高考数学解析几何直线和圆锥曲线的位置关系

直线和圆锥曲线的位置关系
编稿：林景飞审稿：张扬责编：严春梅
知识网络
目标认知
考试大纲要求：
使学生能灵活应用圆锥曲线的有关知识解决相关问题，培养数学理解能力及分析问题、解决问题的能力；
重点：
直线与圆锥曲线的三种位置关系的判断及直线与圆锥曲线相交有两个交点时弦长公式的应用。

难点：
直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用.
知识要点梳理
知识点一：直线与圆锥曲线的位置关系
直线与圆锥曲线的位置关系有三种：相交、相切、相离。

判断的方法均是把直线方程代入曲线方程中，判断方程解的个数，从而得到直线与曲线公共点的个数，最终得到直线与曲线的位置关系。

一般利用二次方程判别式来判断有无解，有几个解。

1．直线Ax+By+C＝0和椭圆的位置关系：
将直线的方程与椭圆的方程联立成方程组，消元转化为关于x或y一元二次方程，其判别式为Δ.
(1)Δ＞0直线和椭圆相交直线和椭圆有两个交点(或两个公共点）；
(2)Δ＝0直线和椭圆相切直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)；
(3)Δ＜0直线和椭圆相离直线和椭圆无公共点．
2．直线Ax+By+C＝0和双曲线的位置关系：
将直线的方程与双曲线的方程联立成方程组，消元转化为关于x或y的方程。

（一）若为一元一次方程，则直线和双曲线的渐近线平行，直线和双曲线只有一个交点，但不相切不是切点；
（二）若为一元二次方程，则
(1)若Δ＞0，则直线和双曲线相交，有两个交点(或两个公共点)；
(2)若Δ＝0，则直线和双曲线相切，有一个切点；
(3)若Δ＜0，则直线和双曲线相离，无公共点．
注意：
（1）Δ＞0直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有Δ＞0，当直线与双曲线的渐近线平行
时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故Δ＞0是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条
件；
（2）当直线与双曲线的渐近线不平行时，Δ=0直线与抛物线相切；
（3）如说直线和双曲线有一个公共点，则要考虑两种情况：一个切点和一个交点；当直线与双曲线的
渐近线平行时，直线与双曲线相交，但只有一个交点；
（4）过双曲线外一点的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下：
①P点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两
支相切的两条切线，共四条；
②P点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支
相切的两条切线，共四条；
③P在两条渐近线上但非原点，只有两条：一条是与另一渐近线平行的直线，一条是切线；
④P为原点时不存在这样的直线；
3．直线Ax+By+C＝0和抛物线y2＝2px(p＞0)的位置关系：
将直线的方程与抛物线的方程联立成方程组，消元转化为关于x或y方程。

（一）若方程为一元一次方程，则直线和抛物线的对称轴平行，直线和抛物线有一个交点，但不相切不是切点；
（二）若为一元二次方程，则
(1)若Δ＞0，则直线和抛物线相交，有两个交点(或两个公共点)；
(2)若Δ＝0，则直线和抛物线相切，有一个切点；
(3)若Δ＜0，则直线和抛物线相离，无公共点.
注意：
（1）Δ＞0直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有Δ＞0，当直线与抛物线的对称轴重合
或平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故Δ＞0也仅是直线与抛物线相交的充分条件，但
不是必要条件.
（2）当直线与抛物线的对称轴不重合或平行时，Δ=0直线与抛物线相切；
（3）如说直线和抛物线有一个公共点，则要考虑两种情况：一个切点和一个交点；当直线与抛物线的
轴平行时，直线与抛物线相交，也只有一个交点；
（4）过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直
线.
知识点二：圆锥曲线的弦
1.直线被圆锥曲线截得的线段称为圆锥曲线的弦。

当直线的斜率存在时，直线与圆锥曲线相交于，两点，
把直线方程代入曲线方程中，消元后所得一元二次方程为.则
弦长公式：
其中
当存在且不为零时, 弦长公式还可以写成：
注意：当直线的斜率不存在时，不能用弦长公式解决问题，
2.焦点弦：若弦过圆锥曲线的焦点叫焦点弦；
抛物线的焦点弦公式，其中为过焦点的直线的倾斜角.
3.通径：若焦点弦垂直于焦点所在的圆锥曲线的对称轴，此时焦点弦也叫通径.
抛物线的通径
知识点三：圆锥曲线的中点弦问题：
遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解.
①在椭圆中，以为中点的弦所在直线的斜率；
②在双曲线中，以为中点的弦所在直线的斜率；
③在抛物线中，以为中点的弦所在直线的斜率。

注意：因为Δ＞0是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验Δ＞0！
知识点四：曲线的方程和方程的曲线的关系
一般地，在直角坐标系中，如果某曲线（看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹）上的点与一个二元方程的实数解建立了如下的关系：
（1）曲线上所有点的坐标都是方程的解；
（2）以方程的解为坐标的点都在曲线上.
那么，方程叫做曲线的方程；曲线叫做方程的曲线.
知识点五：求曲线的方程
1. 定义：在直角坐标系中，用坐标表示点，把曲线看成满足某种条件的点的集合或轨迹，用曲线上点
的坐标（x，y）所满足的方程表示曲线，通过研究方程的性质间接地来
研究曲线的性
质.这就是坐标法.
2. 坐标法求曲线方程的步骤：
第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中涉及的几何因素，将平面几何问题
转化为代数问题；
第二步：通过代数运算，解决代数问题；
第三步：把代数运算结果“翻译”成几何结论.
通过坐标法，把点和坐标、曲线和方程联系起来，实现了形和数的统一.
用坐标法解决几何问题时，先用坐标和方程表示相应的几何对象，然后对坐标和方程进行代数讨
论；最后再把代数运算结果“翻译”成相应的几何结论.这就是用坐标法解决平面几何问题的“三步
曲”。

3．求轨迹方程的常用方法：直接法、定义法、代入法、参数法等。

规律方法指导
1．直线与圆锥曲线的位置关系的研究方法可通过代数方法即解方程组的办法来研究.
因为直线与圆锥曲
线有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方程组成的方程是否有实数解或实数解
的个数问题，此时要注意用好分类讨论和数形结合的思想方法.
2．直线与圆锥曲线的位置关系，是高考考查的重中之重.主要涉及弦长、弦中点、对称、参量的取值范
围、求曲线方程等问题.解题中要充分重视韦达定理和判别式的应用.
3．当直线与圆锥曲线相交时涉及弦长问题，常用“韦达定理法”设而不求计算弦长（即应用弦长公
式）；涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系
起来相互转化，同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半
功倍.解题的主要规律可以概括为“联立方程求交点，韦达定理求弦长，根的分布找范围，曲线定义
不能忘”.
4．解决直线与圆锥曲线的位置关系问题时，对消元后的一元二次方程，必须讨论二次项的系数和判别
式，有时借助于图形的几何性质更为方便。