3.2.4二面角及其度量(共40张)

D1
①证明：以 DA、DC、DD1为正交基底， A1 建立空间直角坐标系如图。则可得
M
所以MA (2，0，1)，MC (0，2，1)，
B1O (1，1， 2)
D O
A(2，0，0)，C(0，2，0)，M (0，0，1)， A
B1(2，2，2)，O(1，1，0)。
x
B1O MA 2 0 2 0，B1O MC 0 2 2 0
二面角的大小用它的平面角来度量
∠A O B
？ ∠A1O1B1
B1
B
平面角是直角的二面 角叫做直二面角
l
O1 O
A A1
9
第5页，共40页。
以二面角的棱上任意一点为端点，在两个 面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射 线所成的角叫做二面角的平面角。
A
O
二面角的平面角必须(bìxū)满足：
1）角的顶点在棱上
B
FA
M
C 第21页，共40页。
射影(shèyǐng) 法是不找平面角求二面角的一种方法:
A
B
O
D
C
第22页，共40页。
已知：如图⊿ABC的顶点A在平面M上的射 影(shèyǐng)为点A`， ⊿ABC的面积是S， ⊿A`BC的 面积是S`，设二面角A-BC-A`为
求证：COS = S` ÷ S
切(zhèngqiē)值是_______.
2
No
Image
第8页，共40页。
小结 ： (xiǎojié)
1.异面直线所成角：
cos | cos a,b |
C
D
a
a
A
D1
bB
2.直线与平面所成角：
sin | cos n, AB |
B
A
n
O n
第9页，共40页。
3.二面角：
B
A
C
l
D
cos cos AB,CD AB CD
2）角的两边分别在两个面内
l
3）角的边都要垂直于二面角的棱
B
范围:[0, ]
10
第6页，共40页。
二面角的计算(jìsuàn)：
1、找到或作出二面角的平面角 2、证明 1中的角就是所求的角
3、计算出此角的大小
一“作”二“证”三“计算”
16
第7页，共40页。
练习
１.如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，二面角C1-BD-C的正
CD (1, 0, 0), SD (0,1, 1)
设平面
(píngmiàn)
SCD的法向量n2 (x, y, z),
由n2 CD, n2 SD,得：
x0
y
z
0
任取n2 (0,1,1)
cos
n1, n2
|
n1 n2 n1 || n2
|
2 2
即所求二面角得余弦值是
2 2
第29页，共40页。
2
∴
cos〈
m,
n〉=
∴二面角 D BC1
mn 3 2
mn
32 2
C的大小等于〈m, n〉
x
C
D
By A
2
即二面角 D BC1 C 的余弦值为 2
第35页，共40页。
例.已知正方体ABCD A1B1C1D1 的边长为2，
O为AC和BD的交点，M为DD1 的中点 z
（1）求证： 直线 B1O 面MAC; （2）求二面角 B1 MA C 的余弦值.
注意法向量的方向：一进一出，二面角等于法向量夹角；
同进同出，二面角等于法向量夹角的补角
第28页，共40页。
解 : 设SA 1建立空间直角坐标系[O; AB,AD, AS]
A (0,0,0), C (1,1,0), D (0,1,0),
S(0, 0,1)
易知面SBA的法向量n1 AD (0,1, 0)
或 3
44
第11页，共40页。
练习(liànxí)
3 、 在二面角α-a-β内，过a作一个半平面γ，使二面角αa-γ=45°，二面角γ-a-β=30°，则γ内的任意一点P到平 面α与平面β的距离之比为
2
第12页，共40页。
二二面面角角的的求求法法 (1)垂面法 (2)垂线 法 (chuí xiàn)
这两个半平面叫做二面角的面。
3
第3页，共40页。
表示 方法： (biǎoshì)
∠AOB
O
二面角－AB－
A
C
B A
B
l
B
A
二面角－ l－
D
二面角C－AB－ D
5
第4页，共40页。
度量：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个
面内分别(fēnbié)作垂直于棱的两条射线，这两条
射线所成的角叫做二面角的平面角。
AB CD
一进一出，二
面角等于法向
量(xiàngliàng)的
夹角；
同进同出，二 面角等于法向
量夹角的补角。
l
l
cos cos n1, n2
cos cos n1, n2
第10页，共40页。
练习
２. 在二面角α-l-β的一个平面α内有一条(yī 直 tiáo) 线AB，它 与棱 l 所成的角为45°，与平面β所成的角为30°，则 这个二面角的大小是________________.
(3)射影法
第13页，共40页。
垂面法(定义 法) (dìngyì)
定义法:根据定义,找到二面角的棱垂面即可 得平面角,解三角形求其大小.
第14页，共40页。
在正方体AC1中，求二面角D1—AC—D的 大小 ？ (dàxiǎo)
D1
C1
A1
B1
DO
C
A
B
第15页，共40页。
⊿ABC中,AB⊥BC,SA ⊥平面(píngmiàn)ABC,DE 垂直平分SC,又SA=AB,SB=BC,求二面角EBD-C的大小?
D
AB CD
第30页，共40页。
例、已知在一个(yī ɡè)二面角的棱上有两个点A，B， 线段AC，BD分别在这个二面角的两个面内，并且 都垂直于棱AB，AB=4cm，AC=6cm，BD=8cm，
CD=2 17cm，求二面角的度数
CD 2 (CA AB BD)2
D
A
B
(2 17)2 62 42 82 2 CA BD cos CA, BD C E
cos
B1O，n
1 2 4 6 9
6 6
所以二面角B1 MA C的余弦值为
6。 6
第37页，共40页。
小结 ： (xiǎojié)
1.异面直线所成角：
cos | cos a,b |
C
D
a
a
A
D1
bB
2.直线与平面所成角：
sin | cos n, AB |
B
A
n
O n
第39页，共40页。
由A(2，0，0)，M (0，0，1)，B1(2，2，2)得 MA (2，0，1)，MB1 (2，2，1)
A1 M
C1 B1
所以n MA 0，n MB1 0
即
2x 2x
0 2
z y
z
0
0
取z=2得x=1，y= - 2
A
D
O
所以平面B1MA的一个法向量为 x
y
C
B
n (1， 2，2)
D(
3 , 1 ,0) 44
C1 (0,0,
2) 2
∴
C1D
(
3 4
, 1 , 4
2) 2
DB ( 3 , 3 ,0) z 44
由 C1D m, DB m 得
C1
B1
C1D m
3x1 y 44
2 z 0, 2
DB m 3 x 3 y 0 44
A1
解得 x 3y 6 z 所以，可取 m (3, 3, 6)
A(
3 a, 1 a,0) 22
B(0, a,0)
C1 (0,0, b)
B1 (0, a, b) D(
3 a, 1 a,0) 44
故 AB1 (
3 a, 1 a,b) 22
BC1 (0,a,b)
AB1 BC1,
AB1
BC1
1 2
a2
则可设 a =1，b
b2
0 b 2 a
2
2
，则B(0,1,0)
D1 E
C1
D
A1
B1
A
G
DH
C
A
FB
第25页，共40页。
GC H
FB
过正方形ABCD的顶点A引SA⊥底面ABCD， 并使平面(píngmiàn)SBC，SCD都与底面ABCD成45 度角，(1)求二面角B—SC—D的大小？(2)求
面SCD与面SAB所成的二面角
1200
S
450 或1350
A
E
D
O
cos CA, BD 1 2
cos AC, BD 1
3
2
第31页，共40页。
例.正三棱柱(léngAzhùB) C 时，AB求1二面B角C1
的A1余B1弦C1值D。中 B，CD1 是CAC的中点，当
C1
B1
A1
C D
B A
第32页，共40页。
解法一(方向向量）：如图，以C为原点建立空间直角坐标系 C-xyz。设底面三角形的边长为a，侧棱长为b, 则
B
C
第26页，共40页。
一题多解： 垂面法 : ASD
射影 面积法 (shèyǐng) 法向量法
第27页，共40页。
三、面面角： 二面角的范围(fànwéi)： [0, ]
①法向量法
n1，n2
n1，n2
n1，n2
n1，n2
l
l
cos cos n1, n2 cos cos n1, n2
第1页，共40页。
一条直线上的一个点把这条直线分成两个部
分，其中的每一部分都叫做射线。
一个平面内的一条直线把这个(zhège)平面分成
两个部分，其中的每一部分都叫做半平面。
2
第2页，共40页。
定义:
B
A
O
A
B
从一条直线出发的两个半平面所组成(zǔ chénɡ) 的图形叫做二面角。这条直线叫做二面角的棱。
三、面面角： 二面角的范围： [0, ]
②方向(fāngxiàng)向量法：
将二面角转化为二面角的两个面的方向向量 （在二面角的面内且垂直于二面角的棱）的 夹角。如图，设二面角 l 的大小为 ， 其中 AB l, AB ,CD l,CD
B
A
C l
cos cos AB,CD AB CD
2) 3
EC (0, 1 , 3
2) 3
第33页，共40页。
由于BD AC且 CC1 面ABC ，所以 BD C1D
在
RtC1 BD
中，同理可求
F (0,
1, 2
2) 4
∴ FD ( 3 , 1 , 2 )
z C1
444
B1 A1
∴ cos〈 EC, FD〉=
1
EC FD 4 2
z C1
B1 A1
2
C1 (0,0,
2) 2
D(
3 , 1 ,0) 44
E
作CE BC1于E, DF BC于1 F，
F
则〈 EC, FD 〉即为二面角 D BC1 C 的大小 C
By
在 RtCC1B
中，C1E
EB
CC12 BC2
b2 a2
1 2
x
DA
CE 1 EB 2
E(0, 1 , 3
3.二面角：
B
A
C
l
D
cos cos AB,CD AB CD
AB CD
一进一出，二
面角等于法向
所以B1O MA ， B1O MC 即B1O MA ， B1O MC。又MA
所以B1O 平面MAC
第36页，共40页。
MC C
C1 B1
y
C B
② 由①知 B1O 平面MAC
且B1O (1，1， 2)
所以B1O是平面MAC的z 一个法向量
设平面B1MA的一个法向量为n (x，y，z) D1
第18页，共40页。
三棱锥P-ABC中，PA ⊥平面 ABC， (píngmiàn) PA=3，AC=4，PB=PC=BC
（1）求二面角A-PC-B的大小
P
BD= 5 3
2
D DE= 15 8
AE
C COS =
B
第19页，共40页。
四棱锥(léngzhuī)P-ABCD的底面是边长为4的正方 形，PD⊥面ABCD，PD=6，M,N是PB,AB的 中点，求二面角M-DN-C的平面角的正切值？
S
E
A
D
C
3
B
第16页，共40页。
垂线 法(三垂 (chuíxiàn) 线 定理或逆定
(chuíxiàn)
理)
垂连求角
第17页，共40页。
三垂线法:首先找其中一个半平面的 垂线,找不到(bù dào)垂线找垂面(指其中 一个半平面的垂面),找到垂面作垂线, 构造三垂线定理或逆定理条件得平面 角.
P
M
arctan 3 5 2
C
B
O H
N
D
A
第20页，共40页。
如图，三棱锥P-ABC中，面PBC⊥面ABC， ⊿PBC是边长为a的正三角形(zhènɡ sān jiǎo ， xínɡ) ∠ACB= 90°， ∠BAC=30°，BM=MC
① 求证： PB ⊥AC ② 二面角C-PA-M的大小
P
D
arctan 2 3
EC FD
3 6 2
C
34
x
即二面角D BC1 C 的余弦值为 2
2
第34页，共40页。
E
F By
DA
解法(jiě fǎ)二（法向量）同法一，以C为原点建立空间直角坐标系 C-xyz CC1B 在坐标平面yoz中 ∴可取 n＝(1,0,0)为面 CC1B的法向量
设面 C1BD 的一个法向量为 m (x, y, z) 同法一，可求 B(0,1,0)
A
B
D
M
C
A`
第23页，共40页。
在正方体AC1中，E,F分别是中点(zhōnɡ diǎn),求截面 A1ECF和底面ABCD所成的锐二面角的大小
D1
E
C1
DG C
A1 D
B1 arccos 6
6A F B
G
E
C
A
FB
A1
C
第24页，共40页。
F

在正方体AC1中，E,F分别(fēnbié)是中点,求截面 A1ECF和底面ABCD所成的锐二面角的大小