC有什么特点？它与∠BOC有 何异同？ ∠BAC顶点在圆上， 它和∠BOC所对的弧长 一样，但是比∠BOC小
联系
角两边都与圆相交
例1 下列各图中的∠BAC 是否为圆周角,并简述理由.
B O·
A
C
A （1） √
O·
B
C
顶点（不4）在圆上
B
C
O·
A
顶点（不2）在圆上
B C
A O·
（5）√
A
C O·
B
边（A3）C没有和圆相交
C
·O
B
A
（6）√
探究
二 圆周角定理及其推论1
1.如图，点 A、B、C 是 ☉O 上的点，
新知学习
一 圆周角的定义
顶点在圆上，并且两边都和圆
A
相交的角叫圆周角．
我们把∠BAC 叫作 BC 所对的圆周角， BC 叫作圆周角∠BAC 所对的弧．
O
C
B
圆周角在我们生活中处处可见，比如，我们从共青团团旗上的图案 抽象出的图形，该图形中就有许多圆周角．
思考
“弧AB”所对的圆周角除了∠ACB外，还有其他角吗？
∠C1，∠C2，∠C3 所对弧上的圆心 角均为∠AOB. 由圆周角定理，可 知∠C1 =∠C2 =∠C3 .
归纳
由此我们可以得到：
圆周角定理 圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半 圆周角定理推论1 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等； 相等的圆周角所对的弧相等. 注意：“同弧或等弧”若改为“同弦或等弦”结论就不成立了.因为一 条弦所对的圆周角有两种情况：优弧上的圆周角和劣弧上的圆周角.
①圆心O在∠BAC的一边上
证明： ∵ OA=OC， ∴ ∠A=∠C． 又∵ ∠BOC=∠A+∠C
∴ BAC 1 BOC 2
②圆心O在∠BAC的内部
A
OO
C B
D
BAC BAD DAC 1 (BOD DOC ) 1 BOC
2
2
③圆心O在∠BAC的外部
A OOO
D
C
B
∠BAC DAC DAB 1 (DOC DOB) 1 BOC
∠AEB，∠ADB都是弧AB所对的圆周角
注意：(1)圆周角必须具备两个条件： ①顶点在圆上;②两边都与圆相交.
(2)一条弧所对的圆周角有无数个.
EC D O
A
B
如图所示，可以一直往下画弧AB的圆周角.
名称
圆心角
圆周角
A
关系
顶点在圆心
顶点在圆上
区别 一条弧所对的圆心 一条弧所对的圆周角
角唯一
有无数个
A．15° C．30°
B．25° D．75°
B
C
.O
M A
D
随堂练习
1. 如图，在⊙O中，弧AB = 弧AC，∠AOB＝50°，
则∠ADC的度数是( D )
A
A．50° C．30°
B．40° D．25°
C
B
O D
2. 如图，AB 是 ⊙O 的直径，∠AOD 是圆心角， ∠BCD是 圆周角，若 ∠BCD = 25°，则 ∠AOD = 130° . 3. 如图，已知圆心角∠AOB=100°，则圆周角∠ACB =130°， ∠ADB = 50°.
2
2
圆周角定理： 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
例2 A
·
C
100° B
(1) 求 ∠A
50°
O·20° C A
90° O· B
AB
Hale Waihona Puke Baidu
(2) 求 ∠AOB (3) 求 ∠AOB
40°
180°
动脑筋
∠C1，∠C2，∠C3 都是 AB 所对的圆周角， 那么∠C1 =∠C2 =∠C3 吗？
D C
图6
O
B
A
D
图7
O
B AC
4. 如图，分别求出图中∠x的大小.
60° x
B
20°
Dx
E
30°
(1)
A F
C (2)
解：(1)∵同弧所对圆周角相等， 解：(2)连结BF，
∴∠x=60°.
∵同弧所对圆周角相等，
∴∠ABF=∠D=20°，∠FBC=∠E=30°. ∴∠x=∠ABF+∠FBC=50°.
例3 如图，OA，OB，OC 都是⊙O 的半径，∠AOB = 50°， ∠BOC =70°. 求∠ACB和∠BAC 的度数.
解 ∵ 圆心角∠AOB与圆周角 ∠ACB 所对的弧为 AB， ∴ ∠ACB ＝ 1 ∠AOB = 25°.
2 同理∠BAC ＝ 1 ∠BOC = 35°.
2
例4 如图，⊙O中，弦 AB 与 CD 交于点 M，∠A= 45°， ∠AMD = 75°，则∠B 的度数是（ C ）
A
请问图中哪些是圆周角？哪些是圆心
角?
圆心角：∠BOC 圆周角：∠BAC
2.分别测量图中∠BAC 和∠BOC 的
O
C
度数，它们之间有什么关系？
通过度量，发现圆周角的度数等于它
B
所对弧上的圆心角度数的一半
3.在圆上任取 BC，画出圆心角∠BOC 和圆周角∠BAC，圆心与
圆周角有几种位置关系？
A A
A
5.如图，AB是⊙O的直径，点C，D，E在⊙O上，若∠AED=20°，则 ∠BCD的度数为( B )
A.100° B.110° C.115° D.120°
A D
E
思路点拨：角度无法直接求解 的时候，可以尝分割的方法
O
C
B
课堂小结
定义
顶点在圆上，两边都与圆相交的角（二者 必须同时具备）
圆周角
圆周角定理