人教版八年级下册正方形的性质

∵四边形ABCD是正方形. ∴BC=DC,∠BCE =90° . ∴∠DCF=180°-∠BCE=90°. ∴∠BCE=∠DCF.
E
F
B
C
又∵CE=CF.
∴△BCE≌△DCF.
∴BE=DF.
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延长BE交DE于点M, ∵△BCE≌△DCF , ∴∠CBE =∠CDF. ∵∠DCF =90° , ∴∠CDF +∠F =90°, ∴∠CBE+∠F=90° , ∴∠BMF=90°. ∴BE⊥DF.
∴FC＝BE. 在Rt△ABC中，AC AB2 BC2 2cm, ∴FC＝AC－AF＝( 2 －1)cm， ∴BE＝( 2 －1)cm．
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6. 如图，在正方形ABCD中,E为CD上一点，F为BC边
延长线上一点,且CE=CF. BE与DF之间有怎样的关系？
请说明理由.
A
D
解：BE=DF,且BE⊥DF.理由如下：
有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形
叫正方形.
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证一证 已知：如图,四边形ABCD是正方形. 求证：正方形ABCD四边相等,四个角都是直角.
证明：∵四边形ABCD是正方形.
∴∠A=90°, AB=AC （正方形的定义）.
又∵正方形是平行四边形.
∴正方形是矩形（矩形的定义）, A
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例3 如图，在正方形ABCD中，P为BD上一点，
PE⊥BC于E， PF⊥DC于F.试说明：AP=EF.
解: 连接PC，AC. ∵四边形ABCD是正方形,
A
∴∠FCE=90°, AC垂直平分BD,
D PF
∴AP=PC.
又∵PE⊥BC ， PF⊥DC, ∴四边形PECF是矩形,
B
EC
∴PC=EF. ∴AP=EF.
AE平分∠BAC，EF⊥AC，求BE的长．
解：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠B＝90°，∠ACB＝45°，AB＝BC＝1cm.
∵EF⊥AC，∴∠EFA＝∠EFC＝90°.
又∵∠ECF＝45°， ∴△EFC是等腰直角三角形，∴EF＝FC.
∵∠BAE＝∠FAE，∠B＝∠EFA＝90°，AE＝AE，
∴△ABE≌△AFE， ∴AB＝AF＝1cm，BE＝EF.
易错提醒：因为等边△ADE与正方形ABCD有一条公共 边，所以边相等．本题分两种情况：等边△ADE在正 方形的外部或在正方形的内部．
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【变式题2】 如图，在正方形ABCD内有一点P满足
AP=AB，PB=PC，连接AC、PD．
（1）求证：△APB≌△DPC；
解：∵四边形ABCD是正方形，
A.四条边相等
B.对角线互相垂直平分
C.对角线平分一组对角
D.对角线相等
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3.如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC与BD 相交于点O，AO＝2，求正方形的周长与面积．
解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AC⊥BD，OA＝OD＝2. 在Rt△AOD中，由勾股定理，得 AD AO2 OD2 2 2, ∴正方形的周长为4AD＝ 8 2， 面积为AD2＝8.
第十八章 平行四边形
18.2.3 正方形
第1课时 正方形的性质
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讲授新课
当堂练习
课堂小结
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新课导入
✓ 教学目标 ✓ 教学重点
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学习目标
. 2.探索并证明正方形的性质，并了解平行四边形、
矩形、菱形之间的联系和区别.(重点、难点) 3.会应用正方形的性质解决相关证明及计算问题. （难点）
A D 。因此，重视对学生进行记法指导，使其能够容易记忆，这是初中数学教学的必然要求。
(3)定时定量做一些客观题和中档题，训练速度和正确率，适量做一些综合题，提高解题思维能力。并及时总结、记忆，内化提高。 (3)数列。此专题中数列是重点，同时也要注意数列与其他知识交汇问题的训练。 9 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 第二十七章 相似：是在前面研究图形的全等和一些全等变换基础上的拓广与发展。全章共分三小节内容。第一小节“图形的相似”主要 介绍相似图形、相似多边形的概念，并探索相似多边形的性质;第二小节“相似三角形”主要研究相似三角形的判定方法、相似三角形在 测量中的应用以及相似三角形的周长和面积;第三小节“位似”研究了一种特殊的相似——位似，研究了位似图形的画法以及平面直角坐 标系中的位似变换。 33 定理 2 如果两个图形关于某直线对称,那么对称轴是对应点连线的垂直平分线
E
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD,∠ABC=∠DCB=90°， B
C
∴AB=BE=CE=CD, ∠ABE= ∠DCE=30°，
∴△ABE，△DCE是等腰三角形，
∴∠BAE= ∠BEA= ∠CDE= ∠CED=75°，
∴∠EAD= ∠EDA=90°-75°=15°.
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【变式题1】四边形ABCD是正方形，以正方形 ABCD的一边作等边△ADE，求∠BEC的大小．
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✓ 当堂反馈 ✓ 即学即用
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当堂练习
1.平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的是（ A） A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直 C．对角线相等 D．对角线互相垂直且相等
2.一个正方形的对角线长为2cm，则它的面积是
（ A）
A.2cm2 B.4cm2
C.6cm2
∵∴∠BAPE=＝2∠∠FPAAEC，．∠B＝∠EFA＝90°，AE＝AE，
正∴∠方F形CE具=9有0而°, 菱AC形垂不直一平定分具B有D,的性质（ ）
正矩方形形 、的菱四形个之角间都的是联直系角和区,四别条.边相等.
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归纳总结 矩形
邻边相等
正方形
一个角是直角 菱形
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正方形
∟
正方形定义：
解：当等边△ADE在正方形ABCD外部时，如图①， AB＝AE，∠BAE＝90°＋60°＝150°.
∴∠AEB＝15°. 同理可得∠DEC＝15°. ∴∠BEC＝60°－15°－15°＝30°；
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当等边△ADE在正方形ABCD内部时，如图②， AB＝AE，∠BAE＝90°－60°＝30°， ∴∠AEB＝75°. 同理可得∠DEC＝75°. ∴∠BEC＝360°－75°－75°－60°＝150°. 综上所述，∠BEC的大小为30°或150°.
D.8cm2
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3．在正方形ABCD中,∠ADB= 45°,∠DAC= 45°, ∠BOC= 90°.
A
D
O
B
C
第3题图
A
D
O E
B
C
第4题图
4.在正方形ABCD中，E是对角线AC上一点，且AE=AB，
则∠EBC的度数是 22.5°.
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5.如图，正方形ABCD的边长为1cm，AC为对角线，
∴∠ACBCE+=∠DF=C9B0=°9,0°．
∴∠CBEBCE+＝∠6F0=°9－01° 5, °－15°＝30°； ∴AFC＝⊥ABCD－，AOFA＝＝(OD＝－21.)cm，
正方形
∴是△等AB腰E直，角△D三C角E形是,等并腰且三角形，
△∴A∠BAOB≌C-△∠BPCBOC=≌∠△DCCDBO-∠≌P△CDBA，O.
∴ △ABO、 △BCO、 △CDO、 △DAO都
O
是等腰直角三角形,并且 △ABO≌ △BCO ≌ △CDO ≌ △DAO. B
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C
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例2 如图，在正方形ABCD中， ΔBEC是等边三角形，
求证： ∠EAD＝∠EDA＝15° .
A
证明：∵ ΔBEC是等边三角形，
D
∴BE=CE=BC,∠EBC=∠ECB=60°，
归纳 在正方形的条件下证明两条线段相等：通常连接 对角线构造垂直平分的模型，利用垂直平分线性质，
角平分线性质，等腰三角形等来说明.
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练一练 1.正方形具有而矩形不一定具有的性质是
A.四个角相等
(B)
B.对角线互相垂直平分
C.对角互补
D.对角线相等
2.正方形具有而菱形不一定具有的性质（ D ）
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典例精析
例1 求证: 正方形的两条对角线把这个正方形分成四
个全等的等腰直角三角形.
已知: 如图,四边形ABCD是正方形,对角线AC、BD相
交于点O. 求证: △ABO、 △BCO、 △CDO、 △DAO是全等的
等腰直角三角形.
证明: ∵ 四边形ABCD是正方形,
A
D
∴ AC=BD,AC⊥BD,AO=BO=CO=DO.
对称性： 轴对称图形 .
对称轴： 4条
.
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归纳总结 平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系：
正 矩形 方 菱形
形
平行四边形
正方形是特殊的平行四边形,也是特殊的矩形,也是 特殊的菱形.所以矩形、菱形有的性质,正方形都有.
性质：1.正方形的四个角都是直角,四条边相等.
2.正方形的对角线相等且互相垂直平分.
∵四四边边形形AABBCCDD是是正正方方形形.，
如一图个， 正正方方形形的对AB角C线D的长边为长2c为m1，cm则，它A的C面为积对是角线，AE平分∠BAC，EF⊥AC，求BE的长．
第2. 十八章 平行四边形
第解十：八 ∵四章边平形行AB四C边D是形正方形，
正有方一形 组的邻四边个相角等都并是且直有角一个,四角条是边直相角等的. 平行四边形叫正方形.
B C 26 推论 2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形
24 等腰三角形的判定定理 如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(等角对等边) 3.第三轮复习，大约一个月的时间，也称为“策略篇”。老师主要讲述“选择题的解发、填空题的解法、应用题的解法、探究性命题的解 法、综合题的解法、创新性题的解法”，教给同学们一些解题的特殊方法，特殊技巧，以提高同学们的解题速度和应对策略为目的。 10 等腰三角形的性质定理 等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角)
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A
D
EM
B
CF
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课堂小结
✓ 归纳总结 ✓ 构建脉络
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正方形 的性质
课堂小结
定义
有一组邻边相等，并且有一个角 是直角的平行四边形叫做正方形.
性质
1.四个角都是直角 2.四条边都相等
3.对角线相等且互相垂直平分
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THANKS！
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讲授新课
✓ 典例精讲 ✓ 归纳总结
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讲授新课
正方形的性质 问题引入 问题1：矩形怎样变化后就成了正方形呢?你有什么
发现？
正矩方形 形
〃
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问题2 菱形怎样变化后就成了正方形呢?你有什么
发现？
∴B∠EC=DCFE+=∠BFC=,∠9E0°B,C=∠ECB=60°，
D
正方形是菱形(菱形的定义).
∴∠A=∠B =∠C =∠D = 90°, B
C
AB= BC=CD=AD.
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已知：如图,四边形ABCD是正方形.对角线AC、BD
相交于点O.求证：AO=BO=CO=DO,AC⊥BD.
A
D
O
B
C
证明：∵正方形ABCD是矩形,
∴AO=BO=CO=DO.
∵正方形ABCD是菱形.
∴AC⊥BD.
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思考 请同学们拿出准备好的正方形纸片,折一折,观
察并思考. 正方形是不是轴对称图形?如果是,那么对
称轴有几条? 数学思想和方法的考查必然要与数学知识的考查结合进行，在平时的做题中必须提炼出其中的数学思想方法，并以之指导自己的解题
。 初中学生由于正处在初级的逻辑思维阶段，知记知识时机械记忆的成分较多，理解记忆的成分较少，这就不能适应初中学生的新要求
∴∠ABC=∠DCB=90°．
∵PB=PC，
∴∠PBC=∠PCB．
∴∠ABC-∠PBC=∠DCB-∠PCB，
即∠ABP=∠DCP．
又∵AB=DC，PB=PC，
∴△APB≌△DPC．
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（2）求证：∠BAP=2∠PAC．
证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BAC=∠DAC=45°． ∵△APB≌△DPC， ∴AP=DP． 又∵AP=AB=AD， ∴DP=AP=AD． ∴△APD是等边三角形． ∴∠DAP=60°． ∴∠PAC=∠DAP-∠DAC=15°． ∴∠BAP=∠BAC-∠PAC=30°． ∴∠BAP=2∠PAC．