垂径定理教案(改)

圆的基本性质复习课
----垂径定理
嘉善四中吴硕业
〖教学目标〗
◆1、使学生进一步掌握和理解垂径定理及其推论。

运用垂径定理解决有关弦、弧、弦心距以
及半径之间的证明和计算问题．
◆2、培养学生观察、分析的能力，会运用垂径定理解决与圆相关的问题，提高他们灵活地运
用所学知识解题的能力．并通过学习了解中考考点要求。

〖教学重点与难点〗
◆教学重点：垂径定理及其推论的运用。

构建直角三角形就解决圆中的计算问题。

◆教学难点：圆当中涉及的垂径定理的中考题较复杂并涉及到一些代数及其他方面的知识，
如10年嘉兴中考解答题。

〖教学过程〗
一、复习引入：
圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是对称轴。

引导学生回顾得出圆的垂径定理.
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．
垂径定理的几何语言
∵CD为直径，CD⊥AB（OC⊥AB）
∴EA=EB，AC=BC，AD=BD．
推论1平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
推论2 平分弧的直径垂直平分弧所对的弦
（教师对垂径定理进行初步小结概括）
辨一辨
（1）垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧. （2）平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的另一条弧. （3）经过弦的中点的直径一定垂直于弦.
（4）弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧.
二、例题讲解：
例1．如图，P为⊙O的弦BA延长线上一点，PA＝AB＝8，PO＝13，求⊙O的半径。

注意：
①关于弦的问题，常常需要过圆心作弦心距，这是一条非常重要的辅助线。

②弦心距、半径、半弦长构成直角三角形，便将问题转化为直角三角形的问题。

练一练：(09福建) 已知，如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于P点，∠APD = 45 ，
AP = 5，PB = 1。

求：CD的长。

例2.⊙O的半径为10cm，弦AB∥CD， AB=16cm，CD=12cm，则AB、CD间的距离是___________.
练一练：(03辽宁) 在半径为1的⊙O中，弦AB，AC
分别是
和则∠BAC的度数为 .
例3．（2011南充市）在圆柱形油槽内装有一些油。

截面如图，油面宽AB为6分米，如果再注入一些油后，油面AB上升1分米，油面宽变为8分米，圆柱形油槽直径MN 为（）
A.6分米
B.8分米
C.10分米
D.12分米
N
M
B
A
(南充)
三、巩固提高（链接中考）
1.已知:如图,AB,CD是⊙O直径,D是AC中点,AE与CD交于F,OF=3,则BE= . 2如图,DE ⊙O的直径,弦AB⊥DE,垂足为C,若AB=6,CE=1,则CD= ,OC= .
3.在半径为2cm的圆中,垂直平分半径的弦长为 .
F
O
D
C
A
B
E
C
O
A
E
B
D
(第1题) （第2题）
4.(2010江苏)已知：如图，有一圆弧形拱桥，拱的跨AB=16cm，拱高CD=4cm，那么拱形的半径是 cm.
5．（2011浙江）如图，小华同学设计了一个圆直径的测量器，标有刻度的尺子OA、OB在O点钉在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把O点靠在圆周上，读得刻度OE=8个单位，OF=6个单位，则圆的直径为（）
A.12个单位
B. 10个单位
C.4个单位
D. 15个单位
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合作研究
（2010嘉兴市）如图，已知⊙O 的半径为1，PQ 是⊙O 的直径，n 个相同的正三角形沿PQ 排成一列，所有正三角形都关于PQ 对称，其中第一个△A1B1C1的顶点A1与点P 重合，第二个△A2B2C2的顶点A2是B1C1与PQ 的交点，…，最后一个△AnBnCn 的顶点Bn 、Cn 在圆上．
(1)如图1，当n=1时，求正三角形的边长a1；
(2)如图2，当n=2时，求正三角形的边长a2；
(3)如图，求正三角形的边长an(用含n 的代数式表示）.
(进行小组合作讨论，如时间关系可放入课后研究)
五、小结
对这节课所学知识回顾总结
1、这节课你有那些收获?
2、还有哪些困惑?
师生共同总结： 1．本节课主要内容：（1）圆的轴对称性；（2）垂径定理．
2．垂径定理的应用：（1）作图；（2）计算和证明．
3．解题的主要方法：
（1）画弦心距是圆中常见的辅助线；
（2）半径（r ）、半弦、弦心距(d)组成的直角三角形是研究与圆有关问题的主要思路，
它们之间的关系：弦长222d r AB -=．
六、作业布置
复习课学案。