(江西专用)2019中考数学总复习第二部分专题综合强化 针对性试题(打包28套)
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
第二部分 专题一 类型一
1.(2018·安徽)矩形ABCD 中,AB =6,BC =8,点P 在矩形ABCD 的内部,点E 在边BC 上,满足△PBE ∽△DBC ,若△APD 是等腰三角形,则PE 的长为3或6
5
.
2.(2019·原创)正方形ABCD 的边长为4,E 是AD 的中点,点P 是直线BC 边上的动点,
若CP =6,则EP 长为3.(2018·江西名校联盟二)△ABC 中,∠A =30°,AC =8,∠B =90°,点D 在AB 上,
BD =3,点P 在△ABC 上,则当AP =2PD 时,PD 4.(2018·牡丹江)矩形ABCD 中,AB =6,AD =8,点M 在对角线AC 上,且AM ∶MC =2∶3,过点M 作EF ⊥AC 交AD 于点E ,交BC 于点F .在AC 上取一点P ,使∠MEP =∠EAC ,则AP 的长为74或254
.
5.(2018·景德镇三模)如图,在菱形ABCD 中,其对角线AC ,BD 相交于点O ,点E 是线段BO 上的一个动点,点F 为射线DC 上一点,若∠ABC =60°,∠AEF =120°,AB =4,则
EF 可能的整数值是2,3,4.
6.(2018·上饶模拟)如图,一次函数y =kx +1的图象过点A (1,2),且与x 轴相交于
点B .若点P 是坐标轴上的一点,且满足∠APB =90°,则点P
7.(2019·原创)如图,已知点A 为⊙O 上一点,射线AM 与⊙O 的另一交点为B ,且AB =8,⊙O 的半径为5.若P 为射线AM 上的一点,BP =2,则tan ∠OPA 的值为12或32
.
8.(2018·南昌三模)如图,在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,四边形ABCD 是平行四边形,点A ,B ,C 的坐标分别为A (0,4),B (-2,0),C (8,0),点E 是BC 的中点,点P 为线段AD 上的动点,若△BEP 是以BE 为腰的等腰三角形,则点P 的坐标为 (1,4),(0,4)或(6,4).
第二部分 专题一 类型二
1.(2018·抚顺)如图,△AOB 三个顶点的坐标分别为A (8,0),O (0,0),B (8,-6),点
M 为OB 的中点.以点O 为位似中心,把△AOB 缩小为原来的12
,得到△A ′O ′B ′,点M ′为O ′B ′的中点,则MM ′的长为52或152
.
2.(2018·吉安二模)如图,在反比例函数图象中,△AOB 是等边三角形,点A 在双曲线的一支上,将△AOB 绕点O 顺时针旋转α(0°<α<360°),使点A 仍在双曲线上,则α=_30°,180°,210°.
3.(2018·江西模拟)如图,在边长为2的菱形ABCD 中,∠A =60°,点P 为射线AB 上一个动点.过点P 作PE ⊥AB 交射线AD 于点E .将△AEP 沿直线PE 折叠,点A 的对应点为
F ,连接FD ,FC ,若△FDC 为直角三角形时,AP 的长为12或32
.
4.(2018·高安四模)如图,OA ⊥OB 于点O ,OA =4,⊙A 的半径是2,将OB 绕点O 按顺时针方向旋转,当OB 与⊙A 相切时,OB 旋转的角度为60°或120°.
5.(2018·宜春三模)如图,Rt △ABC 纸片中,∠C =90°,AC =6,BC =8,点D 在边BC 上,以AD 为折痕将△ABD 折叠得到△AB ′D ,AB ′与边BC 交于点E .若△DEB ′为直角三角形,则BD 的长是2或5.
6.(2019·原创)将边长为6的正方形ABCD 绕点A 旋转30°,得到正方形AB ′C ′D ′,
则BD 7.(2018·江西二模)如图,在矩形ABCD 中,AB =5,BC =7,点E 是AD 上一个动点,把△BAE 沿BE 向矩形内部折叠,当点A 的对应点A ′恰好落在∠BCD 的平分线上时,CA ′的
长为
8.(2018·萍乡模拟)如图,已知△ABC 中,AB =AC =5,BC =8,若△ABC 沿射线BC 方向平移m 个单位得到△DEF ,顶点A ,B ,C 分别与D ,E ,F 对应,若以点A ,D ,E 为顶点的三角形是等腰三角形,则m 的值是25
8
,5或8.
9.(2018·九江模拟)如图,在Rt △ABC 中,∠ACB =90°,AC =BC =3,D 为BC 上一点,且∠ADB =120°.若将线段AD 绕点A 旋转30°,得到AD ′,则以BD ′为边长的正方形
的面积为
10.(2018·江西四模)如图,正方形ABCD 的边长为4,在AD 边上存在一个动点E (不和点A ,D 重合),沿BE 把△ABE 折叠,当点A 的对应点A ′恰好落在正方形ABCD 的对称轴上时,则AE 的长为3
第二部分 专题一 类型三
1.(2018·鹰潭模拟)如图,有一三角形纸片ABC ,∠A =80°,点D 是AC 边上一点,沿BD 方向剪开三角形纸片后,发现所得两纸片均为等腰三角形,则∠C 的度数可以是25°或40°或10°.
2.(2019·原创)如图所示,在纸片ABCD 中,已知AB ∥DC ,∠D =90°,AD =8,AB =3,
CD =4,点E 为AD 边上一点,小明沿EB ,EC 用剪刀将纸片ABCD 剪成三张三角形纸片,要使
其中的△EAB 与△EDC 相似,则AE 的长为24
7
,2或6.
3.(2018·江西模拟)在一张直角三角形纸片的两直角边上各取一点,分别沿斜边中点与这两点的连线剪去两个三角形,剩下的部分是如图所示的四边形ABCD ,其中AB =2,BC
=4,CD =3,∠B =∠C =90°,则原三角形纸片的斜边长是
4.(2019·原创)用直角边分别为3和4的两个直角三角形拼成凸四边形,所得的四边形的周长是14或16或18.
5.(2018·江西模拟)如图,将一条长为7 cm 的卷尺铺平后折叠,使得卷尺自身的一部分重合,然后在重合部分(阴影处)沿与卷尺边垂直的方向剪一刀,此时卷尺被分成了三段,若这三段长度由短到长之比为1∶2∶4,其中没完全盖住的部分最长,则折痕对应的刻度可能是2或2.5 cm.
6.(2018·抚州模拟)已知△ABC 是等边三角形,且AB =4,△ACD 是一个含30°角的直
角三角形,现将△ABC 和△ACD 拼成一个凸四边形ABCD ,则对角线BD 的长为
3
7.(2018·上饶二模)如图,在等腰三角形纸片ABC 中,AB =AC =5 cm ,BC =6 cm ,若将△ABC 沿底边BC 上的高AD 剪成两个三角形,再用这两个三角形拼成一个平行四边形,则
这个平行四边形较长的对角线的长是
8.(2018·宜春二模)将两块全等的三角板如图放置,点O 为AB 的中点,AB =A ′B ′=10,BC =B ′C ′=6,现将三角板A ′B ′C ′绕点O 旋转,B ′C ′,A ′B ′与边AC 分别交于点M ,N ,当△OMN 与△BCO 相似时,CM 的长度为258或7
4
.
第二部分 专题二 类型一
1.(2018·江西模拟)如图,已知C 为AB 的中点,分别以AC ,BC 为边,在AB 的同侧作
等边△ACE与等边△BCD,连接BE,请仅用无刻度的直尺按下列要求作图.(保留作图痕迹,不写作法)
(1)在图1中,作出AE的中点P;
(2)在图2中,过点C作AE的垂线l.
解:(1)如答图1,点P即为所求.
(2)如答图2,直线l即为所求.
2.(2018·吉安模拟)根据下列条件和要求,仅使用无刻度的直尺画图,并保存画图痕迹.
(1)如图1,△ABC中,∠C=90°,在三角形的一边上取一点D,画一个钝角△DAB;
(2)如图2,△ABC中,AB=AC,ED是△ABC的中位线,画出△ABC中∠BAC的角平分线.
解:(1)如答图1,△DAB即为所求.
(2)如答图2,AF即为∠BAC的角平分线.
3.(2018·江西师大附中模拟)在△ABE中,点C,D分别为AE,BE的中点,请仅用无刻度的直尺按要求作图.(不写作法,保留作图痕迹)
(1)如图1,AE=BE,作出AB的垂线;
(2)如图2,AE≠BE,作出BE的平行线l.
解:(1)如答图1,直线EM即为所求.
(2)如答图2,直线l即为所求.
4.(2018·鹰潭模拟)请仅用无刻度的直尺按要求作图.(不写作法,保留作图痕迹)
(1)如图1,AD,BE是△ABC的角平分线,且相交于点O,作出∠C的平分线;
(2)如图2,AC与BD相交于点O,且∠DAO=∠BAO=∠CBO=∠ABO,作出∠AOB的平分线.
解:(1)如答图1,CF即为所求.
(2)如答图2,OF即为所求.
5.(2018·新余模拟)如图,C,D是线段AB的三等分点,分别以AC,CD,DB为边向AB 上方作等边三角形,请仅用无刻度的直尺完成下列作图.(不写作法,保留作图痕迹)
(1)在图1中,作AB的中点P;
(2)在图2中,作一个矩形.
解:(1)如答图1(或答图2,3),点P即为所求.
(2)如答图4,矩形MCNF即为所求.(答案不唯一)
6.(2018·萍乡模拟)请仅用无刻度的直尺,根据下列条件分别在图1和图2中画出BC 的垂直平分线.(保留作图痕迹,不写作法)
(1)如图1,△ABC是以BC为底边的等腰三角形,点D为△ABC内一点,BD=CD;
(2)如图2,AB=AC,E,F分别为AB,AC的中点.
解:(1)如答图1,AE即为所求.
(2)如答图2,AG即为所求.
第二部分专题二类型二
1.(2018·临川一中模拟)如图,是由两个全等的矩形拼在一起的图形,请仅用无刻度的直尺,直接在图中用连线的方式按要求画出图形,并用字母表示所画图形.
(1)在图1中画出一个平行四边形(要求不与原矩形重合);
(2)在图2中画出一个菱形.
解:(1)如答图1,四边形ABCD即为所求平行四边形.
(2)如答图2,四边形ABCD即为所求菱形.
2.(2018·南昌二中模拟)如图1、图2,四边形ABCD是正方形,DE=CE.请仅用无刻度的直尺按要求完成下列画图.
(1)在图1中,画出CD边的中点;
(2)在图2中,画出AD边的中点.
解:(1)如答图1,点F即为所求.
(2)如答图2,点M即为所求.
3.(2018·遂川模拟)如图,在四边形ABCD中,AB=AC,BD=DC,BE∥DC,请仅用无刻度的直尺按下列要求画图.
图1 图2
(1)在图1中,画一个以AB为边的直角三角形;
(2)在图2中,画一个菱形.
解:(1)如答图1,Rt△AOB即为所求.
(2)如答图2,四边形BFCD即为所求.
4.(2018·章贡区模拟)如图,在矩形ABCD中,点E在BC上,且AE=EC,请仅用无刻度的直尺,分别按下列要求画图(保留作图痕迹).
(1)在图1中,画出∠DAE的平分线;
(2)在图2中,画出∠AEC的平分线.
解:(1)如答图1,AC即为所求.
(2)如答图2,EF即为所求.
5.(2018·江西样卷七)如图,在□ABCD中,点E在BC上,AB=BE,BF平分∠ABC交AD于点F,请仅用无刻度的直尺,按要求画图(保留作图痕迹,不写画法).
(1)在图1中,过点A画出△ABF中BF边上的高;
(2)在图2中,过点C画出BF的垂线.
解:(1)如答图1,AG即为所求.
(2)如答图2,CH即为所求.
6.(2019·原创)如图,菱形ABCD,点P是AB的中点,连接CP.请仅用无刻度的直尺按要求画图.
(1)在图1中画出BC边的中点E;
(2)在图2中画出∠DCF,使得∠DCF=∠BCP.
解:(1)如答图1,点E即为所求.
(2)如答图2,∠DCF即为所求.
第二部分专题二类型三
1.(2018·九江模拟)已知正六边形ABCDEF ,请仅用无刻度的直尺,分别按下列要求作图.
(1)在图1中,以AB 为边,作等边三角形; (2)在图2中,作一个含30°角的直角三角形.
解:(1)如答图1,△AOB 即为所求. (2)如答图2,△FCD 即为所求.
2.(2018·江西样卷五)如图,正六边形ABCDEF 的边长为1,请仅用无刻度的直尺按要求画图.
(1)在图1中画出一条长度为1
2的线段;
(2)在图2中画出一条长度为1
3
的线段.
解:(1)如答图1,线段AG 即为所求. (2)如答图2,线段HO 即为所求.
3.(2018·江西模拟)如图,已知正八边形ABCDEFGH ,请仅用无刻度的直尺,分别按下列要求作图.
(1)在图1中,作出一个正方形; (2)在图2中,作出一个等腰直角三角形.
解:(1)如答图1,四边形BDFH即为所作的正方形(答案不唯一);
(2)如答图2,△BFH即为所求.(答案不唯一)
4.(2018·江西师大附中模拟)如图,已知正八边形的边长为2,请仅用无刻度的直尺,分别按下列要求作图.
(1)在图1中,作出一个边长不为2的正方形;
(2)在图2中,作出一个不是正方形的菱形.
解:(1)如答图1,四边形ABCD即为所作正方形.(答案不唯一,画图正确即可)
(2)如答图2.(答案不唯一,画图正确即可)
5.(2018·吉安模拟)如图,在五边形ABCDE中,AB=AE=DE,CD=CB,∠ABC=120°.请仅用无刻度的直尺按要求画出图形.
(1)在图1中,作出图形的对称轴l;
(2)在图2中,作出一个正六边形.
解:(1)如答图1,l即为所求;
(2)如答图2,正六边形ABPJDE即为所求.
第二部分专题二类型四
1.如图,在边长为1的正方形网格中画一个圆心为O的半圆,请按要求准确画图.
(1)请在图1中仅用无刻度的直尺连线将半圆的面积三等份;
(2)请在图2网格中以O为圆心,用直尺与圆规画一个与已知半圆的半径不同,但面积相等的扇形.
解:(1)作图如答图1;
(2)作图如答图2.
2.(2018·吉安十校联考二模)如图,8个完全相同的小矩形拼成了一个大矩形,AB是其中一个小矩形的对角线,请按照下列要求画图,要求:①仅用无刻度的直尺;②保留必要的画图痕迹.
(1)在图1中,画出一个45°的角,使点A或者点B是这个角的顶点,且AB为这个角的一边.
(2)在图2中,画出线段AB的垂直平分线.
解:(1) 如答图1,∠BAC或∠ABC即为所求.(画法有多种,正确画出一种即可)
(2)如答图2,MN 即为所求.(画法不唯一)
3.(2018·宜春模拟)如图,下列正方形网格的每个小正方形的边长均为1,⊙O 的半径为10,规定:顶点既在圆上又是正方形格点的直角三角形称为“圆格三角形”,请仅用使用无刻度的直尺,分别按照下列条件,在图1,图2中画一个“圆格三角形”,
(1)一个锐角的正切值为1
3 ;
(2)面积为8.
解:(1)如答图1,直角边长为2,6的Rt △ACB 即为所求.(画法不唯一,正确即可) (2)如答图2,直角边分别为22,42的Rt △ABC 即为所求.(画法不唯一,正确即可)
4.(2018·崇仁二中模拟)如图所示,在4×4的菱形斜网格图中(每一个小菱形的边长为1,有一个内角是60°),线段AB 的端点在格点上,请仅用无刻度的直尺在下列图形中按要求画图.
(1)在图1中,画出一个以AB 为边,且顶点均在格点上的等腰三角形;
(2)在图2中,画出一个以AB 为边的面积最大的平行四边形,且该平行四边形的顶点均在格点上.
解:(1)如答图1.(画法不唯一,正确画出一种即可) (2)如答图2, 平行四边形ABFG 即为所求.
5.(2018·广昌一中模拟)图1、图2是两张形状大小完全相同的方格纸,方格纸中的每个小正方形的边长均为1,线段AB,EF的端点均在小正方形的顶点上,请仅用无刻度直尺按要求完成下列作图(保留作图痕迹,不写作法).
(1)如图1,作出以AB为对角线的正方形;
(2)如图2,以线段EF为一边作出等腰△EFG(点G在小正方形顶点处)且顶角∠EFG为钝角.
解:(1)如答图1,正方形AEBF即为所作;
(2)如答图2,△EFG即为所作.
第二部分专题二类型五
1.(2018·江西模拟)如图,△ABC是⊙O的内接三角形,请仅用无刻度的直尺在下列图形中按要求画图.
(1)在图1中,已知OD⊥BC于点D,画出∠A的角平分线;
(2)在图2中,已知OE⊥AB于点E,OF⊥AC于点F,画出∠A的角平分线.
解:(1)如答图1,AM即为所求;
(2)如答图2,AG即为所求.
2.(2018·芦溪模拟)如图,AB是⊙O的直径,AC是⊙O的切线,AC=AB,请仅用无刻度的直尺画图(保留作图痕迹,不写作法).
(1)△ABC的中线BE;
(2)以D为切点⊙O的切线DT.
解:(1)如答图1,BE即为所求;
(2)如答图2,DT即为所求.
3.(2018·广丰模拟)如图,⊙O与⊙P相交于A,B两点,且AC,AB分别是⊙O,⊙P 的直径,AC=2AB,下面请你仅用无刻度直尺按要求画图.
(1)在AmC上确定一点D,连接DA,使DA⊥AB;
(2)在(1)中,画OE⊥AD于点E.
解:(1)如答图,作直径BD,连接AD,则∠BAD=90°即为所求.
(2)如答图,设AC与⊙P交于点G,作法:作射线BG延长线交⊙O于点F,连接OF交AD于点E,则OE⊥AD即为所求.
4.(2018·赣州名校联盟模拟)已知四边形ABCD内接于⊙O,且已知∠ADC=120°;请仅用无刻度直尺完成以下作图(保留作图痕迹,不写作法,写明答案).
(1)在图1中,AD=CD,在⊙O上求作一个度数为30°的圆周角;
(2)在图2中,AD≠CD,在⊙O上求作一个度数为30°的圆周角.
解:(1)如答图1,∠ABD=30°或∠CBD=30°(连接弦BD),即为所求作的圆周角.
(2)如答图2,∠CAE=30°,或如答图3中∠ACF=30°,均为所求作的圆周角.
5.(2018·萍乡模拟)如图,点A,B在⊙O上,点O是⊙O的圆心,请你仅用无刻度的直尺,分别画出图1和图2中∠A的余角.
(1)图1中,点C在⊙O上;
(2)图2中,点C在⊙O内;
解:(1)如答图1,∠DBC即为所求.(答案不唯一)
(2)如答图2,∠FBE即为所求.(答案不唯一)
第二部分专题三类型一
1.“低碳环保,你我同行”.近两年,某市区的公共自行车给市民出行带来了极大的方便.图1是公共自行车的实物图,图2是公共自行车的车架示意图,点A ,D ,C ,E 在同一条直线上,CD =30 cm ,DF =20 cm ,AF =25 cm ,FD ⊥AE 于点D ,坐杆CE =15 cm ,且∠
EAB =75°.
(1)求AD 的长;
(2)求点E 到AB 的距离.(参考数据:sin75°≈0.97,cos75°≈0.26,tan75°≈3.73)
解:(1)在Rt △ADF 中,由勾股定理得,
AD =AF 2-FD 2=252-202=15(cm);
(2)AE =AD +CD +EC =15+30+15=60(cm), 如答图,过点E 作EH ⊥AB 于点H , 在Rt △AEH 中,sin ∠EAH =
EH
AE
,则EH =AE ·sin ∠EAH =AE ·sin75°≈60×0.97=58.2(cm).
答:点E 到AB 的距离为58.2 cm.
2.(2018·吉安模拟)某市需要新建一批公交车候车厅,设计师设计了一种产品(如图1),产品示意图的侧面如图2所示,其中支柱DC 长为2.1 m ,且支柱DC 垂直于地面DG ,顶棚横梁AE 长为1.5 m ,BC 为镶接柱,镶接柱与支柱的夹角∠BCD =150°,与顶棚横梁的夹角∠ABC =135°,要求使得横梁一端点E 在支柱DC 的延长线上,此时经测量得镶接点B 与点E 的距离为0.35 m(参考数据:2≈1.41,sin15°≈0.26,cos15°≈0.97,tan15°≈0.27,结果精确到0.1 m).
(1)求EC 的长;
(2)求点A 到地面DG 的距离.
解:(1)如答图,连接EC .可得∠EBC =45°,∠ECB =30°.过点E 作EP
⊥BC 于点P .
如答图,EP =BE ·sin45°≈0.25(m).
EC =2EP =0.5 m.
(2)过点A 作AF ⊥DG ,垂足为F ,过点E 作EM ⊥AF ,垂足为M ,AM =AE ·sin15°=1.5×0.26=0.39(m).
AF =AM +CE +DC =0.39+0.5+2.1=3.2(m).
所以点A 到地面DG 的距离是3.2 m.
3.(2018·江西样卷)如图1,是某校的简易车棚的支撑架,其示意图如图2. 经测量知
AB =210 cm ,BE =110 cm ,BF =100 cm ,BD =OD =80 cm ,OA =160 cm.
(1)求棚顶EF 与水平面MN 的倾斜角;(结果精确到1度) (2)求车棚的边沿E 到地面MN 的距离.(结果精确到1 cm) (参考数据:sin18°≈0.31,cos18°≈0.95,tan18°≈0.32)
图1 图2
解:(1)如答图,过点D 作DG ⊥AB 于点G , ∵BD =OD ,DG ⊥AB ,
∴BG =OG =12OB =1
2×(210-160)=25(cm).
在Rt △BDG 中,sin ∠BDG =
BG BD =25
80
=0.3125≈0.31,∴∠BDG =18°. ∴棚顶EF 与水平面MN 的倾斜角约为18°.
第3题答图
(2)过点E ,作EH ⊥AB 延长线,垂足分别为H , ∵EH ⊥AB, DG ⊥AB , ∴EH ∥DG ,
∴∠BEH =∠BDG =18°. 在Rt △BEH 中, sin ∠BEH =BH BE
,
∴BH =BE ·sin18°=110×0.31≈34(cm), ∴AH =AB +BH =210+34=244(cm).
∴车棚的边沿E 到地面MN 的距离约为244 cm.
4.(2018·江西模拟)如图1是一种简易台灯,在其结构图2中灯座为△ABC (BC 伸出部分不计),A ,C ,D 在同一直线上.量得∠ACB =90°,∠A =60°,AB =16 cm ,∠ADE =135°,灯杆CD 长为40 cm ,灯管DE 长为15 cm.
(1)求DE 与水平桌面(AB 所在直线)所成的角;
(2)求台灯的高(点E 到桌面的距离,结果精确到0.1 cm).
(参考数据:sin15°≈0.26,cos15°≈0.97,tan15°≈0.27,sin30°≈0.5,cos30°≈0.87,tan30°≈0.58)
解:(1)如答图所示,过点D 作DF ∥AB ,过点D 作DN ⊥AB 于点N ,过点E 作EF ⊥AB 延长线于点M ,
第4题答图
由题意可得,四边形DNMF 是矩形,则∠NDF =90°, ∵∠A =60°,∠AND =90°, ∴∠ADN =30°,
∴∠EDF =135°-90°-30°=15°,
即DE 与水平桌面(AB 所在直线)所成的角为15°.
(2)如答图所示,∵∠ACB =90°,∠A =60°,AB =16 cm ,∴∠ABC =30°,则AC =1
2AB
=8 cm ,
∵灯杆CD 长为40 cm ,
∴AD =AC +CD =8+40=48(cm),
∴DN =AD ·sin60°=24 3 cm ,则FM =24 3 cm , ∵灯管DE 长为15 cm ,
∴sin15°=EF DE =EF
15=0.26,解得EF =3.9.
故台灯的高为EF +FM =3.9+243≈45.5(cm).
5.(2018·宜春模拟)一书架上的方格中放置四本厚度和长度相同的书,其中书架方格
长BF =40 cm ,书的长度AB =20 cm ,设一本书的厚度为x cm.
(1)如图1左边三本书紧贴书架方格内侧竖放,右边一本书自然向左斜放,支撑点为C ,
E ,最右侧书一个角正好靠在方格内侧上,若CG =4 cm ,求E
F 的长度;
(2)如图2左边两本书紧贴书架方格内侧竖放,右边两本书自然向左斜放,支撑点为C ,
E ,最右侧书的下面两个角正好靠在方格内侧上,若∠DCE =30°,求x 的值(保留一位小
数).(参考数据:2≈1.414,3≈1.732)
解:(1)∵∠CEH =90°,∴∠CED +∠HEF =90°. 又∵∠CED +∠DCE =90°,∴∠DCE =∠HEF . 又∵∠CDE =∠EFH =90°,∴△CDE ∽△EFH , ∴CE EH =CD
EF
,又∵CE =DG =20 cm ,CG =4 cm , ∴CD =16 cm ,由勾股定理得DE =12, ∴20x =16EF ,∴EF =4x 5. ∵BD +DE +EF =40, ∴3x +12+4
5
x =40,
∴x =14019,EF =45×14019=112
19
(cm).
(2)∵AB =CE =20 cm ,∠DCE =30°,∴DE =10 cm. 在Rt △EGM 中,
∵∠GEM =∠DCE =30°,EG =x cm , ∴EM =233x cm ,
在Rt △MFH 中,
∵∠GEM =∠HMF =30°,MH =x cm , ∴FM =
3
2
x cm , ∴BF =BD +DE +EM +FM =2x +10+233x +3
2
x =40,化简(12+73)x =180,x ≈7.5 cm.
第二部分 专题三 类型二
1.(2017·江西样卷)某大学计划为新生配备如图1所示的折叠椅.图2是折叠椅撑开后的侧面示意图,其中椅腿AB 和CD 的长相等,O 是它们的中点.为使折叠椅既舒适又牢固,厂家将撑开后的折叠椅高度设计为32 cm ,∠DOB =100°,那么椅腿的长AB 和篷布面的宽
AD 各应设计为多少 cm ?(结果精确到0.1 cm)
解:连接AC ,BD ,
∵OA =OB =OC =OB, ∴四边形ACBD 为矩形, ∵∠DOB =100°, ∴∠ABC =50°,
由已知得AC =32 cm ,在Rt △ABC 中,sin ∠ABC =AC AB
, ∴AB =
AC
sin ∠ABC =32
sin50°
≈41.8(cm ),
tan ∠ABC =AC BC
, ∴BC =
AC
tan ∠ABC =32tan50°
≈26.9(cm).
∴AD =BC =26.9(cm).
答:椅腿AB 的长约为41.8 cm ,篷布面的宽AD 约为26.9 cm.
2.(2017·江西样卷)阳台窗外活动伸缩衣架如图1所示,动点G 由点A 滑动到点B 时,伸缩衣架完全张开,如图2所示,其中CBA 垂直于地面,点C ,F ,P 在同一水平线上,侧面活动支架均相互平分,测得BC =20 cm, GF =CE =36 cm ,点D 为支架GF ,CE 的中点.
(1)求伸缩衣架完全张开时∠CDG 的度数;
(2)求伸缩衣架完全张开时CP 的长.(精确到0.1,可使用科学计算器) (参考数据: sin33.75°≈0.5555, cos33.75°≈0.8315)
解:(1)∵GF =CE =36 cm ,点D 为GF ,CE 的中点,∴GD =CD =18 cm , 如答图,过点D 作DN ⊥AC 于点N,
∴CN =1
2
BC =10 cm ,
∵sin ∠CDN =CN CD =10
18
≈0.5555,
∴∠CDN ≈33.75°,∴∠CDG ≈67.5°.
(2) ∵横杆完全张开时,∠CDG ≈67.5°,即∠CDN ≈33.75°,cos33.75°=DN CD =DN
18,
∴DN =cos33.75°×18≈14.967 cm,
∴完全张开时PC =14.967×8=119.736≈119.7 cm.
3.(2018·江西样卷)如图1是楼梯及扶手的一部分,将实物图的主体部分抽象成图2,楼梯踏步宽度MN =30 cm ,高度NG =15 cm ,且F ′A ′,FA 均与楼面垂直,A ,A ′分别是
GH ,G ′H ′的中点, AB =BC =CD =DE =EF =16 cm ,A ′B ′=B ′C ′=C ′D ′=D ′E ′=E ′F ′=16 cm ,FP =8 cm.
(1)判断BB ′与FF ′的位置关系?并说明理由; (2)求tan ∠EFP 的值;
(3)求点P 到水平楼面的距离(精确到0.1 cm) . (参考数据:2≈1.4,3≈1.7,5≈2.3)
解:(1)BB ′∥FF ′.
∵F ′A ′,FA 均与楼面垂直,∴F ′A ′∥FA .
又∵AB =BC =CD =DE =EF =16 cm ,A ′B ′=B ′C ′=C ′D ′=D ′E ′=E ′F ′=16 cm. ∴F ′B ′=FB .∴四边形F ′B ′BF 是平行四边形. ∴BB ′∥FF ′.
第3题答图
(2)延长AG ,B ′A ′相交于点K ,连接AA ′.
由题意知,FA ,F ′A ′均与楼面垂直,易知,AF ∥A ′F ′,△KA ′A 为直角三角形. 又由题意知,GH =G ′H ′=MN =30 cm , ∵A ,A ′分别是GH ,G ′H ′的中点, ∴GA =A ′H ′=15 cm.
∴KA =A ′H ′+MN +GA =15+30+15=60(cm). 易知:A ′K =H ′M +NG =15+15=30 cm. 在Rt △KA ′A 中,KA =60 cm ,KA ′=30 cm , ∴tan ∠KA ′A =
KA KA ′=60
30
=2. ∵AF ∥A ′F ′,∴∠EFP =∠KA ′A , ∴tan ∠EFP =tan ∠KA ′A =2. (3)过点P 作PP ′⊥AF 交AF 于点P ′. 在Rt △P ′FP 中, tan ∠EFP =2,∴cos ∠EFP =
15
. ∴
P ′F FP =15
.∵FP =8,∴P ′F =85
5. ∴点P 到水平楼面的距离为 16×5+15-855=95-855≈91.3 cm.
第二部分 专题三 类型三
1.“五一”节,小莉和同学一起到游乐场玩.游乐场的大型摩天轮的半径为20 m ,匀速旋转1周需要12 min.小莉乘坐最底部的车厢(离地面0.5 m)开始1周的观光,5 min 后小莉离地面的高度是多少?(精确到0.1 m .下列数据供参考:2≈1.414,3≈1.732,5≈2.236)
解:如答图,设经过5 min 后,小明从点B 到达点C 的位置.由题意知,OC =20,∠COA
=360°×5
12
=150°.延长AO 交⊙O 于点E ,过点C 作CD ⊥AE ,垂足为D .
在Rt △COD 中,∵∠COD =180°-∠COA =180°-150°=30°,∴OD =OC ·cos∠COD =20×cos 30°=10 3.∴AD =AB +BO +OD =0.5+20+103≈37.8(m).
答:5 min 后小莉离地面的高度约为37.8 m.
2.(2018·遂川模拟)如图1是校园内的一种铁制乒乓球桌,其侧面简化结构如图2所示,直线型支架的上端A ,B 与台面下方相连,与圆弧形底座支架EF 在C ,D 处相连接,支架AC 与BD 所在的直线过EF ︵ 的圆心,若AB =200 cm ,∠CAB =∠DBA =60°,EC ︵ =FD ︵
,AB 平行于地面EF ,EF ︵
最顶端与AB 的距离为2 cm.
(1)求EF ︵
的半径;
(2)若台面AB 与地面EF 之间的距离为72 cm ,求E ,F 两点之间的距离. (精确到1 cm ,参考数据:3≈1.7,1682
-982
≈137)
解:(1)如答图,延长AC ,BD 交于一点O ,过O 点作OM ⊥AB 于M 交EF ︵
于点N ,EF 交OM 于点K .
第2题答图
∵∠CAB =∠DBA =60°, ∴△AOB 是等边三角形, ∴OA =OB =AB =200 cm , ∵OM ⊥AB ,∴OM =1003,
∵MN =2,∴ON =1003-2=168(cm),∴EF ︵
的半径为168 cm. (2)连接OF .在Rt △OFK 中,OK =OM -KM =170-72=98, ∴FK =OF 2
-OK 2
=1682
-982
≈137(cm), ∵EF ∥AB ,OM ⊥AB ,∴OK ⊥EF ,∴EK =KF , ∴EF =274 cm.
3.如图是某种直径型号的地球仪的支架示意图,弧AB 是半圆弧,经测量点A 距离水平线CD 的距离为27.7厘米, 点B 距离水平线CD 的距离为9.4厘米,直径AB 所在直线与竖直线形成的锐角为23.5°,试问它是哪种直径型号的地球仪的支架?(计算结果精确到个位,可使用科学计算器,参考数据:sin23.5°≈0.3987, cos23.5°≈0.9171,tan23.5°≈0.4348)
解:如答图,过点A 作AF ⊥CD 于点F ,过点B 作BH ⊥CD 于点H ,连接BE ,AB ,
第3题答图
∵弧AB 是半圆弧,∴AB 是直径, ∴∠AEB =90°,∴∠BEF =90°, ∵AF ⊥CD ,BH ⊥CD , ∴四边形BEFH 是矩形, ∴EF =BH =9.4,
∴AE =AF -EF =27.7-9.4=18.3.
∵∠FAB =23.5°,∴AB =AE cos23.5°=18.3
0.9171
≈20,
∴它是直径约为20厘米的地球仪的支架.
4.(2017·赣州模拟)摇椅是老年人很好的休闲工具,右图是一张摇椅放在客厅的侧面示意图,摇椅静止时,以O 为圆心OA 为半径的AB ︵ 的中点P 着地,地面NP 与AB ︵
相切,已知∠AOB =60°,半径OA =60 cm ,靠背CD 与OA 的夹角∠ACD =127°,C 为OA 的中点,CD =80 cm ,当摇椅沿AB ︵
滚动至点A 着地时是摇椅向后的最大安全角度.
(1)静止时靠背CD 的最高点D 离地面多高?
(2)静止时着地点P 至少离墙壁MN 的水平距离是多少时?才能使摇椅向后至最大安全角度时点D 不与墙壁MN 相碰.
(精确到1 cm ,参考数据π取3.14,sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75,sin67°≈0.92,cos67°≈0.39,tan67°≈2.36,2≈1.41,3≈1.73)
解:(1)如答图1,过F 点作CF ⊥DF ,DF ∥NP ,CF 和DF 交于点F ,则∠DFC =90°. ∵P 为AB ︵
的中点,∠AOB =60°,∴∠COP =30°. 又∵OP ∥FC ,∴∠FCO =30°, ∴∠DCF =180°-127°-30°=23°. 在Rt △DFC 中,cos ∠DCF =
FC CD
,
∴FC =80×cos23°=80×sin67°=80×0.92=73.6. 在Rt △COE 中,cos ∠COE =
OE OC
, OE =30×cos30°=30×
3
2
=15 3. D 离地面总高度为CF +EP =CF +(OP -OE )=73.6+60-153≈107.62≈108(cm);
(2)如答图2,过点C 作CE ⊥MN ,垂足为E , 则∠DCE =127°-90°=37°. 在Rt △DCE 中,cos ∠DCE =
EC CD
, ∴EC =80×cos37°=80×0.8=64.
AP ′=
30π·60
180
=10π=10×3.14=31.4. NP =EC +AP ′=64+31.4=95.4≈96.
答:静止时的着地点P 至少要离墙壁MN 的水平距离为96 cm 时,才能使摇椅向后至最大安全角度时点D 不与墙壁MN 相碰.
5.(2019·原创)如图,有一时钟,时针OA 长为6 cm ,分针OB 长为8 cm ,△OAB 随着时间的变化不停地改变形状.求:
(1)13时整时, △OAB 的面积是多少?
(2)14时整时, △OAB 的面积比13时整时增大了还是减少了?为什么? (3)问几时整时, △OAB 的面积最大?最大面积是多少?并说明理由.
(4)设∠BOA =α(0°≤α≤180°),试归纳α变化时△OAB 的面积有何变化规律(不证明).
解:如答图,分别过B 作BE ⊥OA 于点E .(E 也可在OA 的延长线上) (1)如答图1,在13时整时, ∠BOA =30°,
BE =12OB =4,S △OAB =12
×4×6=12(cm 2).
(2)如答图2,在14时整时,∠BOA =60°,BE OB =sin60°,BE =8×32=43,S △OAB =12
×43×6=12 3.
∵123>12,
∴14时整时比13时整的△ABO 的面积增大了.
(3)当15时或21时整时,如答图3,△OAB 的面积最大, 此时BE 最长,BE =OB =8,而OA 不变,
S △ABO =1
2
×8×6=24.
(4)当α=0°,180°时不构成三角形,
当0°<α≤90°时,S △AOB 的值随α增大而增大, 当90°<α<180°时,S △AOB 的值随α增大而减少.
6.(2018·江西样卷)如图1是一个演讲台,图2为演讲台的侧面示意图,支架BC 是一条圆弧,台面与两支架的连接点A ,B 间的距离为30 cm, CD 为水平底面,且BD 所在的直线垂直于底面,∠ADC =75°,∠DAB =60°.
(1)求台面上点B 处的高度(精确到个位);
(2)如图3,若圆弧BC 所在圆的圆心O 在CD 延长线上,且OD =CD ,求支架BC 的长度(结果保留根号).
(参考数据:sin 75°≈0.97,cos 75°≈0.26,3≈1.7)
解:(1)如答图,连接BD ,过点B 作BE ⊥AD ,垂足为E . 在Rt △ABE 中,BE =AB · sin∠EAB =30×sin60°=30×3
2
≈25.5(cm). ∵∠ADC =75°,∴∠ADB =90°-∠ADC =15°. ∴∠EBD =90°-∠ADB =90°-15°=75°. 在Rt △BDE 中,BD =
BE
cos ∠EBD ≈25.5cos75°≈25.5
0.26
≈98(cm).
即台面上点B 处的高度约为98 cm.
第6题答图
(2)连接BC ,BO ,
∵BD ⊥CO ,OD =CD ,∴BC =BO . 又CO =BO ,
∴△BOC 是等边三角形,∠BOC =60°.
∴sin60°=BD BO ,BO =BD sin60°= 98 3
2
=19633,∴支架BC 的长度为1963
3(cm).
答:支架BC 的长度为1963
3
cm.
第二部分 专题四 类型一
1.(2018·湖北)如图,在Rt △ABC 中,∠ACB =90°,∠BAC =30°,E 为AB 边的中点,以BE 为边作等边△BDE ,连接AD ,CD .
(1)求证:△ADE ≌△CDB ;
(2)若BC =3,在AC 边上找一点H ,使得BH +EH 最小,并求出这个最小值. (1)证明:在Rt △ABC 中,∠BAC =30°,E 为AB 边为中点,∴BC =EA ,∠ABC =60°. ∵△DEB 为等边三角形,∴DB =DE ,∠DEB =∠DBE =60°,∴∠DEA =120°,∠DBC =120°,
∴∠DEA =∠DBC ,∴△ADE ≌△CDB .
(2)解:如答图,作点E 关于直线AC 的对称点E ′,连接BE ′交AC 于点
H ,连接AE ′,则点H 即为符合条件的点.由作图可知EH +BH =BE ′,AE ′
=AE ,∠E ′AC =∠BAC =30°,
∴∠EAE ′=60°,∴△EAE ′为等边三角形, ∴EE ′=EA =1
2AB ,∴∠AE ′B =90°.
在Rt △ABC 中,∠BAC =30°,BC =3, ∴AB =23,AE ′=AE =3, ∴BE ′=AB 2
-AE ′2
=3
2
-3
2
=3,
∴BH +EH 的最小值为3.
2.(2018·徐州)如图,将等腰直角三角形纸片ABC 对折,折痕为CD .
展平后,再将点B 折叠在边AC 上(不与A ,C 重合),折痕为EF ,点B 在
AC 上的对应点为M ,设CD 与EM 交于点P ,连接PF .已知BC =4.
(1)若M 为AC 的中点,求CF 的长; (2)随着点M 在边AC 上取不同的位置, ①△PFM 的形状是否发生变化?请说明理由; ②求△PFM 的周长的取值范围. 解:(1)∵M 为AC 的中点, ∴CM =12AC =1
2BC =2,
由折叠的性质可知,FB =FM , 设CF =x ,则FB =FM =4-x ,
在Rt △CFM 中,FM 2=CF 2+CM 2,即(4-x )2=x 2+22
,解得,x =32,即CF =32.
(2)①△PFM 的形状是等腰直角三角形,不会发生变化,理由如下:
令FM 与CD 交于点D ,由折叠的性质可知,∠PMF =∠B =45°. ∵CD 是中垂线,∴∠ACD =∠DCF =45°. ∵∠MPC =∠OPM ,∴△POM ∽△PMC , ∴PO PM =OM MC ,∴MC PM =
OM
PO
.
∵∠EMC =∠AEM +∠A =∠CMF +∠EMF , ∴∠AEM =∠CMF .
∵∠DPE +∠AEM =90°,∠CMF +∠MFC =90°,∠DPE =∠MPC , ∴∠DPE =∠MFC ,∠MPC =∠MFC . ∵∠PCM =∠OCF =45°, ∴△MPC ∽△OFC ,∴MP OF =MC OC
, ∴MC PM =OC OF ,∴OM PO =
OC
OF
.∵∠POF =∠MOC ,
∴△POF ∽△MOC ,∴∠PFO =∠MCO =45°, ∴△PFM 是等腰直角三角形.
②∵△PFM 是等腰直角三角形,设FM =y , 由勾股定理可知PF =PM =
22
y , ∴△PFM 的周长为(1+2)y . ∵2<y <4,
∴△PFM 的周长的取值范围为2+22<(1+2)y <4+4 2.
第二部分 专题四 类型二
1.(2018·重庆)如图,在□ABCD 中,∠ACB =45°,点E 在对角线AC 上,BE =BA ,BF ⊥AC 于点F ,BF 的延长线交AD 于点G ,点H 在BC 的延长线上,且CH =AG ,连接EH .
(1)若BC =122,AB =13,求AF 的长; (2)求证:EB =EH .
(1)解:∵BF ⊥AC ,∴∠BFC =∠AFB =90°.。