高考数学压轴专题(易错题)备战高考《平面向量》经典测试题及答案解析

【最新】高中数学《平面向量》专题解析
一、选择题
1．已知四边形ABCD 是平行四边形，点E 为边CD 的中点，则BE =u u u r
A ．12A
B AD -+u u u
r u u u r
B ．12AB AD -u u u
r u u u r
C ．12
AB AD +u u u r u u u r
D ．12
AB AD -u u u r u u u r
【答案】A 【解析】 【分析】
由平面向量的加法法则运算即可. 【详解】
如图，过E 作//,EF BC 由向量加法的平行四边形法
则可知1.2
BE BF BC AB AD =+=-+u u u v u u u v u u u v u u u
v u u u v
故选A. 【点睛】
本题考查平面向量的加法法则，属基础题.
2．在ABC ∆中，0OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r ，2AE EB =u u u r u u u r
，AB AC λ=u u u r u u u r ，若9AB AC AO EC ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r
，则实数λ=( )
A ．
33
B ．
32
C ．
63
D ．
62
【答案】D 【解析】 【分析】
将AO u u u r 、EC uuu r 用AB u u u r 、AC u u u r 表示，再代入9AB AC AO EC ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r
中计算即可. 【详解】
由0OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r
，知O 为ABC ∆的重心，
所以211()323
AO AB AC =⨯+=u u u r u u u r u u u r ()AB AC +u u u r u u u r ，又2AE EB =u u u r u u u r ，
所以23
EC AC AE AC AB =-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，93()AO EC AB AC ⋅=+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r 2()3AC AB -u u u
r u u u r
2223AB AC AB AC AB AC =⋅-+=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以2223AB AC
=u u u r u u u r ，||||
AB AC λ===u u u r
u u u r . 故选：D 【点睛】
本题考查平面向量基本定理的应用，涉及到向量的线性运算，是一道中档题.
3．已知O 是平面上一定点，满足()||cos ||cos AB AC
OP OA AB B AC C
λ=++u u u r u u u r
u u u r u u u r u u u
r u u u r ，[0λ∈，)+∞，则P 的轨迹一定通过ABC ∆的（ ） A ．外心 B ．垂心
C ．重心
D ．内心
【答案】B 【解析】 【分析】
可先根据数量积为零得出BC uuu r 与()||cos ||cos AB
AC AB B AC C
λ+u u u r
u u u r
u u u
r u u u r 垂直，可得点P 在BC 的高线
上，从而得到结论．
【详解】
Q ()||cos ||cos AB AC
OP OA AB B AC C
λ=++u u u r u u u r
u u u r u u u r u u u
r u u u r ， ∴()||cos ||cos AB AC
OP OA AB B AC C λ-=+u u u r u u u r
u u u r u u u r u u u
r u u u r ， 即()||cos ||cos AB AC
AP AB B AC C
λ=+u u u r u u u r
u u u r u u u
r u u u r ， Q
cos BA BC
B BA B
C ⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r ，cos CA CB C CA CB
⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r ， ∴()0||cos ||cos AB AC
BC BC BC AB B AC C
⋅+=-+=u u u r u u u r
u u u r u u u r u u u r u u u
r u u u r ， ∴BC uuu r 与()||cos ||cos AB AC
AB B AC C
λ+u u u r u u u r
u u u
r u u u r 垂直， 即AP BC ⊥uu u r uu u r ，
∴点P 在BC 的高线上，即P 的轨迹过ABC ∆的垂心.
故选：B ． 【点睛】
本题重点考查平面向量在几何图形中的应用，熟练掌握平面向量的加减运算法则及其几何意义是解题的关键，考查逻辑思维能力和转化能力，属于常考题.
4．如图，在ABC V 中，AD AB ⊥，BC =u u u v u u v ，1AD =u u u v ，则AC AD ⋅=u u u v u u u v
（ ）
A ．23
B ．
3 C ．
3 D ．3
【答案】D 【解析】
∵3AC AB BC AB BD =+=+u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v
，∴
(3)3AC AD AB BD AD AB AD BD AD ⋅=+⋅=⋅+⋅u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，
又∵AB AD ⊥，∴0AB AD ⋅=uuu r
，
∴
33cos 3cos 33
AC AD BD AD BD AD ADB BD ADB AD u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v
⋅=⋅=⋅∠=⋅∠==， 故选D ．
5．如图，圆O 是等边三角形ABC 的外接圆，点D 为劣弧AC 的中点，则OD =u u u r
（ ）
A ．2133BA AC +u u
u r u u u r
B ．2133BA A
C -u u
u r u u u r
C ．1233BA AC +u u
u r u u u r
D ．4233
BA AC +u u
u r u u u r
【答案】A 【解析】 【分析】
连接BO ，易知B ，O ，D 三点共线，设OD 与AC 的交点为E ，列出相应式子得出结论. 【详解】
解：连接BO ，易知B ，O ，D 三点共线，设OD 与AC 的交点为E ，
则()()
221121332333
OD BO BE BA BC BA BA AC BA AC ===⨯+=
++=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u
u r u u u r . 故选：A.
【点睛】
本题考查向量的表示方法，结合几何特点，考查分析能力，属于中档题.
6．已知正ABC ∆的边长为4，点D 为边BC 的中点，点E 满足AE ED u u u r u u u r
=，那么EB EC
⋅u u u r u u u r 的值为（ ） A ．
83
- B ．1- C ．1 D ．3
【答案】B 【解析】 【分析】
由二倍角公式得求得tan ∠BED ，即可求得cos ∠BEC ，由平面向量数量积的性质及其运算得直接求得结果即可． 【详解】
由已知可得：7 ， 又23
tan BED 3
BD ED ∠=
==
所以22
1tan 1
cos 1tan 7
BED BEC BED -∠∠==-+∠ 所以1||cos 7717EB EC EB
EC BEC ⎛⎫
⋅=∠=-=- ⎪⎝⎭
u u u r u u u r u u u r u u u r ‖ 故选B ． 【点睛】
本题考查了平面向量数量积的性质及其运算及二倍角公式，属中档题．
7．在菱形ABCD 中，4AC =，2BD =，E ，F 分别为AB ，BC 的中点，则
DE DF ⋅=u u u r u u u r
（ ）
A．13 4
-B．
5
4
C．5 D．
15
4
【答案】B
【解析】
【分析】
据题意以菱形对角线交点O为坐标原点建立平面直角坐标系，用坐标表示出,
DE DF
u u u r u u u r
，再根据坐标形式下向量的数量积运算计算出结果.
【详解】
设AC与BD交于点O，以O为原点，BD
u u u r
的方向为x轴，CA
u u u r
的方向为y轴，建立直角坐标系，
则
1
,1
2
E
⎛⎫
-
⎪
⎝⎭
，
1
,1
2
F
⎛⎫
--
⎪
⎝⎭
，(1,0)
D，
3
,1
2
DE
⎛⎫
=-
⎪
⎝⎭
u u u r
，
3
,1
2
DF
⎛⎫
=--
⎪
⎝⎭
u u u r
，
所以
95
1
44
DE DF
⋅=-=
u u u r u u u r
.
故选：B.
【点睛】
本题考查建立平面直角坐标系解决向量的数量积问题，难度一般.长方形、正方形、菱形中的向量数量积问题，如果直接计算较麻烦可考虑用建系的方法求解.
8．已知平面向量,,
a b c
r
r r
满足()()
2,21
a b a b a c b c
==⋅=-⋅-=
r r r
r r r r r
，则b c
-
r r
的最小值为（）
A
75
-
B
73
-
C．
53
2
-
D．
31
2
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意，易知a r 与b r
的夹角为60︒，设(=1a r ，()20b =，r ，(),c x y =r ，由
()()
21a c b c -⋅-=r r r r
，可得221202
x y x +-+=，所以原问题等价于，圆
221
202
x y x +-+
=上一动点与点()20，
之间距离的最小值， 利用圆心和点()20，的距离与半径的差，即可求出结果. 【详解】
因为2a b a b ==⋅=r r r r ，所以a r 与b r
的夹角为60︒，设(=1a r ，()20b =，r ，
(),c x y =r
，
因为()
()
21a c b c -⋅-=r r r r ，所以221202
x y x +-+=，
又b c -=r r
所以原问题等价于，圆22
1
202
x y x +-+=上一动点与点()20，
之间距离的最小值，
又圆2
2
1202x y x +-+=的圆心坐标为1⎛ ⎝⎭
，所以点()20，与圆
221
202
x y x +-+
=上一动点距离的最小值为
=. 故选：A. 【点睛】
本题考查向量的模的最值的求法，考查向量的数量积的坐标表示，考查学生的转换思想和运算能力，属于中档题．
9．已知向量m =r
(1,cosθ)，(sin ,2)n θ=-r
，且m r ⊥n r
，则sin 2θ+6cos 2θ的值为（ ）
A ．
1
2
B ．2
C ．
D ．﹣2
【答案】B 【解析】 【分析】
根据m r ⊥n r 可得tanθ，而sin 2θ+6cos 2
θ222
26sin cos cos sin cos θθθθθ
+=+，分子分母同除以cos 2θ，代入tanθ可得答案.
【详解】
因为向量m =r (1，cosθ)，n =r
(sinθ，﹣2)，
所以sin 2cos m n θθ⋅=-u r r
因为m r ⊥n r ，
所以sin 2cos 0θθ-=，即tanθ=2，
所以sin 2θ+6cos 2
θ2222
2626226
141
sin cos cos tan sin cos tan θθθθθθθ++⨯+====+++ 2. 故选：B. 【点睛】
本题主要考查平面向量的数量积与三角恒等变换，还考查运算求解的能力，属于中档题.
10．如图，在ABC V 中，已知D 是BC 边延长线上一点，若2B C C D =u u u v u u u v
，点E 为线段
AD 的中点，
34
AE AB AC λ=+u u u v u u u v u u u v ，则λ=（ ）
A ．
1
4
B ．14
-
C ．
13
D ．13
-
【答案】B 【解析】 【分析】
由12AE AD =u u u r u u u r ，AD BD BA =-u u u r u u u r u u u r ，AC BC BA =-u u u
r u u u r u u u r ，32
BD BC =u u u r u u u r ，代入化简即可得出．
【详解】 13,,,22AE AD AD BD BA BD BC BC AC AB ==-==-u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v
，带人可得
()
13132244AE AC AB AB AB AC ⎡⎤=-+=-+⎢⎥⎣⎦
u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，可得14λ=-，
故选B. 【点睛】
本题考查了向量共线定理、向量的三角形法则，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
11．在ABC ∆中，2AB =，3AC =，3BAC π
∠=
，若23
BD BC =u u u v u u u v ，则AD BD ⋅=u u u v u u u v
（）
A．22 9
B．
22
9
-C．16
9
D．
8
9
-
【答案】A
【解析】
【分析】
本题主要是找到两个基底向量AB
u u u v
，AC
u u u v
，然后用两个基底向量表示AD
u u u v
，BD
u u u v
，再通过向量的运算即可得出结果．
【详解】
解：由题意，画图如下：
则：()
2222
3333
BD BC AC AB AB AC
==-=-+
u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v
，
22
33
AD AB BD AB AB AC
=+=-+
u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v12
33
AB AC
=+
u u u v u u u v
.
∴
1222
3333
AD BD AB AC AB AC
⎛⎫⎛⎫
⋅=+⋅-+
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v
22
242
999
AB AC AB AC
=-⋅+⋅-⋅⋅
u u u v u u u v u u u v u u u v
242
49cos
999
AB AC BAC
=-⋅+⋅-⋅⋅⋅∠
u u u v u u u v
82
423cos
993
π
=-+-⋅⋅⋅
22
9
=.
故选A．
【点睛】
本题主要考查基底向量的建立以及用两个基底向量表示别的向量，考查平面向量的数量积的计算．本题属基础题．
12．在ABC
V中，若2
AB BC BC CA CA AB
⋅=⋅=⋅
u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v
，则
AB
BC
=
u u u v
u u u v（）
A．1 B．
2
2
C
3
D．
6
2
【答案】C 【解析】 【分析】
根据题意，由AB BC BC CA ⋅=⋅uu u v uu u v uu u v uu v
可以推得AB AC =，再利用向量运算的加法法则，即可求得结果． 【详解】
由题意得，AB BC BC CA ⋅=⋅uu u v uu u v uu u v uu v ，即A A =0+BC B C ⋅uu u v uu u v uuu v
（），设BC 的中点为D ，则
AD BC ⊥，即ABC V 为等腰三角形，B=C AB AC =∠∠，
又因为2BC CA CA AB ⋅=⋅uu u v uu v uu v uu u v 即2222222C C
cos 2C 2C cos 112C +22232C 2AB BC CA A B AB BC B A CA B C
BC A BC A BC
⋅=⋅-=-+-=-+⨯=uu u v uu u v uu v uu u v uuv uu u v uu u v uu u v uu v uuv
uu u v uu u v uu u v uu u v uu u v （）
所以3AB BC
=
uu u v uu u v ． 【点睛】
本题主要考查平面向量的线性运算．
13．如图，两个全等的直角边长分别为1,3的直角三角形拼在一起，若
AD AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r
，则λμ+等于（ ）
A 323
-+ B 323
+ C 31 D 31+
【答案】B 【解析】 【分析】
建立坐标系，求出D 点坐标，从而得出λ，μ的值． 【详解】
解：1AC =Q ，3AB =
，30ABC ∴∠=︒，60ACB ∠
=︒，
以AB ，AC 为坐标轴建立坐标系，则13,12D ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭
． ()
3,0AB =u u u r
，()0,1AC =uu u r ，
∴1
3,12
AD ⎛⎫=+
⎪ ⎪⎝⎭
u u u r
． Q AD AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r ，
∴1323
12λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，∴3
31λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩
，
231λμ∴+=+
． 故选：B ．
【点睛】
本题考查了平面向量的基本定理，属于中档题．
14．已知平面向量a v ,b v 的夹角为3
π
，且||2a =v ，||1b =v ，则2a b -=v v ( )
A ．4
B ．2
C ．1
D ．
1
6
【答案】B 【解析】 【分析】
根据向量的数量积和向量的模的运算，即可求解. 【详解】
由题意，可得222|2|||4||4444||||cos 43
a b a b a b a b π
-=+-⋅=+-⋅=r r r r r r r r ，
所以|2|2a b -=r r
，故选B.
【点睛】
本题主要考查了平面向量的数量积的运算及应用，其中解答中熟记平面向量的数量积的运算公式，以及向量的模的运算公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
15．已知平面向量,,a b c r r r 满足||||2a b ==r r ，a b ⊥r r ，()()a c b c -⊥-r r r r ，则(a b c ⋅r r r +)的取值范围是( )
A ．[0,2]
B
．[0, C ．[0,4] D ．[0,8] 【答案】D
【解析】
【分析】
以点O 为原点，OA u u u r ，OB uuu r 分别为x 轴，y 轴的正方向建立直角坐标系，根据AC BC ⊥，得到点C 在圆22(1)(1)2x y -+-=，再结合直线与圆的位置关系，即可求解．
【详解】 设,,OA a OB b OC c ===u u u r r u u u r r u u u r r ，
以点O 为原点，OA u u u r ，OB uuu r 分别为x 轴，y 轴的正方向建立直角坐标系，则
(2,0),(0,2)A B ，
依题意，得AC BC ⊥，所以点C 在以AB 为直径的圆上运动，
设点(,)C x y ，则22(1)(1)2x y -+-=，()22a b c x y +⋅=+r r r ，
由圆心到直线22x y t +=
的距离d =
≤，可得[0,8]t ∈.
故选：D ．
【点睛】
本题主要考查了向量的数量积的坐标运算，以及直线与圆的位置关系的综合应用，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力．
16．已知,A B 是圆22
:16O x y +=的两个动点，524,33AB OC OA OB ==-u u u v u u u v u u u v ，若M 分别是线段AB 的中点，则·OC OM =u u u v u u u u v （ ） A
．8+B
．8-C ．12 D ．4
【答案】C
【解析】
【分析】
【详解】 由题意1122
OM OA OB =+u u u u r u u u r u u u r ，则
22521151133226
32OC OM OA OB OA OB OA OB OA OB ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅+=-+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u v u u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，又圆的半径为4，4AB =uu u r ，则,OA OB u u u r u u u r 两向量的夹角为π3．则8OA OB ⋅=u u u v u u u v ，2216OA OB ==u u u v u u u v ，所以12OC OM ⋅=u u u r u u u u r ．故本题答案选C ．
点睛：本题主要考查平面向量的基本定理.用平面向量的基本定理解决问题的一般思路是:先选择一组基底,并且运用平面向量的基本定理将条件和结论表示成基底的线性组合,在基底未给出的情况下进行向量的运算,合理地选取基底会给解题带来方便.进行向量运算时,要尽可能转化到平行四边形或三角形中.
17．已知向量()1,3a =-v ，()3,b m =v ，若a b ⊥v v ，则2a b +v v 等于（ ）
A ．10
B ．16 C
．D
．【答案】C
【解析】
【分析】 先利用向量垂直的坐标表示求出实数m 的值，得出向量b r 的坐标，并计算出向量2a b +r r ，最后利用向量模的坐标运算得出结果．
【详解】 ()1,3a =-r Q ，()3,b m =r ，a b ⊥r r ，则1330a b m ⋅=⨯-=r r ，得1m =，()3,1b ∴=r ，
则()()()221,33,15,5a b +=-+=-r r ，因此，
2a b +==r r C.
【点睛】
本题考查向量垂直的坐标表示以及向量模的坐标运算，意在考查学生对这些公式的理解掌握情况，考查运算求解能力，属于中等题．
18．已知1F 、2F 分别为双曲线22
146x y -=的左、右焦点，M 为双曲线右支上一点且满足120MF MF ⋅=u u u u v u u u u v ，若直线
2MF 与双曲线的另一个交点为N ，则1MF N ∆的面积为（ ） A ．
12 B ． C ．
24 D ．【答案】C 【解析】
【分析】 设1MF m =，2MF n =，根据双曲线的定义和
12MF MF ⊥，可求出6m =，2n =，再设2NF t =，则14NF t =+根据勾股定理求出6t =即可求出三角形的面积.
【详解】 解：设1MF m =，2MF n =，
∵1F 、2F 分别为双曲线22146x y -=的左、右焦点， ∴24m n a -==，122210F F c ==.
∵120
MF MF ⋅=u u u u v u u u u v ， ∴12MF MF ⊥，
∴222440m n c +==，
∴()2222m n m n mn -=+-，
即2401624mn =-=，
∴12mn =，
解得6m =，2n =，
设2NF t =，则124NF a t t =+=+，
在1Rt NMF ∆中可得()()222426t t +=++，
解得6t =，
∴628MN =+=，
∴1MF N ∆的面积111862422
S MN MF =
⋅=⨯⨯=. 故选C ．
【点睛】
本题考查了双曲线的定义和向量的数量积和三角形的面积，考查了运算能力和转化能力，属于中档题．
19．已知单位向量,a b r r 满足313a b +=r r ，则a r 与b r 的夹角为
A ．6π
B ．4π
C ．3π
D ．2
π 【答案】C
【解析】
由313a b +=r r 22236913a b a a b b +=+⋅+=r r r r r r ，
又因为单位向量,a b r r ，所以1632a b a b ⋅=⇒⋅=r r r r ， 所以向量,a b r r 的夹角为1cos ,2a b a b a b ⋅〈〉==⋅r r r r r r ，且,[0,]a b π〈〉∈r r ，所以,3
a b π〈〉∈r r ，故选C.
20．在ABC V 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，且||1,||2AB AC ==u u u r u u u r
，120BAC ∠=︒，则||EB =u u u r （ ） A
．4 B
C
．2 D
．4
【答案】A
【解析】
【分析】 根据向量的线性运算可得3144
EB AB AC =-u u u r u u u r u u u r ,利用22||B EB E =u u r u u u r u 及||1,||2AB AC ==u u u r u u u r ，120BAC ∠=︒计算即可.
【详解】 因为11131()22244
EB EA AB AD AB AB AC AB AB AC =+=-+=-⨯++=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r , 所以22229311216441||6
EB AB AB B AC AC E =-⨯=⨯⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u r u u u r u 229311112()2168216
=⨯-⨯⨯⨯-+⨯ 1916
=
，
所以||4
EB =u u u r ， 故选：A
【点睛】 本题主要考查了向量的线性运算，向量数量积的运算，向量数量积的性质，属于中档题.。