人教版九年级上册数学同步教学课件-第24章-24.1.4 圆周角
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数学课堂教学课件设计
随堂即练
1.判断： （1）同一个圆中等弧所对的圆周角相等. （ √ ） （2）相等的弦所对的圆周角也相等. （ × ） （3）90°的角所对的弦是直径. （ × ） （4）同弦所对的圆周角相等. （ × ）
数学课堂教学课件设计
随堂即练
2.如图，AB是⊙O的直径， C，D是圆上的两点，∠ABD=40°，
第二十四章 圆
24.1 圆的有关性质
21.1.4 圆周角
数学课堂教学课件设计
学习目标
1.理解圆周角的概念，会叙述并证明圆周角定理. 2.理解圆周角与圆心角的关系并能运用圆周角定理及推
论解决简单的几何问题.（重点） 3.理解圆内接四边形及其性质.（重点） 4.了解圆周角的分类，会推理验证“圆周角与圆心角的
证明：连结OB，OD. ∵∠A所对的弧为 BCD ，∠C所对的弧为 BAD ， 又 BCD 和 BAD 所对的圆周角的和是周角， ∴∠A+∠C=360°÷2=180°. 同理∠B+∠D=180°.
★圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补.
数学课堂教学课件设计
随堂即练
1．四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且∠A=110°， ∠B=80°，则∠C= 70 º，∠D= 100º . 2.⊙O的内接四边形ABCD中，∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3 ，则 ∠D= 90º .
数学课堂教学课件设计
新课讲解
推导与验证:
为了验证上面发现的猜想，分下列几种情况：
圆心O在∠BAC 的一边上
圆心O在∠BAC 的内部
数学课堂教学课件设计
圆心O在 ∠BAC 的外部
①圆心O在∠BAC的一边上（特殊情形）
新课讲解
OA=OC ∠A= ∠C ∠BOC= ∠ A+ ∠C
BAC 1 BOC 2
∠ABC= 90° .
★推论3：半圆（或直径）所对的圆周角是直角. 反之，90°的圆周角所对的弦是直径.
数学课堂教学课件设计
新课讲解
例题 如图，⊙O的直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB 的平分线交⊙O于点D，求BC，AD，BD的长.
解：如图，连结OD.
∵AB是直径，∴ ∠ACB=∠ADB=90°.
则∠BCD=＿＿5＿0°_.
D
C
O
A
B
O
C
A
B
第2题
第3题
3.已知△ABC的三个顶点在⊙O上，∠BAC=50°,∠ABC=47°，
则∠AOB= 166°．
数学课堂教学课件设计
随堂即练
4.如图，已知圆心角∠AOB=100°，则圆周角∠ACB= 130°，
∠ADB= 50° .
D
C
O
O
A
B
C
A B
第4题
关系”.（难点）
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新课引入
A
B C
E D
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新课讲解
1 圆周角的定义
定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角. （两个条件必须同时具备，缺一不可）
数学课堂教学课件设计
新课讲解
判一判：下列各图中的∠BAC是否为圆周角并简述理由.
B O·
B
C
A
O·
A
C ·O
随堂即练
2.如图，点A，B，C，D在同一个圆上，AC，BD为四
边形ABCD的对角线. (1)完成下列填空：
∠1=∠4 ，∠2=∠8 ，∠3= ∠6，
D
∠5=∠7 ；
78
A
1 2
34
O6
5
C
B
数学课堂教学课件设计
新课讲解
2.如图，点A，B，C，D在同一个圆上，AC，BD为四 边形ABCD的对角线. （2）若A⌒B=A⌒D，则∠1与∠2是否相等，为什么？
★圆内接四边形的定义 如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边
形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆.
数学课堂教学课件设计
新课讲解
探究性质： 如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，⊙O为四边形 ABCD的外接圆. 猜想：∠A与∠C, ∠B与∠D之间的关系 为 ∠A+ ∠C=180º，∠B+ ∠D=180º .
解：∠1=∠2.理由如下：
连结DO，AO，BO.
∵ »AB »AD,
∴∠AOB=∠AOD.
又 1= 1 AOD，2= 1 AOB，
2
2
∴∠1=∠2.
★推论2：等弧所对的圆周角相等.
数学课堂教学课件设计
新课讲解
2.如图，点A，B，C，D在同一个圆上，AC，BD为四 边形ABCD的对角线.
（3）若若AACC是是直半径圆，， ∠ADC= 90°，
则∠AEB等于
（ B）
A
ED O
B
C
A.70° B.110° C.90°
D.120°
数学课堂教学课件设计
圆心角
类比
课堂总结
圆内接四边形的对角互补
圆周角
圆内接四边形
圆周角定义
圆周角定理
1.顶点在圆上， 2.两边都与圆 相交的角（二 者必须同时具 备）
一条弧所对的 圆周角等于它 所对的圆心角 的一半
数学课堂教学课件设计
在Rt△ABC中，
BC AB2 AC2 102 62 8cm.
∵CD平分∠ACB， ∴∠ACD=∠BCD，∴∠AOD=∠BOD，∴AD=BD.
又在Rt△ABD中，AD2 BD2 AB2,
∴AD=BD=
2 AB 2
2 10 5 2
2 cm.
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新课讲解
3 圆内接四边形
A
C （1）√ A
B ×，顶（点2不）在圆上 ×，边A（C3没）有和圆相交
B
O·
A
B
C
×，顶点不在圆上
C O·
（5）√
C ·O
A B
（6）√
数学课堂教学课件设计
2 圆周角定理及其推论
新课讲解
? 测量与猜测:
如图，连结BO,CO,得圆心角∠BOC.试猜想∠BAC与∠BOC存 在怎样的数量关系.
BAC 1 BOC 2
第5题
5.如图，△ABC的顶点A，B，C都在⊙O上，∠C＝30 °，AB＝
2，则⊙O的半径是 2 .
解析：连结OA，OB. ∵∠C=30 ° ，∴∠AOB=60 °. 又∵OA=OB ，∴△AOB是等边三角形. ∴OA=OB=AB=2，即⊙O的半径为2.
数学课堂教学课件设计
随堂即练
6.如图，∠A=50°， ∠ABC=60 °，BD是⊙O的直径，
圆周角定理 的推论
1.同弧或等弧所对 的圆周角相等； 2.半圆（或直径） 所对的圆周角是直 角，90°的圆周角 所对的弦是直径
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②圆心O在∠BAC的内部
A
A
新课讲解
A
O
B
D
OO
O
B
C
C
D
D
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③圆心O在∠BAC的外部
新课讲解
A O
A
OO
D
C
D
C
B
A O
D
B 数学课堂教学课件设计
新课讲解
▼圆周角定理及其推论
★圆周角定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
★推论1
பைடு நூலகம்
同弧所对的圆周角相等.
A2
A1
A3
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随堂即练
试一试： 1.如图，点A，B，C，D在⊙O上，点A与点D在点B，C所在 直线的同侧，∠BAC=35º. (1)∠BOC= 70 º， 理由是 一条弧所对的圆周角等于该弧所对的圆心角的一半 ; (2)∠BDC= 35 º，理由是 同弧所对的圆周角相等 .
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随堂即练
1.判断： （1）同一个圆中等弧所对的圆周角相等. （ √ ） （2）相等的弦所对的圆周角也相等. （ × ） （3）90°的角所对的弦是直径. （ × ） （4）同弦所对的圆周角相等. （ × ）
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2.如图，AB是⊙O的直径， C，D是圆上的两点，∠ABD=40°，
第二十四章 圆
24.1 圆的有关性质
21.1.4 圆周角
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学习目标
1.理解圆周角的概念，会叙述并证明圆周角定理. 2.理解圆周角与圆心角的关系并能运用圆周角定理及推
论解决简单的几何问题.（重点） 3.理解圆内接四边形及其性质.（重点） 4.了解圆周角的分类，会推理验证“圆周角与圆心角的
证明：连结OB，OD. ∵∠A所对的弧为 BCD ，∠C所对的弧为 BAD ， 又 BCD 和 BAD 所对的圆周角的和是周角， ∴∠A+∠C=360°÷2=180°. 同理∠B+∠D=180°.
★圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补.
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随堂即练
1．四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且∠A=110°， ∠B=80°，则∠C= 70 º，∠D= 100º . 2.⊙O的内接四边形ABCD中，∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3 ，则 ∠D= 90º .
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推导与验证:
为了验证上面发现的猜想，分下列几种情况：
圆心O在∠BAC 的一边上
圆心O在∠BAC 的内部
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圆心O在 ∠BAC 的外部
①圆心O在∠BAC的一边上（特殊情形）
新课讲解
OA=OC ∠A= ∠C ∠BOC= ∠ A+ ∠C
BAC 1 BOC 2
∠ABC= 90° .
★推论3：半圆（或直径）所对的圆周角是直角. 反之，90°的圆周角所对的弦是直径.
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例题 如图，⊙O的直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB 的平分线交⊙O于点D，求BC，AD，BD的长.
解：如图，连结OD.
∵AB是直径，∴ ∠ACB=∠ADB=90°.
则∠BCD=＿＿5＿0°_.
D
C
O
A
B
O
C
A
B
第2题
第3题
3.已知△ABC的三个顶点在⊙O上，∠BAC=50°,∠ABC=47°，
则∠AOB= 166°．
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4.如图，已知圆心角∠AOB=100°，则圆周角∠ACB= 130°，
∠ADB= 50° .
D
C
O
O
A
B
C
A B
第4题
关系”.（难点）
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A
B C
E D
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1 圆周角的定义
定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角. （两个条件必须同时具备，缺一不可）
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判一判：下列各图中的∠BAC是否为圆周角并简述理由.
B O·
B
C
A
O·
A
C ·O
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2.如图，点A，B，C，D在同一个圆上，AC，BD为四
边形ABCD的对角线. (1)完成下列填空：
∠1=∠4 ，∠2=∠8 ，∠3= ∠6，
D
∠5=∠7 ；
78
A
1 2
34
O6
5
C
B
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2.如图，点A，B，C，D在同一个圆上，AC，BD为四 边形ABCD的对角线. （2）若A⌒B=A⌒D，则∠1与∠2是否相等，为什么？
★圆内接四边形的定义 如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边
形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆.
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探究性质： 如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，⊙O为四边形 ABCD的外接圆. 猜想：∠A与∠C, ∠B与∠D之间的关系 为 ∠A+ ∠C=180º，∠B+ ∠D=180º .
解：∠1=∠2.理由如下：
连结DO，AO，BO.
∵ »AB »AD,
∴∠AOB=∠AOD.
又 1= 1 AOD，2= 1 AOB，
2
2
∴∠1=∠2.
★推论2：等弧所对的圆周角相等.
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2.如图，点A，B，C，D在同一个圆上，AC，BD为四 边形ABCD的对角线.
（3）若若AACC是是直半径圆，， ∠ADC= 90°，
则∠AEB等于
（ B）
A
ED O
B
C
A.70° B.110° C.90°
D.120°
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圆心角
类比
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圆内接四边形的对角互补
圆周角
圆内接四边形
圆周角定义
圆周角定理
1.顶点在圆上， 2.两边都与圆 相交的角（二 者必须同时具 备）
一条弧所对的 圆周角等于它 所对的圆心角 的一半
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在Rt△ABC中，
BC AB2 AC2 102 62 8cm.
∵CD平分∠ACB， ∴∠ACD=∠BCD，∴∠AOD=∠BOD，∴AD=BD.
又在Rt△ABD中，AD2 BD2 AB2,
∴AD=BD=
2 AB 2
2 10 5 2
2 cm.
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3 圆内接四边形
A
C （1）√ A
B ×，顶（点2不）在圆上 ×，边A（C3没）有和圆相交
B
O·
A
B
C
×，顶点不在圆上
C O·
（5）√
C ·O
A B
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2 圆周角定理及其推论
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? 测量与猜测:
如图，连结BO,CO,得圆心角∠BOC.试猜想∠BAC与∠BOC存 在怎样的数量关系.
BAC 1 BOC 2
第5题
5.如图，△ABC的顶点A，B，C都在⊙O上，∠C＝30 °，AB＝
2，则⊙O的半径是 2 .
解析：连结OA，OB. ∵∠C=30 ° ，∴∠AOB=60 °. 又∵OA=OB ，∴△AOB是等边三角形. ∴OA=OB=AB=2，即⊙O的半径为2.
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6.如图，∠A=50°， ∠ABC=60 °，BD是⊙O的直径，
圆周角定理 的推论
1.同弧或等弧所对 的圆周角相等； 2.半圆（或直径） 所对的圆周角是直 角，90°的圆周角 所对的弦是直径
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②圆心O在∠BAC的内部
A
A
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A
O
B
D
OO
O
B
C
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A
OO
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C
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▼圆周角定理及其推论
★圆周角定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
★推论1
பைடு நூலகம்
同弧所对的圆周角相等.
A2
A1
A3
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试一试： 1.如图，点A，B，C，D在⊙O上，点A与点D在点B，C所在 直线的同侧，∠BAC=35º. (1)∠BOC= 70 º， 理由是 一条弧所对的圆周角等于该弧所对的圆心角的一半 ; (2)∠BDC= 35 º，理由是 同弧所对的圆周角相等 .
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