平面直角坐标系
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D
E
120m
C
60 3m
45o 50m 60o A) 60m B A(O
x
二、极坐标系 极坐标(,)与(,＋2k)(k∈Z)表示 同一个点.特别地，极点O的坐标为(0,) ( ∈R).和直角坐标不同，平面内一个 点的极坐标有无数种表示. 如果规定＞0，0≤＜2，那么除 极点外，平面内的点可用惟一的极坐标 (,)表示；同时，极坐标表示的点(,) 也是惟一确定的.
x x ② y 3 y 我们把②式叫做平面直角坐标系中的一个标伸长变换.
问题3：怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=3sin2x? y 在正弦曲线y=sinx上任取一 点P(x, y)，保持纵坐标不变， 将横坐标x缩为原来的1/2; O x 在此基础上，将纵坐标变为原来的 3倍，就得到正弦曲线y=3sin2x. 即在正弦曲线y=sinx上任取一点P(x,y)，若设点 P(x,y)经变换得到点为P’(x’, y’)，坐标对应关系 为: 1
5 6
2 3
2
B
A
3
6
2
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E
B A D
6
2
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4 3
C
3 2
5 3
11 6
4 3
C
F
3 2
5 3
11 6
例2、在图中，用点A，B，C，D，E
分别表示教学楼，体育馆，图书馆， 实验楼，办公楼的位置.建立适当的 极坐标系，写出各点的极坐标.
∵点M的直角坐标为 (1,
3)
y
M (1, 3)
θ
O x
P2
P1
o
2 2 PP 1 2 1 2 2 1 2 cos( 2 1 )
x
在极坐标系中，任意两点P 推广： 1 ( 1 , 1 ), P 2 ( 2 , 2 )的距离为：
从这向北 2000米。
问题2：怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=3sinx? y 在正弦曲线上任取一点P(x, y), 保持横坐标x不变，将纵坐标伸长 为原来的3倍，就得到曲线y=3sinx. O 上述变换实质上就是一个坐标的伸长变换. 即：设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，
2 x
设P(x, y)是平面直角坐标系中任意一点，保持横 坐标x不变，将纵坐标y伸长为原来的3倍，得到点P'(x', y'),坐标对应关系为：
x2 y 2 1. 得到经过伸缩变换后的图形的方程是 4 9
目标检测：
x' 2 x 后的点的坐标： 1求下列点经过伸缩变换 y' 3 y
①（1，2）；
②（-2，-1）.
x' y' 1 x 3 2 2 后的曲线方程是 4 x ' 9 y ' 1 y 2
P9问题探究
下图是某校园的平面示意图.假设某 同学在教学楼处，请回答下列问题： o (1)他向东偏北60 方向走120m后 实验楼 图书馆 到达什么位置？ D C 该位置惟一确定吗？ (2)如果有人打听 120m 体育馆和办公楼的位 办公楼 E 45o 置，他应如何描述？ o 50m 60
60m 体育馆 教学楼
2曲线C经过伸缩变换 则曲线C的方程是
36
. ）
3、将点（2，3）变成点（3，2）的伸缩变换是（
x' A y' 2 x 3 3 y 2
x' B y' 3 x 2 2 y 3
x' y C y' x
x' x 1 D y' y 1
因为BE =(x/2-c,y/2)， CF =(c/2-x,-y)， 所以 BE CF (x/2-c,y/2)〃(c/2-x,-y)
=-(2x2+2y2+2c2-5cx)/4=0 因此，BE与CF互相垂直.
问题二：平面直角坐标系中的伸缩变换
问题1：怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=sin2x?
A
B
1、极坐标系的建立
在生活中人们经常用方向和距离来表示一点的位置 。这种用方向和距离表示平面上一点的位置的思想，就 是极坐标的基本思想。
在平面内取一个定点O，叫做极点。 引一条射线Ox，叫做极轴。 再选定一个长度单位和角 度单位及它的正方向（通常取 逆时针方向）。
O
x
这样就建立了一个极坐标系。
2、极坐标系内一点的极坐标的规定
y
O
2 x
在正弦曲线y=sinx上任取一点P(x, y)，保持纵坐标不变，将 横坐标x缩为原来的1/2，就得到正弦曲线y=sin2x. 上述变换实质上就是一个坐标的压缩变换. 即：设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点， 保持纵坐标y不变，将横坐标x缩为原来1/2，得到点P'(x', y')， 坐标对应关系为： 1 x x 我们把①式叫做平面直角坐标系中 ① 2 的一个坐标压缩变换. y y
请问：去菜 市场怎么走？
请分析上面这句话，他告诉了问路人什么？
从 这 向 北 走 2 0 0 0 米 ！
出发点
方向
距离
在生活中人们经常用方向和距离来表示 一点的位置。这种用方向和距离表示平面上 一点的位置的思想，就是极坐标的基本思想 。
谢谢观赏
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y
C
A O
x
以接报中心为原点O，以BA方向为x轴，建立直角坐 标系.设A、B、C分别是西、东、北观测点， 则 A(1020,0),B(－1020,0),C(0,1020)， 设P（x,y）为巨响为发生点， y 由B、C同时听到巨响声，得 C |PC|=|PB|，故P在BC的垂直平分线PO上， P 即 P (680 5,y= 680 PO 的方程为 －x5), ， 故PO 680 10 B o 10 Amx 因 A 点比 B 点晚 4s 听到爆炸声， 0 680 答:巨响发生在信息中心的西偏北45 , 距中心 . 故|PA|－|PB|=340×4=1360 x2 y2 由双曲线定义P点在以A, B为焦点的双曲线 2 2 1 上. a b a=680, c=1020, b2=c2-a2=10202-6802=5×3402.
人教A版高中数学选修4-4
第一讲 坐标系
一、平面直角坐标系 二、极坐标系
一、平面直角坐标系
1、声响定位问题（平面直角坐标系） 某中心接到其正东、 正西、正北方向三个观测 点的报告：正西、正北两 个观测点同时听到一声巨 响，正东观测点听到巨响 的时间比其他两个观测点 晚4s，已知各观测点到中 P 心的距离都是1020m，试 确定该巨响的位置。(假定 B 当时声音传播的速度为 340m/s，各相关点均在同 一平面上).
例1、已知△ABC的三边a, b, c满足b2+c2=5a2,BE,CF分
别为边AC, CF上的中线，建立适当的平面直角坐标系探 y 究BE与CF的位置关系. C 解：以△ABC的顶点Ａ为原点Ｏ, 边AB所在的直线x轴，建立直角坐 E 标系，由已知，点A、B、F的坐标 分别为 Bx A(0,0),B(c,0),F(c/2,0). O (A) F 设C点坐标为(x,y)，则点E的坐标为(x/2,y/2)， 由b2+c2=5a2，|AC|2+|AB|2=5|BC|2， 即x2+y2+c2=5[(x-c)2+y2]， 所以2x2+2y2+2c2-5cx=0.
4 曲线 x y 2 x 0 变成曲线 x' 16 y' 4 x' 0
2 2
2
2
的伸缩变换是
.
x' 2 x x' 2 x 与伸缩变换 y' 2 y 的作用下， 5 在伸缩变换 y' y
单位圆x 2 y 2 1 分别变成什么图形？
二、极坐标系
x2 y2 所以双曲线的方程为： 2 1( x 0) 2 680 5 340
用y=－x代入上式，得 x 680 5, y 680 5,
一、平面直角坐标系
1、声响定位问题（平面直角坐标系）
坐标法
建系时，根据几何特点选择适当的直角坐标系， 注意以下原则： (1)如果图形有对称中心，可以选对称中心为坐标原点； (2)如果图形有对称轴，可以选择对称轴为坐标轴； (3)使图形上的特殊点尽可能多的在坐标轴上.
x x 2 y 3 y
③
把这样的变换叫做平面直角坐标系中的一个坐标伸缩变换.
2、平面直角坐标系中的伸缩变换 设P(x, y)是平面直角坐标系中任意一点，在 变换: x ' x ( 0)
:
y' y ( 0)
的作用下，点P(x, y) 对应P'(x',y').
x cos , y sin .
由①又可得到下面的关系式：
①
y
y x y , tan ( x 0) O x
2 2 2
x
N
M y
x
3、极坐标和直角坐标的互化 设点M的直角坐标是(x,y)，极坐标是(ρ,θ) M 极坐标转化为直角坐标： x=ρcosθ, y=ρsinθ
1 x 2 1 y 3 x x 2 x 得到 解：(1)由伸缩变换 y y 3y
x (2)将 y 1 x 2 2 2 1 代入x +y =1， y 3
,代入2x+3y=0;
得到经过伸缩变换后的图形的方程是 x y 0 ；
对于平面上任意一点M，用 表示线段OM的长度， 用 表示从OX到OM 的角度， 叫做点M的极径，叫做点M 的极角，有序数对（，） O 就叫做M的极坐标。
M
X
注：（1）一般地，我们取 0，0 2 .
（2）当M在极点时，它的极坐标为（0，θ ） ，可取任意值.
例1、如图，在极坐标系中，写出点A， B，C的极坐标，并标出点 D ( 2, )， 6 3 5 E (4, )，F ( 3.5, ) 所在的位置？ 4 3
3、极坐标和直角坐标的互化
思考：平面内的一个点既可以用直角坐标表示，也可
以用极坐标表示.那么，这两种坐标之间有什么关系呢？ 把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为 极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位. 设M是平 面内任意一点，它的直角坐标是(x,y)极坐标是(,). 从下图可以得出它们之间的关系：
直角坐标转化为极坐标：
O X
2
即 x y，
2 2 2
x y
2
y tan ( x 0) x
2 例3、将点M的极坐标 (5, ) 化成直角坐标. 3
解:
所以, 点M的直角坐标为
例4、平面内的一点M的直角坐标为(1, 3 )，
则点M如何用极坐标表示?
解：设点M的极坐标为(ρ ,θ )
称 为平面直角坐标系中的伸缩变换.
上述①②③都是坐标伸缩变换，在它们的作用下,可 以实现平面图形的伸缩. ① 0, 0 ②把图形看成点的运动轨迹，平面图形的伸缩变换 可以用坐标伸缩变换得到； ③在伸缩变换下，平面直角坐标系不变，在同一直 角坐标系下进行伸缩变换。
例2、在直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过 伸缩变换: x 2 x y 3 y 后的图形. (1)2x+3y=0; (2)x2+y2=1.
D
E
120m
C
60 3m
45o 50m 60o A) 60m B A(O
x
二、极坐标系 极坐标(,)与(,＋2k)(k∈Z)表示 同一个点.特别地，极点O的坐标为(0,) ( ∈R).和直角坐标不同，平面内一个 点的极坐标有无数种表示. 如果规定＞0，0≤＜2，那么除 极点外，平面内的点可用惟一的极坐标 (,)表示；同时，极坐标表示的点(,) 也是惟一确定的.
x x ② y 3 y 我们把②式叫做平面直角坐标系中的一个标伸长变换.
问题3：怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=3sin2x? y 在正弦曲线y=sinx上任取一 点P(x, y)，保持纵坐标不变， 将横坐标x缩为原来的1/2; O x 在此基础上，将纵坐标变为原来的 3倍，就得到正弦曲线y=3sin2x. 即在正弦曲线y=sinx上任取一点P(x,y)，若设点 P(x,y)经变换得到点为P’(x’, y’)，坐标对应关系 为: 1
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B
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B A D
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C
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C
F
3 2
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例2、在图中，用点A，B，C，D，E
分别表示教学楼，体育馆，图书馆， 实验楼，办公楼的位置.建立适当的 极坐标系，写出各点的极坐标.
∵点M的直角坐标为 (1,
3)
y
M (1, 3)
θ
O x
P2
P1
o
2 2 PP 1 2 1 2 2 1 2 cos( 2 1 )
x
在极坐标系中，任意两点P 推广： 1 ( 1 , 1 ), P 2 ( 2 , 2 )的距离为：
从这向北 2000米。
问题2：怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=3sinx? y 在正弦曲线上任取一点P(x, y), 保持横坐标x不变，将纵坐标伸长 为原来的3倍，就得到曲线y=3sinx. O 上述变换实质上就是一个坐标的伸长变换. 即：设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，
2 x
设P(x, y)是平面直角坐标系中任意一点，保持横 坐标x不变，将纵坐标y伸长为原来的3倍，得到点P'(x', y'),坐标对应关系为：
x2 y 2 1. 得到经过伸缩变换后的图形的方程是 4 9
目标检测：
x' 2 x 后的点的坐标： 1求下列点经过伸缩变换 y' 3 y
①（1，2）；
②（-2，-1）.
x' y' 1 x 3 2 2 后的曲线方程是 4 x ' 9 y ' 1 y 2
P9问题探究
下图是某校园的平面示意图.假设某 同学在教学楼处，请回答下列问题： o (1)他向东偏北60 方向走120m后 实验楼 图书馆 到达什么位置？ D C 该位置惟一确定吗？ (2)如果有人打听 120m 体育馆和办公楼的位 办公楼 E 45o 置，他应如何描述？ o 50m 60
60m 体育馆 教学楼
2曲线C经过伸缩变换 则曲线C的方程是
36
. ）
3、将点（2，3）变成点（3，2）的伸缩变换是（
x' A y' 2 x 3 3 y 2
x' B y' 3 x 2 2 y 3
x' y C y' x
x' x 1 D y' y 1
因为BE =(x/2-c,y/2)， CF =(c/2-x,-y)， 所以 BE CF (x/2-c,y/2)〃(c/2-x,-y)
=-(2x2+2y2+2c2-5cx)/4=0 因此，BE与CF互相垂直.
问题二：平面直角坐标系中的伸缩变换
问题1：怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=sin2x?
A
B
1、极坐标系的建立
在生活中人们经常用方向和距离来表示一点的位置 。这种用方向和距离表示平面上一点的位置的思想，就 是极坐标的基本思想。
在平面内取一个定点O，叫做极点。 引一条射线Ox，叫做极轴。 再选定一个长度单位和角 度单位及它的正方向（通常取 逆时针方向）。
O
x
这样就建立了一个极坐标系。
2、极坐标系内一点的极坐标的规定
y
O
2 x
在正弦曲线y=sinx上任取一点P(x, y)，保持纵坐标不变，将 横坐标x缩为原来的1/2，就得到正弦曲线y=sin2x. 上述变换实质上就是一个坐标的压缩变换. 即：设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点， 保持纵坐标y不变，将横坐标x缩为原来1/2，得到点P'(x', y')， 坐标对应关系为： 1 x x 我们把①式叫做平面直角坐标系中 ① 2 的一个坐标压缩变换. y y
请问：去菜 市场怎么走？
请分析上面这句话，他告诉了问路人什么？
从 这 向 北 走 2 0 0 0 米 ！
出发点
方向
距离
在生活中人们经常用方向和距离来表示 一点的位置。这种用方向和距离表示平面上 一点的位置的思想，就是极坐标的基本思想 。
谢谢观赏
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y
C
A O
x
以接报中心为原点O，以BA方向为x轴，建立直角坐 标系.设A、B、C分别是西、东、北观测点， 则 A(1020,0),B(－1020,0),C(0,1020)， 设P（x,y）为巨响为发生点， y 由B、C同时听到巨响声，得 C |PC|=|PB|，故P在BC的垂直平分线PO上， P 即 P (680 5,y= 680 PO 的方程为 －x5), ， 故PO 680 10 B o 10 Amx 因 A 点比 B 点晚 4s 听到爆炸声， 0 680 答:巨响发生在信息中心的西偏北45 , 距中心 . 故|PA|－|PB|=340×4=1360 x2 y2 由双曲线定义P点在以A, B为焦点的双曲线 2 2 1 上. a b a=680, c=1020, b2=c2-a2=10202-6802=5×3402.
人教A版高中数学选修4-4
第一讲 坐标系
一、平面直角坐标系 二、极坐标系
一、平面直角坐标系
1、声响定位问题（平面直角坐标系） 某中心接到其正东、 正西、正北方向三个观测 点的报告：正西、正北两 个观测点同时听到一声巨 响，正东观测点听到巨响 的时间比其他两个观测点 晚4s，已知各观测点到中 P 心的距离都是1020m，试 确定该巨响的位置。(假定 B 当时声音传播的速度为 340m/s，各相关点均在同 一平面上).
例1、已知△ABC的三边a, b, c满足b2+c2=5a2,BE,CF分
别为边AC, CF上的中线，建立适当的平面直角坐标系探 y 究BE与CF的位置关系. C 解：以△ABC的顶点Ａ为原点Ｏ, 边AB所在的直线x轴，建立直角坐 E 标系，由已知，点A、B、F的坐标 分别为 Bx A(0,0),B(c,0),F(c/2,0). O (A) F 设C点坐标为(x,y)，则点E的坐标为(x/2,y/2)， 由b2+c2=5a2，|AC|2+|AB|2=5|BC|2， 即x2+y2+c2=5[(x-c)2+y2]， 所以2x2+2y2+2c2-5cx=0.
4 曲线 x y 2 x 0 变成曲线 x' 16 y' 4 x' 0
2 2
2
2
的伸缩变换是
.
x' 2 x x' 2 x 与伸缩变换 y' 2 y 的作用下， 5 在伸缩变换 y' y
单位圆x 2 y 2 1 分别变成什么图形？
二、极坐标系
x2 y2 所以双曲线的方程为： 2 1( x 0) 2 680 5 340
用y=－x代入上式，得 x 680 5, y 680 5,
一、平面直角坐标系
1、声响定位问题（平面直角坐标系）
坐标法
建系时，根据几何特点选择适当的直角坐标系， 注意以下原则： (1)如果图形有对称中心，可以选对称中心为坐标原点； (2)如果图形有对称轴，可以选择对称轴为坐标轴； (3)使图形上的特殊点尽可能多的在坐标轴上.
x x 2 y 3 y
③
把这样的变换叫做平面直角坐标系中的一个坐标伸缩变换.
2、平面直角坐标系中的伸缩变换 设P(x, y)是平面直角坐标系中任意一点，在 变换: x ' x ( 0)
:
y' y ( 0)
的作用下，点P(x, y) 对应P'(x',y').
x cos , y sin .
由①又可得到下面的关系式：
①
y
y x y , tan ( x 0) O x
2 2 2
x
N
M y
x
3、极坐标和直角坐标的互化 设点M的直角坐标是(x,y)，极坐标是(ρ,θ) M 极坐标转化为直角坐标： x=ρcosθ, y=ρsinθ
1 x 2 1 y 3 x x 2 x 得到 解：(1)由伸缩变换 y y 3y
x (2)将 y 1 x 2 2 2 1 代入x +y =1， y 3
,代入2x+3y=0;
得到经过伸缩变换后的图形的方程是 x y 0 ；
对于平面上任意一点M，用 表示线段OM的长度， 用 表示从OX到OM 的角度， 叫做点M的极径，叫做点M 的极角，有序数对（，） O 就叫做M的极坐标。
M
X
注：（1）一般地，我们取 0，0 2 .
（2）当M在极点时，它的极坐标为（0，θ ） ，可取任意值.
例1、如图，在极坐标系中，写出点A， B，C的极坐标，并标出点 D ( 2, )， 6 3 5 E (4, )，F ( 3.5, ) 所在的位置？ 4 3
3、极坐标和直角坐标的互化
思考：平面内的一个点既可以用直角坐标表示，也可
以用极坐标表示.那么，这两种坐标之间有什么关系呢？ 把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为 极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位. 设M是平 面内任意一点，它的直角坐标是(x,y)极坐标是(,). 从下图可以得出它们之间的关系：
直角坐标转化为极坐标：
O X
2
即 x y，
2 2 2
x y
2
y tan ( x 0) x
2 例3、将点M的极坐标 (5, ) 化成直角坐标. 3
解:
所以, 点M的直角坐标为
例4、平面内的一点M的直角坐标为(1, 3 )，
则点M如何用极坐标表示?
解：设点M的极坐标为(ρ ,θ )
称 为平面直角坐标系中的伸缩变换.
上述①②③都是坐标伸缩变换，在它们的作用下,可 以实现平面图形的伸缩. ① 0, 0 ②把图形看成点的运动轨迹，平面图形的伸缩变换 可以用坐标伸缩变换得到； ③在伸缩变换下，平面直角坐标系不变，在同一直 角坐标系下进行伸缩变换。
例2、在直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过 伸缩变换: x 2 x y 3 y 后的图形. (1)2x+3y=0; (2)x2+y2=1.