2020年春学期高二数学(文)期末考试试卷(含答案)

2020年春学期高二数学（文）期末考试试卷（含答案）
满分150分，考试时间120分钟
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知i 为虚数单位，则2
(1)i -的值等于 ( ) A.22i - B.22i +
C.2i -
D.2i
2.函数3
y
x x 的递增区间是（）
A.),(+∞-∞B ．)1,(-∞C ．),0(+∞D ．),1(+∞
3.上海地铁2号线早高峰时每隔
4.5分钟一班，其中含列车在车站停留的0.5分钟，假设乘客到达站台的时刻是随机的，则该乘客到达站台立即能乘上车的概率为（ ）
A ．
7
1
B ．
8
1 C ．
9
1 D ．
10
1 4.曲线的极坐标方程为ρ＝4sin θ，化成直角坐标方程为( ) A ．4)2(2
2
=++y x
B ．4)2-(2
2
=+y x
C ．
42-2
2=+y x ）（ D ．
422
2=++y x ）（ 5.欧阳修在《卖油翁》中写道：“(翁)乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿”，可见卖油翁的技艺之高超，若铜钱直径3cm ，中间有边长为1cm 的正方形小孔，随机向铜钱上滴一滴油（油滴大小忽略不计)，则油恰好落入孔中的概率是（ ） A ．
1
4π
B ．
12π
C ．
49π
D ．
2π
6.已知椭圆14
:2
22=+
y a x C 的一个焦点为(2,0)，则C 的离心率为（ ） A.
31
B ．
21
C.
2
2 D ．
3
2
2 7.下面四个推理不是．．合情推理的是( ) A ．由圆的性质类比推出球的有关性质
B ．由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和都是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°
C ．某次考试张军的成绩是100分，由此推出全班同学的成绩都是100分
D ．蛇、海龟、蜥蜴是用肺呼吸的，蛇、海龟、蜥蜴是爬行动物，所以所有的爬行动物都是用肺呼吸的
8.已知双曲线22
:
1916
x y C -=的左右焦点分别为12,F F ，P 为C 的右支上一点，且212PF F F =，则12PF F ∆的面积等于( ) A.24
B.36
C.48
D.96
9．点M 的直角坐标是(1,3)-，则点M 的极坐标为（ ） A ．(2,
)3π
B ．(2,)3π
-
C ．2(2,
)3π D ．(2,2),()3
k k Z π
π+∈ 10.对一批产品的长度(单位:毫米)进行抽样检测,下图为检测结果的频率分布直方图.根据标准,产品
长度在区间[20,25)上为一等品,在区间[15,20)和[25,30)上为二等品,在区间[10,15)和[30,35]上为三等品.用频率估计概率,现从该批产品中随机抽取1件,则其为二等品的概率是( )
A.0.09
B.0.20
C.0.25
D.0.45
11.某地区经过一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍,实现翻番.为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况,统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例.得到如下饼图:
则下面结论中不正确．．．的是( ) A.新农村建设后,种植收入减少
B.新农村建设后,其他收入增加了一倍以上
C.新农村建设后,养殖收入增加了一倍
D.新农村建设后,养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
12．为了研究某班学生的脚长x(单位:厘米)和身高y(单位:厘米)的关系,从该班随机抽取10名学生,
根据测量数据的散点图可以看出y 与x 之间有线性相关关系.设其回归直线方程为ˆy =ˆb x+ˆa .已知10
21
i i x =∑=225,10
i 1
i y =∑=1 600,ˆb
=4.该班某学生的脚长为24,据此估计其身高为( ) A.160 B.163 C.166 D.170
第II 卷
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，将正确答案填在题中横线上)
13．椭圆
{
φφ
cos 3sin 5==x y ，(φ是参数)的离心率是
14. 从字母a ,b ,c ,d ,e 中任取两个不同字母,则取到字母a 的概率为 15. 如果复数
i
bi
212+-的实部和虚部互为相反数，那么实数b 的值为 16. 已知函数f 1(x )＝sin x －cos x ,f 2(x )＝f 1′(x ),f 3(x )＝f ′2(x ),……,f n (x )＝f n －1′(x ),则f 2020(x )＝____. 三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17. (本小题满分10分)设函数x
e x
f x
=)(，求函数)(x f 的单调区间．
18.(本小题满分12分)甲、乙两人下棋,和棋的概率为12
,乙获胜的概率为13
,求:
(1)甲获胜的概率; (2)甲不输的概率. 19.(本小题满分12分)
某校随机抽取20名学生在一次知识竞赛中的成绩(均为整数)，并绘制频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据分组区间为：[40,50)、[50,60)、[60,70)、[70,80)、[80,90)、[90,100]．
(1)求频率分布直方图中x 的值；
(2)估计这次知识竞赛成绩的合格率(60分及以上为合格)；
(3)从成绩在[40,60)的学生中任选2人，求此2人的成绩在同一分组区间的概率．
20.(本小题满分12分)已知曲线C 1的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝4＋5cos t ，
y ＝5＋5sin t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.
(1)把C 1的参数方程化为极坐标方程；
(2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．
21.(本小题满分12分)有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩后，得到如下的列联表.
已知从全部105人中随机抽取1人为优秀的概率为7
(1)请完成上面的列联表；
(2)根据列联表的数据，若按95%的可靠性要求，能否认为“成绩与班级有关系”；
(3)若按下面的方法从甲班优秀的学生中抽取一人：把甲班优秀的10名学生从2到11进行编号，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数之和为被抽取人的序号．试求抽到6号或10号的概率．
附：()()()()()
2
2n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++为样本容量．
22.(本小题满分12分)已知椭圆22221(0,0)x y a b a b +=>>的离心率为1
2
，两焦点之间的距离为4.
（I ）求椭圆的标准方程；
（II ）过椭圆的右顶点作直线交抛物线2
4y x =于A 、B 两点，
（1）求证：OA ⊥OB ；
（2）设OA 、OB 分别与椭圆相交于点D 、E ，过原点O 作直线DE 的垂线OM ，垂足为M ，
证明|OM|为定值.
答案
1-5 CACBC 6-10 CCCCD 11-12 AC
13 45 14 5
2 15 －2
3 16 x x sin cos --
17 解析：f ′(x )＝－1x 2e x ＋1
x e x ＝x －1x
2e x ，由f ′(x )＝0，得x ＝1.
因为当x ＜0时，f ′(x )＜0；当0＜x ＜1时，f ′(x )＜0；当x ＞1时，f ′(x )＞0，所以f (x )的单调递增区间是[1，＋∞)，单调递减区间是(－∞，0)，(0，1]．
18解:(1)“甲获胜”和“和棋或乙获胜”是对立事件,所以“甲获胜”的概率P=1-12
-13
=16
. (2)法一 设事件A 为“甲不输”,可看成是“甲获胜”“和棋”这两个互斥事件的并事件,所以P(A)=16
+12
=23
.
法二 设事件A 为“甲不输”,可看成是“乙获胜”的对立事件,所以P(A)=1-1
3
=23
.
19.[解析] (1)由题意，得(0.010＋0.020＋0.030＋0.020＋x ＋0.005)×10＝1， 解得x ＝0.015.
(2)估计这次竞赛成绩的合格率为：
(0.030＋0.020＋0.015＋0.005)×10×100%＝70%.
(3)成绩在区间[40,50)人数为0.1×20＝2人，记为A 1、A 2； 成绩在区间[50,60)人数为0.2×20＝4人，记为B 1、B 2、B 3、B 4.
从成绩在[40,60)的学生中任选2人的所有基本事件有：(A 1，A 2)、(A 1，B 1)、(A 1，B 2)、(A 1，B 3)、(A 1，B 4)、(A 2，B 1)、(A 2，B 2)、(A 2，B 3)、(A 2，B 4)、(B 1，B 2)、(B 1，B 3)、(B 1，B 4)、(B 2，B 3)、(B 2，B 4)、(B 3，B 4)共15个．
根据题意，这些基本事件的出现是等可能的．
事件“2人的成绩在同一分组区间”所包含的基本事件是：
(A 1，A 2)、(B 1，B 2)、(B 1，B 3)、(B 1，B 4)、(B 2，B 3)、(B 2，B 4)、(B 3，B 4)共7个． ∴此2人的成绩在同一分组区间的概率为P ＝7
15
.
20.【解】 (1)将⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝4＋5cos t ，
y ＝5＋5sin t 消去参数t ，化为普通方程(x －4)2＋(y －5)2＝25，即C 1：x 2
＋y 2－8x －10y ＋16＝0.
将⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0得 ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.
所以C 1的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. (2)C 2的普通方程为x 2＋y 2－2y ＝0.
由⎩⎪⎨⎪⎧
x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0，x 2＋y 2－2y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝1或⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝0，y ＝2. 所以C 1与C 2交点的极坐标分别为(2，π4)，(2，π2)．
21.解 (1)
(2)k ＝105×(10×30－20×45)
2
55×50×30×75≈6.109＞3.841，
因此有95%的把握认为“成绩与班级有关系”．
(3)设“抽到6号或10号”为事件A ，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数为(x ，y )，则所有的基本事件有(1,1)、(1,2)、(1,3)、…、(6,6)，共36个．
事件A 包含的基本事件有(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，(4,6)，(5,5)，(6,4)，共8个，
∴P (A )＝836＝2
9
.
22.【答案】解：（Ⅰ）由⎪⎩⎪
⎨⎧==,2
1,
42a c c 得42a c =⎧⎨=⎩，故122=b ．
所以，所求椭圆的标准方程为
22
11612
x y +=． （Ⅱ）（1）设过椭圆的右顶点()0,4的直线AB 的方程为4+=my x ．
代入抛物线方程24y x =，得2
4160y my --=．
设()11,y x A 、()22,y x B ，则⎩⎨
⎧-==+.
16,
42121y y m y y
∴()()1212121244x x y y my my y y +=+++＝()
()212121416m y y m y y ++++＝0． ∴OB OA ⊥． ……………………（8分）
（2）设()33,y x D 、()44,y x E ，直线DE 的方程为λ+=ty x ，代入
22
11612
x y +=，得 ()0483643222=-+++λλy t y t ． 于是4
348
3,4362243243+-=+-=+t y y t t y y λλ．
从而()()4
34842
2
24343+-=++=t t ty ty x x λλλ
OE OD ⊥ ，04343=+∴y y x x ．
代入，整理得(
)
14872
2
+=t λ． ∴原点到直线DE 的距离7
21
412
=
+=
t d λ
为定值．。