FDTD算法概述

前向差分
后向差分
中心差分
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利用泰勒展开式
df ( x) h 2 d 2 ( x) f ( x h) f ( x ) h 2 dx 2! dx df ( x) h 2 d 2 ( x) f ( x h) f ( x ) h 2 dx 2! dx df ( x) 2h 3 d 3 ( x) f ( x h) f ( x h) 2h 3 dx 3! dx
H x t
n 1 1 i , j ,k 2 2
Hx
n
1 1 i , j ,k Fra bibliotek 21 2
Hx t
n
1 1 i , j ,k 2 2
1 2
2 O t
E y z
E z y
n

1 1 i , j ,k 2 2
n
Ey
n 1 i , j , k 1 2
2
• 基本计算步骤
① 采用一定的网格划分方式离散化场域 ② 对场内的偏微分方程及各种边界条件进行差分离散化处理，建立差分 格式，得到差分方程组 ③ 结合选定的代数方程组的解法，编制程序，求边值问题的数值解
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2.差分格式
• 差分基础知识
设函数f(x)，对其自变量x取增量 x h ，则
df f ( x) f ( x) f ( x h) f ( x) lim x 0 dx x x h f ( x ) f ( x h) h f ( x h) f ( x h) 2h
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• 数值稳定的条件：
t 1 1 1 (x)2 (y )2 (z )2
当空间步长相等即Δx=Δy=Δz时，
t

x x 3 3v
一般取值为
t min( x, y, z ) 2c
x 2c
Δx=Δy=Δz时， t
其中c为光速，自由空间中 c
Ey
n 1 i , j ,k 2
z
Ez
1 i , j 1, k 2 n
O z

2



1 1 i , j ,k 2 2
Ez
n i , j ,k
1 2
y
O y

2
其他五个方程的差分格式也可类似得到
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3.解的稳定性
• 时间步长△t，空间步长△x, △y, △z必须满足一定的关系，否则 就使得数值表现不稳定。 • 随着计算步数的增加，计算场量的数值会无限的增大，这种增大 不是由于误差积累造成的，而是由于电磁波的传播关系被破坏造 成的。
利用第4页所讲的中心差分的公式构造Fn(i,j,k)的一阶导数：
1 1 n F (i , j, k ) F (i , j, k ) n F (i, j, k ) 2 2 2 O((x) ) x x
n
（对空间离散）
F n (i, j , k ) F t
n
1 2
(i, j , k ) F t
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可以看出前向差分和后向差分的计算精度为O(h)，而中心差分的计算精度 为O(h2)，即中心差分截断误差较小
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• 电磁波的离散化
麦克斯韦方程组
可以推出六个耦合方程
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假定空间步长Δx，Δy，Δz和时间步长Δt，函数F(x,y,z,t)可以写成
F n (i, j, k ) F (ix, jy, kz, nt ) F ( x, y, z, t )
FD-TD算法
ASMA 2018.04
1.FD-TD简介
• 时域有限差分方法（Finite-Difference Time-Domain），简称FDTD。 • 通常情况下，FDTD方法是把 Maxwell 方程式在时间和空间领域上 进行差分化。利用蛙跳式(Leap frog algorithm)--空间领域内的电场 和磁场进行交替计算，通过时间领域上更新来模仿电磁场的变化， 达到数值计算的目的。其优点是能够直接模拟场的分布，精度比 较高，是目前使用比较多的数值模拟的方法之一。 • 特点：广泛的应用性、节约运算和存储空间、适合并行计算、计 算程序的通用性、简单直观容易掌握。 • 三大要素：差分格式、解的稳定性、吸收边界条件。
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对于二维电磁场问题，其齐次波动方程为：
Mur二阶吸收边界条件可降低为只含E、H分量的一阶导数。对于TM波，将 EZ代入上式中f， ，并将上式对ｔ积分可得：
将上式在(i+1/2,j)点和t=(n+1/2)Δt时刻作离散，
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并结合线性插值：
可得左截断边界处Mur吸收边界条件的表达式：
需要注意的是： Mur吸收边界在角点处 不适用，因为其中要用 到的某些网格点位于网 格区域以外，这些网格 点的场量的数据无法知 道，需要其它处理方法。
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4.吸收边界条件
• 理论上说，求解空间是无限大的，但是由于计算的数据容量问题， 时域有限差分网格将在某处被截断。这要求在网格截断处不能引起 波的明显反射，因而对向外传播的波而言，就像在无限大的空间传 播一样。 • 一种行之有效的方法是在截断处设置一种吸收边界条件。
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• Mur吸收边界
Mur吸收边界作为数值吸收边界的一种，由于实施方便简单，吸收效果较 好，通常可以单独用作FDTD 算法的截断边界。以下图所示的二维TM波元 胞左截断边界为例来推导Mur吸收边界。
n
1 2
(i, j , k )
O((t ) 2 )
（对时间离散）
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矩形差分网格——Yee网格
每个磁场分量由 四个电场分量环 绕，每个电场分 量由四个磁场分 量环绕； 电场和磁场在时 间上交替抽样， 相差半个时间步 长。
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对于第6页的六个耦合方程，选取Yee网格上不同的差分中心
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对第一个方程利用Yee网格建 立差分格式