加减法运算及其几何意

3.复数的几何意义(一)
复数z=a+bi
一一对应 一一对应
直角坐标系中的点Z(a,b)
一一对应
平面向量
y
OZ
Z(a,b)
a
z=a+bi
b
o
x
小结
复数的绝对值 (复数的模) 的几何意义(二)
对应平面向量 OZ 的模| OZ |，即复数 z=a+bi在复平面上对应的点Z(a,b)到原点的 距离.
y z =a +b i Z (a,b)
(a bi) (c di) (a c) (b d )i
2.复数减法运算的几何意义? 复数z2－z1
符合向量 减法的三 角形法则.
向量Z1Z2
Z2(c,d)
y
Z1(a,b)
o
|z1-z2|表示什么?
x
表示复平面上两点Z1 ,Z2的距离
例1.计算
(1) ( 2 3i) (5 i) (3) (2 3i) (5 2i) (2) ( 1 2i) (1 2i) (4) (5 6i) ( 2 i) (3 4i)
3.2.1 复数代数形式的加 减法运算及其几何意义
1.复数的代数形式： 通常用字母 z 表示，即
z a bi
实部 虚部
其中
i 称为虚数单位.
R C
讨 论？
2.复数集C和实数集R之间有什么关系？
实数b 0 复数a+bi 纯虚数a 0，b 0 虚数b 0非纯虚数a 0，b 0
2 2 2
整理得( x 1) ( y 1) 8
2 2
即复数z在复平面内所对应的点Z ( x, y ) 的轨迹是以C( 1,1)为圆心，半径长为2 2的圆.
又 z 的几何意义是Z(x, y)与原点O(0,0)的距离.
如图,由平面几何知识知,
z min CA CO 2 2 பைடு நூலகம் 2 2
解： (1).(2 3i) (5 i) (2 5) (3 1)i 3 2i
(2).(1 2i) (1 2i) (1 1) ( 2 2)i 0 (3).(2 3i) (5 2i) (2 5) (3 2)i 3 5i (4).(5 6i) (2 i) (3 4i) (5 2 3) (6 1 4)i 11i
6 .已知平行四边形 OABC 的三个顶点 O, A, C 对应的复数 分别为 0,3 2i, 2 4i ,试求:
(1) AO 表示的复数; 应的复数. 3 2i
(2) CA 表示的复数;
5 2i
(3) B 点对
1 6i
选做题:
1 .在复平面内,求满足方程 z+i z i 4 的复数 z 所对
即(b 2 6b 9) (a b)i 0， b 2 6b 9 0 由复数相等的定义得 a b 0 解得a b 3.
(2)设z x yi( x, y R ) 由 z a bi 2 z 0，得 ( x 3) ( y 3)i 2 z 即( x 3) ( y 3) 4( x y ) ，
其中 O 是原点,求向量 AB , BA 对应的复数,并指出 AB= 9 i第三象限 BA=9 i，第一象限 其对应的复数位于第几象限.
3 .复平面上三点 A, B, C 分别对应复数 1, 2i,5 2i ,则
由 A, B, C 所构成的三角形△ ABC 是 直角 三角形.
4 .求复数 2 i , 3 i 所对应的两点之间的距离． 5 5 .已知复数 z 满足 z+ z 2 8i ,求复数 z . z 15 8i
2.复数的加法运算律
对任意的z1 , z2 , z3 C，有
z1 z2 z2 z （交换律） 1
( z1 z2 ) z3 z1 ( z2 z3（结合律） )
3.复数加法运算的几何意义?
z1+ z2=OZ1 +OZ2 = OZ
符合向量加法 的平行四边形 法则.
y
复数z的模为1，求 z 1 i 的最大值和最小值
2+1, 2 1
必做题: 1 .计算： (1)(2 4i) (3 4i) ; (1)5
(2)(3 4i) (2 i) (1 5i) .2 2i
2 . 复数 6+5i 与 3+4i 对应的向量分别是 OA 与 OB ,
应的点的轨迹．
2 .复数 z1 , z 2 满足 z1 z2 1 , z1 +z 2 2 ,求 z1 z2 .
2 2
例3已知关于 x的方程：x2 (6 i) x 9 ai 0(a R) 有实数根 b. （1）求实数 a , b 的值; （2）若复数 z满足 z a bi 2 z 0, 求 z 的最小值． 2 解 (1)由题意，得b (6 i)b 9 ai 0，
解: (1) z1 z2 =(5+3i) (1 4i) (5 1) (3 4)i 4 i
(2) z1 +z2 (1 3i) (2 i) (1 2) (3 1)i 3 4i y
y
Z2 Z1
Z Z1
Z2
O
x
O
x
已知复数 z1 a 3 (a 5)i, z2 a 1 (a 2a 1)i(a R ,) 分别对应向量 OZ1, OZ2（O为坐标原点）,若向量Z1Z 2 对应的复数为纯虚数,求 a的值. a 1
O
x
| z | = | OZ | a2 b2
小结
复数的加法法则 我们规定，复数的加法法则如下 设 z1 a bi,z2 c di(a, b, c, d R) 是任意两个复 数，那么 z1 z2 (a bi) (c di) (a c) (b d )i
计算(1 2i) (2 3i) (3 4i) (4 5)i (1999 2000i) (2000 2001i)
1000 1000i
例2.
（1）设 OZ1, OZ2 分别与复数 z1 5 3i, z2 1 4i 对应, 计算 z1 z2 ,并在复平面内作出 OZ1 OZ2 （2）设 OZ1, OZ2 分别与复数 z1 1 3i, z2 2 i 对应, 计算 z1 +z2 ,并在复平面内作出OZ1 OZ2
Z2(c,d)
Z(a+c,b+d)
Z1(a,b)
o
x
复数的减法法则
1.复数的减法法则 我们规定,复数的减法是加法的逆运算,即把满足
(c di) ( x yi) a bi
的复数x yi叫做复数a bi减去c di的差， 记作(a bi) (c di).根据复数相等的定义有