选修2-3：1.3.2二项式系数的性质-课件(共26张PPT)

拔高练习：
若(2 x 3 )4 a0 x4 a1 x3 a2 x2 a3 x a4 求(a0 a2 a4 )2 (a1 a3 )2
解：原式 (a0 a2 a4 a1 a3 ) (a0 a2 a4 a1 a3 ) (a0 a1 a2 a3 a4 ) (a0 a1 a2 a3 a4 )
C
r n
C
0 n
C
1 n
C
2 n
…
C
r n
…
C
n n
可看成是集合｛0，1，…，n｝到二项式系数的集合的映射。
二项式系数与函数
从映射、函数的观点看，二项式系数可 以看作是一个定义域为 {0，1，2，…，n} 的函数当自变量从小到大依次取值时对应 的一列函数值。
y f (x)
函数值
C
r n
自变量
r
的系数之和为1024，求它的中间项.
解：∵展开式中各项的二项式系数与该项的 的系数相等
∴由已知可得：2n-1=1024
解得 n=11，∴有两个中间项分别为
T6=462x-4，T7=462x
61 15
求解二项式系数和时，灵活运用赋 值法可以使问题简单化。通常选取赋值 时取－1，1，0。
例题讲解 2 例2、已知：(x 3 3x2 )n 的展开式中，各项系数和比它
先增后减
T 即 n 1 2
n
当n是偶数时，中间的一项 的二项式系数
最大值 ；
Cn2取得
C C 当n是奇数时，中间的两项 二项式系数
和 n1 2 n
n 1 2
n
相等，且 同时取得最大值。
即T T 和 n11 2
n11 2
2.增减性与最大值
C 由于
k n
=
n(n-1)(n-2)(n-3)……(n-k+1) k • (k-1)
所要求的各项系数的和就是a0+a1+a2+……+a60. 又将x=1代入得 f(1)= a0+a1+a2+……+a60
=(3－1+2－3)8(3－5)4(7－4－2)6=16. ∴ 各项系数的和为16.
课堂练习:
1、在(a＋b)20展开式中，与第五项二项式系数相同
的项是(C ). A.第15项 B.第16项 C.第17项 D.第18项
x3
r
有:33rr
Cr 5
Cr 5

3r
1
C r 1 5
，
3r
1
C r 1 5
解得：7 r 9 ，即r=4 22
10 44
26

展开式第五项的系数最大，即：T41
=34
C4 5
x
3
=405x 3
练习
1、已知： ( x3

1 x2
)n
(n

N *)的展开式中所有二项系数
即：r是自变量，二项式系数是函数值，
组合数公式就是相应函数的解析式。
①当n=6时，二项式系数
C
r
6（0≤r≤6）用图象表示：
1：对称性
f(r)
7
①与首末两端“等距离” 20
个
的两个二项式系数相等
孤
②关于r= 3对称
14
立 的
2：增减性与最大值
点
①先增后减
6
②0~6，共7项，
r=3时取得最大值 O
36
复习回顾:
二项式定理及展开式:
(a b)n Cn0an Cn1an1b Cn2a b n2 2 …… Cnnbn ,
通项
二项式系数
Tr 1

C
r n
a
nr
b
r
Cn0，Cn1，Cn2，Cn3，……Cnn2，Cnn1，Cnn
二项式系数的性质
(a+b)1 (a+b)2 (a+b)3 (a+b)4 (a+b)5
2 6

C
3 6
C
4 6
C
5 6
C
6 6
1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1
C
m n

C nm n
先增后减
二项式系数与函数
函数定义：如果A、B都是非空数集，那A
到B的映射f ：A→B就叫做A到B的函数。
★ 对于二项式系数，r与
系，即：
C
r n
之间也有对应关
r 0 1 2 …r …n

Cr 10
x10
r
(
2 )r ，解得：r =5
展开式第六项为常数项，即：T51
=
63 2
2
2、求多项式(3x4－x3+2x2－3)8·(3x－5)4·(7x4－4x－2)6展 开式各项系数的和.
解：设f( x )= (3x4－x3+2x2－3)8·(3x－5)4·(7x4－4x－2)6 = a0+a1x+a2x2+a3x3+……+a60x60.
已知(1 2x)7 a0 a1x a2 x2 a3x3 …… a6x6 a7 x7
则：1）a1 a2 …… a6 a7 = -2 2）a1 a3 a5 a7 = -1094 3）a0 a2 a4 a6 = 1093 4）|a0||a1||a2| ……|a7|= 37
例题讲解 2 例2、已知：(x 3 3x2 )n 的展开式中，各项系数和比它
的二项式系数和大992。
（1）求展开式中二项式系数最大的项
（2）求展开式中系数最大的项
解：（2）设展开式中系数最大的项为第r 1项,则有：
TTrr
1 1

Tr Tr
+2
，又由Tr
1
=3r
Cr 5
10 4

（

1）nC
n n
0
（C
0 n

C
2 n

C
4 n

……）（C
1 n

C
3 n

……）
Cn0

C
2 n

Cn4

……=C
1 n

C
3 n

……

2n1
也就是说, (1+x)n的展开式中的各个
二项式系数的和为 2n ，且奇数项的二
项式系数和等于偶数的二项式系数和
赋值法
二项式系数的性质
C 2、在(a＋b)11展开式中，二项式系数最大的项( ).
A.第6项
B.第7项
C.第6项和第7项 D.第5项和第7项
n
18 3， 已知
x 4
1 x3

展开式中只有第10
项二项式系数最大，则n=______。
2 1 5 4，化简
C
1 5
+
C
2 5
+C
3 5
+
C
4 5
+C
和为128，则展开式中二项系数是最大的项
解：n=7，展开式一共8项，二项式系数最大
的项为第三、四项，则：T4 35x6，T5 35x
2、求： (x 2 y)7 的求展开式中系数最大的项
解：设展开式中系数最大的项为第r 1项,则有：
2r
Cr 7
2r
Cr 7

2r
1
C r 1 7
则：1）a1 a2 …… a10 a11= 65 2）a0 a2 a4 ……+a10 =32
求证：
2n Cn1 2n1 Cn2 2n2 (1)n1Cnn1 2 (1)n 1.
证明略
例5.若
(3
1 x
+
5
1 x2
)n
的展开式中，所有奇数项
11
例如：2+1=3
1 22 11
4C+106C=1110
1 3 33 1 1 44 66 4 1
C +C 因为：C2120 C2221 = C C 2232 = 3
C +C =C = 10 C
0 3
C1
4
1 3
C2
4
2 3
C2
5
3 3
1 5 1100 10 5 1
c c c + = C
0 4
C
41r-1C
回顾例题
例1、证明（a+b）n 的展开式中，奇数项的二项式 系数的和等于偶数项的二项式系数的和。 证明: 对于(a b)n Cn0an Cn1an1b Cn2an2b2 …… Cnnbn ,
令a=1,b 1,则：(11)n Cn0 Cn1 Cn2 Cn3…… (1)n , 即：0 Cn0 Cn1 Cn2 Cn3 Cn4…… (1)n Cnn , 即：0 Cn0 Cn2 Cn4 …… Cn1 Cn3 Cn5……,
r
f（r）
20
15
6
1
O nn
2
n为偶数； 如n=6
f（r3）5
30
n 1 20
2
10
n为奇数； 如n=7
n1 2
O
3 n4
7
n
r
2
①关于r=n/2对称
②r=3和r=4时取得最大值
二项式系数的性质
C
m n

C nm n
性质1：对称性
与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等
性质2：增减性与最大值
2 4
r C 43r
C
4 4
n
n n+1
1 6 15 20 15 6 1
C
0 5
C
1 5
C
2 5
C
3 5
C
4 5
C
5 5
当n不大时，可用该表来C求60 二C 61项C式62系C数63。C
4 6
C
5 6
C
6 6
《 杨辉 三角
详
解
九
章 算 法
杨 辉
》
记
载
的
表
以上二项式系数表,早在我 国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章 算法》一书里就已经出现了，这个表称为杨辉三角。在《详解九章算法》 一书里，还说明了表里“一”以外的每一个数都等于它肩上两个数的和， 杨辉指出这个方法出于《释锁》算书，且我国北宋数学家贾宪（约公元 11世纪）已经用过它。这表明我国发现这个表不晚于11世纪。在欧洲， 这个表被认为是法国数学家帕斯卡（1623-1662）首先发现的，他们把这 个表叫做帕斯卡三角。这就是说，杨辉三角的发现要比欧洲早五百年左 右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的。
C C C 所以
=
k-1 n
•
n–k+1 k
k n
相对于
k-1 n
的增减情况由
n
–
k k
+
1
决定
由于
n
–
k k
+
1
>
1

k<
n+1 2
因而
当 k n 1 时，二项式系数是逐渐增大的，由对称性知它的 后半部是2逐渐减小的，且在中间取得最大值。
n
C 当n是偶数时，中间的一项 2 取得最大时 ；
n
C0n 1
二项式系数表
(a+b)1 (a+b)2 (a+b)3 (a+b)4 (a+b)5 (a+b)6
1）请看系数有没有明显的规律？ 2）上下两行有什么关系吗？ 3）根据这两条规律，大家能写出下面的系数吗?
二项式系数的性质
a).表中每行两端都是1。 b).除1外的每一个数都等
于它肩上两个数的和。
的二项式系数和大992。
（1）求展开式中二项式系数最大的项
（2）求展开式中系数最大的项
2
解： (x3 3x2 )n 展开式中各项系数和为22n ,
二项系数之和为2n，由22n 2n 992,得n=5
（1）n=5时，展开式一共6项，二项式系数最大
22
的项为第三、四项，则：T21 90x6，T31 270x 3
(a+b)6
C10
C
1 1
C
0 2
C
1 2
C
2 2
C
0 3
C
1 3
C
2 3
C33
11 121 1 33 1
C
0 4
C
1 4
C
2 4
C
3 4
C
4 4
1 4641
C
0 5
C
1 5
C
2 5
C53
C54
C
5 5
1 5 10 10 5 1
1 C
0 6
C
1 6
C
2 6
C
3 6
C
4 6
C
5 6
C
6 6
6 15 20 15 6 1
C C 当n是奇数时，中间的两项
n1
n1
2， 2 相等，且同时取得
最大值。
n
n
二项式系数的性质
性质3：各二项式系数的和
（1
x）n

C
0 n
+
C
1 n
x
+
C
2 n
x
2+
…+
C
n n
x
n
2 令x=1：
n

C
0 n

C
1 n

C
2 n

C
n n
0 令x=-1：

C
0 n

C
1 n

C
2 n

令x 1 a0 a1 a2 a3 a4 (2 3)4 令x 1 a0 a1 a2 a3 a4 (2 3)4 原式 (2 3)4(2 3)4
[( 3)2 22 ]4 1
拔高练习：
若(1+x)6 (1 2x)5 a0 a1x a2 x2 a3x3 …… a10 x10 a11x11
于是有：Cn0 Cn2 Cn4 …… Cn1 +Cn3 Cn5……,
所以（a+b）n 的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶 数项的二项式系数的和。
变式练习1： (1-2x)15的展开式中各项系数和是___1__
(1-2x)15的展开式中所有二项式系数和是___2_1_5
变式练习2：
二项式系数的性质
第1行———
C 10 C 11
第2行——
C
0 2
C
1 2
C
2 2
第3行—-
C
0 3
C
1 3
C
2 3
C
3 3
对称
11 121 1 33 1
第4行—
C
0 4
C
1 4
C
2 4
C
3 4
C
4 4
1 46 41
第5行--
C