2023年江西省南昌市高考数学二模试卷(文科)+答案解析(附后)

2023年江西省南昌市高考数学二模试卷（文科）
1. 已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2. 已知复数z满足，则复数z在复平面内对应的点在( )
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
3. 执行如图所示的程序框图，若输入，则输出y的值为( )
A. B. C. D.
4. 已知数列，若，则( )
A. 9
B. 11
C. 13
D. 15
5. 已知，则( )
A. B. C. D.
6. 已知函数，命题p：，，使得，命题
，当时，都有，则下列命题中为真命题的是( )
A. B. C. D.
7. 已知抛物线C：的准线为l，点M是抛物线上一点，若圆M过点且与直线l相切，则圆M与y轴相交所得弦长是( )
A. B. C. 4 D.
8. 如图，A，B，C是正方体的顶点，，点P在正方
体的表面上运动，若三棱锥的主视图、左视图的面积
都是1，俯视图的面积为2，则三棱锥的体积为( )
A.
B.
C.
D.
9. 已知数列的前n 项的积为
，若
，则
的最大值为( )
A. B. 2 C. D.
10. 在
中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若，
，
成等差数列，
且
的面积为
，则
( )
A.
B. 2
C.
D.
11. 已知函数
的三个零点分别为1，
，
，若函
数
为奇函数，则
的取值范围为( )
A. B. C. D.
12. 已知M 是圆C ：上的动点，以点M 为圆心，
为半径作圆M ，
设圆M 与圆C 交于A ，B 两点，则下列点中，直线AB 一定不经过( )
A. B.
C.
D.
13.
是以2为周期的函数，若
时，
，则
______ .
14. 某红绿灯十字路口早上9点后的某分钟内10辆汽车到达路口的时间依次为单位：秒：1，2，4，7，11，16，21，29，37，46，令表示第i 辆车到
达路口的时间，记
，则
的方差为______ .
15. 圆锥曲线都具有光学性质，如双曲线的光学性质是：从双曲线的一
个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线是发散的，其反向延长线会经过双曲线的另一个焦点.如图，一镜面的轴截面图是一条双曲线的部分，AP 是它的一条对称轴，F 是它的一个焦点，一光线从焦点F 发出，射到镜面上点B ，反射光线是BC ，若，
，则该
双曲线的离心率等于______ .
16. 已知正四面体的棱长为
，现截去四个全等的小正四面体，
得到如图的八面体，若这个八面体能放进半径为的球形容器中，则
截去的小正四面体的棱长最小值为______ .
17.
如图是函数的部分图象，已知求；
若，求
18. 如图，在四棱锥中，已知底面ABCD是边长为4的菱形，平面平面ABCD，且，点E在线段PB上，
求证：；
求点E到平面PAD的距离.
19. 一地质探测队为探测一矿中金属锂的分布情况，先设了1个原点，再确定了5个采样点，这5个采样点到原点距离分别为，其中，并得到了各采样点金
属锂的含量，得到一组数据，，2，3，4，5，经计算得到如下统计量的值：
，，，，
，其中，
利用相关系数判断与哪一个更适宜作为y关于x的回归模型；
建立y关于x的回归方程.
参考公式：回归方程中斜率、截距的最小二乘估计公式、相关系数公式分别为
，，；参考数据：
20. 已知椭圆的焦距为，左、右顶点分别为，，上顶点为B，且
求椭圆C的方程；
若过且斜率为k的直线l与椭圆C在第一象限相交于点Q，与直线相交于点P，与y轴相交于点M，且求k的值.
21. 已知函数
若时，求函数的极值；
若，设函数的较大的一个零点记为，求证：
22. “太极图”是关于太极思想的图示，其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，也被称为“阴阳鱼太极图”.在平面直角坐标系xOy中，“太极图”是一个圆心为坐标原点，半径为4的圆，其中黑、白区域分界线，为两个圆心在y轴上的半圆，在太极图内，以
坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系.
求点P的一个极坐标和分界线的极坐标方程；
过原点的直线l与分界线，分别交于M，N两点，求面积的最大值.
23. 已知，
在给出的直角坐标系中画出函数的图象；
若在R上恒成立，求的最小值.
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：，，
故选：
可求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．
本题考查了一元二次不等式的解法，对数函数的定义域和单调性，考查了计算能力，属于基础题．
2.【答案】C
【解析】解：，
则，
故，即复数z在复平面内对应的点在第三象限．
故选：
根据已知条件，结合复数的四则运算，以及复数的几何意义，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，以及复数的几何意义，属于基础题．
3.【答案】A
【解析】解：因为成立，所以运行，即，
所以输出的y的值是
故选：
根据程序框图运行即可求解．
本题主要考查程序框图的应用，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：由，可得，
解得，
则，
故选：
由已知递推式可令，解得，再令，可得的值．
本题考查数列的递推式的运用，考查转化思想和运算能力，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】解：因为，，
，
所以
故选：
根据对数函数和指数函数的单调性结合中间量法即可得解．
本题主要考查了函数的单调性在函数值大小比较中的应用，属于基础题．
6.【答案】A
【解析】解：命题p：当时，，
所以，即，
则，，使得，故命题p为假命题；
命题q：当时，函数单调递增，
又函数在R上单调递增，所以函数在上单调递增，
所以时，，故命题q为真命题．
则命题为真，故A正确；
命题为假，故B错误；
命题为假，故C错误；
命题为假，故D错误．
故选：
根据正弦函数的性质和指数函数的性质依次判断命题p、q的真假，结合命题“且”、“或”、“非”的概念，依次判断即可．
本题主要考查复合命题及其真假，属于基础题．
7.【答案】D
【解析】解：由题意得抛物线C：，则准线l为，
设，因为圆M与直线l相切，所以圆的半径为，
则圆标准方程为，
又圆M过点，所以，①．
又②，
由①②，解得，则，设圆M与y轴交于点B，C，
则
故选：
设，则，，进而，解得，利用垂径定理计算即可求解．
本题考查抛物线的性质，考查运算求解能力，属中档题．
8.【答案】B
【解析】解：因为三棱锥的主视图、左视图的面积都是1，俯
视图的面积为2，正方体棱长为2，
所以点P在如图所示的位置对应棱的中点，
又，
则三棱锥的体积为
故选：
根据三棱锥的三视图的面积确定点P的位置，从而求出体积．
本题考查简单几何体的三视图及棱锥的体积计算，考查运算求解能力，属于基础题．
9.【答案】A
【解析】解：，，，
，
可得；
当时，，
，
，
时，，，
当时，，当时取等号，
综上，当或5时，取最大值
故选：
计算可得；当时，，由于，所以，从而得出结果．
本题主要考查数列的求和，考查运算求解能力，属于中档题．
10.【答案】C
【解析】解：若，，成等差数列，则，
由余弦定理得，①，
又的面积为，，②，
由②①得
故选：
由，，成等差数列得，结合余弦定理，可得
，由的面积为，可得，两式相除可得答案．
本题考查解三角形问题，等差数列的概念，余弦定理的应用，化归转化思想，属中档题．
11.【答案】B
【解析】解：根据题意，若函数为奇函数，则函数关于点对称，
又由函数的三个零点分别为1，，，则，
且，
又由，则有，变形可得，
则，
则方程的两个根为、，
则有，且，解可得，
且，
又由，则有，必有，
又由，而，则有，即，
，
又由，且，则有，
则有，
故选：
根据题意，分析函数的对称性，可得，由此可得，且，对
变形可得，结合根与系数的
关系分析的取值范围，又由，分析可得答案．
本题考查函数与方程的关系，涉及函数奇偶性和对称性，属于中档题．
12.【答案】B
【解析】解：设，则，
所以圆M的方程为，又圆C：，
两式相减，得，即为直线AB的方程，
设直线AB上的点为，则，整理得，
又M是圆C：上的动点，则，
以a，b为主元，则表示直线，表示以为圆心，2为半径的圆，
由题意，二者有公共点，则到直线的距离，
即，得，
对于A，，
对于B，，
对于C，，
对于D，，
则各选项的点中，直线AB一定不经过
故选：
设，圆M的方程为，又圆C：，两式相减
得直线AB的方程，设直线AB上的点为，则
，又，以a，b为主元，由题意二者有公共点，从而求得，然后逐项验证即可．
本题主要考查直线与圆的位置关系，考查转化能力，属于中档题．
13.【答案】2
【解析】解：因为是以2为周期的函数，若时，，
所以
故答案为：
直接根据函数的周期性求解即可．
本题主要考查函数的周期性，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：由题意得，，，
，，，
，，，，故的平均数为，
故的方差为
故答案为：
先求出的平均数，再利用求方差公式得到答案．
本题主要考查了方差的计算，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：在平面直角坐标系中，如图，
反射光线BC的反向延长线经过双曲线的另一个焦点，
由，，可得，
，
在直角三角形中，，
，
由双曲线的定义可得，
所以，即，
所以，
故答案为：
反射光线BC的反向延长线经过双曲线的另一个焦点，由题中条件可得，
，在直角三角形中，，，由双曲线的定义可得
，从而得，即可求得答案．
本题考查双曲线的几何性质，化归转化思想，方程思想，属中档题．
16.【答案】
【解析】解：如图，取上下底面的中心分别为，，外接
球的心为O，连接OC，OH，，，
设截去的小正四面体的棱长为a，八面体外接的半径，
截角四面体外接球的球心O是原正四面体外接球的球心，
原正四面体的棱长为，则外接球的半径R满足
，
即，可得，
又，，
解得：
截去的小正四面体的棱长最小值为
故答案为：
设截去的小正四面体的棱长为a，由八面体外接半径小于等于，由勾股定理结合半径范围列不等式求解a的范围，则答案可求．
本题考查截角四面体外接球的体积，考查空间想象能力与运算求解能力，属于中档题．
17.【答案】解：设，函数的最小正周期为T，则，则，
故，解得负值舍去，
所以，所以；
由得，
，得，
即，
所以，
又因，则，
所以，所以
【解析】设，则，再根据求得周期T，即解；
根据结合三角恒等变换化简计算即可得解．
本题主要考查三角函数的图象与性质，考查转化能力，属于基础题．
18.【答案】解：证明：取AB中点F，连接EF，DF，BD，
因为底面ABCD是边长为4的菱形，且，所以为等边三角形，
故，且，，
因为，所以，，
因为，所以，
在三角形BEF中，
，
故，
因为，故，
因为，DF，平面DEF，
所以平面DEF，
因为平面DEF，所以，
因为平面平面ABCD，交线为AB，，平面PAB，
所以平面ABCD，
其中，
故，
连接FP，则，且，
由勾股定理到，则，
取AP的中点R，连接DR，则，，
由勾股定理得，
则，
设点B到平面PAD的距离为h，
因为，所以，
因为，所以点E到平面PAD的距离为
【解析】作出辅助线，由三线合一得到垂直关系，再利用余弦定理得到边长，由勾股定理逆定理得到线线垂直，证明线面垂直，得到垂直关系；
利用等体积法求出点B到平面PAD的距离，进而由比例关系得到点E到平面PAD的距离．本题考查线面垂直以及点到平面的距离，属于中档题．
19.【答案】解：若用作回归模型，
，
，
所以相关系数，
若用作为回归模型，
相关系数，
比较与，
，，
因为，所以用作为y关于x的回归模型方程；
由，，
，，
所以，
则y关于x的回归方程为
【解析】用作回归模型求出相关系数，用作为回归模型求出相关系数，比较大小可得答案；
由已知条件求出b，a可得答案．
本题主要考查了相关系数的计算，考查了线性回归方程的求解，属于中档题．
20.【答案】解：由题意得，解得，
又，，故，即，
又，解得，，
故椭圆方程为；
直线l的方程为，，
与联立得，
设，则，解得，
因为点Q在第一象限，所以，解得，
直线方程为，与联立得，
故，
中，令得，故，
因为，所以
，
整理得，
即，化简得
，
解得或，
其中不满足，舍去，满足要求，
故
【解析】根据焦距和角的正切值得到方程，求出，，得到椭圆方程；
设出直线l的方程，与椭圆方程联立，得到，再与直线方程联立，得到，根据题干条件得到方程，代入求出答案，舍去不合要求的解．
本题主要考查了椭圆的标准方程，考查了直线与椭圆的位置关系，同时考查了学生的运算求解能力，属于基础题．
21.【答案】解：当时，，则
，
当时，，则在为减函数；
当时，，则在为增函数；
所以的极小值为，无极大值．
证明：由，则，
因为且，
当时，，则在为减函数；
当时，，则在为增函数；
所以当时，，
又因为，所以，当，此时，
所以必然存在，使得，
即，所以，
要证明，即证明，
即证明，即只要证明，
设，则，
所以当时，，则在上为减函数，
所以
即，即
【解析】，求导，利用函数的单调性及极值的定义求解；
利用函数的单调性可知，当时，，，以必然存在，使得，即，所以，要证明，只要证明，构造函数，结合函数的单调性，可证得结
论．
本题主要考查利用导数研究函数的极值，不等式的证明，考查运算求解能力，属于中档题．
22.【答案】解：，所以点P的一个极坐标
，
分界线上的任意一点设为，，可得分界线
的极坐标方程，
过原点的直线l与分界线，分别交于M，N两点，
如图：设，
面积是的2倍，过P作于D，，
所以面积：
，
，
可得，当时，三角形的面积取得最大值：
【解析】利用直角坐标与极坐标的互化求点P的一个极坐标，然后求解分界线的极坐标方程；
画出图形，设出M的极坐标，求解P到OM的距离，然后求解三角形的面积，利用三角函数的最值求解即可．
本题考查简单曲线的极坐标方程的求法，三角函数的最值的求解与应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
23.【答案】解：，
其图象如下图所示：
由知函数与x轴的交点为和，结合函数和的图象可以知道，
当时，只需，
则在R上恒成立，
此时，
当时，过点且斜率为的直线方程为，
令，则，要在R上恒成立，则，
此时，当且仅当时等号成立，
综上：的最小值为
【解析】去掉绝对值后，得到分段函数即可作图；
由知函数与x轴的交点为和，结合函数和的图象即可求解．
本题考查了函数的恒成立问题，属于中档题．。