3.1.2复数的几何意义 学案

复数的几何意义

[学习目标] 1.理解用复平面内的点或以原点为起点的向量表示复数，及它们之间的一一对应关系.2.掌握实轴、虚轴、模等概念.3.掌握用向量的模表示复数的模的方法.

知识点一 复平面的概念和复数的几何意义 1.复平面的概念

根据复数相等的定义，任何一个复数z ＝a ＋b i ，都可以由一个有序实数对(a ，b )唯一确定.因为有序实数对(a ，b )与平面直角坐标系中的点一一对应，所以复数与平面直角坐标系中的点之间可以建立一一对应.

如图所示，点Z 的横坐标是a ，纵坐标是b ，复数z ＝a ＋b i 可用点Z (a ，b )表示.这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做 ，x 轴叫做 ，y 轴叫做 .显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.

2.复数的几何意义

按照这种表示方法，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应.因此，复数集C 和复平面内所有的点所成的集合是一一对应的，即复数z ＝a ＋b i

复平面内的点 ，这是复数的一种几何意义.

3.复数集与复平面中的向量的一一对应关系

在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一对应的.这样，我们还可以用平面向量来表示复数.

如图所示，设复平面内的点Z 表示复数z ＝a ＋b i ，连接OZ ，显然向量OZ →

由点Z 唯一确定；反过来，点Z (相对于原点来说)也可以由向量OZ →

唯一确定.因此，复数集C 与复平面内的向量所成的集合也是一一对应的(实数0与零向量对应)，即复数z ＝a ＋b i 平面向量OZ →

，

这是复数的另一种几何意义.

思考 (1)虚轴上的点都对应着唯一的纯虚数吗？ (2)象限内的点与复数有何对应关系？ 答案 (1)不是.

(2)第一象限的复数特点：实部为正，且虚部为正； 第二象限的复数特点：实部为负，且虚部为正； 第三象限的复数特点：实部为负，且虚部为负； 第四象限的复数特点：实部为正，且虚部为负. 知识点二 复数的模

1.如图所示，向量OZ →

的模r 叫做复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的模，记作|z |或|a ＋b i|.如果b ＝0，

那么z ＝a ＋b i 是一个实数a ，它的模等于|a |(就是a 的绝对值).由模的定义可知：|z |＝|a ＋b i|＝r ＝a 2＋b 2(r ≥0，r ∈R ).

2.复数的模的性质，设z 1，z 2是任意两个复数，则

(1)|z 1·z 2|＝|z 1|·|z 2|，⎪⎪⎪⎪z 1z 2＝|z 1|

|z 2|(|z 2|≠0)(复数的乘、除法将在下节学习到).

(2)|z n 1|＝|z 1|n (n ∈N *).

(3)|||z 1|－|z 2|≤|z 1＋z 2|≤|z 1|＋|z 2|，等号成立的条件是：①当|z 1＋z 2|＝|z 1|＋|z 2|时，即z 1，z 2所对应的向量同向共线；②当||z 1|－|z 2||＝|z 1＋z 2|时，即z 1，z 2所对应的向量反向共线.

(4)||z 1|－|z 2||≤|z 1－z 2|≤|z 1|＋|z 2|，等号成立的条件是：①当|z 1－z 2|＝|z 1|＋|z 2|时，即z 1，z 2所对应的向量反向共线；②当||z 1|－|z 2||＝|z 1－z 2|时，即z 1，z 2所对应的向量同向共线. 思考 复数的模的几何意义是什么？

答案 复数z 在复平面内对应的点为Z ，复数z 0在复平面内对应的点为Z 0，r 表示一个大于0的常数，则：

①满足条件|z |＝r 的点Z 的轨迹为以原点为圆心，r 为半径的圆，|z |＜r 表示圆的内部，|z |＞r 表示圆的外部；

②满足条件|z －z 0|＝r 的点Z 的轨迹为以Z 0为圆心，r 为半径的圆，|z －z 0|＜r 表示圆的内部，|z －z 0|＞r 表示圆的外部.

题型一 复数与复平面内的点

例1 在复平面内，若复数z ＝(m 2－2m －8)＋(m 2＋3m －10)i 对应的点：(1)在虚轴上；(2)在

第二象限；(3)在第二、四象限；(4)在直线y ＝x 上，分别求实数m 的取值范围. 解 复数z ＝(m 2－2m －8)＋(m 2＋3m －10)i 的实部为m 2－2m －8，虚部为m 2＋3m －10. (1)由题意得m 2－2m －8＝0. 解得m ＝－2或m ＝4.

(2)由题意，⎩⎪⎨⎪⎧

m 2－2m －8＜0，

m 2＋3m －10＞0，

∴2<m <4.

(3)由题意，(m 2－2m －8)(m 2＋3m －10)<0， ∴2<m <4或－5<m <－2.

(4)由已知得m 2－2m －8＝m 2＋3m －10，故m ＝2

5

.

反思与感悟 复数实部、虚部分别对应了复平面内相应点的横坐标和纵坐标，在复平面内复数所表示的点所处的位置，决定了复数实部、虚部的取值特征.

跟踪训练1 实数m 取什么值时，复数z ＝(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)i. (1)对应的点在x 轴上方； (2)对应的点在直线x ＋y ＋4＝0上.

解 (1)由m 2－2m －15>0，得m <－3或m >5，所以当m <－3或m >5时，复数z 对应的点在x 轴上方.

(2)由(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)＋4＝0， 得m ＝1或m ＝－52，所以当m ＝1或m ＝－5

2时，

复数z 对应的点在直线x ＋y ＋4＝0上. 题型二 复数的模的几何意义

例2 设z ∈C ，在复平面内对应点Z ，试说明满足下列条件的点Z 的集合是什么图形. (1)|z |＝2； (2)1≤|z |≤2.

解 (1)方法一 |z |＝2说明复数z 在复平面内对应的点Z 到原点的距离为2，这样的点Z 的集合是以原点O 为圆心，2为半径的圆.

方法二 设z ＝a ＋b i ，由|z |＝2，得a 2＋b 2＝4.故点Z 对应的集合是以原点O 为圆心，2为半径的圆.