2020年安徽省安庆市中考数学一模试卷(含答案解析)

2020年安徽省安庆市中考数学一模试卷
副标题
得分
1.−2020的相反数是()
A. −2020
B. 2020
C. −1
2020D. 1
2020
2.大数据显示，2019年9月30日至10月6日，与新中国成立70周年阅兵相关信息
全网传播总量约1.3亿条.用科学记数法表示1.3亿为()
A. 1.3×107
B. 1.3×108
C. 0.13×109
D. 13×107
3.下列运算正确的是()
A. a4+a2=a6
B. 4a2−2a2=2a2
C. (a4)2=a6
D. a4⋅a2=a8
4.如图所示的零件，其主视图正确的是()
A.
B.
C.
D.
5.为了调查某校学生课后参加体育锻炼的时间，学校体育组随机抽样调查了若干名学
生的每天锻炼时间，统计如表：
每天锻炼时间(
分钟)
20406080学生数(人)2341
下列说法错误的是()
A. 众数是60分钟
B. 平均数是52.5分钟
C. 样本容量是10
D. 中位数是50分钟
6.已知在平面直角坐标系中，P(1,a)是一次函数y=−2x+1的图象与反比例函数y=
k
x
图象的交点，则实数k的值为()
A. −1
B. 1
C. 2
D. 3
7. 某企业今年2月份产值为a 万元，3月份比2月份增加了15%，4月份比3月份减
少了5%，则4月份的产值为( )
A. (a +15%)(a −15%)万元
B. a(1+85%)(1−95%)万元
C. a(1+15%)(1−5%)万元
D. a(1+15%−5%)万元
8. 我国古代数学家刘徽将勾股形(古人称直角三角形为勾股形)分割成一个正方形和
两对全等的三角形，如图所示，已知∠A =90°，BD =3，BC =13，则正方形ADOF 的面积是( )
A. 6
B. 5
C. 4
D. 3
9. 对x ，y 定义一种新运算，规定：T(x,y)=
ax+by 2x+y
(其中a ，b 均为非零常数)，这里
等式右边是通常的四则运算，例如：
T(0,1)=a×0+b×12×0+1
=b.已知T(0,1)=3，T(1,0)=
1
2，若m 满足不等式组{T(2m,5−4m)≤4
T(m,3−2m)≥1
，则整数m 的值为( ) A. −2和−1 B. −1和0 C. 0和1 D. 1和2
10. 如图，在边长为2√3的等边△ABC 中，点D 、E 分别是边BC 、
AC 上两个动点，且满足
AE =CD ，连接BE 、AD 相交于点P ，则线段CP 的最小值为( )
A. 1
B. 2
C. √3
D. 2√3−1
11. −27的立方根是______． 12. 因式分解：3a 2−27=______．
13. 如图，点A 、B 、C 、D 在⊙O 上，满足AB//CD ，且AB =AC ，
若∠B =110°，则∠DAC 的度数为______ ．
14.如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=8，点E为AD上
一点，将△ABE沿BE折叠得到△FBE，点G为CD上一
点，将△DEG沿EG折叠得到△HEG，且E、F、H三点共
线，当△CGH为直角三角形时，AE的长为______ ．
)−1−√12．
15.计算：|−√3|+√2sin45°+tan60°−(−1
3
16.中国古代入民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》
中有个问题，原文：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？
译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？
17.如图，在平面直角坐标系中，给出了格点△ABC(顶点是网格线的交点)，已知点B
的坐标为(1,2)．
(1)画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出点B1的坐标；
(2)在给定的网格中，以点O为位似中心，将△A1B1C1作位似变换且放大到原来的
两倍，得到△A2B2C2，画出△A2B2C2；并写出点B2的坐标．
18.有下列等式：
第1个等式：3
4=1−1
4
；
第2个等式：3
7=1
2
−1
14
；
第3个等式：3
10=1
3
−1
30
；
第4个等式：3
13=1
4
−1
52
；
…
请你按照上面的规律解答下列问题：
(1)第5个等式是______ ；
(2)写出你猜想的第n个等式：______ (用含n的等式表示)，并证明其正确性．
19.为倡导“绿色出行，低碳生活”的号召，今年春天，安庆市的街头出现了一道道绿
色的风景线−“共享单车”.图(1)所示的是一辆共享单车的实物图，图(2)是这辆共享单车的部分几何示意图，其中车架档AC长为40cm，座杆CE的长为18cm.点A、
C、E在同一条直线上，且∠CAB=60°，∠ACB=75°．
(1)求车座点E到车架档AB的距离；
(2)求车架档AB的长．
20.如图，ʘO为△ABC的外接圆，直线MN与⊙O相切于点
C，弦BD//MN，AC与BD相交于点E．
(1)求证：∠CAB=∠CBD；
(2)若BC=5，BD=8，求⊙O的半径．
21.受疫情影响，很多学校都纷纷响应了“停课不停学”的号召，开展线上教学活动.为
了解学生上网课使用的设备类型，某校从“电脑、手机、电视、其它”四种类型的设备对学生做了一次抽样调查.调查结果显示，每个学生只选择了以上四种设备类型中的一种，现将调查的结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息，解答下列问题：
(1)补全条形统计图；
(2)若该校共有1500名学生，估计全校用手机上网课的学生共有______ 名；
(3)在上网课时，老师在A、B、C、D四位同学中随机抽取一名学生回答问题，求
两次都抽取到同一名学生回答问题的概率．
22.海鲜门市的某种海鲜食材，成本为10元/千克，每天的进货量p(千克)与销售价格x(
x+10，从市场反馈的信息发现，该海鲜食材每天元/千克)满足函数关系式p=1
2
的市场需求量q(千克)与销售价格x(元/千克)满足一次函数关系，部分数据如表：
(已知按物价部门规定销售价格x不低于10元/千克且不高于30元/千克)
(1)请写出q与x的函数关系式：______ ；
(2)当每天的进货量小于或等于市场需求量时，这种海鲜食材能全部售出，而当每
天的进货量大于市场需求量时，只能售出符合市场需求量的海鲜食材，剩余的海鲜食材由于保质期短而只能废弃．
①求出每天获得的利润y(元)与销售价格x的函数关系式；
②为了避免浪费，每天要确保这种海鲜食材能全部售出，求销售价格为多少元时，
每天获得的利润(元)最大值是多少？
23.如图(1)，已知正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，BE=DF，AE、
AF分别交BD于点G、H．
(1)求证：BG=DH；
(2)连接FE，如图(2)，当EF=BG时．
①求证：AD⋅AH=AF⋅DF；
②直接写出HF
的比值．
AH
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：−2020的相反数是：2020．
故选：B．
直接利用相反数的定义得出答案．
此题主要考查了相反数，正确把握相反数的定义是解题关键．
2.【答案】B
【解析】解：将1.3亿=130000000用科学记数法表示为：1.3×108．
故选：B．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤
|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3.【答案】B
【解析】解：A.a4与a2不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；
B.4a2−2a2=2a2，故本选项符合题意；
C.(a4)2=a8，故本选项不合题意；
D.a4⋅a2=a6，故本选项不合题意．
故选：B．
分别根据合并同类项的法则，幂的乘方运算法则以及同底数幂的乘法法则逐一判断即可．本题主要考查了合并同类项，同底数幂的乘法以及幂的乘方与积的乘方，熟记相关运算法则是解答本题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：从正面看底层是一个有缺陷的矩形，缺陷部分上面的一个五边形，
故选：D．
主视图是从物体正面看，所得到的图形．
本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．
5.【答案】B
【解析】解：这组数据的众数为60分钟，A选项正确；
=48(分钟)，B选项错误；
平均数为20×2+40×3+60×4+80×1
2+3+4+1
样本容量为2+3+4+1=10，C选项正确；
=50(分钟)，D选项正确；
中位数为40+60
2
故选：B．
分别根据众数、加权平均数、样本容量及中位数的定义求解可得．
本题主要考查众数，解题的关键是掌握众数、加权平均数、样本容量及中位数的定义．6.【答案】A
【解析】解：将点P的坐标代入一次函数表达式得：a=−2+1=−1，
故点P(1,−1)，
，解得：k=−1，
将点P的坐标代入反比例函数表达式得：−1=k
1
故选：A．
将点P的坐标分别代入一次函数和反比例函数表达式即可求解．
本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是将点P的坐标代入两个函数表达式，进而求解．
7.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了列代数式，正确理解增长率以及降低率的定义是关键．
首先利用增长率的意义表示出3月份的产值，然后利用减小率的意义表示出4月份的产值．
【解答】
解：由题意得3月份的产值为a(1+15%)，4月份的产值为a(1+15%)(1−5%)．
故选：C．
8.【答案】C
【解析】解：设正方形ADOF 的边长为x ，
由题意得：BE =BD =3，CE =CF =BC −BE =10， 在Rt △ABC 中，AC 2+AB 2=BC 2， 即(3+x)2+(x +10)2=132， 解得：x =2或x =−15(舍去)， ∴x =2，
即正方形ADOF 的边长是2， ∴正方形ADOF 的面积是4； 故选：C ．
设正方形ADOF 的边长为x ，在直角三角形ACB 中，利用勾股定理可建立关于x 的方程，解方程即可．
本题考查了正方形的性质、全等三角形的性质、一元二次方程的解法、勾股定理等知识；熟练掌握正方形的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键．
9.【答案】C
【解析】解：∵T(x,y)=ax+by 2x+y (其中a ，b 均为非零常数)，T(0,1)=3，T(1,0)=1
2
，
∴
a×0+b×12×0+1
=3，
a×1+b×02×1+0
=1
2，
∴b =3，a =1， ∴T(x,y)=x+3y
2x+y ， ∴T(2m,5−4m)=2m+3(5−4m)4m+5−4m
=−2m +3≤4，解得m ≥−1
2，
T(m,3−2m)=
m+3(3−2m)2m+3−2m
=
9−5m
3
≥1，解得m ≤6
5，
∴不等式组{T(2m,5−4m)≤4T(m,3−2m)≥1的解集为−12≤m ≤6
5，
∴整数m 的值为0，1． 故选：C ．
先根据新定义，由T(0,1)=3，T(1,0)=1
2，求出b =3，a =1，则T(x,y)=x+3y
2x+y ，然后解不等式组{T(2m,5−4m)≤4
T(m,3−2m)≥1
，求出m 的解集，即可确定整数m 的值．
本题考查了一元一次不等式组的整数解，解二元一次方程组，新定义，根据新运算的规定正确求出a 与b 的值是解题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：∵CD=AE，BC=AC，∴BD=CE，
在△ABD和△BCE中，
{AB=BC
∠ABD=∠BCE BD=CE
，
∴△ABD≌△BCE(SAS)，
∴∠BAD=∠CBE，
∵∠APE=∠ABE+∠BAD，∠APE=∠BPD，∠ABE+∠CBE=60°，
∴∠BPD=∠APE=∠ABC=60°，
∴∠APB=120°，
∴点P的运动轨迹是AB⏜，∠AOB=120°，连接CO，
∵OA=OB，CA=CB，OC=OC，
∴△AOC≌△BOC(SSS)，
∴∠OAC=∠OBC，∠ACO=∠BCO=30°，
∵∠AOB+∠ACB=180°，
∴∠OAC+∠OBC=180°，
∴∠OAC=∠OBC=90°，
∴OC=AC÷cos30°=4，OA=1
2
OC=2，
∴OP=2，
∵PC≥OC−OP，
∴PC≥2，
∴PC的最小值为2．
故选：B．
易证△ABD≌△BCE，可得∠BAD=∠CBE，根据∠APE=∠ABE+∠BAD，∠APE=∠BPD，
∠ABE+∠CBE=60°，即可求得∠APE=∠ABC，推出∠APB=120°，推出点P的运动轨迹是AB⏜，∠AOB=120°，连接CO，求出OC，OA，再利用三角形的三边关系即可解决问题．
本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系、圆等知识，解题的关键是发现点P的运动轨迹，学会利用三角形的三边关系解决最值问题，属于中考填空题中的压轴题．
11.【答案】−3
【解析】解：∵(−3)3=−27，
3=−3
∴√−27
故答案为：−3．
根据立方根的定义求解即可．
此题主要考查了立方根的定义，求一个数的立方根，应先找出所要求的这个数是哪一个数的立方．由开立方和立方是互逆运算，用立方的方法求这个数的立方根．注意一个数的立方根与原数的符号相同．
12.【答案】3(a+3)(a−3)
【解析】解：3a2−27
=3(a2−9)
=3(a+3)(a−3)．
故答案为：3(a+3)(a−3)．
直接提取公因式3，进而利用平方差公式分解因式即可．
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确掌握公式法分解因式是解题关键．
13.【答案】75°
【解析】解：连接BC，
∵AB//CD，
∴∠ABD+∠BDC=180°，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠BAC+∠BDC=180°，
∴∠BAC=∠ABD=110°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=180°−110°
=35°，
2
∴∠CBD=110°−35°=75°，
∴∠DAC=∠CBD=75°，
故答案为75°．
连接BC，先根据平行线的性质、圆内接四边形的性质求得∠BAC=∠ABD=110°，根据等腰三角形的性质求得∠ABC=35°，即可求得∠DAC=∠CBD=75°．
本题考查了点与圆的位置关系，平行线的性质，圆内接四边形的性质，等腰三角形的性质以及圆周角定理，熟练掌握性质定理是解题的关键．
14.【答案】8−4√3或4
3
【解析】解：如图1中，当∠CHG=90°时，
由翻折可知，∠D=∠EHG=90°，
∴∠EHG+∠CHG=180°，
∴E，H，C共线，
∵四边形ABCD是矩形，
∴BC=AD=8，BC//AD，∠D=90°，
∴∠CBE=∠AEB，
∵∠AEB=∠BEF，
∴∠CBE=∠CEB，
∴CB=CE=8，
∴DE=√EC2−CD2=4√3，
∴AE=8−4√3．
如图2中，当∠GCH=90°时，过点H作HJ⊥AD于J，设AE=x，DE=EH=8−x．
同法可证BH=EH=8−x，
∵∠C=∠D=∠HJD=90°，
∴四边形CDJH是矩形，
∴HJ=CD=4，HC=DJ=8−(8−x)=x，
∴EJ=8−2x，
在Rt△EHJ中，EH2=HJ2+EJ2，
∴(8−x)2=42+(8−2x)2，
解得x=4
3
或4(舍弃)，
∴AE=4
3
，
当∠CGH=90°，△GCH不存在．
综上所述，满足条件的AE的值为8−4√3或4
3
．
故答案为：8−4√3或4
3
．
分三种情形：如图1中，当∠CHG=90°时，如图2中，当∠GCH=90°时，过点H作HJ⊥AD 于J，设AE=x，DE=EH=8−x.当∠CGH=90°，分别求解即可．
本题考查翻折变换，矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
15.【答案】解：原式=√3+√2×√2
2
+√3+3−2√3
=√3+1+√3+3−2√3
=4．
【解析】直接利用特殊角的三角函数值以及负整数指数幂的性质、二次根式的性质分别化简得出答案．
此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
16.【答案】解：设共有x人，
根据题意得：x
3+2=x−9
2
，
去分母得：2x+12=3x−27，
解得：x=39，
∴39−9
2
=15，
答：共有39人，15辆车．
【解析】本题考查了一元一次方程的应用，弄清题意是解决本题的关键．设共有x人，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果．
17.【答案】解：(1)如图，△A1B1C1即为所求，
点B1的坐标为(−1,2)；
(2)如图，△A2B2C2即为所求，
点B2的坐标为(2,−4)．
【解析】(1)根据网格即可画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出点B1的坐标；
(2)根据网格，以点O为位似中心，将△A1B1C1作位似变换且放大到原来的两倍，得到△A2B2C2，即可画出△A2B2C2；并写出点B2的坐标．
本题考查了作图−位似变换、作图轴对称变换，解决本题的关键是掌握位似变换．
18.【答案】3
16=1
5
−1
80
3
3n+1
=1
n
−1
n(3n+1)
【解析】解：(1)第1个等式：3
4=1−1
4
，即3
3×1+1
=1
1
−1
1×4
；
第2个等式：3
7=1
2
−1
14
，即
3
3×2+1
=1
2
−1
2×(3×2+1)
；
第3个等式：3
10=1
3
−1
30
，即
3
3×3+1
=1
3
−1
3×(3×3+1)
；
第4个等式：3
13=1
4
−1
52
，即
3
3×4+1
=1
4
−1
4×(3×4+1)
；
…
由上规律可知，第5个等式是3
3×5+1=1
5
−1
5×(3×5+1)
，即3
16
=1
5
−1
80
，
故答案为：3
16=1
5
−1
80
；
(2)根据题意得，第n个等式为：3
3n+1=1
n
−1
n(3n+1)
．
证明：右边=3n+1−1
n(3n+1)=3n
n(3n+1)
=3
3n+1
=左边，
∴3
3n+1=1
n
−1
n(3n+1)
．
故答案为：3
3n+1=1
n
−1
n(3n+1)
．
(1)观察算式得出规律：分子为3，分母比序号数的3倍大1，这样的分数等于序号数的倒数减去序号数与比序号数的倍大1的数的积的倒数．按此规律写出第5个等式便可；
(2)用n表示上面的规律，并运用分式的减法运算进行验证．
此题考查数字的变化规律，通过观察，分析、归纳找到规律，并能利用规律计算，并能证明结论是正确．
19.【答案】解：(1)作EF⊥AB于点F，
∵车架档AC长为40cm，座杆CE的长为18cm，∠CAB=
60°，
∴AE=58cm，
∴EF=AE⋅sin60°=58×√3
2
=29√3cm，
即车座点E到车架档AB的距离是29√3cm；
(2)作CG⊥AB于点G，
∵AC=40cm，∠CAB=60°，∠ACB=75°，
∴∠B=45°，CG=AC⋅sin60°=40×√3
2
=20√3cm，AG=20cm，
∵∠B=45°，∠CGB=90°，
∴CG=GB=20√3cm，
∴AB=AG+GB=(20+20√3)cm，
即车架档AB的长是(20+20√3)cm．
【解析】(1)作EF⊥AB于点F，然后锐角三角函数即可得到EF的长，从而可以得到车座点E到车架档AB的距离；
(2)作CG⊥AB，然后根据锐角三角函数，可以得到CG和AG的长，然后根据等腰三角
形的性质，可以得到GB的长，从而可以得到AB的长．
本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用锐角三角函数和数形结合的思想解答．
20.【答案】证明：(1)连接OC，交BD于H，连接BO，
∵直线MN与⊙O相切于点C，
∴OC⊥MN，
∵BD//MN，
∴OC⊥BD，
∴BC⏜=CD⏜，
∴∠BAC=∠CBD；
(2)∵OC⊥BD，
BD=4，
∴BH=HD=1
2
∴CH=√BC2−BH2=√25−16=3，
∵OB2=OH2+BH2，
∴OB2=(OB−3)2+16，
∴OB=25
，
6
∴⊙O的半径为25
．
6
【解析】(1)由切线的性质可得OC⊥MN，由垂径定理可得BC⏜=CD⏜，可得结论；(2)由垂径定理可得BH=4，由勾股定理可求CH，OB的长，即可求解．
本题考查了圆的有关知识，勾股定理，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．21.【答案】450
【解析】解：(1)抽取的总人数是：40÷40%=100(人)，
手机的人数是：100−40−20−10=30(人)，补全统计图如下：
(2)全校用手机上网课的学生共有：1500×30
100=450(名)； 故答案为：450；
(3)根据题意画树状图如下：
共有16种等情况数，其中两次都抽取到同一名学生回答问题的有4种， 则两次都抽取到同一名学生回答问题的概率是4
16=1
4．
(1)根据电脑的人数和所占的百分比求出总人数，再用总人数减去其它选项的人数求出手机的人数，从而补全统计图；
(2)用该校的总人数乘以用手机上网课的学生所占的百分比即可；
(3)根据题意画出树状图得出所有等情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
本题考查概率公式、扇形统计图、条形统计图，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
22.【答案】q =−x +40(10≤x ≤30)
【解析】解：(1)设q =kx +b(k ≠0)，根据表中数据可得： {10k +b =3012k +b =28， 解得：{k =−1
b =40
，
∴q =−x +40(10≤x ≤30)．
故答案为：q =−x +40(10≤x ≤30)． (2)①当p ≤q 时，1
2x +10≤−x +40， 解得x ≤20， ∵10≤x ≤30， ∴10≤x ≤20， 当10≤x ≤20时，
y =(x −10)⋅p =(x −10)(1
2
x +10)
=1
2x 2+5x −100；
当p >q 时，1
2x +10>−x +40， 解得：x >20， ∵10≤x ≤30， ∴20x ≤30， 当20<x ≤30时，
y =x(−x +40)−10(1
2
x +10)
=−x 2+35x −100； 综上所述，y ={
 1
2x 2+5x −100(10≤x ≤20)
−x 2+35x −100(20<x ≤30)
；
②要确保这种海鲜食材能全部售出，必须使p ≤q ，
∴y =1
x 2+5x −100
=1
2(x +5)2−
2252
，
∵抛物线开口向上，对称轴为直线x =−5， ∴当x >−5时，y 随x 的增大而增大， ∵10≤x ≤20，
∴当x =20时，y 有最大值， 此时y =1
2(20+5)2−
2252
=200，
∴当销售价格为20元时，每天获得的利润最大，最大利润为200元． (1)设q =kx +b(k ≠0)，由待定系数法求解即可；
(2)①分两种情况：当p≤q时，1
2x+10≤−x+40；当p>q时，1
2
x+10>−x+40，
分别得出x的取值范围，再根据(售价−成本)×进货量，或者售价×需求量−成本×进货量得出y关于x的函数关系式即可；②要确保这种海鲜食材能全部售出，必须使p≤q，
从而函数关系式符合y=1
2
x2+5x−100，将其配方，写成顶点式，按照二次函数的性质及自变量的取值范围可得答案．
本题考查了二次函数在销售问题中的应用，理清题中的数量关系并明确二次函数的性质是解题的关键．
23.【答案】(1)证明：如图(1)中，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠ABE=∠ADF=90°，
∵BE=DF，
∴△ABE≌△ADF(SAS)，
∴∠BAE=∠DAF，
∵∠ABG=∠ADH=45°，AB=AD，∠BAG=∠DAH，
∴△ABG≌△ADH(ASA)，
∴BG=DH．
(2)①证明：如图(2)中，过点H作HM⊥AD于M，HN⊥CD于N，连接GF．
∵∠ADH=∠CDH=45°，HM⊥AD，HN⊥DC，
∴HM=HN，
∴S△ADH
S△DHF =
1
2
⋅AD⋅HM
1
2
⋅DF⋅HN
=AH
FH
，
∴AD
DF =AH
HF
，
∵CE=CF，∠C=90°，
∴∠CEF=∠CBD=45°，
∴EF//BD，
∵BG=EF，
∴四边形EFGB是平行四边形，∴FG//BC，
∵AD//BC，
∴FG//AD，
∴AH
HF =DH
GH
=EF
GH
，
∵GH//EF，
∴△AEF∽△AGH，
∴EF
GH =AF
AH
，
∴AH
FH =AF
AH
，
∴AD
FD =AF
AH
．
∴AD⋅AH=AF⋅DF．
②设DF=a，FC=b，则AD=CD=a+b，BE=DF=a.CE=CF=b，由①可知，△DFG是等腰直角三角形，
∴DG=√2a，
∵△EFC是等腰直角三角形，
∴BG=EF=√2b，
∵BE//AD，
∴BE
AD =BG
DG
，
∴a
a+b =√2b
√2a
，
∴a2−ab−b2=0，
∴a=1+√5
2⋅b或a=1−√5
2
⋅b(舍弃)，
∴a
b =1+√5
2
，
∴HF
AH =DF
AD
=a
a+b
=√5−1
2
．
【解析】(1)证明△ABG≌△ADH(ASA)即可解决问题．
(2)①如图(2)中，过点H作HM⊥AD于M，HN⊥CD于N，连接GF.利用面积法证明AD
DF
=
AH HF ，再利用相似三角形的性质证明AH
FH
=AF
AH
可得结论．
②设DF=a，FC=b，则AD=CD=a+b，BE=DF=a.CE=CF=b，由BE//AD，
推出BE
AD =BG
DG
，推出a
a+b
=√2b
√2a
，推出a2−ab−b2=0，推出a=1+√5
2
⋅b可得结论．
本题属于相似形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．。