北师大版八年级下册第六章：平行四边形专题三【三角形的中位线】知识点+经典例题+变式训练(无答案)

第六章 平行四边形
三角形的中位线
例1：如图，D 、E 、F 分别是△ABC 三边的中点．G 是AE 的中点，BE 与DF 、DG 分别交于P 、
Q 两点.求PQ:BE 的值。

例2：如图，在△ABC 中，AC>AB ，M 为BC 的中点．AD 是∠BAC 的平分线，若CF ⊥AD 交AD 的延长线于F .求证：()1
2
MF AC AB =
-。

例3：如图3，在△ABC 中，AD 是△BAC 的角平分线，M 是BC 的中点，ME ⊥AD 交AC 的延长线于E ．且1
2
CE CD =
.求证：∠ACB =2∠B 。

例4：如图，在△ABC 中，∠ABC =2∠C ，AD 平分∠BAC ，过BC 的中点M 作ME ⊥AD ，交BA 的延长线于E ，交AD 的延长线于F 。

求证：1
2
BE BD =。

挑战自我，勇攀高分
1. 已知△ABC 周长为16，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，则△ADE 的周长等于 ( ) A .1 B. 2 C. 4 D. 8
2. 在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，P 是BC 上任意一点，那么△PDE 面积是△ABC '面积的 ( ) A .
12 B. 13 C. 14
D. 18
3. 如图，在四边形ABCD 中，E 、F 分别为AC 、BD 的中点，则EF 与AB +CD 的关系是 ( ) A .2EF AB CD =+ B. 2EF AB CD >+ C. 2EF AB CD <+ D. 不确定
4. 如图，AB ∥CD ，E 、F 分别是BC 、AD 的中点，且AB=a ,CD=b ，则EF 的长为 。

F
E
D
C
B
A
5. 如图6，四边形ABCD中，AD=BC，F、E、G分别是AB、CD、AC的中点，若∠DAC=200，∠
ACB=600，则∠FEG=。

6.如图，△ABC的周长为1，连接△ABC三边的中点构成第二个三角，再连接第二个三角形
三边中点构成第三个三角形，依此类推，第2003个三角形的周长为。

7. 已知三角形三条中位线的比为3:5:6，三角形的周长是112cm，求三条中位线长。

8. 如图，△ABC中，AD是高，BE是中线，∠EBC=300,求证：AD=BE。

9. 如图，在△ABC中，AB=AC，延长AB到D，使BD=AB，E为AB中点，连接CE、CD。

求证：CD=2EC 。

10.如图，AD 是△ABC 的外角平分线，CD ⊥AD 于D ，E 是BC 的中点。

求证：(1)DE ∥AB ; (2)()1
2
DE AB AC =
+。

1. 如图，M 、P 分别为△ABC 的AB 、AC 上 的点，且AM=BM ，AP=2CP ，BP 与CM 相交于N ，已知PN=1，则PB 的长为 ( )
A. 2
B. 3 C .4 D. 5
2. 如图，△ABC 中，∠B =2∠C ，AD ⊥BC 于D ，M 为BC 的中点，AB=10，则MD 的长为 ( ) A. 10 B. 8 C .6 D. 5
3. 如图，△ABC是等边三角形，D、E、F分别是AB、BC、AC的中点，P为不同于B、E、C
的BC上的任意一点，△DPH为等边三角形.连接FH，则EP与FH的大小关系是 ( )
A. E P>FH
B. EP=FH
C. EP<FH
D.不确定
4. 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，BD⊥AD，DE∥AC，交AB于E,若AB=5，则DE的长为。

5. 如图，△ABC中，AB=4，AC=7，M为BC的中点，AD平分∠BAC，过M作MF∥AD，交AC
于F，则FC的长等于。

6. 已知在△ABC中，∠B=600，CD、AE分别为AB、BC边上的高，DE=5，则AC的长为。

7. 如图，在△ABC中，D、E是AB、AC上的点，且BD=CE，M、N分别是BE、CD的中点，直
线MN分别交AB、AC于P、Q。

求证：AP=AQ。

8.如图，BE、CF是△ABC的角平分线，AN⊥BE于N，AM⊥CF于M。

求证：MN∥BC。

9. 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AD=AB，CM⊥AD于M。

求证：AB+AC=2AM。

10.如图19，四边形ABCD中，G、H分别是AD、BC的中点，AB=CD.BA、CD的延长线交HG的
延长线于E、F。

求证：∠BEH=∠CFH。

1.如图，在△ABC中，AB<AC，P为AC上的点，CP=AB，K为AP的中点，M为BC的中点，MK
的延长线交BA的长线于N。

求证：AN=AK。

2.如图，分别以△ABC的边AC、BC为腰，A、B为直角顶点，作等腰直角△ACE和等腰直角
△BCD，M为ED的中点。

求证：AM⊥BM。

3.如图，点O是四边形ABCD内一点，∠AOB=∠COD=1200，AO=BO，CO=DO，E、F、G分别为
AB、CD、BC的中点。

求证：△EFG为等边三角形。

4.如图，△ABC中，M是AB的中点，P是AC的中点，D是MB的中点，N是CD的中点，Q是
MN的中点，直线PQ交MB于K。

求证：K是DB的中点。

5. 如图，P为△ABC内一点，∠PAC=∠PBC，PM⊥AC于M，PN⊥BC于N.D是AB的中点。

求证：DM=DN。

6.如图，AP是△ABC的角平分线，D、E分别是AB、AC上的点，且BD=CE.又G、H分别为BC、
DE的中点。

求证：HG∥AP。

7. 如图，已知△ABD和△ACE都是直角三角形，且∠ABD=∠ACE=900，如图(a)，连接DE，设
M为DE的中点。

(1)求证：MB=MC;
(2)设∠BAD=∠CAE，固定△ABD，让Rt△ACE绕顶点A在平面内旋转到图(b)的位置，试
问MB=MC是否成立?并证明其结论。

8. 已知△ABC 面积为S ，作直线l ∥BC ，交AB 于D ，交AC 于E ，若△BED 的积为K 。

求证：S ≥4K 。

9.如图28，在△ABC 中，AB=AC ，D 是BC 边上的一点，E 是线段AD 上的一点。

且∠BED=2∠CED=∠BAC 。

求证：BD=2CD 。

梯形的中位线
例1：如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，DC AB =，对角线BD AC ⊥，高cm AE 12=，求梯形中位线MN 的长。

A
D
M N
例2：如图，已知在梯形ABCD 中，E 、F 分别是两腰AB 、CD 的中点，求证：
()BD AC EF +<
2
1。

例3：已知：如图l ，BD 、CE 分别是△ABC 的外角平分线，过点A 作AF ⊥BD ，AG ⊥ CE ，垂足分别为F 、G ，连结FG ，延长AF 、AG ，与直线BC 相交，易证FG=2
1
(AB+BC+AC)。

若(1)BD 、CF 分别是△ABC 的内角平分线(如图2)；
(2)BD 为△ABC 的内角平分线，CE 为△ABC 的外角平分线(如图3)，则在图2、图3两种情况下，线段FG 与△ABC 三边又有怎样的数量关系?请写出你的猜想，并对其中的一种情况给予证明．
挑战自我，勇攀高分
1.如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，以AC、AD为边作平行四边形ACED，DC的延长线交BE 于F。

求证：EF＝FB。