高一数学课件：3.3几类不同增长的函数模型(新人教版必修1)
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【分析】复利是一种计算利息的方法，即把前一期的 利息和本金加在一起算做本金,再计算下一期的利息. 【解析】1期后的本利和为y1=a+a×r=a×(1+r); 2期后的本利和为y2=a(1+r)+a(1+r)· r=a(1+r)2; 3期后的本利和为y3=a(1+r)2+a(1+r)2· r=a(1+r)3；
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由此法计算4月的产量为1.3万双，比实际产量少700双， 而且，由二次函数性质可知，产量自4月份开始将每月 下降（图象开口向下，对称轴x=3.5）,不合实际. x （3）设y=a+b.将A，B两点的坐标代入，有
……
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x期后的本利和为y=a(1+r)x. 将a=1000，r=2.25%，x=6代入上式，得 y=1000×(1+2.25%)6=1000×1.02256, 由计算器算得y≈1142.83（元）. 答：本利和y随存期x变化的函数关系式为y=a(1+r)x， 6期后的本利和为1142.83元. 【评析】此题模型为指数函数模型,在实际问题中,常常 遇到有关平均增长率的问题,如果原来产值的基础数为 N,平均增长率为P,那么对于时间x的总产值 y=N×(1+P)x,解决平均增长率的问题,要用到这个函数 关系式,它可以作为公式用.
x+c,你将利用哪一种模 x y=ax+b,y=ax2+bx+c,y=a+b,y=ab 型去估算以后几个月的产量？ 【分析】本题是通过数据验证，确定系数，然后分析 确定后的函数变化情况，最终找出与实际最接近的函 数模型.
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【解析】由题知A(1,1),B(2,1.2),C(3,1.3),D(4,1.37). （1）设模拟函数为y=ax+b，将B，C两点的坐标代入函 数式，有3a+b=1.3a=0.1 所以y 0.1x 1. 2a+b=1.2,b=1,
开始
学点一 学点二 学点三
学点四
1.在区间(0,+∞)上，函数y=ax(a>1),y=logax(a>1)和y=xn(n>0)都是 增 增长速度 （填“增”或“减”）函数，但它们的不同，而且不在同一个 “档次”上.
快 2.随着x的增大，y=ax(a>1)的增长速度越来越，会超过并远远大 于y=xn(n>0)的增长速度，表现为指数爆炸. 3.随着x的增大，y=logax(a>1)的增长速度会越来越. 慢 平行一样 4.随着x的增大，y=ax(a>1)的图象逐渐表现为与y轴，而 y=logax(a>1)的图象逐渐表现为与x轴. 平行一样
1000(1+2×2.43%)(1+2.25%)3=1120.99（元）；
（6）存五个一年1000(1+2.25%)5=1117.68（元）. 答：一次性存入5年本金和利息的总和最大.
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学点三产量产值问题 某皮鞋厂从今年1月份开始投产，并且前4个月的产量 分别为1万双、1.2万双、1.3万双、1.37万双，由于产 品质量好，款式新颖，前几个月的销售情况良好.为了 推销员在推销产品时，接受订单不至于过多或过少， 需要估计以后几个月的产量.厂里分析，产量的增加是 由于工人生产熟练和理顺了生产流程.厂里也暂时不准 备增加设备和工人，假如你是厂长，就月份x，产量y 给出四种函数模型：
（2）存一个三年，再存一个两年 (1000+3×1000×2.70%)(1+2×2.43%)=1133.54(元)；
（3）存一个三年，再存两个一年 1000(1+3×2.70%)(1+2.25%)2=1130.19(元)；
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（4）存两个两年，再存一个一年
1000(1+2×2.43%)2(1+2.25%)=1124.30（元）； （5）存一个两年，再存三个一年
x n 5.当a>1,n>0时，总会存在一个x0,当x>x0时，有. a >x >logax
6.当0<a<1，n<0时，总会存在一个x0,当x>x0时，有.logax<xn<ax
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学点一幂、指、对数函数模型的区别
如表所示三个变量y1,y2,y3,y4随x的变化，数据如下表，试 根据此表作出函数的大致图象，并判别上升的函数模型.
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Hale Waihona Puke Baidu
【解析】作出四个变量的变换图象大致如图所示：
由图象知y1呈指数型增长
趋势;y2呈对数型增长趋 势;y3呈二次函数型增长 趋势;y4呈直线型增长趋势.
【评析】根据表格或图象辨别函数增长模型，一要 注意所给的数据变换速度，二要注意各类增长函数 模型特征，对号入座.
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如下表，y随x变化关系如下： x 5 10 15 20 25 30
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银行的定期存款中，存期为1年、2年、3年、5年的 年利率分别为2.25%,2.43%,2.70%,2.88%，现将 1000元人民币存入银行，求:应怎样存取以使5年后 得到的本金和利息总和最大？
存5年共有6种存款方式：
（1）一次性存入5年，本金和利息的总和为 1000+5×1000×2.88%=1144（元）；
解之得
此法的结论是在不增加工人和设备的条件下，产量会每 月上升1000双，这是不太可能的.
（2）设y=ax2+bx+c,将A，B，C三点代入，有
a+b+c=1a=-0.05
4a+2b+c=1.2b=0.35 9a+3b+c=1.3c=0.7.
解得
解得所以y=-0.05x2+0.35x+0.7.
x 1 2 3 4 5 0.8 36 13 25 1.4 625 51 50
y1
y2 y3 y4
3
0 1 3
9
0.3 4 5
81
0.6 16 9
243
0.7 25 11
1458 8.5×1011
7.2×1023
8.9 2500 101
【分析】本题考查描点、画图，幂、指、对数函数的图 象及幂、指、对数函数的增长速度.
y 95 1758
34000 64×106
1.2×108 2.3×1010
呈指数型 则y随 x呈增长. （根据表格作出函数的大致图象，可知y随x呈指数型增 长趋势.）
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学点二递境率问题
按复利计算利息的一种储蓄，本金为a元，每期利率为 r，设本利和为y，存期为x，写出本利和y随存期x变化 的函数关系式.如果存入本金1000元，每期利率为 2.25%，试计算6期后本利和是多少？
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由此法计算4月的产量为1.3万双，比实际产量少700双， 而且，由二次函数性质可知，产量自4月份开始将每月 下降（图象开口向下，对称轴x=3.5）,不合实际. x （3）设y=a+b.将A，B两点的坐标代入，有
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x期后的本利和为y=a(1+r)x. 将a=1000，r=2.25%，x=6代入上式，得 y=1000×(1+2.25%)6=1000×1.02256, 由计算器算得y≈1142.83（元）. 答：本利和y随存期x变化的函数关系式为y=a(1+r)x， 6期后的本利和为1142.83元. 【评析】此题模型为指数函数模型,在实际问题中,常常 遇到有关平均增长率的问题,如果原来产值的基础数为 N,平均增长率为P,那么对于时间x的总产值 y=N×(1+P)x,解决平均增长率的问题,要用到这个函数 关系式,它可以作为公式用.
x+c,你将利用哪一种模 x y=ax+b,y=ax2+bx+c,y=a+b,y=ab 型去估算以后几个月的产量？ 【分析】本题是通过数据验证，确定系数，然后分析 确定后的函数变化情况，最终找出与实际最接近的函 数模型.
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【解析】由题知A(1,1),B(2,1.2),C(3,1.3),D(4,1.37). （1）设模拟函数为y=ax+b，将B，C两点的坐标代入函 数式，有3a+b=1.3a=0.1 所以y 0.1x 1. 2a+b=1.2,b=1,
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学点一 学点二 学点三
学点四
1.在区间(0,+∞)上，函数y=ax(a>1),y=logax(a>1)和y=xn(n>0)都是 增 增长速度 （填“增”或“减”）函数，但它们的不同，而且不在同一个 “档次”上.
快 2.随着x的增大，y=ax(a>1)的增长速度越来越，会超过并远远大 于y=xn(n>0)的增长速度，表现为指数爆炸. 3.随着x的增大，y=logax(a>1)的增长速度会越来越. 慢 平行一样 4.随着x的增大，y=ax(a>1)的图象逐渐表现为与y轴，而 y=logax(a>1)的图象逐渐表现为与x轴. 平行一样
1000(1+2×2.43%)(1+2.25%)3=1120.99（元）；
（6）存五个一年1000(1+2.25%)5=1117.68（元）. 答：一次性存入5年本金和利息的总和最大.
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学点三产量产值问题 某皮鞋厂从今年1月份开始投产，并且前4个月的产量 分别为1万双、1.2万双、1.3万双、1.37万双，由于产 品质量好，款式新颖，前几个月的销售情况良好.为了 推销员在推销产品时，接受订单不至于过多或过少， 需要估计以后几个月的产量.厂里分析，产量的增加是 由于工人生产熟练和理顺了生产流程.厂里也暂时不准 备增加设备和工人，假如你是厂长，就月份x，产量y 给出四种函数模型：
（2）存一个三年，再存一个两年 (1000+3×1000×2.70%)(1+2×2.43%)=1133.54(元)；
（3）存一个三年，再存两个一年 1000(1+3×2.70%)(1+2.25%)2=1130.19(元)；
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（4）存两个两年，再存一个一年
1000(1+2×2.43%)2(1+2.25%)=1124.30（元）； （5）存一个两年，再存三个一年
x n 5.当a>1,n>0时，总会存在一个x0,当x>x0时，有. a >x >logax
6.当0<a<1，n<0时，总会存在一个x0,当x>x0时，有.logax<xn<ax
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学点一幂、指、对数函数模型的区别
如表所示三个变量y1,y2,y3,y4随x的变化，数据如下表，试 根据此表作出函数的大致图象，并判别上升的函数模型.
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Hale Waihona Puke Baidu
【解析】作出四个变量的变换图象大致如图所示：
由图象知y1呈指数型增长
趋势;y2呈对数型增长趋 势;y3呈二次函数型增长 趋势;y4呈直线型增长趋势.
【评析】根据表格或图象辨别函数增长模型，一要 注意所给的数据变换速度，二要注意各类增长函数 模型特征，对号入座.
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如下表，y随x变化关系如下： x 5 10 15 20 25 30
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银行的定期存款中，存期为1年、2年、3年、5年的 年利率分别为2.25%,2.43%,2.70%,2.88%，现将 1000元人民币存入银行，求:应怎样存取以使5年后 得到的本金和利息总和最大？
存5年共有6种存款方式：
（1）一次性存入5年，本金和利息的总和为 1000+5×1000×2.88%=1144（元）；
解之得
此法的结论是在不增加工人和设备的条件下，产量会每 月上升1000双，这是不太可能的.
（2）设y=ax2+bx+c,将A，B，C三点代入，有
a+b+c=1a=-0.05
4a+2b+c=1.2b=0.35 9a+3b+c=1.3c=0.7.
解得
解得所以y=-0.05x2+0.35x+0.7.
x 1 2 3 4 5 0.8 36 13 25 1.4 625 51 50
y1
y2 y3 y4
3
0 1 3
9
0.3 4 5
81
0.6 16 9
243
0.7 25 11
1458 8.5×1011
7.2×1023
8.9 2500 101
【分析】本题考查描点、画图，幂、指、对数函数的图 象及幂、指、对数函数的增长速度.
y 95 1758
34000 64×106
1.2×108 2.3×1010
呈指数型 则y随 x呈增长. （根据表格作出函数的大致图象，可知y随x呈指数型增 长趋势.）
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学点二递境率问题
按复利计算利息的一种储蓄，本金为a元，每期利率为 r，设本利和为y，存期为x，写出本利和y随存期x变化 的函数关系式.如果存入本金1000元，每期利率为 2.25%，试计算6期后本利和是多少？