2024年内蒙古乌兰察布市集宁区亿利东方学校中考数学一模试卷+答案解析

2024年内蒙古乌兰察布市集宁区亿利东方学校中考数学一模试卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.计算的结果是()
A. B. C. D.
2.如图是一个由6个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是()
A.
B.
C.
D.
3.实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是()
A. B. C. D.
4.如图，点O在直线AB上，若，则的大小为()
A. B. C. D.
5.在践行“安全在我心中，你我一起行动”主题手抄报评比活动中，共设置“交通安全、消防安全、饮食安全、防疫安全”四个主题内容，推荐两名学生参加评比，若他们每人从以上四个主题内容中随机选取一个，则两人恰好选中同一主题的概率是()
A. B. C. D.
6.将函数的图象向下平移两个单位，以下错误的是()
A.开口方向不变
B.对称轴不变
C.y随x的变化情况不变
D.与y轴的交点不变
7.如图，AB是的直径，C为上一点，过点C的切线与AB的延长
线交于点P，若，则PB的长为()
A.
B.
C.
D.3
8.如图，在中，，分别以点为圆心，大
于的长为半径画弧，两弧相交于点D，E，作直线DE分别交AC，BC
于点F，以G为圆心，GC长为半径画弧，交BC于点H，连结AG，
则下列说法错误的是()
A. B.
C.≌
D.∽
9.如图，▱OABC的顶点，，点C在x轴的正半轴上，延长BA交y轴于点将绕点O顺时针旋转得到，当点D的对应点落在OA上时，的延长线恰好经过点C，则点C 的坐标为()
A. B. C. D.
10.呼气式酒精测试仪中装有酒精气体传感器，可用于检测驾驶员是否酒后驾车．酒精气体传感器是一种气
敏电阻图1中的，的阻值随呼气酒精浓度K的变化而变化如图，血液酒精浓度M与呼气酒精
浓度K的关系见图下列说法不正确的是()
A.呼气酒精浓度K越大，的阻值越小
B.当时，的阻值为100
C.当时，该驾驶员为非酒驾状态
D.当时，该驾驶员为醉驾状态
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。

11.函数的自变量x的取值范围是______.
12.分解因式：______.
13.若，是方程的两根，则______.
14.如图，在中，，，以点C为圆心，CB长为半径画弧，分别交AC，AB于点D，E，则图中阴影部分的面积为__________结果保留
15.定义一种新运算：对于任意的非零实数a，b，若，则x的值为______.
16.如图，在中，边AB在x轴上，边AC交y轴于点反比例函数
的图象恰好经过点C，与边BC交于点若，
，，则______.
三、解答题：本题共7小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.本小题8分
计算：；
化简：
18.本小题8分
“惜餐为荣，殄物为耻”，为了解落实“光盘行动”的情况，某校数学兴趣小组的同学调研了七、八年级部分班级某一天的餐厨垃圾质量.从七、八年级中各随机抽取10个班的餐厨垃圾质量的数据单位：，进行整理和分析餐厨垃圾质量用x 表示，共分为四个等级：
，
，
，
，下面给出了部分信息.
七年级10个班的餐厨垃圾质量：
，
，
，
，
，
，，，，八年级
10个班的餐厨垃圾质量中B 等级包含的所有数据为：，
，
，
，
七、八年级抽取的班级餐厨垃圾质量统计表年级平均数
中位数
众数方差
A 等级所占百分比
七年级a
八年级
b
根据以上信息，解答下列问题：
直接写出上述表中a ，b ，m 的值；
该校八年级共30个班，估计八年级这一天餐厨垃圾质量符合A 等级的班级数；
根据以上数据，你认为该校七、八年级的“光盘行动”，哪个年级落实得更好？请说明理由写出一条
理由即可
19.本小题8分
数学活动小组欲测量山坡上一棵大树CD的高度，如图，于点E，在A处测得大树底端C的仰角
为，沿水平地面前进30米到达B处，测得大树顶端D的仰角为，测得山坡坡角图中
各点均在同一平面内
求斜坡BC的长；
求这棵大树CD的高度结果取整数，
参考数据：，，，
20.本小题11分
冰墩墩、雪容融分别是2022年北京冬奥会、冬残奥会的吉祥物．冬奥会来临之际，冰墩墩、雪容融玩偶畅销全国．小雅在某网店选中两种玩偶．决定从该网店进货并销售．第一次小雅用1400元购进了冰墩墩玩偶15个和雪容融玩偶5个，已知购进1个冰墩墩玩偶和1个雪容融玩偶共需136元，销售时每个冰墩墩玩偶可获利28元，每个雪容融玩偶可获利20元．
求两种玩偶的进货价分别是多少？
第二次小雅进货时，网店规定冰墩墩玩偶进货数量不得超过雪容融玩偶进货数量的倍．小雅计划购进两种玩偶共40个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少元？
21.本小题12分
如图，是的外接圆，
AD是的直径，于点
求证：；
连接BO并延长，交AC于点F，交于点G，连接若的半径为5，，求GC和OF 的长.
22.本小题12分
【问题呈现】如图1，和都是等边三角形，连接BD，求证：
【类比探究】如图2，和都是等腰直角三角形，连接BD，
请直接写出的值.
【拓展提升】如图3，和都是直角三角形，，且
连接BD，①求的值；②延长CE交BD于点F，交AB于点求的值.
23.本小题13分
已知：抛物线经过，，三点．
求抛物线的解析式；
如图1，点P为直线BC上方抛物线上任意一点，连PC、PB、PO，PO交直线BC于点E，设，求当k取最大值时点P的坐标，并求此时k的值．
如图
2，点Q为抛物线对称轴与x轴的交点，点C关于x轴的对称点为点
①求的周长及的值；
②点M是y轴负半轴上的点，且满足为大于0的常数，求点M的坐标．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：
故选：
直接运用幂的乘方运算法则进行计算即可．
本题考查了幂的乘方：幂的乘方，底数不变，指数相乘，熟记法则是关键．
2.【答案】D
【解析】解：从正面看，底层有三个小正方形，上层右边是两个小正方形，
它的主视图是：
.
故选：
根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图．解题的关键是理解简单组合体的三视图的定义，明确从正面看得到的图形是主视图．
3.【答案】B
【解析】解：由数轴可知，，故A结论错误，不符合题意；
，，，故B结论正确，符合题意；
，，，，故C结论错误，不符合题意；
，，，故D结论错误，不符合题意．
故选：
根据数轴确定a，b的大小与符号，然后根据实数的运算法则计算即可．
本题考查的是实数与数轴，解题的关键是根据数轴确定a，b的符号与绝对值的大小．
4.【答案】A
【解析】【分析】
根据平角的意义求出的度数，再根据垂直的意义求出答案．
本题考查平角及垂直的意义，理解互相垂直的意义是解决问题的关键．
【解答】
解：，，
，
又，
，
，
故选：
5.【答案】D
【解析】解：令“交通安全、消防安全、饮食安全、防疫安全”为A，B，C，D，
画树状图如图：
共有16种等可能的结果，两人恰好选中同一主题的结果有4种，
则两人恰好选中同一主题的概率为
故选：
令“交通安全、消防安全、饮食安全、防疫安全”为A，B，C，D，画出树状图，共有16种等可能的结果，两人恰好选中同一主题的结果有4种，再由概率公式求解即可．
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
6.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质．根据抛物线平移后的形状不变，对称轴不变，a不变，抛物线的增减性不变解答即可．
【解答】
解：A、将函数的图象向下平移两个单位，a不变，开口方向不变，故不符合题意．
B、将函数的图象向下平移两个单位，顶点的横坐标不变，对称轴不变，故不符合题意．
C、将函数的图象向下平移两个单位，抛物线的开口方向不变，对称轴不变，则y随x的变化情况不变，故不符合题意．
D、将函数的图象向下平移两个单位，与y轴的交点也向下平移两个单位，故符合题意．
7.【答案】D
【解析】解：如图，连结OC，
是的切线，
，
，
，
，
，
设，
在中，，
，
，
，
，
，
在中，，
，
，
故选：
连结
OC，根据切线的性质得到，根据，得到，根据，得
到，在中，根据三角形内角和定理求得，根据含30度角的直角三角形的性质
得到，在中，根据求出的半径r即可得出答案．
本题考查了切线的性质，体现了方程思想，在中，根据三角形内角和定理求得是解题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：由作图得DE垂直平分AC，，
，
故A不符合题意；
，，
，
，
，
，，
∽，
故D不符合题意；
，，
，
，
，
，
故B不符合题意；
，
是直角三角形，
，，，
不是直角三角形，
与不全等，
故C符合题意，
故选：
由作图得DE垂直平分AC，，所以，可判断A不符合题意；由，得，则，由，，证明∽，可判
断D不符合题意；可求得，则，而，可求得，则，可判断B不符合题意；由，可知是直角三角形，由，，可知不是直角三角形，可判断C 符合题意，于是得到问题的答案．
此题重点考查尺规作图、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、全等三角形的判定、相似三角形的判定
等知识，求得是解题的关键．
9.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查了旋转的性质，坐标与图形的性质，锐角三角函数，证明是解题的关键．
延长，由题意的延长线经过点C，利用点A的坐标可求得线段AD，OD，求出，再证明，推出，得出，再利用勾股定理求出OC即可.【解答】
解：延长，由题意的延长线经过点C，如图，
，
，，
在中，，
根据旋转的性质可知：，，
，
又，
，
，
，
，
故选：
10.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查函数图象，解题的关键是读懂题意，能正确识图．观察图2可直接判断A、B，由可算出
M的值，从而判断C，观察图2可得时K的值，从而算出M的值，即可判断
【解答】
解：由图2可知，呼气酒精浓度K越大，的阻值越小，故A正确，不符合题意；
由图2知，时，的阻值为100，故B正确，不符合题意；
由图3知，当时，，
当时，该驾驶员为酒驾状态，故C不正确，符合题意；
由图2知，当时，，
，
该驾驶员为醉驾状态，故D正确，不符合题意；
故选：
11.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查自变量的取值范围，函数关系中主要有二次根式．根据二次根式的意义，被开方数是非负数．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．
【解答】
解：根据题意得：，
解得
故答案为
12.【答案】
【解析】解：
故答案为：
根据多项式的特征选择提取公因式法进行因式分解．
本题主要考查了运用提取公因式法进行因式分解，运用提取公因式法进行因式分解的关键是确定公因式．13.【答案】5
【解析】解：，是方程的两根，
，，
所以
故答案为：
根据根与系数的关系得到，，然后利用整体代入的方法计算．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，
14.【答案】
【解析】【分析】
连接CE，由扇形CBE面积-三角形CBE面积求解．本题考查扇形的面积与解直角三角形，解题关键是判断出三角形CBE为等边三角形与扇形面积的计算．
【解答】解：连接CE，
，
，
，
为等边三角形，
，，
，
阴影部分的面积为
故答案为：
15.【答案】
【解析】解：根据题意得：，
化为整式方程得：，
解得：，
检验：当时，，
原方程的解为：
故答案为：
根据新定义列出分式方程，解方程即可得出答案．
本题考查了解分式方程，新定义，根据新定义列出分式方程是解题的关键．
16.【答案】
【解析】解：如图，作于点
M，于点N，
设，
则，，
，，
，
，
，，
，
，
的纵坐标为，
，
，
即，
，
，
，
，
，
故答案为：
作于点M，于点N，设，则，，根据平行线分线段成比例求出DN，BN，OA，MN，再根据面积公式即可求出k的值．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，平行线分线段成比例，解题时注意：反比例函数图象上的点
的横纵坐标的积是定值k，即
17.【答案】解：原式
；
原式
【解析】利用立方根的意义，零指数幂的意义和负整数指数幂的意义化简运算即可；
利用平方差公式，单项式乘多项式的法则化简运算即可．
本题主要考查了立方根的意义，零指数幂的意义和负整数指数幂的意义，平方差公式，单项式乘多项式的法则，熟练掌握上述法则与性质是解题的关键．
18.【答案】解：，，20；
八年级抽测的10个班级中，A等级的百分比是
估计该校八年级共30个班这一天餐厨垃圾质量符合A等级的班级数为：个
答：该校八年级共30个班，估计八年级这一天餐厨垃圾质量符合A等级的班级数为6个．七年级各班落实“光盘行动”更好，因为：
①七年级各班餐厨垃圾质量众数，低于八年级各班餐厨质量垃圾的众数
②七年级各班餐厨垃圾质量A等级的高于八年级各班餐厨质量垃圾质量A等级的
八年级各班落实“光盘行动”更好，因为：
①八年级各班餐厨垃圾质量的中位数低于七年级各班餐厨质量垃圾的中位数
②八年级各班餐厨垃圾质量的方差低于七年级各班餐厨质量垃圾的方差，更稳定．
【解析】本题考查了中位数、众数、方差的意义，关键在于根据图中信息结合统计相关知识的意义进行分析即可．
在，，，，，，，，，中，出现次数最多的是，
众数，
八年级10个班中B等级有5个，占，C、D等级所占百分比分别为、，
等级占：，即，
把八年级10个班的餐厨垃圾质量从小到大排列，C、D等级共占3个数，则第5个和第6个数都是B等级中的，
，
故答案为：，，20；
用抽测的百分比乘总体即可求解．
从众数，中位数、A等级的百分比、方差进行评论即可．
19.【答案】解：由题意得：
，米，
是的一个外角，
，
，
米，
斜坡BC的长为30米；
在中，，米，
米，
米，
在中，，
米，
米，
这棵大树CD的高度约为20米．
【解析】根据题意可得：，米，根据三角形的外角可求出，从而
可得米，即可解答；
在中，利用锐角三角函数的定义求出CE，BE的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出DE的长，然后进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，坡度坡角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
20.【答案】解：设冰墩墩的进价为x元/个，雪容融的进价为y元/个，
由题意可得：，
解得，
答：冰墩墩的进价为72元/个，雪容融的进价为64元/个；
设冰墩墩购进a个，则雪容融购进个，利润为w元，
由题意可得：，
随a的增大而增大，
网店规定冰墩墩玩偶进货数量不得超过雪容融玩偶进货数量的倍，
，
解得，
当时，w取得最大值，此时，，
答：冰墩墩购进24个，雪容融购进16个时才能获得最大利润，最大利润是992元．
【解析】根据用1400元购进了冰墩墩玩偶15个和雪容融玩偶5个，购进1个冰墩墩玩偶和1个雪容融玩偶共需136元，可以列出相应的二元一次方程组，然后求解即可；
根据题意可以写出利润和冰墩墩数量的函数关系式，然后根据网店规定冰墩墩玩偶进货数量不得超过雪容融玩偶进货数量的倍，可以求得购买冰墩墩数量的取值范围，再根据一次函数的性质，即可得到利润的最大值．
本题考查二元一次方程组的应用、一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组，写出相应的函数关系式，利用一次函数的性质求最值．
21.【答案】证明：是的直径，，
，
；
解：在中，，，
，
是的直径，，
，
是的直径，
，
，
，，
，
∽，
，即，
解得：
【解析】根据垂径定理得到，根据圆周角定理证明结论；
根据勾股定理求出BE，根据垂径定理求出BC，根据圆周角定理得到，根据勾股定理求出GC，证明∽，根据相似三角形的性质求出
本题考查的是圆周角定理、垂径定理、相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理、垂径定理是解题的关键．
22.【答案】证明：和都是等边三角形，
，，，
，
，
≌，
；
解：和都是等腰直角三角形，
，，
，
，
∽，
；
解：①，，
∽，
，，
，
∽，
；
②由①得：∽，
，
，
，
【解析】证明≌，从而得出结论；
证明∽，进而得出结果；
①先证明∽，再证得∽，进而得出结果；
②在①的基础上得出，进而，进一步得出结果．
本题考查了等腰三角形性质，全等三角形判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握“手拉手”模型及其变形．
23.【答案】解：抛物线经过，，，
设，将代入，得，
解得：，
，
抛物线的解析式为；
如图1，过点P作轴交直线BC于点H，
∽，
，
，，
，
设直线BC的解析式为，
，，
，
解得：，
直线BC的解析式为，
设点，则，
，
，
，
当时，k取得最大值，此时，；
①如图2，过点Q作于点T，则，
，
抛物线对称轴为直线，
，
，，
点C关于x轴的对称点为点D，
，
，
，
，
，
，
的周长；在中，，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
；
②设，则，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，即，
，
，
，
整理得，，
，，
，即，
当，即时，
，
或
【解析】运用待定系数法即可求得答案；
如图1，过点P作轴交直线BC于点H，则∽，进而可得，再运用待
定系数法求得直线BC的解析式为，设点，则，从而得出
，再利用二次函数性质即可得出答案；
①如图2，过点Q作于点T，则，利用配方法求得抛物线对称轴为直
线，得出，运用勾股定理即可求得的周长；再证明是等腰直角三角形，利用三角函数求得QT，DT，即可求得答案；
②设，则，根据，求得QT、MT，再利用，
求得BT，根据，可得，化简得，解方程即可求得答案．
本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，勾股定理，两点间距离公式，三角函数，等腰直角三角形性质及判定，轴对称性质，二次函数图象和性质，解一元二次方程等知识，综合性强，难度大，属于中考数学压轴题，解题关键是添加辅助线构造直角三角形，熟练运用勾股定理和三角函数定义解题．。