重庆第一中学高中数学选修2-2第三章《导数应用》测试卷(包含答案解析)

一、选择题
1．已知函数()2
3ln 6f x x kx x =-+，若()0f x >的解集为(),m n ，且(),m n 中只有两个整
数，则（ ） A ．k 无最值 B ．k 的最小值为123ln 2
4+ C ．k 的最大值为
123ln 2
4
+ D ．k 的最小值为
6ln33
+ 2．已知函数()2
ln f x x ax x =-+有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．0,1
B ．(),1-∞
C ．0,
D ．11,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭
3．已知函数()()1
1332cos 1x x x f x --+=+--，则()()0.52310.5log 9log 2f f f -⎛
⎫ ⎪⎝⎭、、的
大小关系（ ） A ．()()0.5
231log 9log 0.52f f f -⎛⎫>> ⎪⎝
⎭
B ．0.5
321(log )(0.5)(log 9)2
f f f ->>
C ．0.5
321
(0.5
)(log )(log 9)2
f f f ->>
D ．0.5
231
(log 9)(0.5
)(log )2
f f f ->>
4．已知函数32()f x x bx cx d =+++在区间[1,2]-上是减函数，那么b c + （ ） A ．有最小值
152 B ．有最大值
152 C ．有最小值152
- D ．有最大值152
-
5．若函数()()sin x
f x e x a =+在区间,22
ππ
⎛⎫
- ⎪⎝
⎭
上单调递增，则实数a 的取值范围是（）
A ．)
+∞
B ．[)1,+∞
C ．()1,+∞
D ．()
+∞
6．已知函数()3
2
2
7f x x ax bx a a =++--在1x =处取得极大值10，则a
b 的值为（ ） A ．23
-
B ．
2
3
或2 C ．2
D ．13
-
7．若函数()2
ln f x ax x x =+-存在增区间，则实数a 的取值范围为（ ） A ．1,4⎛⎫-∞-
⎪⎝⎭
B ．1,4⎛⎫
-
+∞ ⎪⎝⎭
C．
1
,
8
⎛⎫
-+∞
⎪
⎝⎭
D．
1
,
8
⎛⎫
-∞-
⎪
⎝⎭
8．若
12
01
x x，则（）
A．21
21
ln ln
x x
e e x x
->-
B．21
21
ln ln
x x
e e x x
-<-
C．12
21
x x
x e x e
>
D．12
21
x x
x e x e
<
9．已知定义在R上的可导函数()
y f x
=的导函数为()
f x
'，满足()()
f x f x
<
'，
且(1)
y f x
=+为偶函数，(2)1
f=，则不等式()x
f x e
<的解集为（）
A．4
(,)
e
-∞B．4
(,)
e+∞C．(,0)
-∞D．(0,)
+∞
10．已知函数2
()cos sin2
f x x x
=，若存在实数M，对任意
12
,R
x x∈都有
()()
12
f x f x M
-≤成立.则M的最小值为（）
A．
33
B．
3
C．
33
D．
23
11．设动直线x m
=与函数2
()
f x x
=，()ln
g x x
=的图像分别交于,
M N，则MN的最小值为（）
A．
11
ln2
22
+B．
11
ln2
22
-C．1ln2
+D．ln21
-
12．已知0
a>，函数()
2
2
5
,0,
2
,0,
x a x
f x
x x
⎧
+≤
⎪
=⎨
⎪->
⎩
若关于x的方程()()
2
f x a x
=-恰有2个
互异的实数解，则a的取值范围为（）
A．14
a
<<B．24
a
<<C．48
a
<<D．28
a
<<
二、填空题
13．如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D，E，F为圆O上的点，,,
DBC ECA FAB分别是以BC,CA,AB为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以BC,CA,AB为折痕折起,,
DBC ECA FAB，使得D，E，F重合，得到三棱锥.当所得三棱锥体积（单位：3
cm）最大时，ABC的边长为_________（cm）.
14．已知函数()f x 是定义在R 上的增函数，()()2f x f x '+>，()01f =，则不等式
()ln 2ln 3f x x +>+⎡⎤⎣⎦的解集为______．
15．已知函数()f x 是定义在(0,)+∞上的单调函数，()f x '是()f x 的导函数，且对任意的
(0,)x ∈+∞都有2(())2f f x x -=，若函数()()2()3F x xf x f x '=--的一个零点
0(,1)x m m ∈+，则整数m 的值是__________.
16．某生产厂家生产一种产品的固定成本为1万元，并且每生产1百台产品需增加投入0.5万元.已知销售收入()R x （万元）满足()32191
882
R x x x x =-
++（其中x 是该产品的月产量，单位：百台，08x <<），假定生产的产品都能卖掉，则当公司每月产量为______百台时，公司所获利润最大..
17．若函数()ln 1f x ax x =--有零点，则实数a 的取值范围是___________．
18．已知函数()32sin f x x x =-，若2(3)(3)0f a a f a -+-<，则实数a 的取值范围是__________．
19．设m R ∈，若函数()3
32f x x x m =-+在0,3⎡⎤⎣⎦上的最大值与最小值之差为2，
则实数m 的取值范围是______.
20．已知()3
2
26f x x x a =-+(a 为常数)在[]22-,
上有最小值3，则()f x 在[]22-,上的最大值为______
三、解答题
21．已知函数()()()3
2
22110f x ax a x a =--+≠.
（1）讨论()f x 的单调性；
（2）当2a =时，若α∀、R β∈，()()sin sin f f m αβ-<，求m 的取值范围. 22．已知函数()()2
1()x
f x x e ax a R =--∈.
（1）当1a =时，求()f x 的单调区间；
（2）若0x =是()f x 的极大值点，求a 的取值范围. 23．如图是一个半径为2千米，圆心角为
3
π
的扇形游览区的平面示意图C 是半径OB 上一点，D 是圆弧AB 上一点，且//CD OA .现在线段OC ，线段CD 及圆弧DB 三段所示位置设立广告位，经测算广告位出租收入是：线段OC 处每千米为2a 元，线段CD 及圆弧
DB 处每千米均为a 元．设AOD x ∠=弧度，广告位出租的总收入为y 元．
(1)求y 关于x 的函数解析式，并指出该函数的定义域；
(2)试问：x 为何值时，广告位出租的总收入最大？并求出其最大值．
24．某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O 的一段圆弧MPN （P 为此圆弧的中点）和线段MN 构成．已知圆O 的半径为40米，点P 到MN 的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚I 内的地块形状为矩形ABCD ，大棚II 内的地块形状为
CDP ，要求,A B 均在线段MN 上，,C D 均在圆弧上．设OC 与MN 所成的角为θ．
（1）用θ分别表示矩形ABCD 和CDP 的面积，并确定sin θ的取值范围；
（2）若大棚I 内种植甲种蔬菜，大棚II 内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4:3．求当θ为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大． 25．已知函数()x
f x ax e =-(a R ∈，e 为自然对数的底数).
（1）讨论()f x 的单调性；
（2）当1x ≥-，()2
32f x a x ≤--恒成立，求整数a 的最大值.
26．已知二次函数f (x )的最小值为－4，且关于x 的不等式f (x )≤0的解集为{x |－1≤x ≤3，x ∈R}.
（1）求函数f (x )的解析式； （2）求函数g (x )＝
()
f x x
－4ln x 的零点个数.
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一、选择题 1．D 解析：D 【分析】 原不等式化为
3ln 6x kx x >-，设()()3ln ,6x
g x h x kx x
==-，画出函数图象，结合函数图象列不等式求解即可. 【详解】
由()2
3ln 60f x x kx x =-+>，得
3ln 6x
kx
x
>-， 设()()3ln ,6x
g x h x kx x
=
=-， ()()2
31ln x g x x
-'=
，()()00,0g x x e g x x e >⇒<<⇒''
所以()g x 在()0,e 的上单调递增，在(),e +∞单调递减， 而()6h x kx =-的图象是一条恒过点()0,6-的直线， 函数()g x 与()h x 的图象如图所示，
依题意得，01m <<，
若(),m n 中只有两个整数，这两个整数只能是1和2，
则()()()()2233g h g h ⎧>⎪⎨≤⎪⎩
，
即3ln 2
262ln 336
k k ⎧>-⎪
⎨⎪≤-⎩，解得6ln 3123ln 234k ++≤<， 故k 的最小值为6ln3
3
+， 故选：D. 【点睛】
方法点睛：函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质．
2．A
解析：A 【分析】
分离参数，求函数的导数，根据函数有两个零点可知函数的单调性，即可求解. 【详解】 由题意得2
ln x x
a x +=
有两个零点 243
1
(1)(ln (2)
12ln x x x x x x x a x x +-+-='-=
） 令()12ln (0)g x x x x =--> ,
则2
()10g x x
'=-
-<且(1)0g = 所以(0,1),()0,0x g x a ∈>'>，2ln x x
a x +=在(0,1)上为增函数， 可得),(1a ∈-∞，
当(1,),()0,0x g x a ∈+∞<<'，2
ln x x
a x
+=在(1,)+∞上单调递减， 可得(0,1)∈a ， 即要2
ln x x
a x
+=有两个零点有两个零点，实数a 的取值范围是()0,1. 故选：A 【点睛】
方法点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．
3．A
解析：A 【分析】
首先设函数()(1)332cos x x g x f x x -=+=+-，判断函数是偶函数，利用导数判断函数的单调性，根据平移关系，可判断函数()y f x =的对称性和单调性，再将2log 9，0.50.5-，以及31
log 2
转化在同一个单调区间，根据单调性比较大小. 【详解】
令()(1)332cos x x g x f x x -=+=+-，
()()g x g x -=，所以()g x 是偶函数； ()ln3(33)2sin x x g x x -'=-+，
当(0,)x π∈时，()0g x '>，()g x 在(0,)π上是增函数，
将()g x 图像向右平移一个单位得到()f x 图像， 所以()f x 关于直线1x =对称，且在(1,1)π+单调递增. ∵
23log 94<<，0.50.5-=()331
2log 2log 22,32
-=+∈， ∴0.523
1
4log 92log 0.512
->>->>， ∴()()0.5
23
1log 92log 0.52f f f -⎛⎫>-> ⎪⎝
⎭
， 又∵()f x 关于直线1x =对称，∴3311log 2log 22f f ⎛⎫⎛
⎫=- ⎪ ⎪⎝
⎭
⎝
⎭，
∴()()0.5231log 9log 0.52f f f -⎛
⎫>> ⎪⎝
⎭
. 故选：A 【点睛】
思路点睛：本题是一道函数单调性，奇偶性，对称性，判断大小的习题，本题所给函数
()()11332cos 1x x x f x --+=+--，看似很复杂，但仔细观察就会发现，通过换元后可判
断函数()1y f x =+是偶函数，本题的难点是判断函数的单调性，关键点是能利用对称性，转化3
311log 2log 22f f ⎛⎫⎛
⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭.
4．D
解析：D 【解析】
试题分析：由f （x ）在[-1，2]上是减函数，知f′（x ）=3x 2+2bx+c≤0，x ∈[-1，2]， 则f′(-1)=3-2b+c≤0,且f′(2)=12+4b+c≤0，⇒
15+2b+2c≤0⇒b+c≤-15
2
，故选D. 考点：本题主要考查了函数的单调性与其导函数的正负情况之间的关系，即导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．
点评：解决该试题的关键是先对函数f （x ）求导，然后令导数在[-1，2]小于等于0即可求出b+c 的关系，得到答案．
5．B
解析：B 【分析】
将问题转化为()0f x '≥在,22ππ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
上恒成立；根据导函数解析式可知问题可进一步转化
04x a π⎛⎫
+
+≥ ⎪⎝
⎭
在,22ππ⎛⎫
-
⎪⎝⎭上恒成立；利用正弦型函数值域求法可求得
(
14x a a a π⎛
⎫⎤++∈-+ ⎪⎦⎝⎭
，则只需10a -+≥即可，解不等式求得结果. 【详解】
由题意得：()()sin cos 4x x x f x e x a e x e x a π⎫⎛⎫'=++=++ ⎪⎪⎝⎭⎭
()f x 在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝
⎭
上单调递增 ()0f x '∴≥在,22
ππ
⎛⎫
- ⎪⎝
⎭
上恒成立
又0x e > 04x a π⎛
⎫
+
+≥ ⎪⎝
⎭
在,22ππ⎛⎫
-
⎪⎝⎭上恒成立
当,22x ππ⎛⎫
∈- ⎪⎝⎭
时，
3,444πππ⎛⎫
+∈- ⎪⎝⎭
x sin 42x π⎛⎤⎛⎫∴+∈- ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦ (
14x a a a π⎛
⎫⎤++∈-+ ⎪⎦⎝⎭
10a ∴-+≥，解得：[)1,a ∈+∞ 本题正确选项：B 【点睛】
本题考查根据函数在一段区间内的单调性求解参数范围问题，涉及到正弦型函数值域的求解问题；本题解题关键是能够将问题转化为导函数在区间内恒大于等于零的问题，从而利用三角函数的最值来求得结果.
6．A
解析：A 【分析】
求导，根据题意得到()()
11010f f ⎧=='⎪
⎨⎪⎩，代入数据解得答案，再验证排除即可.
【详解】
()3227f x x ax bx a a =++--，则()'232f x x ax b =++，
根据题意：()()2117101320f a b a a f a b '⎧=++--=⎪
⎨=++=⎪⎩
，解得21a b =-⎧⎨=⎩或69a b =-⎧⎨=⎩，
当21
a b =-⎧⎨
=⎩时，()()()'2
341311f x x x x x =-+=--，函数在1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在
()1,+∞上单调递增，故1x =处取得极小值，舍去；
当69
a b =-⎧⎨
=⎩时，()()()'2
3129313f x x x x x =-+=--，函数在(),1-∞上单调递增，在
()1,3上单调递减，故1x =处取得极大值，满足.
故
6293
a b -==-.
故选：A. 【点睛】
本题考查了根据极值求参数，意在考查学生的计算能力和应用能力，多解是容易发生的错误.
7．C
解析：C 【分析】
先假设函数()f x 不存在增区间，则()f x 单调递减，利用()f x 的导数恒小于零列不等式，将不等式分离常数后，利用配方法求得常数a 的取值范围，再取这个取值范围的补集，求得题目所求实数a 的取值范围. 【详解】
若函数()f x 不存在增区间，则函数()f x 单调递减， 此时()1
210f x ax x
'=+-
≤在区间()0,∞+恒成立， 可得2112a x x ≤-，则2
2111111
244
x x x ⎛⎫-=--≥- ⎪⎝⎭，可得18a ≤-，
故函数存在增区间时实数a 的取值范围为1
,8⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭
．故选C. 【点睛】
本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查不等式恒成立问题的求解策略，属于中档题.
8．C
解析：C 【分析】
令()x e f x x
=，(01)x <<，()()ln 01x
g x e x x =-<<，求出函数的导数，通过讨论x
的范围，求出函数的单调区间，从而判断结论. 【详解】
令()x e f x x =，(01)x <<，则2
(1)
()0x e x f x x
-'=<， 故()f x 在(0,1)递减，若1
201x x ，则12()()f x f x >，
故12
12
x x e e x x >，即1221x x
x e x e >，故C 正确，D 不正确； 令()()ln 01x
g x e x x =-<<，则11()x x
xe g x e x x
-'=-=，
令()1x h x xe =-，可知()h x 在()0,1单调递增，
且(0)10,(1)10h h e =-<=->，则存在()00,1x ∈，使得0()0h x =， 则当()00,x x ∈时，()0h x <，即()0g x '<，()g x 在()00,x 单调递减， 当()0,1x x ∈时，()0h x >，即()0g x '>，()g x 在()0,1x 单调递增， 所以()g x 在()0,1不单调，故A ，B 错误. 故选：C. 【点睛】
本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，是一道中档题.
9．D
解析：D 【详解】
()()()
()()0()x x
f x f x f x
g x g x g x e e '-'=
∴=<∴单调递减
(1)(1)(0)(2)1f x f x f f +=-+∴==
因此()g()(0)0x f x e x g x <⇔<⇔> 故选：D
10．C
解析：C 【分析】
令2sin t x =，则[]0,1t ∈，设()()3
1h t t t =-，则()2
()f x h t =，利用导数可求
()max 27
256
h t =
，从而得到()f x 的最值，故可得M 的取值范围，从而得到正确的选项. 【详解】
3()2cos sin f x x x =，故622()4cos sin f x x x =，
令2sin t x =，则[]0,1t ∈，设()()3
1h t t t =-，则()2
()4f x h t =，
又()()()()()322
131114h t t t t t t '=---=--， 若10,4t ⎛⎫∈ ⎪⎝
⎭，则()0h t '>，故()h t '在10,4
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
为增函数；
若1,14t ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭，则()0h t '<，故()h t '在1,14⎛⎤
⎥⎝⎦
为减函数； 故()max 27256h t =
，故2
max 27()64
f x =，
所以max ()8
f x =
，min ()8f x =-，
当且仅当1sin 4cos x x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
时取最大值，当且仅当1sin 4cos x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
故4M ≥
即M
的最小值4
. 故选：C.
【点睛】 本题考查与三角函数有关的函数的最值，注意通过换元法把与三角函数有关的函数问题转化为多项式函数，后者可以利用导数来讨论，本题属于中档题.
11．A
解析：A
【分析】
将两个函数作差，得到函数()()y f x g x =-，利用导数再求此函数的最小值，即可得到结论.
【详解】
设函数()()()2
ln 0=-=->y f x g x x x x ， ()212120-'∴=-=>x y x x x x
， 令0y '<，0x
，02∴<<x
，函数在0,2⎛ ⎝⎭
上为单调减函数； 令0y '>，0x
，∴>x
，函数在2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上为单调增函数.
x ∴=
时，函数取得极小值，也是最小值为111ln 2222-=+. 故所求MN 的最小值即为函数2ln y x x =-的最小值
11ln 222
+. 故选：A.
【点睛】
本题主要考查利用导数研究函数的最值，属于中档题. 12．D
解析：D
【分析】
根据分段函数，看成函数()f x 与直线()2y a x =-的交点问题，分0x =，0x ≤，0x >讨论求解.
【详解】
当0x =时，()502f a =，对于直线()2y a x =-，2y a =，因为0a >，所以无交点； 当0x ≤时，()2f x x '=，令2x a =-，解得 2a x =-
，要使方程()()2f x a x =-恰有2个互异的实数解，则252222a a a a ⎛⎫⎛⎫-+<+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，解得 2a >； 当0x >时，()2f x x '=-，令2x a -=-，解得 2
a x =，因为0x ≤时，方程()()2f x a x =-恰有2个互异的实数解，则0x >时，无交点， 则
2
222a a a ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，解得 8a <, 综上：a 的取值范围为28a <<
故选：D
【点睛】
关键点点睛：本题关键是由0a >和直线()2y a x =-过定点()2,0，确定方程()()2f x a x =-恰有2个互异的实数解只有一种情况：当0x ≤时，方程恰有2个互异的实数解，当0x >时，方程无实数解.
二、填空题
13．【分析】连接交于点设求出构造函数利用导数研究函数的单调性从而得出时所得三棱锥体积最大时进而得解【详解】如图连接交于点连接由题意知所以所以设则三棱锥的高则三棱锥的体积令则令即解得所以当时在上单调递增； 解析：43
【分析】
连接OD ，交BC 于点G ，设OG x =，求出23BC x =，4532510V x x =⨯-，构造函数，利用导数研究函数的单调性，从而得出2x =时，所得三棱锥体积最大时，进而得解.
【详解】
如图，连接OD ，交BC 于点G ，连接OB ，
由题意，知OD BC ，12
BG BC =，30OBG ∠=︒，
所以，1tan 302OG BG BC BC =⨯︒==，所以BC =，
设OG x =，则BC =，5DG x =-，
三棱锥的高h ===
2132
ABC S x =⨯⨯=△，
则三棱锥的体积21133
ABC V S h =⨯=⨯=△， 令()452510f x x x =-502x ⎛
⎫<< ⎪⎝⎭
， 则()34
10050f x x x =-′， 令()0f x '=，即34100500x x -=，解得2x =，
所以，当02x <<时，()0f x >′，()f x 在()0,2上单调递增；
当522x <<时，()0f x <′，()f x 在52,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
上单调递减， 所以，当2x =时，()f x 取得极大值，也是最大值，
此时，BC ==，
所以，当所得三棱锥体积最大时，ABC 的边长为
故答案为：
【点睛】
本题考查三棱锥体积的计算及利用导数研究函数的最值问题，考查学生对这些知识的掌握能力，本题的解题关键是掌握根据导数求极值的方法，属于中档题.
14．【分析】构造函数则所以的单调递减将转化成又再根据函数单调性即可求出结果【详解】设所以因为所以所以在上为减函数因为函数是定义在上的增函数所以所以在上恒成立又因为所以所以即因为所以所以又在上为减函数所以 解析：(),0-∞
【分析】
构造函数()()2+=x f x g x e ，则()()()()20'-+'=<x f x f x g x e
，所以()g x 的单调递减，将()ln 2ln 3f x x +>+⎡⎤⎣⎦转化成
()23+>x f x e ，又()03g =，再根据函数单调性即可求出结果.
【详解】
设()()2+=x f x g x e ，所以()()()()()()()222''-+-+'==x x x x f x e f x e f x f x g x e e
， 因为()()2f x f x '+>，所以()0g x '<，所以()()2+=x f x g x e
在R 上为减函数， 因为函数()f x 是定义在R 上的增函数，所以()0f x '>，所以()()20'+>>f x f x 在R 上恒成立，又因为()ln 2ln 3f x x +>+⎡⎤⎣⎦，所以()2ln 3
+>f x x ，所以()23+>x f x e ，即()23+>x f x e ，因为()01f =，所以()()00203+==f g e
，所以()()0g x g >，又()()2+=
x
f x
g x e 在R 上为减函数，所以0x <. 故答案为：(),0-∞
【点睛】 本题主要考查导数在判断单调性中的应用，解题的关键是合理构造函数，利用导函数判断构造的函数的单调性.
15．2【分析】先通过已知求出得到再利用导数研究得到函数在内没有零点函数的零点在内即得的值【详解】因为函数是定义在上的单调函数且对任意的都有所以是一个定值设所以所以或（舍去）所以所以所以所以函数在是增函数 解析：2
【分析】
先通过已知求出2()=+1,f x x 得到3()33F x x x =--，再利用导数研究得到函数()F x 在(0,1)内没有零点，函数()F x 的零点在(2,3)内，即得m 的值.
【详解】
因为函数()f x 是定义在(0,)+∞上的单调函数，且对任意的(0,)x ∈+∞都有
2(())2f f x x -=，
所以2()f x x -是一个定值，设2()f x x t -=，
所以2()=+f x x t ，()2f t =
所以2()=+2,1f t t t t =∴=或2t =-（舍去）.
所以2()=+1,()2f x x f x x '=，
所以23()(1)22333F x x x x x x =+-⨯-=--，
所以2()33=3(1)(1)F x x x x '=-+-，
所以函数()F x 在(1,)+∞是增函数，在(0,1)是减函数，
因为(0)30,(1)50F F =-<=-<,所以函数()F x 在(0,1)内没有零点.
因为(2)86310,(3)2712150F F =--=-<=-=>,函数()F x 在(1,)+∞是增函数，
所以函数()F x 的零点在(2,3)内，
所以2m =.
故答案为：2
【点睛】
本题主要考查函数的单调性的应用，考查利用导数求函数的单调区间，考查利用导数研究零点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
16．6【分析】设销售利润为利用导数求出的最大值即可【详解】设销售利润为依题意可得当时当时所以在单调递增在单调递减所以时取得极大值也是最大值所以当公司每月生产6百台时获得利润最大故答案为：6【点睛】本题考 解析：6
【分析】 设销售利润为1(),()()12
g x g x R x x =--
，利用导数求出()g x 的最大值即可. 【详解】
设销售利润为()g x ，依题意可得， 3232191119()11,(0,8)882288
g x x x x x x x x =-++--=-+-∈， 2393()(6)848
g x x x x x '=-+=--， 当(0,6)x ∈时，()0g x '>，当(6,8)x ∈时，()0g x '<，
所以()g x 在(0,6)单调递增，在(6,8)单调递减，
所以6x =时，()g x 取得极大值，也是最大值，
所以当公司每月生产6百台时，获得利润最大.
故答案为：6.
【点睛】
本题考查函数应用问题以及运用导数求最值，考查数学建模、数学计算能力，属于中档题. 17．【分析】变换得到设求导得到单调性画出图像得到答案【详解】由题可知函数的定义域为函数有零点等价于有实数根即设则则函数在上单调递增在上单调递减且画出图像如图所示：根据图像知故答案为：【点睛】本题考查了利 解析：(,1]-∞
【分析】 变换得到ln 1x a x
+=
，设()ln 1x g x x +=，求导得到单调性，画出图像得到答案. 【详解】
由题可知函数()f x 的定义域为()0,∞+
函数()ln 1f x ax x =--有零点，
等价于()ln 10f x ax x =--=有实数根
()ln 10f x ax x =--=，即ln 1x a x +=
， 设()ln 1x g x x +=，则()2
ln 'x g x x -=. 则函数在()0,1上单调递增，在[)1,+∞上单调递减，且()11g =，
画出图像，如图所示：
根据图像知1a ≤.
故答案为：(,1]-∞.
【点睛】
本题考查了利用导数研究零点，参数分离画出图像是解题的关键.
18．(13)【分析】确定函数为奇函数增函数化简得到解得答案【详解】函数为奇函数函数单调递增即即解得故答案为：【点睛】本题考查了利用函数的单调性和奇偶性解不等式意在考查学生对于函数性质的灵活运用
解析：(1,3)
【分析】
确定函数为奇函数，增函数，化简得到233a a a -<-，解得答案.
【详解】
()32sin f x x x =-，()()32sin f x x x f x -=-+=-，函数为奇函数，
'()32cos 0f x x =->，函数单调递增，
2(3)(3)0f a a f a -+-<，即2(3)(3)(3)f a a f a f a -<--=-，即233a a a -<-， 解得13a <<.
故答案为：()1,3.
【点睛】
本题考查了利用函数的单调性和奇偶性解不等式，意在考查学生对于函数性质的灵活运用. 19．【分析】设结合导数可得函数的值域为最大值与最小值之差为从而得到函数的值域为最大值与最小值之差也为然后根据题意可得或即可求得答案【详解】设则函数在区间上单调递减在区间上单调递增函数的值域为最大值与最小 解析：][(),01,-∞⋃+∞
【分析】
设3()3,g x x x x =-∈结合导数可得函数()y g x =的值域为[]
2,0-，最大值与最小
值之差为2，从而得到函数3
3,2y x x x m ⎡=-+∈⎣的值域为[]22,2m m -+，最大值与最小值之差也为2．然后根据题意可得220m -+≥或20m ≤，即可求得答案.
【详解】
设()3
3,g x x x x ⎡=-∈⎣， 则()()()2
33311g x x x x ==-'-+，
∴函数()y g x =在区间[)0,1上单调递减，在区间(
上单调递增． ()
00g =，()12g =- ，0g = ，
∴函数()y g x =的值域为[]2,0-，最大值与最小值之差为2，
∴函数33,2y x x x m ⎡=-+∈⎣的值域[]22,2m m -+，最大值与最小值之差也为
2．
()3
32f x x x m =-+在x ∈上的最大值与最小值之差为2，
∴220m -+≥或20m ≤，
解得m 1≥. 或0m ≤. .
∴实数m 的取值范围为][(),01,-∞⋃+∞．
故答案为：][()
,01,-∞⋃+∞．
【点睛】
本题考查用导数研究函数的最值问题，具有综合性和难度，解题的关键是注意将问题进行合理的转化，考查了分析能力和计算能力，属于难题. 20．43【分析】通过函数的导数可判断出在上单调递增在上单调递减比较和的大小从而可得在上的最小值再结合已知其最小值为3即可求出的值进而可求出函数在上的最大值【详解】因为所以当时；当时所以函数在上单调递增在 解析：43
【分析】
通过函数()f x 的导数可判断出()f x 在(2,0)-上单调递增，在(0,2)上单调递减，比较(2)f -和(2)f 的大小，从而可得()f x 在[2,2]-上的最小值，再结合已知其最小值为3，即可求出a 的值，进而可求出函数()f x 在[2,2]-上的最大值．
【详解】
因为32()26f x x x a =-+，所以2()6126(2)f x x x x x '=-=-，
当(2,0)x ∈-时，()0f x '>；当(0,2)x ∈时，()0f x '<，
所以函数()f x 在(2,0)-上单调递增，在(0,2)上单调递减，
所以()f x 的最大值为(0)f a =，
又(2)40f a -=-+，(2)8f a =-+，因为(8)(40)320a a -+--+=>，
所以408a a -+<-+，所以()f x 在[2,2]-上的最小值为(2)403f a -=-+=， 所以43a =，所以()f x 的最大值为(0)43f =．
故答案为：43
【点睛】
本题考查利用导数求闭区间上的函数最值问题．一般地，如果在区间[,]a b 上函数()y f x =的图象是一条连续不断的曲线，最值必在端点处或极值点处取得．
三、解答题
21．（1）答案见解析；（2）()8,+∞.
【分析】
（1）求得()2163a f x ax x a -⎛
⎫'=- ⎪⎝⎭，分0a <、102a <<、12a =、12
a >四种情况讨论，分析导数的符号变化，由此可得出函数()f x 的单调递增区间和递减区间； （2）由题意可知，当[]1,1x ∈-时，()()max min m f x f x >-，由（1）中的结论求得()f x 在区间[]1,1-上的最大值和最小值，即可求得实数m 的取值范围.
【详解】
（1）()()221622163a f x ax a x ax x a -⎛
⎫'=--=- ⎪⎝⎭
. ①当0a <时，
2103a a ->，由()0f x '>，得2103a x a -<<，则()f x 在210,3a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭
上单调递增； 由()0f x '<，得0x <或213a x a ->
，则()f x 在(),0-∞，21,3a a -⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减； ②当102a <<时，2103a a
-<， 由()0f x '<，可得2103a x a -<<；由()0f x '>，可得213a x a
-<或0x >. ()f x 在21,03a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在21,3a a -⎛⎫-∞ ⎪⎝
⎭，()0,∞+上单调递增； ③当12
a =时，()230f x x '=≥，()f x 在R 上单调递增； ④当12
a >时，2103a a ->，
由()0f x '<可得2103a x a -<<；由()0f x '>可得0x <或213a x a
->. ()f x 在210,3a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在(),0-∞，21,3a a -⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
上单调递增. 综上所述，当0a <时，函数()f x 的单调递增区间为210,3a a -⎛⎫ ⎪⎝
⎭，单调递减区间为(),0-∞，21,3a a -⎛⎫+∞
⎪⎝⎭； 当102a <<时，函数()f x 的单调递减区间为21,03a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递增区间为21,3a a -⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭
，()0,∞+； 当12a =
时，函数()f x 在R 上单调递增； 当12a >时，函数()f x 的单调递减区间为210,3a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭
，单调递增区间为(),0-∞，21,3a a -⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
； （2）因为[]sin 1,1x ∈-，所以α∀、R β∈，()()sin sin f f m αβ-<等价于()f x 在[]1,1-上的最大值与最小值的差小于m ，即()()max min m f x f x >-.
当2a =时，()32431f x x x =-+，由（1）知，()f x 在[)1,0-，1,12⎛⎤
⎥⎝⎦
上单调递增，在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减.
因为()16f -=-，()01f =，1324
f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()12f =，所以()min 6f x =-，()max 2f x =，
所以()268m >--=，即m 的取值范围为()8,+∞.
【点睛】
本题考查利用导数求解含参函数的单调区间，同时也考查了利用导数求解函数不等式问题，解本题的关键在于利用下面的结论：
1x ∀、2x D ∈，()()()()12max min f x f x m m f x f x -<⇔>-.
22．（1）()f x 在()0-∞，
和(ln 2,)+∞上单调递增，在(0,ln 2)上单调递减；（2）1(,)2
+∞.
【分析】
(1)将1a =代入，求出函数解析式，进而利用导数法，可求出函数的单调区间；
(2)求导后对a 讨论，判定单调性结合0x =是()f x 的极大值点，可得a 的取值范围.
【详解】
（1）当1a =时，()()21x f x x e x =--，()()
2x f x x e '=-， ()'0f x >得0x <或ln 2x > ，()'0f x <得0ln 2x <<，
()f x ∴在()0-∞，
和(ln 2,)+∞上单调递增，在(0,ln 2)上单调递减； （2）()()
2x f x x e a '=-，当0a ≤时，20x e a ->， 故()00f x x '>⇒>，()f x ∴在()0-∞，
上单减， 在上(0,)+∞单增，0x =为极小值点，不合题意；
当0a >时，由()0f x '=得0x =或ln 2x a =，
0x =是极大值点，
ln 20a ∴>，即12a >
， 故1(,)2a ∈+∞.
【点睛】
本题主要考查的是利用导数研究函数的单调区间，利用导数研究函数极大值，掌握利用导函数研究函数的性质是解题的关键，考查学生的分析问题解决问题的能力，是中档题. 23．（1
）2cos ,0,33y a x x x x ππ⎫⎛⎫=+-+
∈⎪ ⎪⎭⎝⎭；（2）当6x π=时，广告位出租
的总收入最大，最大值为26a π⎫⎪⎭元. 【分析】
（1）根据题意，利用正弦定理求得OC 的值，再求弧长DB ，求出函数y 的解析式，写出x 的取值范围；
（2）求函数y 的导数，利用导数判断函数的单调性，求出函数的最值和对应x 的值．
【详解】
(1)因为//CD OA ，所以ODC AOD xrad ∠=∠=.
在OCD ∆中，23OCD π∠=，3
COD x π∠=-，2OD km =.
由正弦定理，得22sin sin sin 33OC CD x x ππ===⎛⎫- ⎪⎝⎭
得OC xkm =
，3CD x km π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.
又圆弧DB 长为23x km π⎛⎫
- ⎪⎝⎭
， 所以43432sin sin 233y a x a x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⨯
+⨯-+-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 23sin cos ,0,33a x x x x ππ⎛⎫⎛⎫
=+-+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
.
(2)记()23sin cos 3f x a x x x π⎛
⎫
=+-+ ⎪⎝
⎭
， 则()(
)
'23cos sin 122cos 16f x a
x x a x π⎡⎤⎛
⎫=--=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣
⎦，
令()'0f x =，得6
x π
=
.
当x 变化时，()'f x ，()f x 的变化如下表：
所以()f x 在6
x π
=
处取得极大值，这个极大值就是最大值，即
2323666f a a πππ⎛⎫⎫⎫=⨯= ⎪⎪⎪⎝⎭⎭⎭.
故当6
x π
=
时，广告位出租的总收入最大，最大值为236a π⎫
⎪⎭
元． 【点睛】
本题考查了三角函数模型的应用问题，考查利用导数知识处理最值问题，考查函数与方程思想，是中档题．
24．（1）()8004cos cos sin θθθ+， ()1600cos cos ,sin θθθ- 1,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭
；（2）6
π
．
【解析】
分析：（1）先根据条件求矩形长与宽，三角形的底与高，再根据矩形面积公式以及三角形面积公式得结果，最后根据实际意义确定sin θ的取值范围；（2）根据条件列函数关系式，利用导数求极值点，再根据单调性确定函数最值取法.
详解：
解：（1）连结PO 并延长交MN 于H ，则PH ⊥MN ，所以OH =10． 过O 作OE ⊥BC 于E ，则OE ∥MN ，所以∠COE =θ， 故OE =40cos θ，EC =40sin θ，
则矩形ABCD 的面积为2×40cos θ（40sin θ+10）=800（4sin θcos θ+cos θ）， △CDP 的面积为
1
2
×2×40cos θ（40–40sin θ）=1600（cos θ–sin θcos θ）． 过N 作GN ⊥MN ，分别交圆弧和OE 的延长线于G 和K ，则GK =KN =10． 令∠GOK =θ0，则sin θ0=14，θ0∈（0，π
6
）． 当θ∈[θ0，
π
2
）时，才能作出满足条件的矩形ABCD ， 所以sin θ的取值范围是[
1
4
，1）． 答：矩形ABCD 的面积为800（4sin θcos θ+cos θ）平方米，△CDP 的面积为 1600（cos θ–sin θcos θ），sin θ的取值范围是[
1
4
，1）． （2）因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3，
设甲的单位面积的年产值为4k ，乙的单位面积的年产值为3k （k >0）， 则年总产值为4k ×800（4sin θcos θ+cos θ）+3k ×1600（cos θ–sin θcos θ） =8000k （sin θcos θ+cos θ），θ∈[θ0，π
2
）． 设f （θ）= sin θcos θ+cos θ，θ∈[θ0，
π
2
）， 则()()
()()222
'sin sin 2sin 1211f cos sin sin sin θθθθθθθθ=--=-+-=--+．
令()'=0f θ，得θ=π6
， 当θ∈（θ0，π
6
）时，()'>0f θ，所以f （θ）为增函数； 当θ∈（
π6，π
2
）时，()'<0f θ，所以f （θ）为减函数， 因此，当θ=π
6
时，f （θ）取到最大值． 答：当θ=
π
6
时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．
点睛：解决实际应用题的步骤一般有两步：一是将实际问题转化为数学问题；二是利用数学内部的知识解决问题. 25．（1）见解析；（2）1. 【分析】
（1）按照0a ≤、0a >分类，结合导函数的正负即可得解；
（2）转化条件为223
1e
x
x ax a ++-≤在[)1,-+∞上恒成立，令()223
,1x
x ax a g x x e
++-=≥-，按照4a ≥、4a <分类，结合导数确定函数()g x 的最大值即可得解. 【详解】
（1）当0a ≤时，()f x 在R 上单调递减； 当0a >时，()x
f x a e '=-，
故当ln x a <时，有()0f x '>，所以()f x 在(),ln a -∞单调递增； 当ln x a >时，有()0f x '<，所以()f x 在()ln ,a +∞上单调递减； 所以当0a ≤时，()f x 在R 上单调递减；
当0a >时，()f x 在(),ln a -∞上单调递增，在()ln ,a +∞上单调递减； （2）因为当1x ≥-时，()2
32f x a x ≤--恒成立，
所以2231e x
x ax a ++-≤在[)1,-+∞上恒成立， 令()223
,1x
x ax a g x x e
++-=≥-， 则()()()()22313e e
x
x x a x a x x a g x ⎡⎤-+-+--++-⎣⎦
'=
=
，
①当31a -≤-即4a ≥时，()0g x '≤，()g x 在[)1,-+∞单调递减， 则要使()()121g a e -=-≤，解得1
2a e
≤+(不合题意)； ②当31a ->-即4a <时，
则当()1,3x a ∈--时，()0g x '>，函数()g x 单调递增； 当()3,x a ∈-+∞时，()0g x '<，函数()g x 单调递减；
则要使()
()
()()2
33max
3323631a a a a a a a
g x g a e e ---+-+--=-=
=≤ 令31t a =->-，3a t =-，设()3
,1t t h t t e
+=>-，则要使()1h t ≤，
因为()20e
t
t
h t --'=
<，所以()h t 在()1,-+∞单调递减， 而()11h >，()21h <，所以整数t 的最小值为2， 故整数a 的最大值为1. 【点睛】
本题考查了利用导数研究函数的单调性及解决不等式恒成立问题，考查了运算求解能力与逻辑推理能力，属于中档题. 26．（1）f (x )＝x 2－2x －3；（2）1个. 【分析】
（1）根据一元二次不等式的解集，可设f (x )＝a (x ＋1)(x －3)，再结合f (x )的最小值为－4即可求出a 的值，得到函数f (x )的解析式；
（2）对g (x )求导可以得到g (x )的单调区间，在每个单调区间上研究函数g (x )的零点情况即可. 【详解】
（1）∵f (x )是二次函数，且关于x 的不等式f (x )≤0的解集为{x |－1≤x ≤3，x ∈R}， ∴设f (x )＝a (x ＋1)(x －3)＝ax 2－2ax －3a ，且a >0. ∴f (x )min ＝f (1)＝－4a ＝－4，a ＝1. 故函数f (x )的解析式为f (x )＝x 2－2x －3.
（2）由（1）知g (x )＝223
x x x
--－4ln x ＝x －3x －4ln x －2，
∴g (x )的定义域为(0，＋∞)，g ′(x )＝1＋23x －4x
＝2(1)(3)x x x --， 令g ′(x )＝0，得x 1＝1，x 2＝3.
当x 变化时，g ′(x )，g (x )的取值变化情况如下表： x (0，1) 1 (1，3) 3 (3，＋∞) g ′(x ) ＋
－
＋
g (x )
极大值 极小值
当x >3时，g (e 5)＝e 5－
53
e
－20－2>25－1－22＝9>0. 又因为g (x )在(3，＋∞)上单调递增， 因而g (x )在(3，＋∞)上只有1个零点， 故g (x )仅有1个零点. 【点睛】
本题主要考查二次函数和导数在研究函数中的应用.。