概率统计作业题

概率论及统计应用练习题安徽工业大学应用数学系编
第一章练习题
1. 如图，设１、２、３、４、５、６表示开关，用Ｂ表示“电路接通”i A 表示“第i 个开关闭合”请用i A 表示事件B
解：
6543231A A A A A A A B =
2.一大型超市声称,进入商店的小偷有60%可以被电视监测器发现,有40%被保安人员发现,有20%被监测器和保安人员同时发现,试求小偷被发现的概率.
解：设事件1A 表示被监测器发现，事件2A 表示被保安人员发现，B 表示小偷被
发现。

8
.02.04.06.021212121=-+=-+=+=）（）（）（）（）（表示小偷被发现。

表示被保安人员发现，表示被监测器发现，设事件A A P A P A P A A P B P B A A
3. 周昂，李虎和张文丽是同班学生.如果他们到校先后次序的模式的出现的可能性是一样的，那么周昂比张文丽先到校的概率是多少？
解：三人到校先后共有3！种情形，周昂比张文丽先到校有23C 种情形。

5.0!
32
3
===C n m P
4.甲、乙两城市都位于长江下游,根据一百余年来,气象的记录,知道甲、乙两城市一年中雨天占的比例分别为20%和18%,两地同时下雨的比例为12%,问
(1) 乙市为雨天时,甲市为雨天的概率是多少? (2) 甲市为雨天时,乙市为雨天的概率是多少? (3) 甲、乙两城市至少有一个为雨天的概率是多少?
解：设事件1A 表甲市为雨天，2A 表乙市为雨天。

3/218.0/12.0)(/)()/()1(22121===A P A A P A A P
6.02.0/12.0)(/)()/()2(12112===A P A A P A A P
26.012.018.02.0)()()()()3(212121=-+=-+=+A A P A P A P A A P
5.某种动物由出生活到20岁的概率为0.8,活到25岁的概率为0.4,问现年20岁的这种动物活到25岁的概率是多少?
解：设1A 表活到20岁，2A 表活到25岁。

5.08.0/4.0)(/)()(/)()/(1222112====A P A P A P A A P A A P
6.发报台分别以0.6和0.8发出信号”*”和”+”，由于通信受到干扰,当发出信号为”*”时，收报台分别以概率0.8和0.2收到信号”*”和”+”.又若发出信号为”+”时，收报台分别以概率0.9和0.1收到信号”+”和”*”，求当收报台收到信号”*”时，发报台确实发出信号”*”的概率.
解：设1A 表发出信号﹡，2A 表发出信号+，1B 表收到信号﹡，2B 表收到信号+。

7
6
1.08.08.06.08.06.0)/()()/()()/()()/(21211111111=
⨯+⨯⨯=⨯+⨯⨯=
A B P A P A B P A P A B P A P B A P
7.某工厂由甲、乙、丙三个车间生产同一种产品,每个车间的产量分别占全厂的25%,35%,40%,各车间产品的次品率分别为5%,4%,2%,求全厂产品的次品率.
解：设321,,A A A 分别表示产品为甲、乙、丙车间生产的，B 表示产品为次品。

)/()()/()()/()()(332211A B P A P A B P A P A B P A P B P ⨯+⨯+⨯=
0345.002.04.004.035.005.025.0=⨯+⨯+⨯=
8.某高校甲系二年级1、2、3班的学生人数分别为16、25、25人,其中参加义务献血的人数分别为12、15、20人，从这三个班中随机抽取一个，再从该班的学生名单中任意抽取2人.
（1）求第一次抽取的是已献血的人的概率； （2）如果已知第二次抽到的是未参加献血的，求第一次抽到的是已献血的学生的概率. 解：设321,,A A A 分别表示1，2，3班的学生，21,B B 分别表示第一，第二次抽取的是已献血的学生。

513724
425524925101531642452520241025151541612(31)
2452520241025151541612(31)
()()()()()/()2(60
43
)252025151612(31)()()()()1(21213
1
21221211312111=
⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯+⨯+⨯⨯=+=
==++⨯=
++=∑=B B P B B P B B A P B P B B P B B P B A P B A P B A P B P i i
9.美国总统常常从经济顾问委员会寻求各种建议.假设有三个持有不同经济理论的顾问(Perlstadt,Kramer,和Oppenheim)．总统正在考虑采取一项关于工资和价格控制的新政策，并关注这项政策对失业率的影响.每位顾问就这种影响给总统一个个人预测，他
的可能性的一个先验估计，分别为
P （Perlstadt 正确）=1/6
P （Kramer 正确）=1/3 P （Oppenheim 正确）=1/2
假设总统采纳了所提出的政策，一年后，失业率上升了，总统应如何调整他对其顾问的理论正确性的估计.
解：设i A 表第i 个人正确)3,2,1(=i ，B 表失业率上升。

942.02
12.0318.0618
.061
)()/()()/(111=
⨯+⨯+⨯⨯=⨯=B P A B P A P B A P 922.02
12.0318.0612
.031
)()/()()/(222=
⨯+⨯+⨯⨯=⨯=B P A B P A P B A P 932.02
12.0318.0612
.021
)()/()()/(333=
⨯+⨯+⨯⨯=⨯=B P A B P A P B A P
10.甲、乙、丙三人向同一架飞机射击.设甲、乙、丙击中的概率分别为0.4,0.5,0.7,又设只有一人击中，飞机坠毁的概率为0.2；若二人击中，飞机坠毁的概率为0.6；若三人击中，飞机必坠毁.求飞机坠毁的概率.
解：设i A 表示有i 人击中（)3,2,1=i ，B 表示飞机坠毁,j C 表第j 人击中
)3,2,1(=j 。

458
.0114.06.041.02.036.0)/()()(14
.0)()(41.07.05.04.07.05.06.03.05.04.0)()()()(36
.07.05.06.03.05.06.03.05.04.0)()()()(3
1321332132132123213213211=⨯+⨯+⨯=⨯====⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=++==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=++=∑=i i i A B P A P B P C C C P A P C C C P C C C P C C C P A P C C C P C C C P C C C P A P
11.如果)()(C B P C A P ≥，)()(C B P C A P ≥，则()().P A P B ≥ 证明：
）
（）（即）（）（）（）（）得，（）（）
（），（）（同理得，）
（B P A P C B P BC P C A P AC P C B P C A P BC P AC P C P BC P C P AC P C B P C A P ≥+≥++≥≥∴≥∴
≥2121)()(,)
()
()()(),/()/(
12．选择题
(1)．设C B A ,,三事件两两独立，则C B A ,,相互独立的充分必要条件是（ A ）
(A) A 与BC 独立； (B) AB 与C A 独立； (C) AB 与AC 独立； (D) B A 与C A 独立． (2)．设当事件A 和B 同时发生时，事件C 必发生，则下述结论正确的是（ B ）
(A) 1)()()(-+≤B P A P C P ； (B) 1)()()(-+≥B P A P C P ； (C) )()(AB P C P =； (D) )()(B A P C P =．
(3)．设事件A 和B 满足B A ⊂，0)(>B P ，则下列选项必然成立的是（ B ）
(A) )()(B A P A P <； (B) )()(B A P A P ≤； (C) )()(B A P A P >； (D) )()(B A P A P ≥．
(4)．n 张奖券中有m 张可以中奖，现有k 个人每人购买一站张，其中至少有一个人中奖的概率为（ C ）
(A)
k
n
k m
n m C C C 11--； (B)
k n
C m
； (C) k n
k m n C C --
1； (D)∑
=k
i k n
i m
C C 1．
(5)．一批产品的一、二、三等品各占60%、30%、10%，从中任意取出一件，结果不是三等品，则该产品为一等品的概率为（ D ）
(A)21； (B) 41； (C) 3
1； (D) 32．
第二章练习题
1．一袋中有3个白球5个红球，从中任取2个球，求其中红球个数X的概率函数．解：
2．自动生产线在调整以后出现废品的概率为p，生产过程中出现废品时立即重新调整，求两次调整之间生产的合格品数X的分布．
解：
3．一张考卷上有5道题目，同时每道题列出4个选择答案，其中有一个答案是正确的．某学生凭猜测能答对至少4道题的概率是多少？
解：
4．分析病史资料表明，因患感冒而最终死亡（相互独立）比例占0.2%．试求，目前正在患感冒的1000个病人中：
（1）最终恰有4个人死亡的概率；
（3）最终死亡人数不超过2个人的概率．
解：
5．某公司经理拟将一提案交董事会代表批准，规定如提案获多数代表赞成则通过.经理估计各代表对此提案投赞成票的概率是0.6，且各代表投票情况独立.为以较大概率通过提案，试问经理请三名懂事代表好还是五名好？
解：
6．一电话交换台每分钟收到呼唤次数服从参数为4的泊松分布，求
（1）每分钟恰有8次呼唤的概率；
（2）每分钟呼唤次数大于10次的概率．
解：
7．设某射手有5发子弹，连续向一目标射击，直到击中或子弹用完为止．已知其每次击中的概率为0.8，设X为射击的次数．求
（1）X的概率分布；
（2）未用完子弹的概率；
（3）用完子弹且击中目标的概率；
（4）已知用完子弹的条件下，其射中目标的概率．
解：
8．设随机变量X的概率密度为：∞
f x
)
(，求：
ce
x
=-x
<
<
-
∞
（1）常数c；
（2）X的值落)1,1
(-在内的概率；
（3）X的分布函数．
解：
9．设若)4,3(
X，
~N
（1）求}3
≤
<X
≤
P
<
-
X
P；
X
P
P
X
>
{
},
{
2{>
},
2
},
{
5
4
10
（2）确定c，使得}
X
P≤
c
=
>．
{c
{
P
}
X
解：
10．设)2,1(
~U
X，求2
Y的分布．
3+
=X
解：
10．研究了英格兰在1875—1951年内，在矿山发生导致10人以上死亡的事故的频繁程度，得知相继两次事故之间的时间T （以日计）服从指数分布，其概率密度为： 0
02411)(241≤>⎪⎩
⎪
⎨⎧=-t t e
t f t
，求分布函数)(t F ，并求概率}10050{<<T P ． 解：
11.选择题：
(1)．如果随机变量X 服从指数分布，则随机变量)2,min(X Y =的分布函数（ ）． (A) 是连续函数； (B) 至少有两个间断点； (C) 是阶梯函数； (D) 恰好有一个间断点．
(2)．设)1,1(~N X ，概率密度函数为)(x ϕ，下述选项正确的是（ ）．
(A) 5.0)0()0(=≤=≥X P X P ； (B) 5.0)1()1(=≥=≤X P X P ；
(C) )()(x x -=ϕϕ,),(+∞-∞∈x ； (D) )(1)(x F x F --=,),(+∞-∞∈x ． (3)．设!/)(k e a k X P k λλ-==),4,2,0( =k ，是随机变量X 的概率分布，则λ,a 一定满足（ ）．
(A)0>λ； (B) 0>a ； (C) 0>λa ； (D) 0>λ且0>a ． (4)．设随机变量X 的密度函数为)
1(1
)(2x x f +=
π，则X Y 2=的概率密度函数为（ ）．
(A)
)
41(1
2x +π； (B)
)
4(2
2x +π； (C)
)
1(2
2x +π； (D)
)
4(1
2x +π．
(5) ．设随机变量),(~211σμN X ，随机变量),(~2
22σμN Y ，且1{1}P X μ-<>
2{1},P Y μ-<则必有
(A)21σσ>； (B) 21σσ<； (C) 21μμ>； (D) 21μμ<．
第三章练习题
1．甲乙二人轮流投篮，假定每次甲的命中率为0.4，乙的命中率为o.6,且各次投篮相互独立.甲先投，乙再投，直到有人命中为止.求甲乙投篮次数X 与Y 的联合分布.
解：
2．设随机变量(X,Y)的联合概率密度为
=),(y x f ⎩⎨⎧--其它
,
0),6(y x k ;
40,20<<<<y x
求：（1）常数k ；（2）3,1(<<Y X P （3）);5.1(<X P （4）)4(≤+Y X P
解：
3．已知X 与Y 同分布且概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<=其他,
03
0,814)(3x x x f
设事件}0{>>=a X A 和}0{>>=a Y B 独立，且9/5)(=⋃B A P ，求常数a .
解：
4．一批产品中有a 件合格品与b 件次品.每次从这批产品中任取一件产品，共取两次，抽样方式是：(1)放回抽样；(2)不放回抽样.设随机变量X 及Y 分别表示第一次及第二次取出的次品数，写出上述两种情况下二维随机变量(X ,Y )的概率分布及边缘分布，并说明X 与Y 是否独立.
解：
5．设二维随机变量),(Y X 的联合密度函数为
⎪⎩
⎪⎨⎧≤≤=其他
,01,
4
21),(22y x y x y x f
求条件密度函数和条件概率}2
143{=>
x Y P 解：
6．设二维随机变量),(Y X 的概率函数为
求：（1）)0,1(≤≥Y X P ;(2))02(≤=Y X P ；（3）讨论Y X ,的独立性； 解：
7．设X 与Y 两个相互独立的随机变量，其概率密度分别为 ⎩⎨⎧≤≤=.,0;10,1)(其它x x f X ⎪⎩⎪⎨
⎧≤>=-.
0,
0;
0,
)(y y e y f y Y 求随机变量Y X Z +=的概率密度.
解：
8．设随机变量X ，Y 相互独立，并且]1,0[~U X ，)1(~e Y ，求Y X +，},max{Y X ，},min{Y X 的概率密度函数．
解：
9．设(X ,Y )的分布律为
试求：(1)Y X Z +=
解：
10.选择题：
(1)．下列函数可以作为二维分布函数的是（ ）.
(A) ⎩⎨⎧>+=.,0,8.0,1),(其他y x y x F (B) ⎪⎩⎪⎨⎧>>⎰⎰=--.,
0,0,0,),(00其他y x dsdt e
y x F y x t s
(C) ⎰⎰=
∞-∞---y x t
s dsdt e
y x F ),(； (D) ⎪⎩
⎪⎨⎧>>=--.,0,0,0,),(其他y x e
y x F y x
(2)．设事件B A ,满足41)(=
A P ，2
1
)|()|(==A B P B A P ．令 ⎩⎨⎧=.,0,,1不发生若发生若A A X ⎩
⎨⎧=.,0,
,1不发生若发生若B B Y 则===)0,0(Y X P ．
(A)81； (B) 83； (C) 8
5； (D) 87．
(3)．设随机变量X 与Y 相互独立且同分布：2
1)1()1(====Y P X P ，2
1
)1()1(=
-==-=Y P X P ，则==)1(XY P ． (A)
21； (B) 3
1； (C) 32
； (D) 41． (4)．设(),10~,N X (),21~,N Y Y X ,相互独立，令X Y Z 2-=，则~Z （ ）
（A ）)5,2(-N ； (B) )5,1(N ； (C) )6,1(N ； (D) )9,2(N ．
(5)．设二维随机变量
),Y X （服从G 上的均匀分布，G 的区域由曲线2
x y =与x y =所围，则
),Y X （的联合概率密度函数为 . （A ）⎩⎨⎧∈=他其,0),(,6),(G y x y x f ； （B ）⎩⎨⎧∈=他其,
0),(,6/1),(G
y x y x f ； （C ）⎩⎨
⎧∈=他其,0),(,2),(G y x y x f ； （D ）⎩
⎨⎧∈=他其,0),(,2/1),(G
y x y x f
第四章练习题
1. 设随机变量X 的分布律为如下, 求)(X E ,)12(-X E ,)(2X E .
解：
2. 射击比赛,每人射4次,每次射一发,约定全都不中得0分,只中一弹得15分,中两弹得30分,中三弹得55分,中四弹得100分.甲每次射击命中率为0.6,问他期望得多少分?
解：
3. 9粒种子分种在3个坑内，每粒种子发芽的概率为0.5．若一个坑内至少有１粒种子发芽，则这个坑不需要补种；若一个坑内的种子都没有发芽，则这个坑需要补种．假定每个坑至多补种一次，每补种１个坑需10元，用ξ表示补种费用，写出ξ的分布列并求ξ的数学期望．
解：
4.
(1)
(2) 求完成该任务的期望天数;
(3) 该任务的费用由两部分组成:20000元的固定费用加每天2000元,求整个项目费用的期望值;
(4) 求完成天数的方差和标准差.
解：
5. 设离散型随机变量X的概率分布为
（1）
(2)
试求DX
EX,
解：
6. 设两个相互独立的随机变量X 和Y 均服从正态分布(1,1/5).如果随机变量X -aY +2满足条件
])2[()2(2+-=+-aY X E aY X D
求（1）a 的值；
（2）)2(+-aY X E 及)2(+-aY X D
解：
7. 游客乘电梯从底层到电视塔的顶层观光，电梯于每个整点的第5分钟、第25分钟和第55分钟从底层起行.一游客在早上八点的第X 分钟到达底层候梯处，且X 在[0,60]上服从均匀分布，求该游客等候时间Y 的数学期望.
解：
8. 某电力排灌站，一天内停电的概率为0.1（设若停电，全天不能工作），若4天内全不停电，可获得利润6万元；如果停电一次，可获利3万元；如果有二次停电，则获利为0万元；若有三次以上停电，要亏损1万元.求4天内期望利润是多少？
解：
9. 一台设备由三大部件构成，在设备运行中各部件需要调整的概率相应为0.10,0.20,0.30.假设各部件的状态相互独立，以X 表示同时需要调整的部件数，求X 的概率分布、数学期望EX 和方差DX .
解：
10. 一商店经销某种商品，每周进货的数量X 与顾客对该种商品的需求量Y 是相互独立的随机变量，且都服从区间[10,20]上的均匀分布.商店每售出一单位商品可得利润1000元；若需求量超过了进货量，商店可从其他商店调剂供应，这时每单位商品可得利润500元.试计算此商店经销该种商品每周所得利润的期望值.
解：
11. 已知X ,Y 的相关系数为.,,d cY b aX +=+=ηζρ,求ηζ,的相关系数ζηρ 解：
12. 设),0(~),,0(~2
221σσN Y N X ，且相互独立Y a X a V Y a X a U 2121,-=+=
（1）分别写出U,V 的概率密度函数； （2）求U,V 的相关系数； （3）讨论U,V 的独立性；
（4）当U,V 相互独立时，写出(U,V)的联合密度函数
解：
13. 设A ,B 是二随机事件；随机变量 ⎩⎨
⎧-=不出现若，出现若A A X 1,1 ⎩
⎨⎧-=不出现若，出现
若B B Y 1,1
试证明随机变量X 和Y 不相关的充分必要条件是A 与B 相互独立. 解：
14.
试验证21X Y =与X 不相关，而32X Y =与X 却相关． 解：
15．选择题：
(1)．随机变量X 的概率分布为：)
1(21
)(+=
=n n n X P ，),3,2,1( =n ．则其数学期望
)(X E 为（ ）.
(A) 0； (B) 0.5； (C) 1； (D) 不存在．
(2)．随机变量X 与Y 独立同分布，令Y X -=ξ，Y X +=η，则随机变量ξ和η必然（ ） (A) 独立； (B) 不独立； (C) 相关系数为0； (D) 相关系数不为0．
(3)．对任意随机变量X 与Y ，则下列等式中一定成立的为（ ）
(A) )()()(Y D X D Y X D +=+； (B) )()()(Y E X E Y X E +=+； (C) )()()(Y D X D XY D =； (D) )()()(Y E X E XY E =．
(4)．设X 与Y 为任意随机变量，若)()()(Y E X E XY E =，则下述结论中成立的为（ ）
(A) )()()(Y D X D Y X D +=+； (B) )()()(Y D X D XY D =；
(C) X 与Y 相互独立； (D) X 与Y 不独立．
(5)．设离散型随机变量X 的可能取值为1、2、3，且3.2)(=X E ，9.5)(2=X E ，则对应取值1、2、3的概率应为（ ）
(A)1.01=p ，2.02=p ，7.03=p ； (B) 3.01=p ，2.02=p ，5.03=p ； (C) 1.01=p ，4.02=p ，5.03=p ； (D) 2.01=p ，3.02=p ，5.03=p ．
第五章练习题
1．利用Chebychev 不等式证明：能以大于0.97的概率断言，掷1000次均匀硬币，正面出现的次数在400到600次之间.
解：
2．设随机变量X 的概率密度为
⎪⎩
⎪⎨
⎧≤>=-0,00
,)(x x xe x f x 用Chebychev 不等式证明 2/1}40{≥<<X P
解：
3．电视机厂每月生产10000台电视机，但它的显象管车间的正品率为0.8，为了以0.997的概率保证出厂的电视机都装上正品的显象管，该车间每月应生产多少只显象管？
解：
４．保险公司对20岁男青年卖保险，每年交300元，约定：若在今后5年内投保人死亡，则其家属可得1000000元保险金.关于死亡的分布，据统计有以下记录：
（1）20岁男青年能活过25岁以上的概率有多大？
（2）收300元保险费，而一旦死亡要赔10万元，两者差距似乎很大，而公司还能获利，为什么？设有十万人投保能获利多少？
（3）试求对每个20 岁投保人，大致可获利多少？
（5）为了准备获利1000000元，应征集多少20岁男青年投保？
解：
5．药厂断言，该工厂生产的某种药品对于治疗一种疑难的疾病的治愈率为0.8.某医院试用了这种药品，任意抽查了100个服用次药品的病人，如果其中多于75人治愈，医院就接受药厂的这一断言，否则就拒绝之.问：
（1）若实际上次药品对这种疾病的治愈率为0.8，那么，医院接受这一断言的概率是多少？
（2）若实际上次药品对这种疾病的治愈率为0.7，那么，医院接受这一断言的概率是多少？
解：
6．某商店负责供应某地区1000人所需商品,其中一商品在一段时间内每人需用一件的概率为0.6,假定在这一段时间内个人购买与否彼此无关,问商店应预备多少件这样的商品,才能以99.7%的概率保证不会脱销(假定该商品在某一段时间内每人最多可以买一件).
解：
7．选择题
(1)．设随机变量),(~211σμN X ，),(~2
22σμN Y ，且}1|{|}1|{|21<-><-μμY P X P ，则
必有( )．
(A)21σσ>； (B) 21σσ<； (C) 21μμ<； (D) 21μμ>．
(2)．设随机变量序列}{n X 相互独立，],[~n n U X n -， ,2,1=n ，则对}{n X ( )． (A)可使用切比雪夫大数定律； (B) 不可使用切比雪夫大数定律；
(C) 可使用辛钦大数定律； (D) 不可使用辛钦大数定律． (3)．设随机事件A 在第i 次独试验中发生的概率为i p ，n i ,,2,1 =．m 表示事件A 在n 次试验中发生的次数，则对于任意正数ε恒有=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛<∑-=∞
→εn i i n p n n m P 11lim ( )． (A)１； (B) ０； (C)
2
1
； (D)不可确定． (4)．设 ,,,,21n X X X 相互独立且都服从参数为λ的指数分布，则下述选项中成立的
是( )．
(A) )(lim 1x x n X P n i i n Φ=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≤-∑=∞→λλ； (B) )(lim 1x x n
n X P n i i n Φ=⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛≤-∑=∞→；
(C) )(lim 1x x n
n X P n i i n Φ=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≤-∑=∞→λ； (D) )(lim 1
x x n X P n i i n Φ=⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛≤-∑=∞→λλ．
(5)．设随机变量序列 ,,,,21n X X X 相互独立同分布， 0)(=i X E ，2)(σ=i X D ，且)(4i X E 存在，则对任意0>ε，下述选项中正确的是( )．
(A) 11
lim 21=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<-∑=∞→εσn
i i n X n P ； (B) 11
lim 2
12≤⎪⎪⎭⎫
⎝⎛<-∑=∞→εσn
i i n X n P ； (C) 11
lim 212=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<-∑=∞→εσn
i i n X n P ； (D) 01
lim 212=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛<-∑=∞→εσn
i i n X n P
第六章练习题
1. 在总体)3.6,52(2N 中随机抽取一容量为36的样本,求样本均值X 落在50.8至53.8之间的概率.
解：
2. 已知某种白炽灯泡的使用寿命服从正态分布, 在某星期所生产的该种灯泡中随机抽取10只,测得其寿命(以小时计)为:
1067 919 1196 785 1126 936 918 1156 920 948
试用样本数字特征法求出寿命总体的均值μ和方差2
σ的估计值,并估计这种灯泡的寿命大于1300小时的概率.
解：
3. 设各种零件的重量都是随机变量, 它们相互独立, 且服从相同的分布,其数学期望为0.5公斤,均方差为0.1公斤,问5000只零件的总重量超过2510公斤的概率是多少?(提示:当n 较大时,随机变量之和n X X X X +++= 21近似地服从正态分布,以下第6题,第7题也适用)
解：
4. 部件包括10个部分, 每部分的长度是一个随机变量, 它们相互独立, 且服从同一分布. 其数学期望为2毫米, 均方差为0.05毫米,规定总长度为1.020±毫米时产品合格, 试求产品合格的概率.
解：
5. 计算机进行加法时, 对每个加数取整(即取最接近于它的整数),设所有的取整误差是相互独立的,且它们都在(-0.5,0.5)上服从均匀分布.
(1) 若将1500个数相加,问误差总和的绝对值超过15的概率是多少？ (2) 几个数加在一起, 可使得误差总和的绝对值小于10的概率为0.90？ 解：
6.设总体X 具有概率密度 ⎩⎨
⎧<<=其它
01
02)(x x x f
从总体X 抽取样本4321,,,X X X X ，求最大顺序统计量m ax =T (4321,,,X X X X )的概率密度．
解：
7.已知一台电子设备的寿命T （单位:h ）服从指数分布，其概率密度为 ⎪⎩
⎪⎨
⎧≤>=-0,00,001
.0)(001.0t t e t f t 现在检查了100台这样的设备，求寿命最短的时间小于10h 的概率 解：
8.设n X X X ,,,21 是来自正态总体),(2σμN 的简单随机样本，2
n S 为样本方差，求
满足下式的最小值n : 95.0)5.1(
2
2
≥≤σn
S P ．
解：
9.设1021,,,X X X 为)3.0,0(2N 的一个样本，求∑>=10
1
2}44.1{i i X P
解：
10.假定),(21X X 是取自正态总体),0(2σN 的一个样本，试求概率].4)/()[(221221<-+X X X X P
解：
11.已知321,,X X 是从正态总体),0(2σN 抽取的样本．证明：
∑+∑-==-=-16
1
221216
12212)(/)(i i i i i i X X X X T )16,16(~F
证明：
12．选择题 （1）、设12(,,,)n X X X 为来自总体X 的一个样本，则n X X X ,,,21 必然满足 （A ）独立不同分布 （B ）不独立但同分布 （C ）独立同分布 （D ）无法确定
（2）、设),,,(21n X X X 为来自总体),(~2σμN X 的一个样本，其中2,μσ未知，则下 面不是统计量的是 （A ）i X （B ）11n i i X X n ==
∑ （C ）211()1n i i X X n =-∑- （D ）2
1
1()n i i X n μ=-∑ （3）、设总体)16,3(~N X ，126,,,X X X 为来自总体X 的一个样本，X 为样本均值，则
（A ）)1,0(~3N X - （B ）)1,0(~)3(4N X - （C ）
)1,0(~43N X - （D ）)1,0(~2
3
N X - (4)、设),,,(21n X X X (1)n >来自总体)1,0(~N X ，X 与S 分别为样本均值和样本标准差，则有
（A ）(0,1)X N （B ）(0,1)nX N (C) 221()n
i i X n χ=∑ （D ）
(1)X
t n S
- (5)、设),,,(21n X X X 为来自总体)1,0(~N X
的一个样本，统计量Y =
，则
（A ）2(1)Y n χ- (B) (1)Y t n - (C) (1,1)Y F n - (D)
(1,1)Y F n -
第七章练习题
1. 对目标独立地进行射击，直到命中为止，假设n 轮(n >1)这样射击，各轮射击的次数相应地为n k k k ,,,21 ，试求命中率p 的极大似然估计和矩估计.
解：
2．设某计算机用来产生某彩票摇奖时所需的10个随机数0，1，2, …, 9.设某人用该机做了100天试验，每天都是第一次摇到数字1为止.此100天中各天的试验次数分布如下：
假设每次试验相互独立且产生数字1的概率p 保持不变.(1)求p 的最大然估计值p ˆ；(2)如果所得1.0ˆ p
，请做出所有可能的解释；(3)求p 的矩估计值p ˆ. 解：
3.已知总体的概率密度函数为
⎪⎩⎪⎨
⎧≤≤+=其它0
1
0)1()(x x x f ββ 现抽取n =6的样本,样本观察值分别为
0.2，0.3，0.9，0.7，0.8，0.7
试用矩估计法和极大似然估计法求出β的估计量.
解：
4．设总体服从瑞利分布 00,0,)(22
>⎪⎩
⎪
⎨⎧<≥=-θθθx x e
x x f xh 为参数
n X X X ,,,21 为简单随机样本
求θ的极大似然估计量；（2）该估计量是否为无偏估计量？说明理由.
解：
5．设随机变量X 在区间],0(θ上服从均匀分布，由此总体抽出的一随机样本n X X X ,,,21 ．试证明θ的有偏估计)()1(1ˆn n X n n +=θ及一个无偏估计)
()2(1ˆn n X n
n +=θ都是θ的一致估计．
证明：
8．设总体X 在区间],0[θ上服从均匀分布，其中0>θ是未知参数，求θ的最大似然估计量，并判断它是否为θ的无偏估计.
解：
9．某车间生产的螺杆直径服从正态分布,今随机抽取5只,测得直径(单位:mm )为: 22.5 21.5 22.0 21.8 21.4
(1) 已知0.3σ=,求μ的0.95置信区间; (2) σ未知,求μ的0.95置信区间.
解：
10．从总体X 中抽取样本321,X X X ，，证明下列三个统计量
,632ˆ3211X X X ++=μ
,442ˆ3212X X X ++=μ
,3
33ˆ3213X X
X ++=μ 都是总体均值μ=)(X E 的无偏估计量；并确定哪个估计量更有效.
解：
11．从正态总体中抽取容量为5的样本,其观测值为: 1.86 , 3.22 , 1.46 , 4.01 , 2.64 ,
试求正态总体方差2
σ及标准差σ的0.95置信区间.
解：
12．为了研究施肥和不施肥对某钟农作物产量的影响，选了十三个小区在其他条件相同的情况下进行对比实验，收获量如下表：
均产量之差的置信水平为0.95的置信区间.
解：
13．从甲乙两个生产蓄电池的工厂的产品中，分别抽取一些样品，测得蓄电池的电容量(A.h)如下：
甲厂：144 141 138 142 141 143 138 137;
乙厂：142 143 139 140 138 141 140 138 142 136.
设两个工厂生产的蓄电池的容量分别服从正态分布),(2x x N σμ及),(2
y y N σμ，求：
（1）电容量的方差比
22
y
x
σ
σ的置信水平为95%的置信区间;
（2）电容量的均值差y x μμ-的置信水平为95%的置信区间(假定2
2y
x σσ=). 解：
14．从汽车轮胎厂生产的某种轮胎中抽取个10样品进行磨损试验，直至轮胎行驶到磨坏为止，测得它们的行驶路程(km)如下：
41250 41010 42650 38970 40200 42500 43500 40400 41870 39800 设汽车行驶路程服从正态分布),(~2σμN X ，求：
（1）μ的置信水平为95%的单侧置信下限；（2）σ的置信水平为95%的单侧置信上限.
解：
16.选择题 (1)、θ为总体X 的未知参数，θ的估计量为 θ
，则有 （A ） θ
是一个数，近似等于θ； （B ） θ是一个随机变量； （C ） θ
是一个统计量，且 ()E θθ=； （D ）当n 越大， θ的值可任意靠近θ. (2)、设12(,)X X 为来自任意总体X 的一个容量为2的样本，则在下列EX 的无偏线性估 计量中，最有效的估计量是
（A ）122133X X + （B ）121344X X + （C ）1223
55
X X + （D ）121()2X X +
(3)、设 θ
是参数θ的无偏估计，且有 ()0D θ≠，则 2θ必为 2()θ的 （A ）无偏估计 （B ）一致估计 （C ）有效估计 （D ）有偏估计 (4)、设总体2(,)X N μσ ，其中2σ已知，若已知样本容量和置信度1α-均不变，则对
于不同的样本观察值，总体均值μ的置信区间的长度
（A ）变长 （B ）变短 (C) 不变 （D ）不能确定
(5)、已知一批零件的长度X （单位：cm ）服从正态总体(,1)N μ，从中随机抽取16个
零件，测得其长度的平均值为40cm ，则μ的置信度为0.95的置信区间是 （注：标准正态分布函数值(1.96)0.975,(1.645)0.95Φ=Φ=）
（A ）(31.95, 40.49) (B) (39.59, 40.41) (C) (-∞, 31.95) (D) (40.49, +∞)
第八章练习题
1．一个停车场，有12个位置排成一行，某人发现有8个位置停了车，而有4个相连的位置空着。

这个发现令人惊奇吗？（即它是非随机性的表示吗？）解：
2．某切割机正常工作时，切割的金属棒的长度服从正态分布)
N.从该切割
(2
2,
100
机切割的一批金属棒中抽取15根，测得它们的长度(mm)如下：
99101 96 103 100 98 102 95 97 104 101 99 102 97 100
(1)若已知总体方差不变，检验该切割机工作是否正常，及总体均值是否等于
α）
100(mm)（取显著水平05
=
.0
α）
(2)若不能确定总体方差是否变化，检验总体均值是否等于100(mm)；（取05
.0
=解：
3．饲养场规定肉鸡平均体重超过3公斤方可屠宰，若从鸡群中随机抽取20只，得到体重的平均值为2.8公斤，标准差为0.2公斤，问这一批鸡可否屠宰，α＝0.05．
解：
4．已知我国14岁女学生的平均体重(单位：Kg)为43.38，从该年龄的女学生中抽查10名运动员的体重，分别为39,36,43,43,40,46,45,45,42,41，试问这些运动员的体重与上
α)．
述平均体重的差异是否显著(05
=
.0
解：
５．有甲乙两个试验员，对同样的试样进行分析，各人实验分析结果如下（分析结果服从正态分布）：
解：
６．无线电厂生产某种高频管，其中一项指标服从正态分布),(2σμN .从该厂生产的一批高频管中抽取8个，测得该项指标的数据如下：
68 43 70 65 55 56 60 72
(1) 若已知60=μ，检验假设;49:,49:2120>≤σσH H （取05.0=α） (2) 若未知μ，检验假设.49:,49:2120>≤σσH H （取05.0=α）
解：
７．用某种仪器间接测量强度，重复测量5次，所得数据是175,173,178,174,176,而用精确方法测量强度为179（看作强度的真值），设测量强度服从正态分布，问次种仪器测量的强度是否显著降低（)05.0=α？
解：
８．某化工厂的产品中硫的含量的百分比在正常情形下服从正态分布),55.4(2σN ,为了知道设备经过维修后产品中硫的含量的百分比μ是否改变，测试5个产品，它们含硫量的百分比分别为
4.28, 4.40, 4.42, 4.35, 4.37
试在两种情形（1）已知1.0=σ；（2）σ未知之下分别检验55.4:0=μH ，其中显著性水平05.0=α，假定方差始终保持不变．
解：
９．选择亚洲的若干城市及美国若干城市六月份的平均最高气温（见下表，单位：
C 0
），试检验有无显著性差异？是否亚洲比美国高？为此，⑴首先检验21σσ=；⑵根
据（1）的检验结果再检验两个总体的均值． 表
解：
10．设n x x x ,,,21 是来自)1,(μN 的样本，考虑如下假设检验问题
,3:2:10==μμH vs H 若检验由拒绝域为}6.2{≥=x R 给出．
（１）当20=n 时求检验犯两类错误的概率；
（２）如果要使得检验犯第二类错误的概率n ,01.0≤β最小应取多少？
（３）证明：当+∞→n 时，.0,0→→βα
解：
11.选择题
⑴、设总体22(,),X N μσσ 未知，12,,,n x x x 为来自总体X 样本观测值，现对μ进行假设检验。

若在显著水平0.05α=下接受了00:H μμ=，则当显著性水平改为0.01α=时，则下列说法正确的是
（A ）必接受0H ； （B ）必拒绝0H ；
（C ）可能接受也可能拒绝0H ； （D ）犯第二类错误的概率必减少.
⑵设总体2(,),X N μσμ 未知，12,,,n x x x 为来自总体X 样本观测值，记x 为样本均值，2s 为样本方差，对假设检验01:2;:2H H σσ≥<应取检验统计量2χ为
（A ）2(1)8n s - （B ）2(1)6n s - （C ）2(1)4n s - （D ）2
(1)2n s - ⑶在假设检验中，0H 表示原假设，1H 表示备择假设，则犯第一类错误的情况为
（A ）1H 真，接受1H （B ）1H 不真，接受1H （C ）1H 真，拒绝1H （D ）1H 不真，拒绝1H
⑷设总体22(,),X N μσσ 未知，12,,,n x x x 为来自总体X 样本观测值，记x 为样本均
值，s 为样本标准差，对假设检验0010:;:H H μμμμ≥<，取检验统计量
t =
α下拒绝域为 （A ）/2{||(1)}t t n α>- （B ）/2{||(1)}t t n α≤- (C) /2{(1)}t t n α>- （D ）/2{(1)}t t n α<-
⑸设总体2(,)X N μσ ，2σ已知，12,,,n X X X 为来自总体X 的样本，检验假设
00:;H μμ= 110:H μμμ=>，则当检验水平为α时犯第二类错误的概率为
（A ）
z α⎛⎫Φ⎪⎪⎭ (B) /2z α⎛⎫Φ⎪⎪⎭
(C)
1z α⎛⎫-Φ⎪⎪⎭ (D) z α⎛⎫Φ⎪⎪⎭。