数值计算中的误差课件

就能保证 I * 的相对误差不大于0.1%。
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四、误差的传播与估计
1、误差估计的一般公式
在实际的数值计算中，参与运算的数据往往都 是些近似值，带有误差。这些数据误差在多次 运算过程中会进行传播，使计算结果产生误差。 而确定计算结果所能达到的精度，显然是十分 重要的，但这往往也是件很困难的事。但做一 些有用的估计还是可以做到的。这里介绍一种 常用的误差估计的一般公式，它是利用函数的 泰x2
)*
.
* r
(
x
2
)
x1* ( f )* 和 x2* ( f )*
y* x1
y* x2
分别是x1*和x2*对y *的绝对误差增长因子，它
们分别表示绝对误差

* r
(
x1
)和
* r
(
x2
)
经过传播后增大或缩小的倍数。
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2、误差在算术运算中的传播
2 误差的含义及其理解
误差无处不在。一个合理的算法也可能得出错误的结果。
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3 算法的数值稳定性
算法选得不恰当，不仅影响到计算的速度和效率，还会 由于计算机计算的近似性和误差的传播、积累直接影响到计 算结果的精度，有时甚至直接影响到计算的成败。不合适的 算法会导致计算误差达到不能容许的地步，而计算最终失败， 这就是算法的数值稳定性问题。
•几点注意
•有效数尾部的零的作用 203（3），0.0203（3），
0.0203（3），0.020300（5）
•存疑数字：准确值 x* 0.1524 ，近似值 x 0.15 4
存凝数字
•具有n位有效数字的有效数与真值x精确到第n位 的近似值在同一位可能相同或相差可能为1。 •有效位数的长短受到计算机字长的限制。
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五、防止误差传播的若干方法
应选用数值稳定的计算算法，避开不稳定的算式； 注意简化计算步骤，减少运算次数； 大数“淹没”小数的现象发生； 应避免两相近数相减（变换）； 绝对值太小的数不宜作为除数； 注意计算过程中误差的传播与积累。
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三、 绝对误差和相对误差
（一）、 绝对误差和相对误差限
1、绝对误差
设某一个量的准确值（称之为真值）为 x*，其近似值 为 x ，则 x与x*的差
(x) x x* (1)
称为近似值 x 的绝对误差，简称误差。当(x) 0 时，
称为亏近似值或弱近似值，反之则称为盈近似值或强 近似值。
本章小结
•介绍了误差理论的基本概念，误差在近似值运算中 的传播规律以及估算方法，以及数值稳定性的概念； •误差的表示方法：绝对误差和相对误差； •误差产生的原因：过失误差和非过失误差； •计算机计算受计算机的字长的限制：因而有效数字 的概念很重要； •常用的误差估计方法：泰勒展开方法； •防止误差传播的几个常用方法。
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5、 相对误差的其它定义
因为一个量的真值往往是不可能求出的，所以
在求相对误差时，常用绝对误差与近似值的比来描 述。于是有：

* r
(x)

(x)
x
百分误差：

* r
(x)


(x) x
100％
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（三）、有效数字及其与误差的关 系
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2、绝对误差限，或精度
由于真值往往是未知或无法知道的，因此(x) 的 准确值（真值）也就是无法求出。但一般可估计 出此绝对误差 (x) 的上限，也即可以求出一个正
数 ，使
(x) x x* (2)
此 称为近似值 x 的绝对误差限，或精度。
它们分别表示绝对误差 (x1)和(x2 )
经过传播后增大或缩小的倍数。
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相对误差：

* r
( y)

( y) y

f ( x1
)
*
.
( x1 y*
)

f ( x2
)*.
(x2 ) y*

x1* y*
(
f x1
)
*
.
* r
(
x1
)

x
作业：P11 1,2,7,8,9,12,13
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例如，当要求计算 3.01 3 ，结果精确到第
五位数字时，至少取到（八位）
3.01 1.7349352 3 1.7320508
3.01 3 2.8844 10 3
才能达到具有五位有效数字的要求。如果 变换算式（五位）：
3.01 3 3.01 3
0.01
2.8843 10 3
在具体应用时，应注意分析加、减、乘、除、乘 方和开方等算术运算对数据误差的传播规律。
n
n
1、加、减运算 ( xi ) (xi ) (18)
i 1
i 1
n
n
*r ( xi )
xi*
n

* r
(
xi
)
(19)
i1
i1
xi*
i1
近似值之和的绝对误差等于各近似值的绝对误差
p(x) a0 xn a1xn an1x an p(x) (((a0x a1)x a2 )x an1)x an
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二、误差的种类及其来源
过失误差或疏忽误差
模型误差 非过失误差 观测误差
截断误差 舍入误差(凑整误差)
I 例2 要使积分 I 1ex2 dx 的近似值 * 的相对误
差不超过0.1％，问0至少取几位有效数字？
解：可以知道，I 0.7467 这样 1 7 ，
*r (x)

1 10n1 27

0.1%
可得n=3，即 I * 只要取三位有效数字 I * 0.747 ，
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计算结果
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目的：
分析算法对数值计算结果有重要的影响。
分析：
由于两个近似数相减，使计算结果的有效 数字位数显著减少，以第二种算法尤为严 重。而后两种算法中，则有效数字的损失 较少。又由于近似值的p次乘方的相对误差 是该近似值本身的相对误差的p倍，因此， 在后两种算法中以最后一种为最佳。
数值计算中的误差
主要内容 误差及其来源 误差限和有效数字 相对误差与有效数字的联系 算法的稳定性分析
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一、误差分析
1 数值计算方法
数值计算方法，是指将所欲求解的数学模型（数学问 题）简化成一系列算术运算和逻辑运算，以便在计算机上 求出问题的数值解，并对算法的收敛性、稳定性和误差进 行分析、计算。
的代数和。
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两数x1和x2相减：
*r (x1

x2 )

x1*
x1*
x2*

x1*
x2* x2*
*r (x2 )
即：
*r (x1 x2 )

x1* x1* x2*
*r (x2 )
x2* x1* x2*
*r (x2 )
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(7)
21
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计算题
绝对误差和相对误差的计算以及有效数字？
例1 当用 3.1416 来表示 的近似值时，
它的相对误差是多少？
解：3.1416具有五位有效数字，1 3 ，由(7)有
*r (x)

1 1051 23

1 6
104
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1 3.1416 , 2 3.14159
•数字的规格化形式
一般说，设有一个数x ，其近似值 x*的规格化形式
x* 0.1 2 n 10 m (5)
式中：1, 2 ,, n 都是0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中的一个数 字，1 0 ；n是正整数；m是整数。
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1、例子
3

问题：计算算式 x
2 1
的近似值：
2 1
可用下列四个式子进行计算：
x
2 13
2 1
x 99 70 2
x


1
6

2 1
x 1 99 70 2
分别采用近似值：
2 7 5 1.4 和 2 17 12 1.4166
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2、有效数字与误差的关系
绝对误差限
－参考：易大义，计算方法，浙江大学
(x) x x* 1 10mn (6) 2
由上式，可以从有效数字算出近似值得绝对误 差限；有效数字的位数越多，其绝对误差限也 就越小。
相对误差限
1 10n1
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错误的结果
因此，在研究算法的同时，还必须 正确掌握误差的基本概念，以及误差在 近似值运算中的传播规律，误差分析、 估计的基本方法和算法的数值稳定性概 念。否则，一个合理的算法也可能会得 出一个错误的结果来。
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•有效数字
若 x*的误差限为
(x) x x* 1 10mn (6) 2
则称 x *为具有n位有效数字的有效数，或称为它
精度到 10mn 。其中每一位数字 1 , 2 ,, n都
x *是的有效数字。
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1、有效数字 •引子：末位的半个单位
•有效数字的通俗理解
分析：当近似值 x *的误差限是其某一位上
的半个单位时，就称其“准确”到这一位， 且从该位起直到前面第一位非零数字为止的 所有数字都称为有效数字。
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例如 3.14159265 的五、六位有
效数字分别为：
3.01 3 1.7349 1.7321
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3、例题分析
问题：利用
2

7
计算代数式
5
并分析对计算结果的影响。
x

3
2 1
的值，
2 1
x ( 2 1)6
2 13
x

2 1
x 99 70 2
x 1 99 70 2
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（二）、相对误差和相对误差限
1、 为什么要讨论相对误差
2 、相对误差
定义：绝对误差与真值之比
r
(x)

(x)
x*

x
x* x*
(4)
3、相对误差限 r (x)
4、 绝对误差与相对误差的关系： (x) x* r (x)
绝对误差与相对误差比较还有一个差别：量纲之差。
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以二元函数为例 y f (x1, x2 )
绝对误差：
( y)

y
y*

f
(x1, x2 )
f ( x1*, x2* )

(
f x1
)*
.(
x1
)

(
f x2
)*
.(
x2
)
( f )* 和( f )*
x1
x2
分别是x1*和 x2*对y *的绝对误差增长因子，