广东省清远市八年级数学下册 1.2 直角三角形导学案(1)
1.2直角三角形全等的判定(1)导学案
1.2 直角三角形全等的判定（1）班别： 姓名：学习目标：1.理解判定两个直角三角形全等可以用已经学过的全等三角形判定方法来判定.2.掌握“斜边、直角边”公理，并能利用公理来判定两个直角三角形全等。
重点：熟练掌握“斜边、直角边”公理难点：利用公理来判定两个直角三角形全等学习过程：【预习导学】：1．判定两个三角形全等方法： ， ， ，它们的共同点：2、判断：如图∠C ＝∠C ′＝90°,具有下列条件的Rt △ABC 与Rt △A ′B ′C ′是否全等？全等的在（ ）里填写理由；如果不全等的，在（ ）里打“×”：（1）AC ＝A ′C ′,∠A ＝A ′ （ ）（2）AC ＝A ′C ′，BC ＝B ′C （ ）（3）AB ＝A ′B ′，BC ＝B ′C （ ）（4）∠A ＝∠A ′，∠B ＝∠B ′（ ）（5）AC ＝A ′C ′，AB ＝A ′B ′（ ）3. 如图在△ABC 与△ADC 中，∠B ＝∠D ＝90°，若利用“AAS ”证明△ABC ≌△ADC ，则需添加条件 或 ；若利用“HL ”证明证明△ABC ≌△ADC ，则需添加条件或 . 4．直角三角形 (“是”/“不是”)三角形中的一类， (“具有”/“不 具有”)一般三角形所具有的性质,所以判定两个直角三角形全等可以 ， ， ， ， 。
【探究活动】：探究1． 证明：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
（简写为“H L ”） 已知，在△ABC 和△A ’B ’C ’中，∠ACB =∠A ’C ’B ’=90°，AB =A ’B ’，AC =A ’C ’，求证：△ABC ≌△A ’B ’C ’第3题图1、“HL ”公理是：有 相等的两个 三角形全等。
即：在应用“HL ”公理时，必须先得出两个 三角形，然后证明 对应相等。
2．注意：（1）“HL ”公理是仅适用于Rt △的特殊方法。
因此，判断两个直角三角形全等的方法除可以使用“ ”、“ ”、“ ”、“ ”外，还可以使用“HL ”。
八年级数学下册 第一章 三角形的证明 1.2.2 直角三角形导学案 (新版)北师大版
1.2.2 直角三角形学习目标1.通过探索判定直角三角形全等的条件，学会利用HL进行判定的方法2.会灵活运用全等三角形的判定方法判定直角三角形全等，并能已知斜边和直角边作直角三角形。
学习重点：灵活运用全等三角形的判定方法判定直角三角形全等。
学习难点：直角三角形全等的应用。
一、自学释疑根据线上提交的自学检测，生生、师生交流讨论，纠正共性问题。
二、合作探究探究点一问题1：两边分别相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形全等吗？结论：问题2：两边分别相等且其中一组等边的对角是直角的两个三角形全等吗？结论：探究点二已知一条直角边和斜边你能作出一个直角三角形吗？观察你做的直角三角形和同伴交流发现什么？例1.已知：R△ABC和Rt△A′B′C′，∠C=∠C′=90°，BC=B′C′，BD、B′D′分别是AC、A′C′边上的中线且BD=B′D′ (如图)．'D A 'B 'C 'DBA例2.如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC 与右边滑梯水平方向的长度DF 相等，两个滑梯的倾斜∠B 和∠F 的大小有什么关系.随堂检测1．如图，点P 是∠BAC 内一点，PE⊥AC 于点E ，PF⊥AB 于点F ，PE ＝PF ，则直接得到△PEA≌△PFA 的理由是()A ．HLB ．ASAC ．AASD ．SAS 2．不能判断两个直角三角形全等的条件是( ) A ．两锐角对应相等的两个直角三角形B ．一锐角和锐角所对的直角边分别对应相等的两个直角三角形C．两条直角边分别对应相等的两个直角三角形D．一条直角边和斜边分别对应相等的两个直角三角形3.如图，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，BD和CE交于点O，AO的延长线交BC于点F，则图中全等的直角三角形有()A．3对 B．4对 C．5对 D．6对4．如图，点D，A，E在直线l上，AB＝AC，BD⊥l于点D，CE⊥l于点E，且BD＝AE，若BD＝3，CE＝5，则DE＝．5．如图，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE＝CF.(1)求证：Rt△ABE≌Rt△CBF；(2)若∠CAE＝3 0°，求∠ACF的度数．参考答案探究点一问题1：两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等。
八年级数学下册 1.2 直角三角形导学案1(新版)北师大版
八年级数学下册 1.2 直角三角形导学案1（新版）北师大版第二节直角三角形（一）学习目标1、1进一步掌握推理证明的方法，发展演绎推理能力。
2证明直角三角形的性质定理和判定定理3\结合具体例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，知道原命题成立其逆命题不一定成立学习重难点重点：直角三角形性质定理和判定定理证明和应用难点：结合具体例子了解互逆命题的概念。
旧知识链接直角三角形的定义问题探究请同学们阅读教材14页～16的内容，并完成教材16页的随堂练习（1）预习交流（1）直角三角形的性质：直角三角形的两锐角互余（2）直角三角形的判定：有两个角互余的三角形是直角三角形（3）勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。
已知：求证：证明：（4）勾股定理逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。
已知：求证：证明：（5）在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题。
（6）如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理。
模块二合作探究1、如图，BA⊥DA于A，AD =12，DC =9，CA =15，求证：BA∥DC。
2、若直角三角形的三条边长分别是6，8，a，则a=__________。
3、已知：如图，△ABC中，CD⊥AB于D，AC=4，BC=3，DB=。
（1）求DC的长；（2）求AD的长；（3）求AB的长；（4）求证：△ABC是直角三角形、模块三形成提升1、填空：（1）直角三角形的两直角边为9、12，则斜边为；直角三角形的斜边为13，其中一条直角边为5，则另一条直角边为。
（2）如果一个三角形的三边分别是6、10、8，则这个三角形是三角形。
2、说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假。
1）初三（6）班有62位同学；2）等边对等角；3）对顶角相等；4）平行四边形的两组对边相等；5）正方形的四条边都相等；图53、某校把一块形状为直角三角形的废地开辟为生物园，如图5所示，∠ACB＝90，AC＝80米，BC＝60米，若线段CD是一条小渠，且D点在边AB上，已知水渠的造价为10元/米，问D点在距A点多远处时，水渠的造价最低？最低造价是多少？：【课外作业】1、找出下列定理有哪些存在逆定理，并把它找出来。
八年级数学下册 1.2 直角三角形 第2课时 直角三角形全
第2课时 直角三角形全等的判定1.通过探索判定直角三角形全等的条件，学会利用HL 进行判定的方法2.会灵活运用全等三角形的判定方法判定直角三角形全等，并能已知斜边和直角边作直角三角形。
阅读教材P18-20“随堂练习”之前的内容，掌握等直角三角形全等的判定方法，学生独立完成下列问题：1.判定两个直角三角形全等的定理：斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边公理”或“HL ”）2. 判断：如图，具有下列条件的Rt △ABC 与Rt △A ′B ′C ′（其中∠C ＝∠C ′＝90°）是否全等，在（ ）里填写理由；如果不全等，在（ ）里打“×”：（1）AC ＝A ′C ′,∠A ＝A ′ （ASA ）（2）AC ＝A ′C ′，BC ＝B ′C （SAS ）（3）AB ＝A ′B ′，∠B ＝∠B ′ （AAS ）（4）∠A ＝∠A ′，∠B ＝∠B ′ （× ）（5）AC ＝A ′C ′，AB ＝A ′B ′ （HL ）活动1 小组谈论例1 已知：R△ABC 和Rt△A'B ' C'，∠C=∠C'=90°，BC=B'C'，BD 、B'D'分别是AC 、A'C'边上的中线且BD=B'D' (如图)．求证：Rt△ABC≌Rt△A'B'C'．证明：在Rt△BDC 和Rt△B'D'C'中，∵BD=B'D',BC=B'C',∴Rt△BDC≌Rt△B 'D 'C ' (HL 定理)．CD=C'D'．又∵AC=2CD，A 'C '=2C 'D '，∴AC=A'C'．∴在Rt△ABC 和Rt△A 'B 'C '中，∵BC=B'C '，∠C=∠C '=90°，AC=A'C '，∴Rt△ABC≌CORt△A'B'C(SAS)在直角三角形中，利用HL 证明三角形全等。
八年级数学下册 1.2 直角三角形的性质和判定(二)导学案(新版)湘教版
直角三角形的性质和判定(二）导学案第2课时主备人：朱菊球 审核人：朱清华 参与人：全体八年级数学老师一、课前反馈直角三角形有哪些性质？(1)两锐角______；（（2）斜边上的中线等于斜边的________二、导入目标1 进一步掌握直角三角形的性质----直角三角形中，30度的角所对的边等于斜边的一半；2 能利用直角三角形的性质解决一些实际问题。
重难点：重点：直角三角形的性质，难点：直角三角形性质的应用三、自主学习1阅读课本4—6页2 按要求画图：（1）画∠MON ，使∠MON=30°，(2)在OM 上任意取点P ，过P 作ON 的垂线PK ，垂足为K ，量一量PO,PK 的长度，PO,PK 有什么关系？ (3) 在OM 上再取点Q,R ，分别过Q,R 作ON 的垂线QD,RE,垂足分别为D,E ，量一量QD ，OQ ，它们有什么关系？量一量RE,OR ，它们有什么关系？ 由此你发现了什么规律？ 直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
为什么会有这个规律呢？这节课我们来研究这个问题.四、 合作探究1 探究直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边为什么等于斜边的一半。
如图，Rr △ABC 中，∠A=30°，BC 为什么会等于12AB 分析：要判断BC=12AB,可以考虑取AB 的中点，如果如果BD=BC ，那么BC=12AB ，由于∠A=30°,所以∠B=60°, 如果BD=B C,则△BDC 一定是等边三角形，所以考虑判断△BDC 是等边三角形，你会判断吗？由学生完成 K P M D C B A归纳：直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
这个定理的得出除了上面的方法外，你还有没有别的方法呢？先让学生交流，得出把△ABC 沿着AC 翻折，利用等边三角形的性质证明。
八年级数学下册1.2.1 直角三角形导学案(新版)北师大版
八年级数学下册1.2.1 直角三角形导学案（新版）北师大版【学习目标】1、了解勾股定理及其逆定理的证明方法；2、结合实例了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，能识别原命题与逆命题的真假性。
【学习过程】一、温故知新1、直角三角形有哪些性质和判定方法？说出你知道的勾股数。
2、每个命题都是由、两部分组成。
命题“对顶角相等”的条件是，结论是。
3、直角三角形的两个锐角。
4、有两个角互余的三角形是。
5、如图，△ABC是Rt△，根据勾股定理可得：。
二、新知探究【探究一】1、说出勾股定理的内容，并说出定理中的条件和结论。
2、将勾股定理的条件和结论分别变成结论和条件，其内容是：【探究二】3、试着证明上述命题（参照课本P15例题）：3、知识应用【研讨一】说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假:(1)五边形是多边形。
（）（2）两直线平行，同位角相等。
（）(3)如果两个角是对顶角，那么它们相等。
（）【研讨二】2、一个直角三角形房梁如图所示，其中BC⊥AC，∠BAC=30，AB=10 cm，CB1⊥AB，B1C⊥AC1，垂足分别是B1、C1，那么BC的长是多少? B1C1呢?3、课堂小结：1、把原命题的条件和结论可以互相调换后，就得到原命题的逆命题。
2、写出原命题的逆命题时，可先将它写成“如果……那么……”的形式，再互换。
3、任何命题都有逆命题，但任何定理不一定有逆定理。
只有当一个定理的逆命题为真时，它才有逆定理。
四、课后作业：1、下列长度的三条线段能构成直角三角形的是（）①8、15、17 ②4、5、6、③7、5、4、8、5 ④24、25、7 ⑤5、8、10A、① ② ④B、② ④ ⑤C、① ③ ⑤D、① ③ ④3、以下命题的逆命题属于假命题的是（）A、两底角相等的三角形是等腰三角形。
B 、全等三角形的对应角相等。
C、两直线平行，内错角相等。
D 、直角三角形两锐角互余。
4、命题：等腰三角形两腰上的高相等的逆命题是。
5、若一个直角三角形的两直角边之比为3：4，斜边长20CM，则两直角边为、。
八年级数学下册 1.2 直角三角形(第1课时)导学案 (新版)北师大版
八年级数学下册 1.2 直角三角形（第1课时）导学案（新版）北师大版1、2直角三角形【学习目标】课标要求：（1）掌握直角三角形的性质定理（勾股定理）及判定定理的证明方法，并能应用定理解决与直角三角形有关的问题。
（2）结合具体例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，知道原命题成立，其逆命题不一定成立、目标达成：（1）掌握直角三角形的性质定理（勾股定理）及判定定理的证明方法，并能应用定理解决与直角三角形有关的问题。
（2）结合具体例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，知道原命题成立，其逆命题不一定成立、学习流程：【课前展示】观察下面三组命题：学生以分组讨论形式进行，最后在教师的引导下得出命题与逆命题的区别与联系。
让学生畅所欲言，体会逆命题与命题之间的区别与联系，要能够清晰地分别出一个命题的题设和结论，能够将一个命题写出“如果……；那么……”的形式，以及能够写出一个命题的逆命题。
活动中，教师应注意给予适度的引导，学生若出现语言上不严谨时，要先让这个疑问交给学生来剖析，然后再总结。
活动时可以先让学生观察下面三组命题：如果两个角是对顶角，那么它们相等、如果两个角相等，那么它们是对顶角、如果小明患了肺炎，那么他一定发烧、如果小明发烧，那么他一定患了肺炎、三角形中相等的边所对的角相等、三角形中相等的角所对的边相等、上面每组中两个命题的条件和结论也有类似的关系吗?与同伴交流、【创境激趣】通过问题1，让学生在解决问题的同时，回顾直角三角形的一般性质。
[问题1]一个直角三角形房梁如图所示，其中BC⊥AC，∠BAC=30，AB=10 cm，CB1⊥AB，B1C⊥AC1，垂足分别是B1、C1，那么BC的长是多少? B1C1呢?解：在Rt△ABC中，∠CAB=30，AB=10 cm，∴BC＝AB＝10＝5 cm、∵CB1⊥AB，∴∠B+∠BCB1＝90又∵∠A+∠B＝90∴∠BCB1 ＝∠A＝30在Rt△ACB1中，BB1＝BC＝5＝ cm＝2、5 cm、∴AB1＝AB＝BB1＝10—2、5＝7、5(cm)、∴在Rt△C1AB1中，∠A＝30∴B1C1 ＝AB1＝7、5＝3、75(cm)、【自学导航】阅读完毕后，针对“读一读”中使用的两种证明方法，着重讨论第一种，第二种方法请有兴趣的同学课后阅读、（1）、勾股定理及其逆定理的证明、已知：如图，在△ABC中，∠C＝90，BC ＝a，AC＝b，AB＝c、求证：a2+b2＝c2、证明：延长CB至D，使BD＝b，作∠EBD＝∠A，并取BE＝c，连接ED、AE(如图)，则△ABC≌△BED、∴∠BDE＝90，ED＝a(全等三角形的对应角相等，对应边相等)、∴四边形ACDE是直角梯形、∴S梯形ACDE＝(a+b)(a+b) ＝ (a+b)2、∴∠ABE＝180－(∠ABC＋∠EBD)＝180－90＝90，AB＝BE、∴S△ABE＝c2∵S梯形ACDE＝S△ABE+S△ABC+S△BED，∴(a+b)2＝ c2 + ab + ab, 即a2 + ab + b2＝c2 + ab,∴a2+b2＝c2教师用多媒体显示勾股定理内容，用课件演示勾股定理的条件和结论，并强调、具体如下：勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方、反过来，如果在一个三角形中，当两边的平方和等于第三边的平方时，我们曾用度量的方法得出“这个三角形是直角三角形”的结论、你能证明此结论吗?师生共同来完成、已知：如图：在△ABC中，AB2+AC2＝BC2求证：△ABC是直角三角形、分析：要从边的关系，推出∠A＝90是不容易的，如果能借助于△ABC与一个直角三角形全等，而得到∠A与对应角(构造的三角形的直角)相等，可证、证明：作Rt△A′B′C′，使∠A′＝90，A′B′＝AB，A′C′、AC(如图)，则A′B′2＋A′C′2、(勾股定理)、∵AB2＋AC2＝BC2，A′B′＝AB，A′C′∴BC2＝B′C′2∴BC＝B′C′∴△ABC≌△A′B′C′（SSS）∴∠A＝∠A′＝90(全等三角形的对应角相等)、因此，△ABC是直角三角形、总结得勾股逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形、【合作探究】教师直接提出问题：我们还学习过直角三角形，今天我们研究一个特殊的直角三角形：含30角的直角三角形。
【新新导学案】-广东省清远市八年级数学（北师大版）下学期备课导学案：1.2直角三角形（2）
1.2 直角三角形（二）一、问题引入：1. 直角三角形的勾股定理及勾股定理的逆定理；2. 问题1：两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全等吗？如果其中一边所对的角是直角呢？请证明你认为正确的结论.问题2：（做一做）你能用三角尺作已知角的平分线吗？不妨动手做一做，并证明你的作法的正确性.二、基础训练:1.（议一议）如图已知∠ACB=∠BDA=90°，要使△ACB≌△BDA，还需要什么条件？把它们分别写出来.2. D是△ABC的BC边上的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E.F，且DE=DF，求证BF=CE [解析]本题解决的关键是利用“HL”证明△BFD≌△CED三、例题展示：1. 下列各选项中的两个直角三角形不一定全等的是（）A. 两条直角边对应相等的两个直角三角形.B. 两条锐角边对应相等的两个直角三角形.C. 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形.D. 有一个锐角及这个锐角的对边对应相等的两个直角三角形全等.2. 下列长度的三条线段能构成直角三角形的是（）① 8，15，17 ② 4，5，6 ③ 7.5，4.8，5 ④ 24，25，7 ⑤ 5，8，10A. ①②④B. ②④⑤C. ①③⑤D. ①③④3. 下列命题中，假命题是（）A．三个角的度数之比为1：3：4的三角形是直角三角形.B．三个角的度数之比为1：3：2的三角形是直角三角形.C．三边长之比为1:3:2的三角形是直角三角形.D．三边长之比为222的三角形是直角三角形.四、课堂检测:1. 下列说法正确的有（）（1）一个锐角及斜边对应相等的两个直角三角形全等.（2）一个锐角及一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.（3）两个锐角对应等的两个直角三角形全等.（4）有两条边相等的两个直角三角形全等.（5）有斜边和条直角边对应相等的两个直角三角形全等.A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个2. 下列说法中错误的是（）A. 直角三角形中，任意直角边上的中线小于斜边.B. 等腰三角形斜边上的高等于斜边的一半.C. 直角三角形中每条直角边都小于斜边.D. 等腰直角三角形一边长为1，则它的周长为123. 以下列各组为边长，能组成直角三角形的是（）A. 8，15，17B. 4，5，6C. 5，8，10D. 8，39，404. 命题：若A＞B，则A2＞B2的逆命题是__________________________.5. AD是△ABC的中线，∠ADC=45°，把△ADC沿AD对折，点C落在C｀的位置，则BC`与BC之间的数量关系是____________.6. 四边形ABCD中，若AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，且AB⊥BC，求四边形ABCD的面积________.。
八年级数学下册1.2直角三角形教案1(新版)北师大版
要写出原命题的逆命题，需先弄清楚原命题的条件和结论，然后把结论变换成条件，条件变换成结论，就得到了逆命题．
如果有些命题，原命题是真命题，逆命题也是真命题，那么我们称它们为互逆定理.
其中逆命题成为原命题(即原定理)的逆定理．
能举例说出我们已学过的互逆定理?
第四环节：当堂检测 全面达标
1、说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假;
再来看“议一议”中的三组命题，它们就称为互逆命题，如果称每组的第一个命题为原命题，另一个则为逆命题．请同学们判断每组原命题的真假．逆命题呢?
在第一组中，原命题是真命题，而逆命题是假命题．
在第二组中，原命题是真命题，而逆命题是假命题．
在第三组中，原命题和逆命题都是真命题．
由此我们可以发现：原命题是真命题，而逆命题不一定是真命题．
(1)四边形是多边形；
(2)两直线平行，内旁内角互补；
第五环节：课堂小结
这节课我们了解了勾股定理及逆定理的证明方法，并结合数学和生活中的例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，知道，原命题成立，其逆命题不一定成立，掌握了证明方法，进一步发展了演绎推理能力．
第六环节：布置作业
A：4、5 B：2、3C：1、2
（2）进一步掌握推理证明的方法，发展演绎推理的能力．
3.情感、态度与价值感：
（1）积极参与数学活动、对数学有好奇心和求知欲。
（2）形成实事求是的态度以及进行质疑和独立思考的习惯。
（二）过程与方法
（三）情感、态度与价值观
教学重点
①了解勾股定理及其逆定理的证明方法．
②结合具体例子了解逆命题的概念，识别两个互逆命题，知道原命题成立，其逆命题不一定成立．
∴∠BDE＝90°，ED＝a(全等三角形的对应角相等，对应边相等)．
八年级数学下册 1.2 直角三角形的性质和判定(II)(第2课时)导学案(新版)湘教版
八年级数学下册 1.2 直角三角形的性质和判定（II）（第2课时）导学案（新版）湘教版1、2直角三角形的性质和判定（Ⅱ）（2）一、新课引入〈一〉复习旧知1、什么是勾股定理？2、在△ABC中，∠C=90、⑴已知AC=6，BC=8，求AB的长; ⑵已知AB=17，AC=15，求BC的长、〈二〉导读目标学习目标：1、会用勾股定理解决简单的实际问题；2、经历探究勾股定理在实际问题中的应用过程，感受勾股定理的应用方法、重点：勾股定理的应用难点：实际问题向数学问题的转化二、预习导学预习课本P12—P13内容，解答下列问题：A，C，CBA一个2、5m长的梯子AC斜靠在一竖直的墙AB上，这时AB的距离为2、4m、(1)求梯子的底端C距墙角B多少米？(2)如果梯子顶端A沿墙下滑0、4m，那么梯子底端C也外移0、4m吗？(保留2位小数)三、合作探究勾股定理的实际应用例1、“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐。
问水深，葭长各几何？”意思是：有一个边长为10尺的正方形池塘，一根芦苇生长在池的中央，其出水部分为1尺。
如果将芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，它的顶端恰好碰到池边的水面。
问水深与芦苇长各为多少？例2、如图，某公园内有一棵大树，为测量树高，小明C处用侧角仪测得树顶端A的仰角为30，已知侧角仪高DC＝1、4m，BC＝30米，请帮助小明计算出树高AB、（取1、732，结果保留三个有效数字）四、解法指导五、堂上练习1、（1）等边三角形的边长为，求它的中线长，并求出其面积；（2）等边三角形的一条角平分线长为，求这个三角形的边长、C2、如图，一艘渔船以30海里∕h速度由洗向东追赶鱼群。
在A处测得小岛C在船的北偏东600方向；40min后，渔船行至B 处，此时测得小岛C在船的北偏东300方向。
已知以小岛C为中心，周围10海里以内有暗礁，问这艘渔船继续向东追赶鱼群是否有触礁的危险？600300北东BA六、课堂小结1、本节课学习了直角三角形的哪些知识？2、通过这节课的学习，你在解题思路和方法上有什么收获？七、课后作业如图，AE是位于公路边的电线杆，高为12m，为了使电线CDE不影响汽车的正常行驶，电力部门在公路的另一边竖立了一根为6m的水泥撑杆BD,用于撑起电线，已知两根杆子之间的距离为8m，电线CD与水平线AC的夹角为600。
1.2 直角三角形(1)导学案 2022—2023学年北师大版数学八年级下册
1.2 直角三角形（1）导学案导学目标1.理解直角三角形的定义和性质。
2.掌握直角三角形中的三边关系。
一、直角三角形的定义和性质直角三角形是一种特殊的三角形，其中一角为直角（即90度角）。
直角三角形的两边相互垂直，可以记为∠A=90°，其中A为直角所对的顶点。
直角三角形的性质1.直角三角形的斜边是其他两边的最长边。
2.直角三角形的两边和斜边之间满足勾股定理。
二、直角三角形的三边关系在直角三角形中，有两个特殊的比例关系，即正弦、余弦和正切。
1. 正弦正弦是一个角的对边与斜边的比值，常用符号为sin。
在直角三角形ABC中，设∠B为直角，设AB为对边，AC为斜边，则正弦公式为：sin∠A = AB/AC2. 余弦余弦是一个角的邻边与斜边的比值，常用符号为cos。
在直角三角形ABC中，设∠B为直角，设BC为邻边，AC为斜边，则余弦公式为：cos∠A = BC/AC3. 正切正切是一个角的对边与邻边的比值，常用符号为tan。
在直角三角形ABC中，设∠B为直角，设AB为对边，BC为邻边，则正切公式为：tan∠A = AB/BC三、练习题1.在直角三角形ABC中，∠A=90°，AB=5cm，AC=13cm，求角B的正弦值、余弦值和正切值。
2.在直角三角形DEF中，∠D=90°，DE=12cm，DF=16cm，求角E的正弦值、余弦值和正切值。
3.农场中的仓库离农场两角的距离分别为50m和60m，两角之间的夹角为60°，请计算该农场的面积。
总结本次导学案介绍了直角三角形的定义和性质，以及直角三角形中的正弦、余弦和正切公式。
掌握了这些知识后，我们可以通过已知边长和角度来求解直角三角形中的其他数据，有助于解决实际问题。
广东省清远市八年级数学下册1.2直角三角形第1课时学案无答案新北师大版
直角三角形 3）说出你知道的勾股数探究活动一： 证明：直角三角形的两个锐角互余。
1、证明的主要步骤：1 分析 ，2 ，3 ，4 ，5 写已知：如图，在RT △ABC 中，∠C=90°.求证：∠A+∠B=90°活动二：阅读课文P16—17页勾股定理的证明。
2、练习：（1）勾股定理的条件是 ，结论是 ，（2）直角三角形的斜边为13，其中一条直角边为5，则另一条直角边为 ；活动三：探索勾股定理的逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平C A B方，那么这个三角形是直角三角形。
思考分析：a、定理的条件是结论是b、阅读书本P14—15页勾股定理的逆定理的证明过程。
活动四：互逆命题☆自学课本P 15 议一议得出：互逆命题：在两个命题中，如果，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的。
注意：互逆命题是相对两个命题而言的，单独一个命题称不上互逆命题。
练习：说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假。
1、两直线平行，同旁内角互补2、如果ab=0,那么a=0,b=0；3、三个角都相等的三角形是等边三角形；4、等边三角形是等腰三角形；总结：一个命题是真，它的逆命题可能是真，可能是假；一个命题是假，它的逆命题。
活动五：互逆定理☆课本16页想一想互逆定理：如果，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的。
练习：找出下列定理有哪些存在逆定理，并把它找出来。
1）矩形是平行四边形2）内错角相等，两直线平行3）全等三角形对应角相等4）对顶角相等=0.3B.2）等腰三角形的两个底角相等。
近年八年级数学下册 1.2 直角三角形的性质和判定(Ⅱ)第1课时 勾股定理导学案 湘教版(2021
2017八年级数学下册1.2 直角三角形的性质和判定（Ⅱ）第1课时勾股定理导学案（新版）湘教版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2017八年级数学下册1.2 直角三角形的性质和判定（Ⅱ）第1课时勾股定理导学案（新版）湘教版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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第1课时 勾股定理1.了解勾股定理的发现过程.2。
掌握勾股定理的内容，并能进行相关计算。
3。
会用面积法证明勾股定理.自学指导：阅读课本9页至11页,完成下列问题。
知识探究1.已知，如图:正方形和梯形是由全等的直角三角形构成，请分别求出正方形和梯形的面积。
解：正方形的面积为ab c 22+；梯形的面积为ab c +221. 2。
直角三角形的性质定理（勾股定理)：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方，及222c b a =+.自学反馈1。
在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。
2。
在直角三角形中,两直角边分别为3、4，那么斜边为5。
3。
在直角三角形中，斜边为10,一直角边为6,则另一直角边为8.运用勾股定理“两直角边的平方和等于斜边的平方”计算。
活动1 小组讨论探究一：探究勾股定理：两直角边的平方和等于斜边的平方.(1)如图,每个方格的面积均为1,请分别算出图中正方形A 、B 、C 、A ′、B ′、C ′的面积. ab c解：A的面积=4；B的面积=9；C的面积=52—4×12（2×3）=13；所以A+B=C。
八年级数学下册第一章三角形的证明1.2.2直角三角形导学案北师大版(2021年整理)
八年级数学下册第一章三角形的证明1.2.2 直角三角形导学案（新版）北师大版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（八年级数学下册第一章三角形的证明1.2.2 直角三角形导学案（新版）北师大版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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1。
2。
2 直角三角形学习目标1。
通过探索判定直角三角形全等的条件，学会利用HL进行判定的方法2.会灵活运用全等三角形的判定方法判定直角三角形全等,并能已知斜边和直角边作直角三角形。
学习重点：灵活运用全等三角形的判定方法判定直角三角形全等。
学习难点：直角三角形全等的应用。
一、自学释疑根据线上提交的自学检测，生生、师生交流讨论，纠正共性问题。
二、合作探究探究点一问题1：两边分别相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形全等吗？结论：问题2：两边分别相等且其中一组等边的对角是直角的两个三角形全等吗?结论：探究点二已知一条直角边和斜边你能作出一个直角三角形吗？观察你做的直角三角形和同伴交流发现什么？例1。
已知:R△ABC 和Rt△A′B′C′，∠C=∠C′=90°,BC=B′C′，BD 、B′D′分别是AC 、A′C′边上的中线且BD=B′D′ (如图）．'D A'B 'C 'C DBA例2。
如图,有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC 与右边滑梯水平方向的长度DF 相等，两个滑梯的倾斜∠B 和∠F 的大小有什么关系.随堂检测1．如图，点P 是∠BAC 内一点，PE⊥AC 于点E ，PF⊥AB 于点F,PE ＝PF ，则直接得到△PEA≌△PFA 的理由是（ )A．HL B．ASA C．AAS D．SAS2．不能判断两个直角三角形全等的条件是（）A．两锐角对应相等的两个直角三角形B．一锐角和锐角所对的直角边分别对应相等的两个直角三角形C．两条直角边分别对应相等的两个直角三角形D．一条直角边和斜边分别对应相等的两个直角三角形 3.如图，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，BD和CE交于点O，AO的延长线交BC于点F，则图中全等的直角三角形有（)A．3对 B．4对 C．5对 D．6对4．如图，点D，A，E在直线l上,AB＝AC，BD⊥l于点D，CE⊥l于点E，且BD＝AE，若BD＝3，CE＝5,则DE＝．5．如图，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，F为AB延长线上一点,点E在BC上，且AE＝CF.(1）求证:Rt△ABE≌Rt△CBF；（2）若∠CAE＝3 0°，求∠ACF的度数．参考答案探究点一问题1:两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等。
八年级数学下册 1.2 直角三角形(第2课时)导学案(新版)北师大版
八年级数学下册 1.2 直角三角形（第2课时）导学案（新版）北师大版1、2 直角三角形（第2课时）学习目标：掌握直角三角形全等的判定定理（HL）、学习过程：一、复习回顾：1、直角三角形的勾股定理及勾股定理的逆定理；2、命题与逆命题，定理与逆定理的关系。
3、判断两个三角形全等的方法有哪几种？4、已知一条边和斜边，求作一个直角三角形。
想一想，怎么画？二、新课学习：1、定理：__________和__________对应相等的两个直角三角形全等。
（简述为“斜边、直角边”或“HL”）已知：求证:证明：练习：判断下列命题的真假，并说明理由：(1)两个锐角对应相等的两个直角三角形全等； (2)斜边及一锐角对应相等的两个直角三角形全等； (3)两条直角边对应相等的两个直角三角形全等； (4)一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等的两个直角三角形全等、三、例题解析：1、课本P20例题2、如图，在△ABC和△ABC中，CD，CD分别分别是高，并且AC＝AC，CD=CD、∠ACB=∠ACB、求证：△ABC≌△ABC、3、如图，在△ABC中，已知D是BC中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，DE＝DF、求证：AB=AC四、课堂训练：1、下列各选项中的两个直角三角形不一定全等的是（）A：两条直角边对应相等的两个直角三角形。
B：两锐角对应相等的两个直角三角形。
C：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形。
D：有一个锐角及这个锐角的对边对应相等的两个直角三角形全等。
2、下列长度的三条线段能构成直角三角形的是（）①8、15、17 ②4、5、6、③7、5、4、8、5 ④24、25、7 ⑤5、8、10 A：①②④ B：②④⑤ C：①③⑤ D：①③④3、已知，如图，△AB C中，AB=AC，AD是角平分线，BE=CF，则下列说法正确的有（）个（1）AD平分∠EDF；（2）△EBD≌△FCD；（3）BD=CD；（4）AD⊥BC、（A）1 （B）2 （C）3 （D）4五、归纳总结：六、课后作业：1、下列说法正确的有（）（1）一个锐角及斜边对应相等的两个直角三角形全等。
八年级数学下册 1.2.2 直角三角形导学案(无答案)北师大版(2021学年)
广东省河源市和平县合水镇八年级数学下册１.2.2 直角三角形导学案（无答案)(新版）北师大版编辑整理:尊敬的读者朋友们:这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的,发布之前我们对文中内容进行仔细校对,但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望(广东省河源市和平县合水镇八年级数学下册1.2．2 直角三角形导学案（无答案)(新版）北师大版)的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈,这将是我们进步的源泉,前进的动力。
本文可编辑可修改,如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅,最后祝您生活愉快业绩进步，以下为广东省河源市和平县合水镇八年级数学下册1.2．2 直角三角形导学案（无答案)（新版)北师大版的全部内容。
课题:1．2.２直角三角形班级 姓名【学习目标】１．懂得证明直角三角形全等的“HＬ”的判定定理,进一步理解证明的必要性. 2．运用“HL’'定理解决简单的实际问题．学习重点:会证明直角三角形全等的“HL"的判定定理． 学习难点:运用“ＨＬ’’定理解决简单的实际问题. 【复习引入】1。
在Rt △ABC 中,∠C =90°,ＡＣ=8,BC =6，则AC ＝__＿_______． 2.下面几组三角形的边长中，能构成直角三角形的是( ） ．Ａ。
ａ=2,b =3，c =4B 。
ａ＝1２，b =5,ｃ=１3C 。
a =4,b =５,c =6 ﻩ D.ａ＝7,b =18，ｃ=173。
已知:如图１,线段ａ,c(a ＜ｃ)，o 90=∠α． a 求作:Rt △A ＢC,使α∠=∠C ，BC=a,ＡＢ=ｃ. c ﻩ【自主学习】1.已知:如图2,在△ＡBC 与△D E Ｆ中,∠C=∠F=900,AB ＝ＤＥ，ＡC ＝DF 。
求证:△A ＢC ≌△ＤEF.图1αCB AFDE由此得出定理： 。
【探究学习】1。
认真阅读课本Ｐ２0例题，理解其解题思路,完成下题:(与同伴交流）已知:如图３,在△ＡB Ｃ中,D 是BC 中点,DE ⊥AB,D Ｆ⊥AC ，垂足分别是E 、F,且DE=ＤF .求证:ＡＢ=A Ｃ。
八年级数学下册 1.2.1 直角三角形导学案(无答案)北师大版(2021-2022学年)
课题：１。
2.１直角三角形班级 姓名【学习目标】１。
会证明直角三角形的性质定理及判定定理，能运用以上定理解决实际问题。
２.结合例子了解逆命题和逆定理的概念，会识别两个互逆命题和互逆定理.３。
进一步掌握推理证明的方法,发展演绎推理能力．学习重点：会证明直角三角形的性质定理及判定定理,能运用以上定理解决实际问题.学习难点：理解勾股定理及其逆定理的证明方法．【复习引入】1。
在Rt △AB Ｃ中，∠C=９0°,则∠A+∠B ＝°.由此可得出定理: .２.已知:如图1,在△ABC 中,∠A ＋∠B=90°.求证:△A BC 是直角三角形．由此可得出定理： ．【自主学习】1。
还记得勾股定理吗？运用已有的定理我们是可以证明勾股定理的．(见课本P １６“读一读”)勾股定理: ．２。
认真阅读课本P １4—１5的证明过程,理解其证明思路，想一想:由此可以得出什么定理?定理: .【探究学习】１。
与同伴交流,完成课本Ｐ1５-１６的“议一议”和“想一想”，认真理解逆命题和逆定理的概念,完成下列问题:写出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假:(1)四边形是多边形;（２)两直线平行,内旁内角互补；（3）如果ab ＝０,那么a=0， b ＝0【巩固练习】1．在 。
2．已知的三边长分别为５,13,12,则的面积为( ）A ．30B 。
60 Ｃ。
7８ D 。
不能确定３。
已知：求证：A Ｂ=AC 。
4。
(选做题)课本P18习题１.５第5题。
【课堂小结】说说本节课的收获有哪些?【布置作业】课本习题1．5第1、２题。
ﻬ ===∠=∠∆AB BC B A ABC ，则，中，已知345ABC ∆ABC ∆.12,10,13cm AD BC cm BC cm AB ABC ===∆边上的中线中，在。
2021广东省八年级数学下册 1.2 直角三角形导学案（1）
1.2 直角三角形（一）一、问题引入：1. 说出你明白的勾股数2. 勾股定理的内容是：_____________________________;它的条件是：______________________________________;结论是：__________________________________________.3. 将勾股定理的条件和结论别离变成结论和条件，其内容是：下面试着将上述命题证明：已知在△ABC中，AB2+AC2=BC2求证：△ABC是直角三角形.得出定理：若是三角形两边的__________等于__________，那么那个三角形是直角三角形.二、基础训练：观看勾股定理及上述定理，它们的条件和结论之间有如何的关系？然后观看以下每组命题，是不是也在类似关系（1）若是两个角是对顶角，那么它们相等.若是两个角相等，那么它们是对顶角.（2）若是小明得了肺炎，那么他必然会发烧.若是小明发烧，那么他必然得了肺炎.（3）三角形中相等的边所对的角相等.三角形中相等的角所对的边相等.像上述每组命题咱们称为互逆命题，即一个命的条件和结论别离是另一个命题的__________和__________.三、例题展现：1. 判定A．每一个命题都有逆命题，每一个定理也都有逆定理.（）B．命题正确时其逆命题也正确.（）C．角三角形两边别离是3，4，那么第三边为5.（）2. 以下长度的三条线段能组成直角三角形的是（）①8，15，17 ②4，5，6 ③7，5.4，8.5 ④ 24，25，7 ⑤ 5，8，10A：①②④ B：②④⑤ C：①③⑤ D：①③④四、课堂检测:1. 以下命题的逆命题属于假命题的是（）A.两底角相等的两个三角形是等腰三角形.B.全等三角形的对应角相等.C.两直线平行，内对角相等.D.直角三角形两锐角互等.2. 命题：等腰三角形两腰上的高相等的逆命题是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.3. 假设一个直角两直角边之比为3：4，斜边长20CM，那么两直角边为 .4. 已知直角三角形两直角边长别离为6和8，那么斜边长为_______，斜边上的高为_______.5. 台风事后，某小学旗杆在B处断裂，旗杆顶A落在离旗杆底部C点8M处，已知旗杆原长16M，那么旗杆在距底部几米处断裂.6. 小明将长2.5M的梯子斜靠在竖直的墙上，这时梯子底端B到墙根C的距离是0.7M，若是梯子的顶端垂直下滑0.4M，那么梯子的底端B将向外移动多少米.中考真题：用四个全等的直角三角形拼成了一个如下图的图形，其中a表示较短，直角三角形，b表示较长的直角边，c表示斜边，你能用那个图形证明勾股定理吗？。
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1.2 直角三角形（一）
一、问题引入：
1. 说出你知道的勾股数
2. 勾股定理的内容是：_____________________________;
它的条件是：______________________________________;
结论是：__________________________________________.
3. 将勾股定理的条件和结论分别变成结论和条件，其内容是：
下面试着将上述命题证明：
已知在△ABC中，AB2+AC2=BC2
求证：△ABC是直角三角形.
得出定理：如果三角形两边的__________等于__________，那么这个三角形是直角三角形.
二、基础训练：
观察勾股定理及上述定理，它们的条件和结论之间有怎样的关系？然后观察下列每组命题，是否也在类似关系
（1）如果两个角是对顶角，那么它们相等.
如果两个角相等，那么它们是对顶角.
（2）如果小明患了肺炎，那么他一定会发烧.
如果小明发烧，那么他一定患了肺炎.
（3）三角形中相等的边所对的角相等.
三角形中相等的角所对的边相等.
像上述每组命题我们称为互逆命题，即一个命的条件和结论分别是另一个命题的__________和__________.
三、例题展示：
1. 判断
A．每个命题都有逆命题，每个定理也都有逆定理.（）
B．命题正确时其逆命题也正确.（）
C．角三角形两边分别是3，4，则第三边为5.（）
2. 下列长度的三条线段能构成直角三角形的是（）
①8，15，17 ②4，5，6 ③7，5.4，8.5 ④ 24，25，7 ⑤ 5，8，10
A：①②④ B：②④⑤ C：①③⑤ D：①③④
四、课堂检测:
1. 以下命题的逆命题属于假命题的是（）
A.两底角相等的两个三角形是等腰三角形.
B.全等三角形的对应角相等.
C.两直线平行，内对角相等.
D.直角三角形两锐角互等.
2. 命题：等腰三角形两腰上的高相等的逆命题是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.
3. 若一个直角两直角边之比为3：4，斜边长20CM，则两直角边为 .
4. 已知直角三角形两直角边长分别为6和8，则斜边长为_______，斜边上的高为_______.
5. 台风过后，某小学旗杆在B处断裂，旗杆顶A落在离旗杆底部C点8M处，已知旗杆
原长16M，则旗杆在距底部几米处断裂.
6. 小明将长2.5M的梯子斜靠在竖直的墙上，这时梯子底端B到墙根C的距离是0.7M，
如果梯子的顶端垂直下滑0.4M，那么梯子的底端B将向外移动多少米.
中考真题：用四个全等的直角三角形拼成了一个如图所示的图形，其中a表示较短，直角三角形，b表示较长的直角边，c表示斜边，你能用这个图形证明勾股定理吗？。