2019-2020学年四川省自贡市高一数学上学期期末考试数学试题含解析
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〖详 解〗对于 ,其定义域为 ,关于原点对称, ,则 ,故函数 是偶函数,由其图象可知在 上单调递增,故 选项符合题意;
对于 ,其定义域为 ,关于原点对称, ,则 ,故函数 是偶函数,但其图象可知在 上有增有减,不是单调递增,不符合题意;
对于 ,其定义域为 ,关于原点对称, ,则 ,即 ,故函数 不是偶函数,不符合题意;
〖答 案〗C
〖解 析〗
〖分析〗
由已知条件先求出函数 是周期函数,然后将函数零点问题转化为两个函数图象交点问题,画出两个函数图象求出结果.
〖详 解〗定义在 上的函数 满足 ,
则 ,所以函数 是以 为周期的函数,则函数 在区间 内的零点个数可以转化为函数 和 的图象在同一坐标系内的交点个数,画出两个函数图象:
对于函数 ,令 ,即 则其零点为 ,即 ,综上可知 .
故选:
〖点 睛〗本题考查了函数零点的大小比较,在求解其零点时有的可以直接求出结果,有的可以求出取值范围,本题在解答过程中运用了转化的思想,转化为两个函数的交点问题,也运用了数形结合法,题目本身较为基础.
5.若 则 （ ）
A. B. C. D.
〖答 案〗D
（1）写出 面积 关于角 的函数解析式 ；
（2）求 的最小值．
〖答 案〗（1） ，（2）
〖解 析〗
〖分析〗
（1）在直角三角形 中运用三角函数求出 的表达式,同理求出 的表达式,运用直角三角形面积公式求出面积 关于角 的函数解析式 .
（2）结合（1）中的面积 关于角 的函数解析式 ,运用求出三角函数最值,就可以求出面积的最小值.
A. B. C. D.
〖答 案〗B
〖解 析〗
〖分析〗
判断函数 、 、 的零点所在区间,然后再比较零点的大小.
〖详 解〗对于函数 ,令 ,即 ,将其转化为两个函数图象交点问题,如图所示,不难发现其交点的横坐标小于零,即 ;
对于函数 ,令 ,即 ,将其转化为两个函数图象交点问题,如图所示,不难发现其交点的横坐标大于零,即 ;
10.关于函数 ，（其中 为常数）下列说法正确 是（ ）
A.增函数， 时是奇函数B.减函数， 时是奇函数
C.减函数， 时是奇函数D.增兩数， 时是奇函数
〖答 案〗A
〖解 析〗
〖分析〗
运用函数的奇偶性定义来求解 的值,以及运用函数的单调性定义证明增减性.
〖详 解〗函数 的定义域为 ,任取 不妨令 ,
则 ,因为 ,则 , ,故 ,所以函数 在定义域内是增函数,故排除 和 选项.
由三角函数的定义可求出 的值.
〖详 解〗由三角函数的定义可得 ，故选A.
〖点 睛〗本题考查三角函数的定义，解题的关键在于三角函数的定义进行计算，考查计算能力，属于基础题.
3.在下列函数中，既是偶函数又在 上单调递增的是（ ）
A. B. C. D.
〖答 案〗A
〖解 析〗
〖分析〗
由偶函数的判定方法:首先看定义域,其次计算 与 的关系;按照题意再判定函数是否在 上单调递增.
对于 ,其定义域为 ,关于原点对称, ,
则 ,在 上 是单调减函数,不是增函数,故不符合题意.
故选
〖点 睛〗本题考查了偶函数和单调性的判定,判定是否为偶函数从两个方面:首先看定义域是否关于原点对称,其次要满足 .其单调性的判定可以借助图象,也可以用定义法判定,本题较为基础.
4.已知函数 ， ， 的零点分别为 ， ， ，则 ， ， 的大小顺序为（ ）
函数 若为奇函数,则有 ,即 ,化简得 ,即 ,故排除 .
故选
〖点 睛〗本题考查了函数奇偶性和单调性的判定,解答此类题目的方法较多,最核心的解法还是运用其性质的定义来解,熟练运用性质定义按步骤来求解答案.
11.若定义在 上的函数 满足 ，且当 时， ，函数 ，则函数 在区间 内的零点个数为（ ）
A.6B.7C.8D.9
〖详 解〗在平面直角坐标系中画出表格中的各点,如图
猜测为一次函数,故设 ( , 为常数),将 和 代入得 解得 ,故 , ,把点 和 代入解析式验证,检验成立.则日销售利润 , ,当取对称轴 时,日销售利润最大为 .
故选:
〖点 睛〗本题考查了一次函数,二次函数的图象与性质,简单的作图能力,将实际生活问题转化为数学模型问题,并利用数学模型解得最值,在求最值时的方法:可以利用二次函数的性质,在对称轴取得最值.
17.已知集合 ,是否存在实数a,使得 ?若存在,试求出实数a的值;若不存在,请说明理由.
〖答 案〗存在,
〖解 析〗
〖分析〗
，分 ， 讨论，并满足互异性，列式求解.
〖详 解〗解: ，
或 ，
，
∴存在实数 ，使得 .
〖点 睛〗本题考查并集的性质，注意集合元素的互异性，是基础题.
18.如图，已知直线 ， 是 ， 之间的一定点，并且点 到 ， 的距离分别为 ， ， 是直线 上的一动点，作 ，且使 与直线 交于点 ．设 ．
…
30
40
45
50
…
…
60
30
15
0
…
销售单价为 元时，才能获得最大日销售利润 ，则 、 分别为（ ）
A. 35，225B. 40，300C. 45，350D. 45，400
〖答 案〗B
〖解 析〗
〖分析〗
由表格中的数据反应在平面直角坐标系中,计算日销售量和销售单价的函数表达式,然后代入求日销售利润的函数中,求出最大值.
7.要得到函数 的图象，只需要将函数 的图象（ ）
A.向右平移 个单位长度B.向左平移 个单位长度
C.向右平移 个单位长度D.向左平移 个单位长度
〖答 案〗C
〖解 析〗
试题分析：函数 ，将函数 的图象向右平移 个单位长度得到
，故答案为C．
考点：函数图象的平移．
8.某商场经营一批进价为30元/件的商品，在市场试销中发现，此商品的销售单价 （单位：元）与日销售量 （单位：件）之间有如下表所示的关系．
13.若 ，则 __________．
〖答 案〗
〖解 析〗
〖分析〗
先求出 的值,然后再运用对数的运算法则求解出 和 的值,最后求解答案.
〖详 解〗若 ,则 ,所以 .
故答案为:
〖点 睛〗本题考查了对数的运算法则,熟练掌握对数的各运算法则是解题关键,并能灵活运用法则来解题,并且要计算正确,本题较为基础.
14.已知 ， ，则 __________．
〖答 案〗
〖解 析〗
〖分析〗
由已知条件进一步缩小 的取值范围,确定 和 的符号,运用同角三角函数的关系求出 和 的值,进而得到 的值.
〖详 解〗已知 , ,两边同时平方得: ,则 ,因为 ,所以 , ,
则 ,所以 ,
联立 ,解得 ,所以 .
故答案为:
〖点 睛〗本题考查了同角三角函数得关系求解,在解答此类题目时需要注意由角得范围确定三角函数值得符号问题,这里容易出现错误,另外就是熟练运用同角三角函数关系正确运算.
（1）由函数 的单调减区间为 ,所以 的减区间为 ,求得
故函数 的单调递减区间为 .
（2）要求
即 ,即 ,解得 .
所以使 成立的 的取值集合为 ．
〖点 睛〗本题考查了运用两角和与差 余弦公式进行展开及辅助角公式化简,然后求三角函数的单调区间和最值问题,属于常考题型,需要熟练掌握各公式,并能计算正确.
6.函数 的定义域是（ ）
A. B. C. D.
〖答 案〗B
〖解 析〗
〖分析〗
依据对数函数的定义域要求和含有根号的限制条件来求出本题的定义域.
〖详 解〗要求函数 的定义域即要满足 ,解不等式得 即 ,故函数 的定义域是 .
故选:
〖点 睛〗本题是道求定义域的题目,在求解定义域的题目时的方法是:找出满足题意得限制条件或约束条件,如有根号时,根号里面要大于或等于零;在对数函数中真数位置要大于零;在分式中,分母不等于零等等,需要掌握解题方法并能计算正确.
12.已知函数 ，则使不等式 成立的 的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
〖答 案〗D
〖解 析〗
〖分析〗
先求出函数 的定义域,然后求出函数 的奇偶性和单调性,运用函数的性质解不等式 ,最后求出结果.
〖详 解〗已知函数 ,令 ,解得 或 ,所以函数 的定义域为 ,则其定义域关于原点对称,
又 ,所以函数 为偶函数,当 时, ,又 及 在 时都是增函数,所以 在 时也是增函数,
四川省自贡市2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题（含解析）
1.已知集合A= ， B= ，则 ＝（ ）
A. ( 0 , 1 )B. ( 0 , )C. ( , 1 )D.
〖答 案〗B
〖解 析〗
故选B
2.已知角 的终边经过点 ，则 的值等于（ ）
A. B. C. D.
〖答 案〗A
〖解 析〗
〖分析〗
20.已知函数 ．
（1）求函数 的单调递减区间；
（2）求使 成立的 的取值集合．
〖答 案〗（1） （2）
〖解 析〗
〖分析〗
（1）运用两角和与差的余弦公式对函数 进行化简,运用辅助角公式将函数化成 的形式,进而求出函数 的单调递减区间.
（2）在（1）中得到函数 的形式,来求解使 成立的 的取值集合.
〖详 解〗 所以
19.若 ，求函数 的最大值和最小值．
〖答 案〗 ,
〖解 析〗
〖分析〗
将 看作一个整体,对函数 进行化简,运用二次函数的思想求解最大值和最小值.
〖详 解〗已知 ,化简得:
,当 时,即 时取得最小值,
故 ,
当 时, ,当 时,
.
综上,函数 最大值为 ,最小值为 .
〖点 睛〗本题考查了求函数得最值问题,解答题目时运用二次函数的方法求出结果.求最值得方法有很多:如运用函数单调性求出最值;运用二次函数得模型在对称轴上取得最值等.
故解不等式 ,即 ,解得 即 或 ,综上不等式 成立的 的取值范围为 .
故选:
〖点 睛〗本题是道较为综合的函数题目,考查了函数的单调性和奇偶性,以及解不等式,此类题目看似较难,但解法很固定,一定要能看透题目的本质:研究出函数的奇偶性和单调性,运用函数的奇偶性和单调性最后来解不等式.需要平时对函数的性质题目有一定的积累,多思考,多总结.
15.若函数 在区间 上的最大值为 ，则 __________．
〖ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 案〗
〖解 析〗
由题得 ，
所以当 故填3.
16.函数 在 内单调递减，则实数 的取值范围是__________．
〖答 案〗
〖解 析〗
〖分析〗
由题意知分段函数在 内单调递减,则分段函数 每一段在其定义域内都是减函数,且当 时要满足 的最小值大于或等于 的最大值,即可求出结果.
〖详 解〗（1）根据题可得,在直角三角形 中, ,则 ,同理,在直角三角形 中可得 ,则在直角三角形 中 ,
即
（2）由（1）得 ,要求 的最小值,即求 的最大值,即当 时, 的最大值为1
因此
〖点 睛〗本题考查了运用三角函数模型来解决问题在解决问题中能熟练运用三角函数关系进行求值和化简,并能求出三角函数最值问题.熟练掌握各公式并灵活运用.
9.若 ， ，且 则（ ）
A. B. C. D.
〖答 案〗C
〖解 析〗
〖分析〗
运用同角三角函数关系和两角差的正弦公式进行化简,结合角的范围得到结果.
〖详 解〗由 ,则 ,即 ,
故 ,即 ,又因为 , ,所以 , ,因为函数 在 上是单调递增,所以 ,即 .
故选:
〖点 睛〗本题考查了两角之间的数量关系,运用了同角三角函数公式和两角差的正弦公式进行化简,在解答此类题目时的方法:可以化切为弦,将正切运用同角三角函数关系转化为正弦和余弦,进而化简,需要熟练掌握公式.
由图可得两个函数图象在 内有 个交点,故函数 在区间 内的零点个数为 个.
故选:
〖点 睛〗本题考查了函数零点问题,解答此类问题是采用了数形结合 方法,转化为函数图象交点问题,画出函数图象,观察图象的交点个数,要能够画出图象,会画周期函数图象,也能够通过图象平移得到新函数的图象,总之要掌握数形结合的方法,零点问题是常考题型.
〖解 析〗
〖分析〗
运用诱导公式和二倍角公式对要求的式子进行化简,然后运用 转化为关于 的表达式,代入求解结果.
〖详 解〗由诱导公式可得 ,由二倍角公式可得 ,分子分母同时除以 ,化简得到 ,已知 ,代入可得 ,即 .
故选
〖点 睛〗本题考查了诱导公式和二倍角公式的运用,以及同角三角函数关系 的应用,此类题目在解答时的方法:在化简后分子分母同时除 或 ,将其转化为关于 的表达式来求解.
〖详 解〗已知函数 在 内单调递减,则 在 必须是减函数,故其对称轴 ,解得 ;同时 在 时也是减函数,故 ,并且 时要满足 ,解得 ,综上实数 的取值范围是 .
故答案为:
〖点 睛〗本题考查了分段函数的单调性问题,解答此类题目时的方法:分别求出每一段函数在其定义域内满足单调性的取值范围,然后不要漏掉在分段的那一点处的取值大小情况.此类题目属于常考题型,需要掌握解题方法.
对于 ,其定义域为 ,关于原点对称, ,则 ,故函数 是偶函数,但其图象可知在 上有增有减,不是单调递增,不符合题意;
对于 ,其定义域为 ,关于原点对称, ,则 ,即 ,故函数 不是偶函数,不符合题意;
〖答 案〗C
〖解 析〗
〖分析〗
由已知条件先求出函数 是周期函数,然后将函数零点问题转化为两个函数图象交点问题,画出两个函数图象求出结果.
〖详 解〗定义在 上的函数 满足 ,
则 ,所以函数 是以 为周期的函数,则函数 在区间 内的零点个数可以转化为函数 和 的图象在同一坐标系内的交点个数,画出两个函数图象:
对于函数 ,令 ,即 则其零点为 ,即 ,综上可知 .
故选:
〖点 睛〗本题考查了函数零点的大小比较,在求解其零点时有的可以直接求出结果,有的可以求出取值范围,本题在解答过程中运用了转化的思想,转化为两个函数的交点问题,也运用了数形结合法,题目本身较为基础.
5.若 则 （ ）
A. B. C. D.
〖答 案〗D
（1）写出 面积 关于角 的函数解析式 ；
（2）求 的最小值．
〖答 案〗（1） ，（2）
〖解 析〗
〖分析〗
（1）在直角三角形 中运用三角函数求出 的表达式,同理求出 的表达式,运用直角三角形面积公式求出面积 关于角 的函数解析式 .
（2）结合（1）中的面积 关于角 的函数解析式 ,运用求出三角函数最值,就可以求出面积的最小值.
A. B. C. D.
〖答 案〗B
〖解 析〗
〖分析〗
判断函数 、 、 的零点所在区间,然后再比较零点的大小.
〖详 解〗对于函数 ,令 ,即 ,将其转化为两个函数图象交点问题,如图所示,不难发现其交点的横坐标小于零,即 ;
对于函数 ,令 ,即 ,将其转化为两个函数图象交点问题,如图所示,不难发现其交点的横坐标大于零,即 ;
10.关于函数 ，（其中 为常数）下列说法正确 是（ ）
A.增函数， 时是奇函数B.减函数， 时是奇函数
C.减函数， 时是奇函数D.增兩数， 时是奇函数
〖答 案〗A
〖解 析〗
〖分析〗
运用函数的奇偶性定义来求解 的值,以及运用函数的单调性定义证明增减性.
〖详 解〗函数 的定义域为 ,任取 不妨令 ,
则 ,因为 ,则 , ,故 ,所以函数 在定义域内是增函数,故排除 和 选项.
由三角函数的定义可求出 的值.
〖详 解〗由三角函数的定义可得 ，故选A.
〖点 睛〗本题考查三角函数的定义，解题的关键在于三角函数的定义进行计算，考查计算能力，属于基础题.
3.在下列函数中，既是偶函数又在 上单调递增的是（ ）
A. B. C. D.
〖答 案〗A
〖解 析〗
〖分析〗
由偶函数的判定方法:首先看定义域,其次计算 与 的关系;按照题意再判定函数是否在 上单调递增.
对于 ,其定义域为 ,关于原点对称, ,
则 ,在 上 是单调减函数,不是增函数,故不符合题意.
故选
〖点 睛〗本题考查了偶函数和单调性的判定,判定是否为偶函数从两个方面:首先看定义域是否关于原点对称,其次要满足 .其单调性的判定可以借助图象,也可以用定义法判定,本题较为基础.
4.已知函数 ， ， 的零点分别为 ， ， ，则 ， ， 的大小顺序为（ ）
函数 若为奇函数,则有 ,即 ,化简得 ,即 ,故排除 .
故选
〖点 睛〗本题考查了函数奇偶性和单调性的判定,解答此类题目的方法较多,最核心的解法还是运用其性质的定义来解,熟练运用性质定义按步骤来求解答案.
11.若定义在 上的函数 满足 ，且当 时， ，函数 ，则函数 在区间 内的零点个数为（ ）
A.6B.7C.8D.9
〖详 解〗在平面直角坐标系中画出表格中的各点,如图
猜测为一次函数,故设 ( , 为常数),将 和 代入得 解得 ,故 , ,把点 和 代入解析式验证,检验成立.则日销售利润 , ,当取对称轴 时,日销售利润最大为 .
故选:
〖点 睛〗本题考查了一次函数,二次函数的图象与性质,简单的作图能力,将实际生活问题转化为数学模型问题,并利用数学模型解得最值,在求最值时的方法:可以利用二次函数的性质,在对称轴取得最值.
17.已知集合 ,是否存在实数a,使得 ?若存在,试求出实数a的值;若不存在,请说明理由.
〖答 案〗存在,
〖解 析〗
〖分析〗
，分 ， 讨论，并满足互异性，列式求解.
〖详 解〗解: ，
或 ，
，
∴存在实数 ，使得 .
〖点 睛〗本题考查并集的性质，注意集合元素的互异性，是基础题.
18.如图，已知直线 ， 是 ， 之间的一定点，并且点 到 ， 的距离分别为 ， ， 是直线 上的一动点，作 ，且使 与直线 交于点 ．设 ．
…
30
40
45
50
…
…
60
30
15
0
…
销售单价为 元时，才能获得最大日销售利润 ，则 、 分别为（ ）
A. 35，225B. 40，300C. 45，350D. 45，400
〖答 案〗B
〖解 析〗
〖分析〗
由表格中的数据反应在平面直角坐标系中,计算日销售量和销售单价的函数表达式,然后代入求日销售利润的函数中,求出最大值.
7.要得到函数 的图象，只需要将函数 的图象（ ）
A.向右平移 个单位长度B.向左平移 个单位长度
C.向右平移 个单位长度D.向左平移 个单位长度
〖答 案〗C
〖解 析〗
试题分析：函数 ，将函数 的图象向右平移 个单位长度得到
，故答案为C．
考点：函数图象的平移．
8.某商场经营一批进价为30元/件的商品，在市场试销中发现，此商品的销售单价 （单位：元）与日销售量 （单位：件）之间有如下表所示的关系．
13.若 ，则 __________．
〖答 案〗
〖解 析〗
〖分析〗
先求出 的值,然后再运用对数的运算法则求解出 和 的值,最后求解答案.
〖详 解〗若 ,则 ,所以 .
故答案为:
〖点 睛〗本题考查了对数的运算法则,熟练掌握对数的各运算法则是解题关键,并能灵活运用法则来解题,并且要计算正确,本题较为基础.
14.已知 ， ，则 __________．
〖答 案〗
〖解 析〗
〖分析〗
由已知条件进一步缩小 的取值范围,确定 和 的符号,运用同角三角函数的关系求出 和 的值,进而得到 的值.
〖详 解〗已知 , ,两边同时平方得: ,则 ,因为 ,所以 , ,
则 ,所以 ,
联立 ,解得 ,所以 .
故答案为:
〖点 睛〗本题考查了同角三角函数得关系求解,在解答此类题目时需要注意由角得范围确定三角函数值得符号问题,这里容易出现错误,另外就是熟练运用同角三角函数关系正确运算.
（1）由函数 的单调减区间为 ,所以 的减区间为 ,求得
故函数 的单调递减区间为 .
（2）要求
即 ,即 ,解得 .
所以使 成立的 的取值集合为 ．
〖点 睛〗本题考查了运用两角和与差 余弦公式进行展开及辅助角公式化简,然后求三角函数的单调区间和最值问题,属于常考题型,需要熟练掌握各公式,并能计算正确.
6.函数 的定义域是（ ）
A. B. C. D.
〖答 案〗B
〖解 析〗
〖分析〗
依据对数函数的定义域要求和含有根号的限制条件来求出本题的定义域.
〖详 解〗要求函数 的定义域即要满足 ,解不等式得 即 ,故函数 的定义域是 .
故选:
〖点 睛〗本题是道求定义域的题目,在求解定义域的题目时的方法是:找出满足题意得限制条件或约束条件,如有根号时,根号里面要大于或等于零;在对数函数中真数位置要大于零;在分式中,分母不等于零等等,需要掌握解题方法并能计算正确.
12.已知函数 ，则使不等式 成立的 的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
〖答 案〗D
〖解 析〗
〖分析〗
先求出函数 的定义域,然后求出函数 的奇偶性和单调性,运用函数的性质解不等式 ,最后求出结果.
〖详 解〗已知函数 ,令 ,解得 或 ,所以函数 的定义域为 ,则其定义域关于原点对称,
又 ,所以函数 为偶函数,当 时, ,又 及 在 时都是增函数,所以 在 时也是增函数,
四川省自贡市2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题（含解析）
1.已知集合A= ， B= ，则 ＝（ ）
A. ( 0 , 1 )B. ( 0 , )C. ( , 1 )D.
〖答 案〗B
〖解 析〗
故选B
2.已知角 的终边经过点 ，则 的值等于（ ）
A. B. C. D.
〖答 案〗A
〖解 析〗
〖分析〗
20.已知函数 ．
（1）求函数 的单调递减区间；
（2）求使 成立的 的取值集合．
〖答 案〗（1） （2）
〖解 析〗
〖分析〗
（1）运用两角和与差的余弦公式对函数 进行化简,运用辅助角公式将函数化成 的形式,进而求出函数 的单调递减区间.
（2）在（1）中得到函数 的形式,来求解使 成立的 的取值集合.
〖详 解〗 所以
19.若 ，求函数 的最大值和最小值．
〖答 案〗 ,
〖解 析〗
〖分析〗
将 看作一个整体,对函数 进行化简,运用二次函数的思想求解最大值和最小值.
〖详 解〗已知 ,化简得:
,当 时,即 时取得最小值,
故 ,
当 时, ,当 时,
.
综上,函数 最大值为 ,最小值为 .
〖点 睛〗本题考查了求函数得最值问题,解答题目时运用二次函数的方法求出结果.求最值得方法有很多:如运用函数单调性求出最值;运用二次函数得模型在对称轴上取得最值等.
故解不等式 ,即 ,解得 即 或 ,综上不等式 成立的 的取值范围为 .
故选:
〖点 睛〗本题是道较为综合的函数题目,考查了函数的单调性和奇偶性,以及解不等式,此类题目看似较难,但解法很固定,一定要能看透题目的本质:研究出函数的奇偶性和单调性,运用函数的奇偶性和单调性最后来解不等式.需要平时对函数的性质题目有一定的积累,多思考,多总结.
15.若函数 在区间 上的最大值为 ，则 __________．
〖ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 案〗
〖解 析〗
由题得 ，
所以当 故填3.
16.函数 在 内单调递减，则实数 的取值范围是__________．
〖答 案〗
〖解 析〗
〖分析〗
由题意知分段函数在 内单调递减,则分段函数 每一段在其定义域内都是减函数,且当 时要满足 的最小值大于或等于 的最大值,即可求出结果.
〖详 解〗（1）根据题可得,在直角三角形 中, ,则 ,同理,在直角三角形 中可得 ,则在直角三角形 中 ,
即
（2）由（1）得 ,要求 的最小值,即求 的最大值,即当 时, 的最大值为1
因此
〖点 睛〗本题考查了运用三角函数模型来解决问题在解决问题中能熟练运用三角函数关系进行求值和化简,并能求出三角函数最值问题.熟练掌握各公式并灵活运用.
9.若 ， ，且 则（ ）
A. B. C. D.
〖答 案〗C
〖解 析〗
〖分析〗
运用同角三角函数关系和两角差的正弦公式进行化简,结合角的范围得到结果.
〖详 解〗由 ,则 ,即 ,
故 ,即 ,又因为 , ,所以 , ,因为函数 在 上是单调递增,所以 ,即 .
故选:
〖点 睛〗本题考查了两角之间的数量关系,运用了同角三角函数公式和两角差的正弦公式进行化简,在解答此类题目时的方法:可以化切为弦,将正切运用同角三角函数关系转化为正弦和余弦,进而化简,需要熟练掌握公式.
由图可得两个函数图象在 内有 个交点,故函数 在区间 内的零点个数为 个.
故选:
〖点 睛〗本题考查了函数零点问题,解答此类问题是采用了数形结合 方法,转化为函数图象交点问题,画出函数图象,观察图象的交点个数,要能够画出图象,会画周期函数图象,也能够通过图象平移得到新函数的图象,总之要掌握数形结合的方法,零点问题是常考题型.
〖解 析〗
〖分析〗
运用诱导公式和二倍角公式对要求的式子进行化简,然后运用 转化为关于 的表达式,代入求解结果.
〖详 解〗由诱导公式可得 ,由二倍角公式可得 ,分子分母同时除以 ,化简得到 ,已知 ,代入可得 ,即 .
故选
〖点 睛〗本题考查了诱导公式和二倍角公式的运用,以及同角三角函数关系 的应用,此类题目在解答时的方法:在化简后分子分母同时除 或 ,将其转化为关于 的表达式来求解.
〖详 解〗已知函数 在 内单调递减,则 在 必须是减函数,故其对称轴 ,解得 ;同时 在 时也是减函数,故 ,并且 时要满足 ,解得 ,综上实数 的取值范围是 .
故答案为:
〖点 睛〗本题考查了分段函数的单调性问题,解答此类题目时的方法:分别求出每一段函数在其定义域内满足单调性的取值范围,然后不要漏掉在分段的那一点处的取值大小情况.此类题目属于常考题型,需要掌握解题方法.