2016-2017年山东省菏泽市高一(下)期中数学试卷和答案

2016-2017学年山东省菏泽市高一（下）期中数学试卷
一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个
选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）cos135°的值为（）
A．B．C．D．
2．（5分）已知经过点P（3，m）和点Q（m，﹣2）的直线的斜率等于2，则m 的值为（）
A．B．1C．2D．﹣1
3．（5分）空间直角坐标系中，点A（﹣3，4，0）与点B（x，﹣1，6）的距离为，则x等于（）
A．2B．﹣8C．2或﹣8D．8或2
4．（5分）过点（﹣1，3）且平行于直线x﹣2y+3=0的直线方程为（）A．x﹣2y=0B．2x+y﹣1=0C．x﹣2y+7=0D．2x+y﹣5=0 5．（5分）以点（2，﹣1）为圆心且与直线3x﹣4y+5=0相切的圆的方程为（）A．（x﹣2）2+（y+1）2=3B．（x+2）2+（y﹣1）2=3
C．（x﹣2）2+（y+1）2=9D．（x+2）2+（y﹣1）2=9
6．（5分）若函数f（x）=sin（ωx+θ）的图象（部分）如图所示，则ω和θ的取值是（）
A．B．C．
D．
7．（5分）下列区间中，使函数y=cosx为增函数的是（）
A．[0，π]B．[，]C．[﹣，]D．[π，2π]
8．（5分）为了得到函数的图象，只需把y=3sin2x上的所有的点
（）
A．向左平行移动长度单位
B．向右平行移动长度单位
C．向右平行移动长度单位
D．向左平行移动长度单位
9．（5分）从直线x﹣y+3=0上的点向圆x2+y2﹣4x﹣4y+7=0引切线，则切线长的最小值为（）
A．B．C．D．﹣1 10．（5分）函数f（x）=cosωx（ω＞0）的图象关于点M（，0）对称，且在区间[0，]上是单调函数，则ω的值为（）
A．B．C．或D．或2
二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分）
11．（5分）函数y=tanx﹣1的定义域为．
12．（5分）已知扇形的半径为2，圆心角为2弧度，则该扇形的面积为．13．（5分）已知tanα=3，则的值．
14．（5分）在平面直角坐标系xOy中，直线x+2y﹣3=0被圆（x﹣2）2+（y+1）2=4截得的弦长为．
15．（5分）下列叙述：
①函数是奇函数；
②函数的一条对称轴方程为；
③函数，，则f（x）的值域为；
④函数，有最小值，无最大值．
所有正确结论的序号是．
三、解答题（共6个小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步
骤）
16．（12分）（1）化简．
（2）已知，求的值．
17．（12分）求经过两直线3x﹣2y+1=0和x+3y+4=0的交点，且垂直于直线x+3y+4=0的直线方程．
18．（12分）已知
（1）求函数f（x）的最小正周期和最大值，并求出x为何值时，f（x）取得最大值；
（2）求函数f（x）在[﹣2π，2π]上的单调增区间．
19．（12分）已知函数f（x）=cos2（x﹣）﹣sin2x．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求函数f（x）在的最大值．
20．（13分）（1）已知圆C的圆心是x﹣y+1=0与x轴的交点，且与直线x+y+3=0相切，求圆C的标准方程；
（2）若点P（x，y）在圆x2+y2﹣4y+3=0上，求的最大值．
21．（14分）已知坐标平面上点M（x，y）与两个定点M1（26，1），M2（2，1）的距离之比等于5．
（1）求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；
（2）记（1）中的轨迹为C，过点A（﹣2，3）的直线l被C所截得的线段的长为8，求直线l的方程．
2016-2017学年山东省菏泽市高一（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个
选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）cos135°的值为（）
A．B．C．D．
【解答】解：cos135°=cos（180°﹣45°）=﹣cos45°=．
故选：D．
2．（5分）已知经过点P（3，m）和点Q（m，﹣2）的直线的斜率等于2，则m 的值为（）
A．B．1C．2D．﹣1
【解答】解：根据题意，经过点P（3，m）和点Q（m，﹣2）的直线的斜率等于2，
则有k PQ==2，
解可得：m=；
故选：A．
3．（5分）空间直角坐标系中，点A（﹣3，4，0）与点B（x，﹣1，6）的距离为，则x等于（）
A．2B．﹣8C．2或﹣8D．8或2
【解答】解：因为空间直角坐标系中，点A（﹣3，4，0）与点B（x，﹣1，6）的距离为，
所以=，所以（x+3）2=25．解得x=2或﹣8．
故选：C．
4．（5分）过点（﹣1，3）且平行于直线x﹣2y+3=0的直线方程为（）A．x﹣2y=0B．2x+y﹣1=0C．x﹣2y+7=0D．2x+y﹣5=0【解答】解：由平行关系可设要求直线方程为x﹣2y+c=0，
代入点（﹣1，3）可得﹣1﹣2×3+c=0，解得c=7
∴所求直线的方程为：x﹣2y+7=0
故选：C．
5．（5分）以点（2，﹣1）为圆心且与直线3x﹣4y+5=0相切的圆的方程为（）A．（x﹣2）2+（y+1）2=3B．（x+2）2+（y﹣1）2=3
C．（x﹣2）2+（y+1）2=9D．（x+2）2+（y﹣1）2=9
【解答】解：r==3，所求圆的方程为（x﹣2）2+（y+1）2=9
故选：C．
6．（5分）若函数f（x）=sin（ωx+θ）的图象（部分）如图所示，则ω和θ的取值是（）
A．B．C．
D．
【解答】解：由函数图象可得：T==4（+），解得，
由于点（﹣，0）在函数图象上，可得：sin[]=0，解得：θ=kπ+
，k∈Z
当k=0时，可得，
故选：C．
7．（5分）下列区间中，使函数y=cosx为增函数的是（）
A．[0，π]B．[，]C．[﹣，]D．[π，2π]
【解答】解：∵cosx的递增区间是[﹣π+2kπ，2kπ]k∈Z
当k=1时，递增区间为：[π，2π]
故选：D．
8．（5分）为了得到函数的图象，只需把y=3sin2x上的所有的点
（）
A．向左平行移动长度单位
B．向右平行移动长度单位
C．向右平行移动长度单位
D．向左平行移动长度单位
【解答】解：把y=3sin2x上的所有的点向左平行移动长度单位，
可得函数的图象，
故选：A．
9．（5分）从直线x﹣y+3=0上的点向圆x2+y2﹣4x﹣4y+7=0引切线，则切线长的最小值为（）
A．B．C．D．﹣1
【解答】解：圆x2+y2﹣4x﹣4y+7=0化为（x﹣2）2+（y﹣2）2=1，
圆心为C（2，2），半径为1，如图，
直线x﹣y+3=0上的点向圆x2+y2﹣4x﹣4y+7=0引切线，要使切线长的最小，
则直线上的点与圆心的距离最小，
由点到直线的距离公式可得，|PC|=．
∴切线长的最小值为．
故选：B．
10．（5分）函数f（x）=cosωx（ω＞0）的图象关于点M（，0）对称，且在区间[0，]上是单调函数，则ω的值为（）
A．B．C．或D．或2
【解答】解：∵f（x）图象关于（，0）对称，
∴cos=0，∴=，解得ω=+，k∈Z．
令kπ≤ωx≤π+kπ，解得≤x≤，
∴f（x）在[0，]上是单调减函数．
∵f（x）在[0，]上单调，
∴，解得ω≤2．
又∵ω＞0，
∴ω=或2．
故选：D．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分）
11．（5分）函数y=tanx﹣1的定义域为．
【解答】解：由题意得：x≠kπ+，k∈z，
故函数的定义域是：，
故答案为：．
12．（5分）已知扇形的半径为2，圆心角为2弧度，则该扇形的面积为4．【解答】解：根据扇形的弧长公式可得l=αr=2×2=4，
根据扇形的面积公式可得S==4．
故答案为：4．
13．（5分）已知tanα=3，则的值．
【解答】解：===
故答案为：
14．（5分）在平面直角坐标系xOy中，直线x+2y﹣3=0被圆（x﹣2）2+（y+1）
2=4截得的弦长为．
【解答】解：圆（x﹣2）2+（y+1）2=4的圆心为C（2，﹣1），半径r=2，
∵点C到直线直线x+2y﹣3=0的距离d==，
∴根据垂径定理，得直线x+2y﹣3=0被圆（x﹣2）2+（y+1）2=4截得的弦长为2
=2=
故答案为：．
15．（5分）下列叙述：
①函数是奇函数；
②函数的一条对称轴方程为；
③函数，，则f（x）的值域为；
④函数，有最小值，无最大值．
所有正确结论的序号是②④．
【解答】解：①函数，显然f（﹣x）≠f（x），不是奇函数，故错误；
②f（﹣）=﹣1，的一条对称轴方程为，故正确；
③函数，，2x+∈[，]，则f（x）的
值域为[﹣1，]，故错误；
④函数=1+，，f（x）≥4，有最小值，无最大
值，故正确．
故答案为②④．
三、解答题（共6个小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步
骤）
16．（12分）（1）化简．
（2）已知，求的值．
【解答】解：（1）∵sin（﹣α﹣180o）=sin[﹣（180o+α）]=﹣sin（180o+α）=sinα，
cos（﹣α﹣180o）=cos[﹣（180o+α）]=cos（180o+α）=﹣cosα，
∴原式===1．
（2）∵，
∴==﹣tanα=．
17．（12分）求经过两直线3x﹣2y+1=0和x+3y+4=0的交点，且垂直于直线x+3y+4=0的直线方程．
【解答】解法一：设所求直线方程为3x﹣2y+1+λ（x+3y+4）=0，
即（3+λ）x+（3λ﹣2）y+（1+4λ）=0；
由所求直线垂直于直线x+3y+4=0，得
﹣•（﹣）=﹣1，
解得λ=；
故所求直线方程是3x﹣y+2=0．
解法二：设所求直线方程为3x﹣y+m=0，
由，解得，
即两已知直线的交点为（﹣1，﹣1）；
又3x﹣y+m=0过点（﹣1，﹣1），
故﹣3+1+m=0，解得m=2；
故所求直线方程为3x﹣y+2=0．
18．（12分）已知
（1）求函数f（x）的最小正周期和最大值，并求出x为何值时，f（x）取得最大值；
（2）求函数f（x）在[﹣2π，2π]上的单调增区间．
【解答】解：函数
（1）函数f（x）的最小正周期T=，
根据正弦三角函数的图象和性质：当时，
即x=，函数f（x）取得最大值为1．
可得f（x）取得最大值时x的集合为{x|x=，k∈Z}
（2）令，
得，
设A=[﹣2π，2π]
所以，
即函数f（x）在[﹣2π，2π]上的单调增区间为．19．（12分）已知函数f（x）=cos2（x﹣）﹣sin2x．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求函数f（x）在的最大值．
【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=﹣sin2x，
∴f（）=﹣=cos=．…（5分）
（Ⅱ）∵f（x）=﹣sin2x
=[1+cos（2x﹣）]﹣（1﹣cos2x）
=[cos（2x﹣）+cos2x]
=（sin2x+cos2x）
=sin（2x+），．…（9分）
∵x∈[0，]，
∴2x+∈[，]，
∴当2x+=，即x=时，f（x）取得最大值．…（12分）
20．（13分）（1）已知圆C的圆心是x﹣y+1=0与x轴的交点，且与直线x+y+3=0相切，求圆C的标准方程；
（2）若点P（x，y）在圆x2+y2﹣4y+3=0上，求的最大值．
【解答】解：（1）对于直线x﹣y+1=0，令y=0，得到x=﹣1，即圆心C（﹣1，0），∵圆心C（﹣1，0）到直线x+y+3=0的距离d==，
∴圆C半径r=，
则圆C方程为（x+1）2+y2=2；
（2）设=k，则y=kx，代入x2+y2﹣4y+3=0，可得（1+k2）x2﹣4kx+3=0，
由△=16k2﹣12（1+k2）≥0，可得﹣≤k≤，
∴的最大值为．
21．（14分）已知坐标平面上点M（x，y）与两个定点M1（26，1），M2（2，1）的距离之比等于5．
（1）求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；
（2）记（1）中的轨迹为C，过点A（﹣2，3）的直线l被C所截得的线段的长为8，求直线l的方程．
【解答】解：（1）由题意坐标平面上点M（x，y）与两个定点M1（26，1），M2（2，1）的距离之比等于5，
得=5.，化简得x2+y2﹣2x﹣2y﹣23=0．
即（x﹣1）2+（y﹣1）2=25．
∴点M的轨迹方程是（x﹣1）2+（y﹣1）2=25，
所求轨迹是以（1，1）为圆心，以5为半径的圆．
（2）当直线l的斜率不存在时，过点A（﹣2，3）的直线l：x=﹣2，
此时过点A（﹣2，3）的直线l被圆所截得的线段的长为：2=8，
∴l：x=﹣2符合题意．
当直线l的斜率存在时，设过点A（﹣2，3）的直线l的方程为y﹣3=k（x+2），即kx﹣y+2k+3=0，
圆心到l的距离d=，
由题意，得+42=52，解得k=．∴直线l的方程为x﹣y+=0．即
5x﹣12y+46=0．
综上，直线l的方程为x=﹣2，或5x﹣12y+46=0．。