K12推荐学习2017-2018年九年级数学 第3讲 二次函数探究—二次函数与直角三角形的综合问题教案

二次函数综合；勾股定理；相似三角形的性质；熟练运用所学知识解决二次函数综合问题妙运用数形结合思想解决综合问题；
知识讲解
考点1 二次函数的基础知识
1.一般地，如果y=ax 2
+bx+c （a ，b ，c 是常数且a ≠0），那么y 叫做x 的二次函数，它是关于自变量的二次式，二次项系数必须是非零实数时才是二次函数，这也是判断函数是不是二次函数的重要依据．当b=c=0时，二次函数y=ax 2
是最简单的二次函数．
2.二次函数y=ax 2
+bx+c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）的三种表达形式分别为：一般式：y=ax 2
+bx+c ，通常要知道图像上的三个点的坐标才能得出此解析式；顶点式：y=a （x －h ）2
+k ，通常要知道顶点坐标或对称轴才能求出此解析式；交点式：y=a （x －x 1）（x －x 2），通常要知道图像与x 轴的两个交点坐标x 1，x 2
才能求出此解析式；对于y=ax 2
+bx+c 而言，其顶点坐标为（－2b a ，244ac b a
）．对于y=a （x －h ）2+k
而言其顶点坐标为（h ，k ），•由于二次函数的图像为抛物线，因此关键要抓住抛物线的三要素：开口方向，对称轴，顶点．
考点2 勾股定理及逆定理
1.定理：直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方。

（即：a 2+b 2=c 2
）
2.勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用有： （1）已知直角三角形的两边求第三边
（2）已知直角三角形的一边和另两边的关系，求直角三角形的另两边 （3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题
3.逆定理：如果三角形的三边长：a ，b ，c ，则有关系a 2+b 2=c 2，
那么这个三角形是直角三角形。

4.用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形应注意： （1）首先确定最大边，不妨设最长边为c 。

（2）验证c 2和a 2+b 2是否具有相等的关系，若a 2+b 2=c 2，
则△ABC 是以∠C 为直角的直角三角形。

考点3 探究直角三角形的一般思路
探究直角三角形的存在性问题时，具体方法如下：
（1）先假设结论成立，根据直角顶点的不确定性，分情况讨论；
（2）找点：当所给定长未说明是直角三角形的斜边还是直角边时，需分情况讨论，具体方法如下： ①当定长为直角三角形的直角边时，分别以定长的某一端点作定长的垂线，与数轴或抛物线有交点时，此交点即为符合条件的点；
②当定长为直角三角形的斜边时，以此定长为直径作圆，圆弧与所求点满足条件的数轴或抛物线有交点时，此交点即为符合条件的点；
（3）计算：把图形中的点坐标用含有自变量的代数式表示出来，从而表示出三角形的各个边（表示线段时，注意代数式的符号）。

再利用相似三角形的性质得出比例式，或者利用勾股定理进行计算，或者利用三角函数建立方程求点坐标。

例题精析
例1 如图，已知抛物线y ＝x 2
＋bx ＋c 与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 左侧），与y 轴交于点C(0，－3)，对称轴是直线x ＝1，直线BC 与抛物线的对称轴交于点D ． （1）求抛物线的函数表达式； （2）求直线BC 的函数表达式；
（3）点E 为y 轴上一动点，CE 的垂直平分线交CE 于
点F ，交抛物线于P 、Q 两点，且点P 在第三象限． ①当线段3
4
PQ AB
时，求tan ∠CED 的值； ②当以C 、D 、E 为顶点的三角形是直角三角形时，请 直接写出点P 的坐标．
例2如图，直线43
4
+-
=x y 和x 轴、y 轴的交点分别为B 、C ，点A 的坐标是（-2，0）． （1）试说明△ABC 是等腰三角形；
（2）动点M 从A 出发沿x 轴向点B 运动，同时动点N 从点B 出发沿线段BC 向点C 运动，运动的速度均为每秒1个单位长度．当其中一个动点到达终点时，他们都停止运动．设M 运动t 秒时，△MON 的面积为S ．
① 求S 与t 的函数关系式；
② 设点M 在线段OB 上运动时，是否存在S ＝4的情形？ 若存在，求出对应的t 值；若不存在请说明理由；
③在运动过程中，当△MON 为直角三角形时，求t 的值．
例3如图，矩形OABC中，点O为原点，点A的坐标为（0，8），点C的坐标为（6，0）．抛物线y=﹣x2+bx+c
经过A、C两点，与AB边交于点D．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点P为线段BC上一个动点（不与点C重合），点Q为线段AC上一个动点，AQ=CP，连接PQ，设CP=m，△CPQ的面积为S．
①求S关于m的函数表达式，并求出m为何值时，S取得最大值；
②当S最大时，在抛物线y=﹣x2+bx+c的对称轴l上若存在点F，使△FDQ为直角三角形，请直接写出所有符合条件的F的坐标；若不存在，请说明理由．
例4如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标是（4，0），并且OA=OC=4OB，动点P在过A，B，C 三点的抛物线上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）是否存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由；
（3）过动点P作PE垂直于y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作y轴的垂线．垂足为F，连接EF，当线段EF的长度最短时，求出点P的坐标．
课程小结
有针对性的对勾股定理、相似三角形的性质及二次函数的基础知识进行复习，有助于为研究二次函数与直角三角形的综合问题提供有利的依据。

在探究二次函数与直角三角形的综合问题时，抓住已有的信息及条件在函数图像中构造出直角三角形，并能运用直角三角形的性质解决问题，掌握此类问题的解题思路及技巧是解决问题的关键。

例1【规范解答】
（1）设抛物线的函数表达式为2(1)y x n =-+，代入点C(0，－3)，得4n =-．所以抛物线的函数表达式为22(1)423y x x x =--=--．
（2）由223(1)(3)
y x x x x =--=+-，知A(－1，0)，B(3，0)．设直线BC 的函数表达式为y kx b =+，
代入点B(3，0)和点C(0，－3)，得30,3.k b b +=⎧⎨=-⎩
解得1k =，3b =-．所以直线BC 的函数表达式为3y x =-．
（3）①因为AB ＝4，所以3
34
PQ AB ==．
因为P 、Q 关于直线x ＝1对称，所以点P 的横坐标为12-．于是得到点P 的坐标为17,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭
，点F 的坐标为70,4⎛⎫- ⎪⎝⎭．所以75344FC OC OF =-=-=，522EC FC ==． 进而得到51322OE OC EC =-=-=，点E 的坐标为10,2⎛⎫- ⎪⎝
⎭． 直线BC:3y x =-与抛物线的对称轴x ＝1的交点D 的坐标为（1，－2）．
过点D 作DH ⊥y 轴，垂足为H ．
在Rt △EDH 中，D H ＝1，13222
EH OH OE =-=-
=，所以tan ∠CED 2
3DH EH ==．
②1(12)P -，2
5(1)2P -．
【总结与反思】 1．第（1）、（2）题用待定系数法求解析式，它们的结果直接影响后续的解题．
2．第（3）题的关键是求点E 的坐标，反复用到数形结合，注意y 轴负半轴上的点的纵坐标的符号与线段长的关系．
3．根据C 、D 的坐标，可以知道直角三角形CDE 是等腰直角三角形，这样写点E 的坐标就简单了． 例2【规范解答】（1）直线43
4
+-
=x y 与x 轴的交点为B （3，0）、与y 轴的交点C （0，4）．Rt △BOC 中，OB ＝3，OC ＝4，所以BC ＝5．点A 的坐标是（-2，0），所以BA ＝5．因此BC ＝BA ，所以△ABC 是等腰三角形．
（2）①如图2，图3，过点N 作NH ⊥AB ，垂足为H ．在Rt △BNH 中，BN ＝t ，4sin 5B =，所以45
NH t =． 如图2，当M 在AO 上时，OM ＝2－t ，此时211424
(2)22555
S OM NH t t t t =⋅⋅=-⨯=-+．此时0＜t
≤2．
如图3，当M 在OB 上时，OM ＝t －2，此时211424
(2)22555
S OM NH t t t t =
⋅⋅=-⨯=-．此时2＜t ≤5．
图2 图3
②把S ＝4代入22455S t t =
-，得224
455
t t -=．解得12t =22t =．因此，
当点M 在线段OB 上运动时，存在S ＝4的情形，此时2t =+
③如图4，当∠OMN ＝90°时，在Rt △BNM 中，BN ＝t ，BM 5t =-，
3cos 5B =，所以535t t -=．解得25
8
t =．
如图5，当∠MON ＝90°时，N 与C 重合，5t =．不存在∠ONM ＝90°的可能． 所以，当25
8
t =
或者5t =时，△MON 为直角三角形．
图4 图5
【总结与反思】1．第（1）题说明△ABC 是等腰三角形，暗示了两个动点M 、N 同时出发，同时到达终点．
2．不论M 在AO 上还是在OB 上，用含有t 的式子表示OM 边上的高都是相同的，用含t 的式子表示OM 要分类讨论．
3．将S ＝4代入对应的函数解析式，解关于t 的方程．
4．分类讨论△MON 为直角三角形，不存在∠ONM ＝90°的可能．
例3【规范解答】（1）将A 、C 两点坐标代入抛物线249y x bx c =-
++ c ＝8，4
36609
b c -⨯++=， 解得 b ＝43， c ＝8 ，∴抛物线的解析式为244
893
y x x =-++
（2）①∵OA=8，OC=6∴10AC ==过点Q 作QE ⊥BC 与E 点，则
3
sin 5
QE AB ACB QC AC ∠=
== ∴
3105QE m =-∴
()3
105
QE m =-∴
()()2
21133315103522510102
S CP QE m m m m m =⋅⋅=⨯-=-+=--+
∴当m=5时，S 取最大值；
②在抛物线对称轴l 上存在点F ，使△FDQ 为直角三角形，∵抛物线的解析式为244
893
y x x =-++的对称轴为3
2
x =
， D 的坐标为（3，8），Q （3，4）， 当∠FDQ=90°时，F1（
32 ，8），当∠FQD=90°时，则F2（32
，4），
当∠DFQ=90°时，设F （
32，n ），则FD 2+FQ 2=DQ 2
，即()()2299841644n n +-++-=，解得：6n =
∴F3（
32 ，6+，F4（32，6-）， 满足条件的点F 共有四个，坐标分别为
F1（
32 ，8），F2（32，4），F3（32，62+），F4（32，62
-）． 【总结与反思】
1. 将A 、C 两点坐标代入抛物线244
893
y x x =-
++即可求得抛物线的解析式； 2. ①先用m 表示出QE 的长度，进而求出三角形的面积S 关于m 的函数，化简为顶点式，便可求出S
的最大值；
②直接写出满足条件的F 点的坐标即可，注意不要漏写．
例4【规范解答】解：（1）由A （4，0），可知OA=4，∵OA=OC=4OB ，∴OA=OC=4，OB=1，
∴C （0，4），B （﹣1，0）．设抛物线的解析式是y=ax 2
+bx+c ，则
，解得：，
则抛物线的解析式是：y=﹣x 2
+3x+4；
（2）存在．第一种情况，当以C 为直角顶点时，过点C 作CP 1⊥AC ，交抛物线于点P 1．过点P 1作y 轴的垂线，垂足是M ．∵∠ACP 1=90°，∴∠MCP 1+∠ACO=90°．∵∠ACO+∠OAC=90°，∴∠MCP 1=∠OAC ． ∵OA=OC ，∴∠MCP 1=∠OAC=45°，∴∠MCP 1=∠MP 1C ，∴MC=MP 1， 设P （m ，﹣m 2
+3m+4），则m=﹣m 2
+3m+4﹣4，解得：m 1=0（舍去），m 2=2． ∴﹣m 2
+3m+4=6，即P （2，6）．
第二种情况，当点A 为直角顶点时，过A 作AP 2，AC 交抛物线于点P 2，过点P 2作y 轴的垂线，垂足是N ，AP 交y 轴于点F ．∴P 2N ∥x 轴，由∠CAO=45°，∴∠OAP=45°，∴∠FP 2N=45°，AO=OF ．∴P 2N=NF ， 设P 2（n ，﹣n 2
+3n+4），则n=（﹣n 2
+3n+4）﹣1，解得：n 1=﹣2，n 2=4（舍去），∴﹣n 2
+3n+4=﹣6， 则P 2的坐标是（﹣2，﹣6）．
综上所述，P 的坐标是（2，6）或（﹣2，﹣6）；
（3）连接OD ，由题意可知，四边形OFDE 是矩形，则OD=EF ．根据垂线段最短，可得当OD ⊥AC 时，OD 最短，即EF 最短．由（1）可知，在直角△AOC 中，OC=OA=4，则AC=
=4
，根据等腰三角
形的性质，D 是A C 的中点．又∵DF ∥OC ，∴DF=OC=2，∴点P 的纵坐标是2．则﹣x 2
+3x+1=2，解得：
x=
，
∴当EF最短时，点P的坐标是：（，0）或（，0）．
【总结与反思】
（1）根据A的坐标，即可求得OA的长，则B、C的坐标即可求得，然后利用待定系数法即可求得函数的解析式；
（2）分点A为直角顶点时，和C的直角顶点两种情况讨论，根据OA=OC，即可列方程求解；
（3）据垂线段最短，可得当OD⊥AC时，OD最短，即EF最短，根据等腰三角形的性质，D是AC的中点，则DF=OC，即可求得P的纵坐标，代入二次函数的解析式，即可求得横坐标，得到P的坐标．。